diff --git a/Analisi matematica 1/Parte teorica/2023-04-27/main.pdf b/Analisi matematica 1/Parte teorica/2023-04-27/main.pdf new file mode 100644 index 0000000..2df7683 Binary files /dev/null and b/Analisi matematica 1/Parte teorica/2023-04-27/main.pdf differ diff --git a/Analisi matematica 1/Parte teorica/2023-04-27/main.tex b/Analisi matematica 1/Parte teorica/2023-04-27/main.tex new file mode 100644 index 0000000..134107e --- /dev/null +++ b/Analisi matematica 1/Parte teorica/2023-04-27/main.tex @@ -0,0 +1,97 @@ +\documentclass[11pt]{article} +\usepackage{personal_commands} +\usepackage[italian]{babel} + +\title{\textbf{Note del corso di Analisi matematica 1}} +\author{Gabriel Antonio Videtta} +\date{\today} + +\begin{document} + + \maketitle + + \begin{center} + \Large \textbf{Integrali impropri} + \end{center} + + \wip + + %TODO: definizione area di una figura "ragionevole" (differenza) + %TODO: funzione di Dirichlet non integrabile + %TODO: se D(f) -- discontinuità -- è finito, f limitata è integrabile + %TODO: se per ogni e > 0, esistono intervalli I_1, ..., I_{n(e)} tali che U I_i contiene D(f) e somma |I_i| < e, allora f è integrabile. + %TODO: se per ogni e > 0, esiste una famiglia f di intervalli numerabile tale che U_{f} I_i = D(f) e somma |I_i| < e. + + \begin{definition} [integrale improprio semplice] + Si dice che l'integrale $\int_a^b f(x) \, dx$ con $a \in \RR$ è un + \textbf{integrale improprio semplice} in $b$ se + $f$ è definita e continua su $[a, b)$ e $b = \pm\infty$, + $f$ non è definita in $b$ o non è continua in $b$. Si + definisce in modo analogo un integrale improprio semplice se $b \in \RR$. \\ + + In modo più + generale, si dice che tale integrale è improprio semplice + se $f$ è integrabile in $[a, b']$ $\forall b' < b$, ma non su + $[a, b]$ + \end{definition} + + \begin{example}\nl + \li L'integrale $\int_0^1 \frac{1}{\sin(x)} \, dx$ è un + integrale improprio semplice dacché $\frac{1}{\sin(x)}$ è + definito in $1$, ma non in $0$, ed è continuo e definito su $(0, 1)$. \\ + + \li L'integrale $\int_0^\pi \frac{1}{\sin(x)} \, dx$, invece, + non è improprio semplice, dal momento che $\frac{1}{\sin(x)}$ non + è definito né in $0$ né in $\pi$. \\ + + \li L'integrale $\int_{-1}^1 \frac{1}{x} \, dx$ non è improprio semplice + poiché $\frac{1}{x}$ non è definito in $0$. + \end{example} + + \begin{definition} + Il valore di $\int_a^b f(x) \, dx$ è definito come $\lim_{b' \to b^-} \int_a^{b'} f(x) \, dx$, se esiste. + \end{definition} + + Vi sono dunque quattro comportamenti possibili dell'integrale improprio + semplice $\int_a^b f(x) \, dx$: + + \begin{enumerate}[(a)] + \item esiste ed è finito (ossia, \textbf{converge}), + + \item esiste ed è $+\infty$ (ossia, \textbf{diverge a} $+\infty$), + + \item esiste ed è $-\infty$ (ossia, \textbf{diverge a} $-\infty$), + + \item non esiste. + \end{enumerate} + + \begin{remark} Sia $f : [a, b) \to \RR$ continua con primitiva $F : [a, b) \to \RR$. Allora $\int_a^b f(x) \, dx = \lim_{b' \to b^-} [F(b')] - F(a)$. + \end{remark} + + \begin{example}\nl + \li $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^\alpha} = \system{+\infty & \se \alpha \leq 1, \\ \frac{1}{a-1} & \altrimenti.}$ \\ + + \li $\int_0^{1} \frac{1}{x^\alpha} = \system{+\infty & \se \alpha \geq 1, \\ \frac{1}{1-a} & \altrimenti.}$ \\ + + \li $\int_a^{+\infty} e^{-x} \, dx = e^{-a}$. + + \li $\int_0^{+\infty} \sin(x) \, dx$ non esiste. + \end{example} + + \begin{note} + Si impiega la notazione $\int_a^b f(x) \, dx \approx \int_c^d g(x) \, dx$ per indicare che i due integrali hanno lo stesso comportamento. + \end{note} + + \begin{remark}\nl + \li Il comportamento di $\int_a^b f(x) \, dx$, se $a \in \RR$, non dipende + dalla scelta di $a$. \\ + + \li Sia $f: [a, +\infty) \to \RR$ con limite $L \neq 0 \in \RRbar$ a $+\infty$. + Allora: + + \[ \int_a^{+\infty} f(x) \, dx = \system{+\infty & \se L > 0, \\ -\infty & \altrimenti.} \] \\ %TODO: dimostralo + + \li Se $f \geq 0$ in un intorno di $b$, allora $\int_a^b f(x) \, dx$ + esiste sempre e vale o $+\infty$ o un numero finito. %TODO: dimostralo + \end{remark} +\end{document} diff --git a/Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/2023-04-17, 19, Prodotti hermitiani e teorema spettrale/main.pdf b/Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/2023-04-17, 19, 26, Prodotti hermitiani e teorema spettrale/main.pdf similarity index 99% rename from Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/2023-04-17, 19, Prodotti hermitiani e teorema spettrale/main.pdf rename to Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/2023-04-17, 19, 26, Prodotti hermitiani e teorema spettrale/main.pdf index 55d02d9..c102668 100644 Binary files a/Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/2023-04-17, 19, Prodotti hermitiani e teorema spettrale/main.pdf and b/Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/2023-04-17, 19, 26, Prodotti hermitiani e teorema spettrale/main.pdf differ diff --git a/Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/2023-04-17, 19, Prodotti hermitiani e teorema spettrale/main.tex b/Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/2023-04-17, 19, 26, Prodotti hermitiani e teorema spettrale/main.tex similarity index 100% rename from Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/2023-04-17, 19, Prodotti hermitiani e teorema spettrale/main.tex rename to Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/2023-04-17, 19, 26, Prodotti hermitiani e teorema spettrale/main.tex diff --git a/Geometria 1/Spazi affini/2023-04-26, Azioni di un gruppo e introduzione agli spazi affini/main.pdf b/Geometria 1/Spazi affini/2023-04-26, Azioni di un gruppo e introduzione agli spazi affini/main.pdf index ca2d4a9..ecd7add 100644 Binary files a/Geometria 1/Spazi affini/2023-04-26, Azioni di un gruppo e introduzione agli spazi affini/main.pdf and b/Geometria 1/Spazi affini/2023-04-26, Azioni di un gruppo e introduzione agli spazi affini/main.pdf differ diff --git a/Geometria 1/Spazi affini/2023-04-26, Azioni di un gruppo e introduzione agli spazi affini/main.tex b/Geometria 1/Spazi affini/2023-04-26, Azioni di un gruppo e introduzione agli spazi affini/main.tex index d652343..9623590 100644 --- a/Geometria 1/Spazi affini/2023-04-26, Azioni di un gruppo e introduzione agli spazi affini/main.tex +++ b/Geometria 1/Spazi affini/2023-04-26, Azioni di un gruppo e introduzione agli spazi affini/main.tex @@ -76,7 +76,7 @@ \begin{definition} [orbita di $x$] Sia $\sim_G$ la relazione d'equivalenza tale che $x \sim_G y \defiff \exists g \in G \mid g \cdot x = y$. Allora le classi di equivalenza si dicono \textbf{orbite}, ed in particolare si indica l'orbita a cui - appartiene un dato $x \in X$ come $\Orb(x) = O_x$, ed è detta \textit{orbita di} $x$. + appartiene un dato $x \in X$ come $\Orb_G(x) = O_x$ (o come $\Orb(x)$, quando $G$ è noto), ed è detta \textit{orbita di} $x$. \end{definition} \begin{example} Si possono individuare facilmente alcune orbite per alcune azioni classiche. @@ -97,56 +97,76 @@ \begin{definition} [stabilizzatore di $x$] Lo \textbf{stabilizzatore} di un punto $x \in X$ è l'insieme degli elementi di $G$ che - agiscono su $x$ lasciandolo invariato, ossia lo stabilizzatore $\Stab_G(X)$ è il sottogruppo + agiscono su $x$ lasciandolo invariato, ossia lo stabilizzatore $\Stab_G(x)$ (scritto semplicemente come $\Stab(x)$ se $G$ è noto) è il sottogruppo di $G$ tale che: \[ \Stab_G(X) = \{g \in G \mid g \cdot x = x \}. \] \end{definition} \begin{example} - Sia $H \subseteq G$ e sia $X = G/H$. $X$ è un $G$-insieme - tramite l'azione $g'.(gH) = g'gH$. Vale in particolare - che $\Stab_G(eH) = H$. + Sia $H \subseteq G$ un sottogruppo di $G$ e sia $X = G/H$. Allora $X$ è un $G$-insieme tramite l'azione $g' \cdot (gH) = g'gH$. In particolare + vale che $\Stab(gH) = gH$, e quindi che $\Stab(eH) = H$. \end{example} - \begin{proposition} - Sia $X$ un $G$-insieme. Sia $x \in X$. $H = \Stab_G(x)$ e sia - $O_x$ l'orbita di $x$. Allora esiste un'applicazione bigettiva - naturale $G/H \to O_x$. - \end{proposition} + \begin{theorem} [di orbita-stabilizzatore] + Sia $X$ un $G$-insieme e sia $x \in X$. Allora esiste un'applicazione + bigettiva da $G/\Stab(x)$ a $\Orb(x)$. + \end{theorem} \begin{proof} - Sia $\varphi$ tale che $\varphi(gH) = g.x$. Si mostra che - $\varphi$ è ben definita: $g' = gh$, $\varphi(g'H) = (gh).x = - g.(h.x) = g.x$. Chiaramente $\varphi$ è anche surgettiva. - Inoltre, $g.x = g'.x \implies x = (g\inv g').x \implies g\inv g' = h \in H \implies gH = g'H$, e pertanto $\varphi$ è iniettiva. - Allora $\varphi$ è bigettiva. + Sia $\tau$ l'applicazione da $G/\Stab(x)$ a $\Orb(x)$ tale + che $\tau(g\Stab(x)) = g \cdot x$. Si dimostra innanzitutto che $\tau$ è + ben definita. Sia infatti $g' = g s \in G$, con $g \in G$ e $s \in \Stab(x)$, allora $\tau(g' \Stab(x)) = g' \cdot x = g \cdot (s \cdot x) = g \cdot x = \tau(g \Stab(x))$, per cui $\tau$ è ben definita. \\ + + Chiaramente $\tau$ è surgettiva: sia infatti $y \in \Orb(x)$, allora + $\exists g \in G \mid g \cdot x = y \implies \tau(g \Stab(x)) = g \cdot x = y$. Siano ora $g$, $g' \in G$ tali che $\tau(g \Stab(x)) = \tau(g' \Stab(x))$, allora $g \cdot x = g' \cdot x \implies (g' g\inv) \cdot x = x \implies g' g\inv \in \Stab(x)$. Pertanto $g \Stab(x) = g' \Stab(x)$, e $\tau$ è allora iniettiva, da cui la tesi. \end{proof} + \begin{remark} Come conseguenza del teorema di orbita-stabilizzatore, + si osserva che $\abs{G/\Stab(x)} = \abs{\Orb(x)}$, se $\Orb(x)$ è + finito, e quindi si conclude, per il teorema di Lagrange, che + $\abs{G} = \abs{\Stab(x)} \abs{\Orb(x)}$. + \end{remark} + \begin{definition} - Si dice che $G$ opera \textit{liberamente} su $X$ se - $\forall x \in X$, l'applicazione $G \to O_x$ tale che - $g \mapsto g.x$, ossia se $\Stab_G(x) = \{e\}$: + Si dice che $G$ \textbf{opera liberamente} su $X$ se + $\forall x \in X$, l'applicazione da $G$ in $\Orb(x)$ tale che + $g \mapsto g \cdot x$ è iniettiva, ossia se $\Stab(x) = \{e\}$. \end{definition} \begin{definition} - $G$ opera \textit{transitivamente} su $X$ se $x \sim_G y$ $\forall x$, $y \in X$, cioè se c'è un'unica orbita, che coincide con $X$. In + Si dice che $G$ \textbf{opera transitivamente} su $X$ se $x \sim_G y$ $\forall x$, $y \in X$, cioè se c'è un'unica orbita, che coincide con $X$. In tal caso si dice che $X$ è \textbf{omogeneo} per l'azione di $G$. \end{definition} - \begin{example} + \begin{example} Si possono fare alcuni esempi classici di insiemi $X$ + omogenei per la propria azione. \begin{enumerate}[(i)] - \item $O_n$ opera su $S^{n-1} \subseteq \RR^n$ transitivamente. - %TODO: aggiunge che lo stabilizzatore è isomorfo alle ortogonali - %TODO: di dimensioni n-1 + \item $O_n$ opera sulla sfera $n$-dimensione di $\RR^n$ transitivamente. In particolare, si può trovare un'analogia per lo stabilizzatore di una coordinata di un vettore $\v$ di $\RR^n$. + Per esempio, se si vuole fissare il vettore $\e n$, + $\forall O \in \Stab(\e n)$ deve valere che $O \e n = \e n$, + ossia l'ultima colonna di $O$ deve essere esattamente + $\e n$. Dal momento però che $O$ è ortogonale, le sue + colonne devono formare una base ortonormale di $\RR^n$, + e quindi tutta l'ultima riga di $O$, eccetto per il suo + ultimo elemento, deve essere nulla. Allora $O$ deve + essere della seguente forma: + + \[ O = \Matrix{A & \rvline & 0 \\ \hline 0 & \rvline & 1}, \] + + \vskip 0.05in + + dove $A \in M(n-1, \RR)$. Affinché allora $O$ sia ortogonale, + anche $A$ deve esserlo. Pertanto vi è una bigezione tra + $\Stab(\e n)$ e $O_{n-1}$. - \item $\Gr_k(\RR^n) = \{ W \subseteq \RR^n \mid \dim W = k \}$ (Grassmanniana). $O_n$ opera transitivamente su $\Gr_K(\RR^n)$. + \item Sia $\Gr_k(\RR^n) = \{ W \subseteq \RR^n \mid \dim W = k \}$, detto la Grassmanniana di $\RR^n$ di ordine $k$. $O_n$ opera transitivamente su $\Gr_K(\RR^n)$. \end{enumerate} \end{example} \begin{definition} - $G$ opera in maniera \textit{semplicemente transitiva} su $X$ - se $\exists x \in X$ tale che $g \mapsto g.x$ è una bigezione, + Si dice che $G$ \textbf{opera in maniera semplicemente transitiva} su $X$ + se $\exists x \in X$ tale che l'applicazione da $G$ in $X$ $g \mapsto g \cdot x$ è una bigezione, ossia se $G$ opera transitivamente e liberamente. \end{definition}