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@ -409,14 +409,14 @@
$a_1$, ..., $a_n$ sono le radici di $p$,
$\Gal(L / K)$ agisce su $\{a_1, \ldots, a_n\}$
mediante $\Xi$, in modo tale che:
\vskip -0.3in
\begin{equation*}
\begin{split}
\Xi : \Gal(&L / K) \to S(\{a_1, \ldots, a_n\}) \cong S_n, \\
&\varphi_i \xmapsto{\Xi} [a_j \mapsto \varphi_i(a_j)].
\end{split}
\end{equation*}
\vskip -0.2in
In particolare tale azione è transitiva (dunque $\Orb(a_i) = \{a_j\}_{j=1-n}$)e fedele. Poiché $\Xi$ è fedele, vale che
$\Gal(L / K) \mono S_n$. Se $\Gal(L / K)$ è abeliano
(e in tal caso si dice che $L$ è un'\textbf{estensione abeliana}), $\Xi$ è anche transitiva, e quindi
@ -638,6 +638,32 @@
\end{cases} \]
\subsection{Radici di primi in $\QQ$}
Siano $p_1$, ..., $p_n$ numeri primi distinti.
Allora
vale che:
\[ \Gal(\QQ(\sqrt{p_1}, \ldots, \sqrt{p_n})/\QQ) \cong (\ZZmod{2})^n. \]
\subsection{I polinomi ciclotomici $\Phi_n(x)$}
Sia $\Phi_n(x)$ l'$n$-esimo polinomio ciclotomico, così definito:
\[ \Phi_n(x) = \prod_{\substack{1 \leq d \leq n \\ \MCD(d, n) = 1}} (x - \zeta_n^d), \]
dove $\zeta_n$ è una radice primitiva $n$-esima dell'unità. \medskip
Tale polinomio è sempre a coefficienti interi ed è inoltre primitivo
su $\ZZ[x]$. Vale inoltre che:
\[ x^n - 1 = \prod_{m \mid n} \Phi_m(x). \]
Il campo di spezzamento di $\Phi_n(x)$ su $\QQ$ è
$\QQ(\zeta_n)$, che è un'estensione normale, separabile e finita,
e pertanto di Galois. \medskip
Inoltre vale che:
\[ \Gal(\QQ(\zeta_n)/\QQ) \cong (\ZZmod{n})^\times, \]
e dunque $\Phi_n(x)$ è sempre irriducibile su $\QQ$.
\vfill
\hrule
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@ -157,9 +157,15 @@
\item $P$ -- misura di probabilità su uno spazio misurabile.
\item $(\Omega, \FF, P)$ -- spazio di probabilità.
\item \qc -- quasi certo/quasi certamente.
\item $p$ -- per $\Omega$ discreto, funzione di densità discreta.
\item $p$ -- per $\Omega$ discreto, funzione di densità discreta; per una probabilità discreta $P$, la densità discreta della probabilità
ristretta all'insieme $\Omega_0$ su cui è concentrata $P$ o, con abuso di notazione, la mappa $x \mapsto P(\{x\})$ (che coincide
sui termini di $\Omega_0$ con $p$ e che è $0$ negli altri punti).
\item $\delta_a$ -- delta di Dirac; dato uno spazio misurabile $(\Omega, \FF)$ e $a \in \Omega$, probabilità tale per cui
$\delta_a(A) = 1$ se $a \in A$ e $0$ altrimenti (tale probabilità è concentrata in $\{a\}$ ed è dunque
discreta).
\item f.d.r.~-- funzione di ripartizione, rispetto a una probabilità reale.
\item $F$, $F_P$ -- per una probabilità reale, funzione di ripartizione.
\item AC -- assolutamente continua, riferito a una probabilità.
\item \va -- variabile aleatoria.
\item $P^X$ -- legge della v.a.~$X$ rispetto a $P$.
\item $p_X$ -- densità della legge della v.a.~$X$, rispetto a $P$.

@ -64,6 +64,7 @@ in modo naturale la $\sigma$-algebra $\PP(\Omega)$.
\end{proposition}
\subsection{Misure di probabilità discrete su spazi campionari non discreti e discretizzazione}
\label{sec:discretizzazione}
\begin{definition}[Probabilità discreta su spazio campionario non discreto]
Dato $(\Omega, \FF, P)$ spazio di probabilità con $\{\omega\} \in \FF$ per
@ -103,6 +104,17 @@ in modo naturale la $\sigma$-algebra $\PP(\Omega)$.
$P$ al suo range $R_P$.
\end{remark}
\begin{remark}
\label{remark:identità_discreta_dirac}
Se $P$ è una probabilità discreta e, per $a \in \Omega$, $\delta_a$ è il \textbf{delta di Dirac}, ovverosia
la probabilità per cui $\delta_a(A) = 1$ se $a \in A$ e $\delta_a(A) = 0$ se $a \notin A$, allora vale
la seguente identità:
\[
P = \sum_{\omega \in R_P} p(\omega) \, \delta_{\omega},
\]
dove si osserva che $R_P$ è numerabile (dacché $P$ è discreta).
\end{remark}
\section{Variabili aleatorie discrete}
\subsection{Definizione di v.a.~discreta e composizione}

@ -175,7 +175,8 @@ piccola di $\PP(\RR)$, la $\sigma$-algebra dei boreliani, che ci permette di esc
\begin{theorem}[Esistenza e unicità della misura di Lebesgue]
Esiste ed è unica la misura $m$ su $(\RR, \BB(\RR))$ tale per cui
$m([a, b]) = b-a$ per ogni $a$, $b \in \RR$ con $b > a$. Tale misura
è detta \textbf{misura di Lebesgue}. \smallskip
è detta \textbf{misura di Lebesgue} e corrisponde al concetto ``primitivo'' di
\textit{lunghezza}. \smallskip
L'unicità segue dall'enunciato generale del lemma di Dynkin.
@ -283,4 +284,70 @@ piccola di $\PP(\RR)$, la $\sigma$-algebra dei boreliani, che ci permette di esc
a $F(b) - F(a)$ in tutti i casi (infatti $F(a^-) = F(a)$ e $F(b^-) = F(b)$).
\end{remark}
\section{Classi di probabilità reale: discreta e assolutamente continua (AC)}
Esistono due classi importanti, ma non esaustive, di probabilità reale: le
probabilità discrete e quelle continue, contenenti quelle assolutamente
continue. Le classi di probabilità reali
si dividono dunque secondo il seguente schema:
\begin{center}
\tikzset{every picture/.style={line width=0.75pt}} %set default line width to 0.75pt
\begin{tikzpicture}[x=0.75pt,y=0.75pt,yscale=-1,xscale=1,scale=0.8]
%uncomment if require: \path (0,300); %set diagram left start at 0, and has height of 300
%Shape: Rectangle [id:dp7885262489349896]
\draw (220.19,65.28) -- (466.19,65.28) -- (466.19,196.28) -- (220.19,196.28) -- cycle ;
%Shape: Ellipse [id:dp8572353674963273]
\draw (229.69,95.79) .. controls (236.04,78.39) and (264.48,72.78) .. (293.2,83.27) .. controls (321.92,93.76) and (340.05,116.37) .. (333.7,133.77) .. controls (327.34,151.17) and (298.91,156.78) .. (270.19,146.29) .. controls (241.47,135.8) and (223.33,113.19) .. (229.69,95.79) -- cycle ;
%Shape: Ellipse [id:dp3583963732297444]
\draw (342.58,156.41) .. controls (332.85,131.07) and (350.75,100.63) .. (382.58,88.41) .. controls (414.4,76.19) and (448.08,86.82) .. (457.81,112.15) .. controls (467.54,137.48) and (449.63,167.93) .. (417.81,180.15) .. controls (385.99,192.37) and (352.31,181.74) .. (342.58,156.41) -- cycle ;
%Shape: Ellipse [id:dp5413476700533957]
\draw (393.91,107.98) .. controls (397.1,99.22) and (408.98,95.52) .. (420.44,99.7) .. controls (431.9,103.89) and (438.6,114.38) .. (435.4,123.13) .. controls (432.21,131.89) and (420.33,135.59) .. (408.87,131.41) .. controls (397.41,127.22) and (390.71,116.73) .. (393.91,107.98) -- cycle ;
% Text Node
\draw (252,103) node [anchor=north west][inner sep=0.75pt] [align=left] {discrete};
% Text Node
\draw (358,145) node [anchor=north west][inner sep=0.75pt] [align=left] {continue};
% Text Node
\draw (403,105) node [anchor=north west][inner sep=0.75pt] [align=left] {AC};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\subsection{Probabilità discreta e f.d.r.}
Come già discusso nella sezione della \textit{\hyperref[sec:discretizzazione]{Discretizzazione}},
una probabilità reale $P$ si dice \textit{discreta} se esiste $\Omega_0 \subseteq \RR$
discreto per cui $P$ è concentrata su $\Omega_0$. In tal caso, come già visto,
$P(A) = P(A \cap \Omega_0)$ per ogni $A \in \BB(\RR)$, e dunque $P$ è univocamente determinata
dalla densità discreta di $\restr{P}{\PP(\Omega_0)}$, che chiameremo $p$. \smallskip
In questo caso il range $R_P$ è dunque numerabile e, se $F$ è la f.d.r.~di $P$, vale che:
\[
F(x) = P((-\infty, x]) = \sum_{\substack{y \in R_P \\ y \leq x}} p(y).
\]
\begin{remark}
Se $P$ è discreta, come già osservato nella sezione della \textit{\hyperref[remark:identità_discreta_dirac]{Discretizzazione}},
allora vale che:
\[
P = \sum_{x \in R_P} p(x) \, \delta_x.
\]
\end{remark}
\begin{remark}
Se $R_P$ non ha punti di accumulazione, allora $F$ è costante a tratti con salti
negli $y \in R_P$ di ampiezza $p(y)$. \smallskip
Al contrario, presa una successione $(p_r)_{r \in \QQ}$ con $\sum_{r \in \QQ} p_r = 1$,
la probabilità $P = \sum_{r \in \QQ} p_r \, \delta_r$ è una probabilità discreta con
f.d.r.~non costante a tratti (infatti tutti i punti di $\QQ$ sono punti di accumulazione).
\end{remark}
Pertanto, se una probabilità reale è discreta, ci si può effettivamente restringere a tutti
i risultati della \textit{Parte 2}.
\end{multicols*}
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