fix(eps): aggiorna notazioni

Secondo anno/Elementi di probabilità e statistica/sections/0-notazioni.tex

@@ -231,10 +231,41 @@
         regressione $y = a^*x + b^*$.
         \item $I(t)$ -- trasformata di Cramer.
         \item LGN - Legge dei Grandi Numeri.
-        \item TCL, TLC - Teorema Centrale del Limite.
+        \item TCL, TLC - Teorema Centrale del Limite (o Teorema del Limite Centrale).
+        \item $\overline{X}$, $\overline{X_n}$ -- media delle v.a.~$X_1$, ..., $X_n$, ovverosia $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$.
         \item $m$, $\sigma$ -- spesso nel contesto
         della LGN e del TCL si usa $m$ per
         indicare $\EE[X_1]$ e $\sigma$ per
         indicare $\sigma(X_1)$.
+        \item $Z$, $Z_1$ -- normale standard $N(0, 1)$-
+        \item $Z_\sigma$ -- normale $N(0, \sigma^2)$.
+    \end{itemize}
+
+    \section*{Statistica inferenziale}
+    \addcontentsline{toc}{section}{Statistica inferenziale}
+
+    \begin{itemize}
+        \item $x_1$, ..., $x_n$ -- dati statistici.
+        \item $\overline{x}$, $\overline{x_n}$ -- media campionaria dei dati $x_1$, ..., $x_n$, ovverosia $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i$.
+        \item $\overline{X}$, $\overline{X_n}$ -- media campionaria delle v.a.~$X_1$, ..., $X_n$, ovverosia $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$.
+        \item $m_x$ -- mediana campionaria sui dati $x_1$, ..., $x_n$, ovverosia $x_{\nicefrac{n+1}{2}}$ se $n$ è dispari, oppure
+        $\nicefrac{\left(x_{\nicefrac{n}{2}} + x_{\nicefrac{(n+2)}{2}}\right)}{2}$ se $n$ è pari.
+        \item $s^2$, $s^2_x$, $\sigma_x^2$ -- varianza campionaria \textit{corretta}, ovverosia $\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2$; da
+        non confondersi con l'usuale varianza, che è invece $\frac{n-1}{n} s^2$.
+        \item $S^2$ -- varianza campionaria \textit{corretta} nelle v.a. $X_i$, ovverosia $\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$.
+        \item $r$ -- coefficiente di correlazione campionaria, ovverosia $\frac{\sum_{i=1}^n \left(x_i - \overline{x}\right)\left(y_i - \overline{y}\right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^n \left(x_i - \overline{x}\right)^2 \cdot \sum_{i=1}^n \left(y_i - \overline{y}\right)^2}}$.
+        \item $(S, \cS)$ -- spazio misurabile relativa alla statistica di studio.
+        \item $\Theta$ -- insieme dei possibili parametri per la distribuzione di probabilità sui dati $x_1$, ..., $x_n$.
+        \item $Q_\theta$ -- probabilità ottenuta utilizzando il parametro $\theta \in \Theta$.
+        \item $(S, \cS, (Q_\theta)_{\theta \in \Theta})$ -- modello statistico (parametrico).
+        \item $\EE^\theta$ -- valore atteso relativo a $Q_\theta$.
+        \item $\Var^\theta$ -- varianza relativa a $Q_\theta$.
+        \item $R_\sigma(U)$ -- rischio quadratico dello stimatore $U$ di $h : \Theta \to \RR$ relativamente a $Q_\theta$, ovverosia $\EE[(U - h(\theta))^2]$. Pari a
+        a $\Var^\theta(U)$ se $U$ è uno stimatore corretto.
+        \item $m_\theta$ -- se $Q_\theta$ è discreta, densità discreta $q_\theta$ (o $p_\theta$); se $Q_\theta$ è assolutamente continua,
+        funzione di densità $f_\theta$.
+        \item $L$, $L_\theta$, $L_\theta(x_1, \ldots, x_n)$ -- funzione di verosomiglianza, ovverosia $L : \Theta \times \RR^n$ che
+        associa $(\theta, (x_i))$ a $L_\theta(x_1, \ldots, x_n) = \prod_i m_\theta(x_i)$.
+        \item $L_U$, $L_U(X_1, \ldots, X_n)$ -- si intende $L_{U(\omega)}(X_1(\omega), \ldots, X_n(\omega))$, per un dato $\omega \in S$.
     \end{itemize}
 \end{multicols*}

Secondo anno/Elementi di probabilità e statistica/sections/4-statistica.tex

@@ -97,7 +97,7 @@ di ricavare la distribuzione di probabilità dei dati $x_1$, ..., $x_n$.
     Denotiamo con $\Theta$ l'insieme dei possibili parametri $\theta$ per la distribuzione
     di probabilità sui dati $x_1$, ..., $x_n$. \smallskip
 
-    Denotiamo con $Q_\theta$ la probabilità che si otterrebbe utilizzando il parametro $\sigma$
+    Denotiamo con $Q_\theta$ la probabilità che si otterrebbe utilizzando il parametro $\theta$
     nel modello di probabilità noto a meno di parametro.
 \end{notation}
 
@@ -123,44 +123,44 @@ statistico $(S, \cS, (Q_\theta)_{\theta \in \Theta})$.
 \begin{definition}[Campione i.i.d.~di taglia $n$]
     Dato un modello statistico, si dice
     che una famiglia di v.a.~$(X_i : \Omega \to S)_{i \in [n]}$ i.i.d.~è un \textbf{campione i.i.d.~di taglia $n$}
-    se per ogni $\sigma \in \Sigma$ esiste uno spazio di probabilità $(\Omega, \FF, P_\sigma)$ tale per cui
-    $(P_\sigma)^{X_i}$ è uguale in legge a $Q_\theta$.
+    se per ogni $\theta \in \Theta$ esiste uno spazio di probabilità $(\Omega, \FF, P_\theta)$ tale per cui
+    $(P_\theta)^{X_i}$ è uguale in legge a $Q_\theta$.
 \end{definition}
 
-Dato un campione di taglia $n$, useremo $P_\sigma$ per riferirci alla misura di probabilità
+Dato un campione di taglia $n$, useremo $P_\theta$ per riferirci alla misura di probabilità
 su $(\Omega, \FF)$ appena descritta. Scriveremo
-come apice $\sigma$ per indicare di star lavorando nello spazio
-di probabilità $(\Omega, \FF, P_\theta)$ (e.g.~$\EE^\sigma$ è riferito
+come apice $\theta$ per indicare di star lavorando nello spazio
+di probabilità $(\Omega, \FF, P_\theta)$ (e.g.~$\EE^\theta$ è riferito
 a $P_\theta$).
 
 \begin{definition}[Statistica e stimatore]
     Dato un campione i.i.d.~$(X_i)_{i \in [n]}$, si dice \textbf{statistica}
-    una v.a.~dipendente dalle v.a.~$X_i$ ed eventualmente dal parametro $\sigma$.
-    Si dice \textbf{stimatore} una statistica non dipendente direttamente da $\sigma$.
+    una v.a.~dipendente dalle v.a.~$X_i$ ed eventualmente dal parametro $\theta$.
+    Si dice \textbf{stimatore} una statistica non dipendente direttamente da $\theta$.
 \end{definition}
 
 \subsection{Correttezza di uno stimatore}
 
 \begin{definition}[Stimatore corretto]
     Si dice che uno stimatore $U$ è \textbf{corretto} (o \textit{non distorto}) rispetto
-    a $h : \Sigma \to \RR$ se per ogni $\sigma \in \Sigma$ vale che:
+    a $h : \Theta \to \RR$ se per ogni $\theta \in \Theta$ vale che:
     \begin{enumerate}[(i.)]
-        \item $U$ è $P_\sigma$-integrabile (i.e.~ammette valore atteso),
-        \item $\EE^\sigma[U] = h(\sigma)$.
+        \item $U$ è $P_\theta$-integrabile (i.e.~ammette valore atteso),
+        \item $\EE^\theta[U] = h(\theta)$.
     \end{enumerate}
 \end{definition}
 
 \begin{remark}
-    La media campionaria è uno stimatore corretto del valore atteso ($h : \sigma \mapsto \EE^\sigma[X_1]$). Infatti:
+    La media campionaria è uno stimatore corretto del valore atteso ($h : \theta \mapsto \EE^\theta[X_1]$). Infatti:
     \[
-        \EE^\sigma\!\left[\overline{X}\right] = \EE^\sigma[X_1].
+        \EE^\theta\!\left[\overline{X}\right] = \EE^\theta[X_1].
     \]
 \end{remark}
 
 \begin{remark}
-    La varianza campionaria è uno stimatore corretto della varianza ($h : \sigma \mapsto \Var^\sigma(X_1)$). Infatti:
+    La varianza campionaria è uno stimatore corretto della varianza ($h : \theta \mapsto \Var^\theta(X_1)$). Infatti:
     \[
-        \EE^\sigma[S^2] = \frac{1}{n-1} \left( n \EE^\sigma[X_1^2] - \EE^\sigma[X_1^2] - (n-1) \EE^\sigma[X_1]^2 \right) = \Var^\sigma(X_1).
+        \EE^\theta[S^2] = \frac{1}{n-1} \left( n \EE^\theta[X_1^2] - \EE^\theta[X_1^2] - (n-1) \EE^\theta[X_1]^2 \right) = \Var^\theta(X_1).
     \]
     Si verifica analogamente che il coeff.~di correlazione campionario è uno stimatore corretto del
     coeff.~di correlazione tra $X_i$ e $X_j$.
@@ -169,21 +169,21 @@ a $P_\theta$).
 \subsection{Consistenza e non distorsione di una successione di stimatori}
 
 \begin{definition}[Successione non distorta di stimatori]
-    Una successione di stimatori $(U_k)_{k \in \NN^+}$ di $h(\sigma)$ si dice
-    \textbf{asintoticamente non distorta} se $U_k$ è $P_\sigma$-integrabile
+    Una successione di stimatori $(U_k)_{k \in \NN^+}$ di $h(\theta)$ si dice
+    \textbf{asintoticamente non distorta} se $U_k$ è $P_\theta$-integrabile
     (i.e.~ammette valore atteso) e:
     \[
-        \lim_{k \to \infty} \EE^\sigma[U_k] = h(\sigma).
+        \lim_{k \to \infty} \EE^\theta[U_k] = h(\theta).
     \]
 \end{definition}
 
 \begin{definition}[Successione consistente di stimatori]
-    Una successione di stimatori $(U_k)_{k \in \NN^+}$ di $h(\sigma)$ si dice
+    Una successione di stimatori $(U_k)_{k \in \NN^+}$ di $h(\theta)$ si dice
     \textbf{consistente} se:
     \[
-        \lim_{k \to \infty} P_\sigma(\abs{U_k - h(\sigma)} > \eps) = 0, \quad \forall \eps > 0,
+        \lim_{k \to \infty} P_\theta(\abs{U_k - h(\theta)} > \eps) = 0, \quad \forall \eps > 0,
     \]
-    ovverosia se $U_k$ converge in $P_\sigma$-probabilità a $h(\sigma)$.
+    ovverosia se $U_k$ converge in $P_\theta$-probabilità a $h(\theta)$.
 \end{definition}
 
 \begin{remark}
@@ -197,26 +197,47 @@ a $P_\theta$).
     varianza, consistente, sempre per la LGN.
 \end{remark}
 
+\subsection{Rischio quadratico e preferibilità}
+
+\begin{definition}[Rischio quadratico di uno stimatore]
+    Dato uno stimatore $U$ di $h : \Theta \to \RR$, si definisce
+    \textbf{rischio quadratico} di $U$ per $\theta$ il seguente valore:
+    \[
+        R_\theta(U) = \EE[(U - h(\theta))^2].
+    \]
+\end{definition}
+
+\begin{remark}
+    Se $U$ è uno stimatore corretto di $h$, allora
+    $R_\theta(U) = \Var^\theta(U)$.
+\end{remark}
+
+\begin{definition}[Preferibilità]
+    Dati due stimatori $U$, $V$ di $h : \Theta \to \RR$, si dice
+    che $U$ è \textbf{preferibile} rispetto a $V$ se
+    $R_\theta(U) \leq R_\theta(V)$ per ogni $\theta \in \Theta$.
+\end{definition}
+
 \subsection{Stimatore di massima verosomiglianza}
 
 D'ora in avanti sottintenderemo di star lavorando sullo
 spazio misurabile $(\RR, \BB(\RR))$.
 
 \begin{notation}
-    Data la famiglia di probabilità $(Q_\sigma)_{\sigma \in \Sigma})$, usiamo
-    scrivere $m_\sigma$ per riferirci alla densità discreta $q_\sigma$ (o $p_\sigma$)
-    di $Q_\sigma$, qualora sia discreta, oppure alla sua funzione di densità
-    $f_\sigma$, qualora $Q_\sigma$ sia assolutamente continua.
+    Data la famiglia di probabilità $(Q_\theta)_{\theta \in \Theta})$, usiamo
+    scrivere $m_\theta$ per riferirci alla densità discreta $q_\theta$ (o $p_\theta$)
+    di $Q_\theta$, qualora sia discreta, oppure alla sua funzione di densità
+    $f_\theta$, qualora $Q_\theta$ sia assolutamente continua.
 \end{notation}
 
 \begin{definition}[Funzione di verosomiglianza]
     Dato un campione $(X_i)_{i \in [n]}$ i.i.d.~, si definisce
-    \textbf{funzione di verosomiglianza} la funzione $L : \Sigma \times \RR^n$
+    \textbf{funzione di verosomiglianza} la funzione $L : \Theta \times \RR^n$
     tale per cui:
     \[
-        (\sigma, (x_i)_{i \in [n]}) \xmapsto{L} L_\sigma(x_1, \ldots, x_n) \defeq m_\sigma(x_1) \cdots m_\sigma(x_n).
+        (\theta, (x_i)_{i \in [n]}) \xmapsto{L} L_\theta(x_1, \ldots, x_n) \defeq m_\theta(x_1) \cdots m_\theta(x_n).
     \]
-    Equivalentemente, $L_\sigma(x_1, \ldots, x_n)$ rappresenta la densità congiunta su $Q_\sigma$
+    Equivalentemente, $L_\theta(x_1, \ldots, x_n)$ rappresenta la densità congiunta su $Q_\theta$
     di $x_1$, ..., $x_n$.
 \end{definition}
 
@@ -224,11 +245,11 @@ spazio misurabile $(\RR, \BB(\RR))$.
     Scriveremo $L_U(X_1, \ldots, X_n)$ con $U$ v.a. e
     $(X_i)_{i \in [n]}$ famiglia di v.a.~reali sottintendendo
     l'insieme $L_{U(\omega)}(X_1(\omega), \ldots, X_n(\omega))$,
-    assumendo $U(\omega) \in \Sigma$.
+    assumendo $U(\omega) \in \Theta$.
 \end{notation}
 
-\begin{definition}[Stimatore di massima verosomiglianza di $\sigma$]
-    Si dice che uno stimatore $U$ è di \textbf{massima verosomiglianza di $\sigma$}
+\begin{definition}[Stimatore di massima verosomiglianza di $\theta$]
+    Si dice che uno stimatore $U$ è di \textbf{massima verosomiglianza di $\theta$}
     su un campione i.i.d.~$(X_i)_{i \in [n]}$ se:
     \[
         L_U(X_1, \ldots, X_n) = \sup_{\theta \in \Theta} L_\theta(X_1, \ldots, X_n), \quad \forall \omega \in S.
@@ -252,7 +273,7 @@ spazio misurabile $(\RR, \BB(\RR))$.
     Tale funzione ha massimo per $\theta = \overline{x}$, e dunque
     $\overline{X}$ è uno stimatore di massima verosomiglianza di $\theta$. \smallskip
 
-    In altre parole, la migliore stima di $\sigma$ data una sequenza di $n$ prove di Bernoulli è
+    In altre parole, la migliore stima di $\theta$ data una sequenza di $n$ prove di Bernoulli è
     la frequenza relativa di successi.
 \end{example}