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\chapter{Teoria delle curve}
\setlength{\parindent}{2pt}

\begin{multicols*}{2}
    Qualora non specificato, assumeremo l'utilizzo di funzioni di classe $C^\infty$. \smallskip

    Se $\vec{x} \in \RR^3$ e $f$ è una funzione relativa a una curva $\alpha$, ammettiamo l'abuso di notazione
    $f(\vec{x})$, intendendo $f(\alpha\inv(\vec{x}))$; per esempio useremo $\kappa(P)$ per intendere $\kappa(\alpha\inv(P))$.

    \section{Definizioni preliminari}

    \subsection{Curve, tracce e velocità}

    \begin{definition}[Curva parametrizzata]
        Una \textbf{curva parametrizzata} (o semplicemente \textit{curva})
        è una mappa $\alpha : I \subseteq \RR \to \RR^3$
        di classe $C^\infty$, dove $I$ è un intervallo.
    \end{definition}

    \begin{definition}[Traccia di una curva]
        Si dice \textbf{traccia} (o \textit{supporto}) di una curva
        parametrizzata $\alpha : I \to \RR^3$, la sua immagine $\alpha(I)$.
    \end{definition}

    \begin{definition}[Velocità di una curva]
        Si definisce la \textbf{velocità} di una curva parametrizzata
        $\alpha(t) = (x(t), y(t), z(t))$ come la curva indotta dalla derivata di $\alpha$:
        \[ \alpha'(t) = \lim_{h \to 0} \frac{\alpha(t + h) - \alpha(t)}{h} = (x'(t), y'(t), z'(t)). \]
    \end{definition}

    \subsection{Lunghezza e intuizione geometrica}

    \begin{definition}[Lunghezza di una curva]
        Si definisce la \textbf{lunghezza} $\ell(\alpha)$ di una curva
        $\alpha : I \to \RR^3$ come:
        \[
            \boxed{\ell(\alpha) \defeq \int_I \norm{\alpha'(t)} \dt.}
        \]
    \end{definition}

    \begin{remark}
        La definizione data per la lunghezza di una curva corrisponde alla nostra
        idea intuitiva di lunghezza tramite i seguenti due risultati:

        \begin{enumerate}
            \item \textbf{Validità sul segmento:} Su un segmento lineare $\alpha(t) = A + t(B-A)$ con $I = [0, 1]$,
                  $\ell(\alpha) = \norm{B-A}$.
            \item \textbf{Approssimazione poligonale:} La lunghezza $\ell(\alpha)$ è il limite delle lunghezze delle poligonali
                  inscritte nella curva. In termini teorici:

                  \begin{quote}
                      Sia dato $\eps > 0$. Allora esiste $\delta > 0$ tale per cui, per ogni partizione $\{t_i\}_{i=0}^n$
                      di $I$ di finezza inferiore a $\delta$ (i.e., $\max \abs{t_{i+1} - t_i} < \delta$), vale $\norm{S - \ell(\alpha)} < \eps$,
                      dove $S \defeq \sum_{i=0}^{n-1} \norm{\alpha(t_{i+1}) - \alpha(t_{i})}$.
                  \end{quote}
        \end{enumerate}
    \end{remark}

    \section{(Ri)parametrizzazioni, regolarità e parametrizzazioni p.l.a.}

    \subsection{Riparametrizzazione e prime proprietà}

    \begin{definition}[Riparametrizzazione di una curva]
        Data una curva $\alpha : I \to \RR^3$, una \textbf{riparametrizzazione $\beta$ di $\alpha$}
        è una curva $\beta : J \to \RR^3$ tale per cui esiste un diffeomorfismo liscio
        $h : I \to J$ con $\alpha = \beta \circ h$.
        \[\begin{tikzcd}
                I && {\RR^3} \\
                \\
                J
                \arrow["\alpha"', from=1-1, to=1-3]
                \arrow["h", from=1-1, to=3-1]
                \arrow["\beta", from=3-1, to=1-3]
            \end{tikzcd}\]
        Se $h' > 0$, si dice che $h$ mantiene l'orientazione di $\alpha$; se $h' < 0$,
        $h$ inverte l'orientazione.
    \end{definition}

    \begin{proposition}
        Se $\beta$ è una riparametrizzazione di $\alpha$, allora $\ell(\beta) = \ell(\alpha)$.
    \end{proposition}

    \subsection{Regolarità e coordinate date dalla lunghezza d'arco}

    \begin{definition}[Curva regolare]
        Si dice che una curva $\alpha : I \to \RR^3$ è \textbf{regolare} se
        $\alpha'(t) \neq 0$ per ogni $t \in I$.
    \end{definition}

    \begin{definition}[Curva parametrizzata a lunghezza d'arco]
        Si dice che una curva $\alpha : I \to \RR^3$ è \textbf{parametrizzata
            a lunghezza d'arco} (\textbf{p.l.a.}) se $\alpha'$ è un vettore
        unitario (i.e., $\norm{\alpha'} = 1$).
        In tal caso, $\ell\left(\restr{\alpha}{[a, b]}\right) = b-a$.
    \end{definition}

    \begin{proposition}[Riparametrizzazione a lunghezza d'arco]
        Se $\alpha : [a, b] \to \RR^3$ è una curva regolare, allora $\alpha$
        ammette una riparametrizzazione a lunghezza d'arco, ossia ammette
        una riparametrizzazione $\beta : J \to \RR^3$ tale per cui
        $\beta$ sia p.l.a.
    \end{proposition}

    \begin{proof}
        Poiché $\alpha$ è regolare, la funzione $s : I \to [0, \ell(\alpha)]$ tale per cui
        \[ s(t) = \int_{a}^t \norm{\alpha'(t)} \dt \]
        è un diffeomorfismo liscio. Quindi $\beta = \alpha \circ s\inv$ è una riparametrizzazione
        di $\alpha$, e vale:
        \[
            \beta'(s) = \frac{\alpha'(s\inv(s))}{s'(s\inv(s))} = \frac{\alpha'(s\inv(s))}{\norm{\alpha'(s\inv(s))}},
        \]
        che è un vettore unitario.
    \end{proof}

    \begin{remark}
        Tutte le riparametrizzazioni p.l.a.~di una curva regolare $\alpha$ sono ottenibili da una
        singola riparametrizzazione p.l.a.~$\beta$ come $\beta(\pm t + v)$, al variare di $v \in \RR$.
        In particolare, le riparametrizzazioni che mantengono l'orientazione sono quelle della forma
        $\beta(t + v)$, mentre quelle che la invertono sono della forma $\beta(-t + v)$. \medskip

        Se infatti $\gamma$ è una riparametrizzazione p.l.a.~di $\beta$ (e quindi di $\alpha$), deve valere
        $\beta = \gamma \circ f$ per $f$ diffeomorfismo. Quindi, per ogni tempo possibile di $\beta$, vale:
        \[ \beta'(s) = \gamma'(f(s)) f'(s). \]
        Dal momento che $\beta'(s)$ e $\gamma'(f(s))$ sono vettori unitari per ipotesi, $f'(s)$ può assumere
        solo $\pm 1$ come valore.
        Dacché il dominio di $f$ è connesso e $f'$ è liscia, $f'$ è costantemente $1$ o $-1$, e dunque
        $f(t)$ è della forma $\pm t + v$ con $v \in \RR$.
    \end{remark}

    \section{Curvatura, torsione e triedro di Frenet (caso p.l.a.)}

    In tutta questa sezione consideriamo una curva p.l.a. $\beta$. \smallskip

    Se implicito, tralasceremo $\beta$ nella notazione.

    \subsection{Versore tangente e curvatura di una curva}

    \begin{definition}[Versore tangente]
        Sia $\beta$ una curva p.l.a., allora si definisce il
        suo \textbf{versore tangente} $T_\beta$ come $\beta'$.
    \end{definition}

    \begin{definition}[Curvatura]
        Sia $\beta$ una curva p.l.a., allora si definisce la
        \textbf{curvatura} $\kappa_\beta(s)$ di $\beta$ al tempo $s$ come
        $\norm{\dot{T_\beta}(s)}$. \smallskip

        Laddove è chiaro dal contesto quale sia $\beta$, scriviamo solo $\kappa(s)$.
    \end{definition}

    \subsection{Curve di Frenet, versore normale e binormale}

    \begin{definition}[Curva di Frenet p.l.a.]
        Una curva p.l.a.~$\beta$ si dice \textbf{curva di Frenet} se
        ad ogni tempo $s$, la curvatura è positiva ($\kappa_\beta(s) > 0$).
    \end{definition}

    \begin{definition}[Versore normale]
        Se $\beta$ è una curva di Frenet, allora è ben definito
        a ogni tempo $s$ il \textbf{versore normale} $N_\beta(s)$ così
        definito:
        \[
            N_\beta(s) \defeq \frac{\dot{T_\beta}(s)}{\norm{\dot{T_\beta}(s)}}.
        \]
    \end{definition}

    \begin{definition}[Versore binormale]
        Se $\beta$ è una curva di Frenet, allora è ben definito
        a ogni tempo $s$ il \textbf{versore binormale} $B_\beta(s)$ così
        definito:
        \[
            B_\beta(s) \defeq T_\beta(s) \times N_\beta(s).
        \]
    \end{definition}

    \begin{remark}[Triedro di Frenet]
        Se $\beta$ è di Frenet, allora, dacché $\dot{T_\beta} \perp T_\beta$,
        $N_\beta$ e $T_\beta$ sono linearmente indipendenti. Dunque
        $\{T_\beta, N_\beta, B_\beta\}$ formano una base ortonormale a ogni tempo
        $s$. Tale base è detta \textbf{triedro di Frenet}.
    \end{remark}

    \subsection{Torsione ed equazioni di Frenet}

    Assumiamo in questa sottosezione di star lavorando con curve di Frenet p.l.a.

    \begin{proposition}[Prima equazione di Frenet]
        Sia $\beta$ una curva di Frenet p.l.a. Allora vale la seguente
        equazione:
        \begin{equation} \label{eq:frenet_1} \tag{F1}
            \boxed{\dot{T_\beta}(s) = \kappa_\beta(s) \cdot N_\beta(s).}
        \end{equation}
    \end{proposition}

    \begin{remark}
        Osserviamo che $\dot{N_\beta}$ è ortogonale in ogni tempo
        a $N_\beta$, e dunque $\dot{N_\beta}$ sarà contenuto in
        $\Span(T_\beta, B_\beta)$. \medskip

        Inoltre, derivando $N_\beta(s) \cdot T_\beta(s) = 0$, otteniamo:
        \[ \dot{N_\beta}(s) \cdot T_\beta(s) = -N_\beta(s) \cdot \dot{T_\beta}(s) = -\kappa_\beta(s). \]
    \end{remark}

    \begin{definition}[Torsione]
        Sia $\beta$ una curva di Frenet p.l.a. Allora definiamo la
        \textbf{torsione} $\tau_\beta(s)$ come il coefficiente di $\dot{N_\beta}(s)$ in
        $B_\beta(s)$, ovverosia:
        \[ \boxed{\tau_\beta(s) = \dot{N_\beta}(s) \cdot B_\beta(s).} \]
    \end{definition}

    \begin{proposition}[Seconda equazione di Frenet]
        Sia $\beta$ una curva di Frenet p.l.a. Allora vale la seguente
        equazione:
        \begin{equation} \label{eq:frenet_2} \tag{F2}
            \boxed{\dot{N_\beta}(s) = - \kappa_\beta(s) \, T_\beta(s) + \tau_\beta(s) \, B_\beta(s).}
        \end{equation}
    \end{proposition}

    \begin{proposition}[Terza equazione di Frenet]
        Sia $\beta$ una curva di Frenet p.l.a. Allora vale la seguente
        equazione:
        \begin{equation} \label{eq:frenet_3} \tag{F3}
            \boxed{\dot{B_\beta}(s) = -\tau_\beta(s) \, N_\beta(s),}
        \end{equation}
        e quindi $\boxed{\tau_\beta(s) = -\dot{B_\beta}(s) \cdot N_\beta(s)}$.
    \end{proposition}

    \begin{remark}
        Dal momento che $B_\beta = T_\beta \times N_\beta$, derivando
        $B_\beta$ otteniamo:
        \[ \dot{B_\beta} = \dot{T_\beta} \times N_\beta + T_\beta \times \dot{N_\beta}, \]
        dal quale, applicando le prime due equazioni di Frenet, ricaviamo \eqref{eq:frenet_3}.
    \end{remark}

    \begin{remark}
        In termini matriciali, le tre equazioni di Frenet possono scriversi
        in modo più compatto come:
        \[
            \begin{pmatrix}
                \dot{T} \\
                \dot{N} \\
                \dot{B}
            \end{pmatrix} =
            \begin{pmatrix}
                0       & \kappa & 0    \\
                -\kappa & 0      & \tau \\
                0       & -\tau  & 0
            \end{pmatrix} \cdot
            \begin{pmatrix}
                T \\
                N \\
                B
            \end{pmatrix}.
        \]
    \end{remark}

    \subsection{Compatibilità di curvatura, torsione e triedro tra le riparametrizzazioni p.l.a. di una stessa curva}

    \begin{proposition} \label{prop:compatibilità_riparametrizzazioni_pla}
        Sia $\gamma : J \to \RR^3$ una riparametrizzazione p.l.a.~di una curva p.l.a.~$\beta : I \to \RR^3$.
        Allora le curvature delle due curve coincidono nei
        punti delle tracce. \medskip

        In altre parole, se $f : J \to I$ è il diffeomorfismo per cui
        $\gamma = \beta \circ f$, allora:
        \[
            \kappa_\gamma(s) = \kappa_\beta(f(s)).
        \]
        Inoltre, se $\beta$ è di Frenet, anche $\gamma$ è di Frenet, e se $f$ preserva l'orientazione,
        allora i triedri di Frenet e la torsione coincidono nei punti delle tracce, ossia:
        \[
            T_\gamma(s) = T_\beta(f(s)), \quad N_\gamma(s) = N_\beta(f(s)),
        \]
        \[
            B_\gamma(s) = B_\beta(f(s)), \quad \tau_\gamma(s) = \tau_\beta(f(s)).
        \]
        Qualora $f$ non preservasse l'orientazione, le quantità sopracitate di $\gamma$
        coincidono con quelle di $\beta$ nei punti, ma sono cambiate di segno (eccetto per la normale
        $N_\gamma$, che invece ha stesso verso).
    \end{proposition}

    \section{Curvatura, torsione e triedro di Frenet (caso generale)}

    \subsection{Definizioni per passaggio al caso p.l.a.}

    \begin{definition}[Curva di Frenet]
        Sia $\alpha$ una curva regolare. Allora si dice che $\alpha$
        è una \textbf{curva di Frenet} se una sua qualsiasi
        riparametrizzazione p.l.a.~è di Frenet.
    \end{definition}

    \begin{remark}
        Per la Proposizione \ref{prop:compatibilità_riparametrizzazioni_pla},
        se $\alpha$ è di Frenet, allora \textit{ogni} sua riparametrizzazione
        p.l.a.~è di Frenet. \smallskip

        Possiamo estendere questa idea anche per definire il triedro di Frenet
        e la torsione.
    \end{remark}

    \begin{definition}[Versore tangente]
        Sia $\alpha$ una curva regolare. Allora si definisce
        il \textbf{versore tangente} di $\alpha$ al tempo $t$ come:
        \[
            T_\alpha(t) = T_\beta(f(s)),
        \]
        dove $\beta$ è una riparametrizzazione p.l.a.~di $\alpha$ con
        $\alpha = \beta \circ f$ e $f$ diffeomorfismo \textit{che preserva
            l'orientazione}.
    \end{definition}

    \begin{remark}
        Se $t$ è un tempo in cui $\alpha'(t) \neq 0$, allora, per
        continuità, esiste un intorno di $t$ in cui $\alpha$ è regolare (i.e.,
        $\alpha$ è localmente regolare in $t$). Questo ci permette di definire
        la curvatura come segue:
    \end{remark}

    \begin{definition}[Curvatura]
        Sia $\alpha$ una curva regolare al tempo $t$. Allora si definisce
        la \textbf{curvatura} al tempo $t$ come:
        \[
            \kappa_\alpha(t) = \kappa_\beta(f(s)),
        \]
        dove $\beta$ è una riparametrizzazione locale p.l.a.~di $\alpha$ con
        $\alpha = \beta \circ f$ e $f$ diffeomorfismo. \smallskip

        Qualora $\alpha$ \underline{non} fosse regolare in $t$
        (i.e., $\alpha'(t) = 0$), si pone $\kappa_\alpha(t) = 0$.
    \end{definition}

    \begin{proposition}
        Una curva $\alpha$ è regolare e di Frenet se e solo se
        $\kappa_\alpha(t) > 0$ per ogni $t$.
    \end{proposition}

    \begin{definition}[Versore normale]
        Sia $\alpha$ una curva di Frenet. Allora si definisce
        il \textbf{versore normale} di $\alpha$ al tempo $t$ come:
        \[
            N_\alpha(t) = N_\beta(f(s)),
        \]
        dove $\beta$ è una riparametrizzazione p.l.a.~di $\alpha$ con
        $\alpha = \beta \circ f$ e $f$ diffeomorfismo.
    \end{definition}

    \begin{definition}[Versore binormale]
        Sia $\alpha$ una curva di Frenet. Allora si definisce
        il \textbf{versore binormale} di $\alpha$ al tempo $t$ come:
        \[
            B_\alpha(t) = B_\beta(f(s)),
        \]
        dove $\beta$ è una riparametrizzazione p.l.a.~di $\alpha$ con
        $\alpha = \beta \circ f$ e $f$ diffeomorfismo \textit{che preserva
            l'orientazione}.
    \end{definition}

    \begin{definition}[Torsione]
        Sia $\alpha$ una curva di Frenet. Allora si definisce
        la \textbf{torsione} di $\alpha$ al tempo $t$ come:
        \[
            \tau_\alpha(t) = \tau_\beta(f(s)),
        \]
        dove $\beta$ è una riparametrizzazione p.l.a.~di $\alpha$ con
        $\alpha = \beta \circ f$ e $f$ diffeomorfismo \textit{che preserva
            l'orientazione}.
    \end{definition}

    \begin{proposition}
        Valgono le equazioni di Frenet (\ref{eq:frenet_1}, \ref{eq:frenet_2}, \ref{eq:frenet_3})
        anche nel caso generale.
    \end{proposition}

    \subsection{Formule per calcolare la curvatura, la torsione e il triedro di Frenet nel caso generale}

    \begin{remark}
        Se $\alpha$ è una curva regolare e $\alpha = \beta \circ f$, dove $\beta$ è una
        sua riparametrizzazione p.l.a. e $f$ è un diffeomorfismo, allora:
        \begin{equation} \label{eq:derivata_1_riparametrizzazione_pla}
            \alpha'(t) = \beta'(f(t)) f'(t) = T_\alpha(t) f'(t),
        \end{equation}
        da cui si ricava applicando $f'(t) = \norm{\alpha'(t)}$ la seguente proposizione:
    \end{remark}

    \begin{proposition}[Formula per il versore tangente]
        Sia $\alpha$ una curva regolare. Allora vale:
        \[
            \boxed{T_\alpha(t) = \frac{\alpha'(t)}{\norm{\alpha'(t)}},}
        \]
        ovverosia il versore tangente è dato dalla normalizzazione
        della derivata al tempo $t$.
    \end{proposition}

    \begin{remark}
        Derivando ulteriormente l'eq. \eqref{eq:derivata_1_riparametrizzazione_pla}, si ottiene:
        \begin{equation} \label{eq:derivata_2_riparametrizzazione_pla}
            \alpha''(t) = \dot{T_\alpha}(t) \norm{\alpha''(t)}^2 + T_\alpha(t) f''(t).
        \end{equation}
        Applicando $\alpha'(t) \times -$ all'eq. \eqref{eq:derivata_2_riparametrizzazione_pla} e
        sfruttando che $\alpha' \parallel T_\alpha$ si ricava:
        \begin{equation} \label{eq:derivata_2_riparametrizzazione_pla_B}
            \alpha'(t) \times \alpha''(t) = \norm{\alpha''(t)}^2 (\alpha'(t) \times \dot{T_\alpha}(t)),
        \end{equation}
        dalla quale, usando che $\alpha'(t) \perp \dot{T_\alpha}$, e prendendo le norme, si ottiene
        la seguente proposizione:
    \end{remark}

    \begin{proposition}[Formula per la curvatura]
        Sia $\alpha$ una curva regolare. Allora vale:
        \[
            \boxed{\kappa_\alpha(t) = \frac{\norm{\alpha'(t) \times \alpha''(t)}}{\norm{\alpha'(t)}^3}.}
        \]
    \end{proposition}

    \begin{remark}
        Assumendo che $\alpha$ sia di Frenet, applicando \eqref{eq:frenet_1}
        all'eq. \eqref{eq:derivata_2_riparametrizzazione_pla_B}, si ottiene:
        \[
            \alpha'(t) \times \alpha''(t) = \kappa_\alpha(t) \norm{\alpha''(t)}^3 (T_\alpha(t) \times N_\alpha(t)),
        \]
        dalla quale equazione, usando che $B_\alpha(t) = T_\alpha(t) \times N_\alpha(t)$, si ottengono subito
        la seguente proposizione:
    \end{remark}

    \begin{proposition}[Formula per il versore binormale]
        Sia $\alpha$ una curva di Frenet. Allora vale:
        \[
            \boxed{B_\alpha(t) = \frac{\alpha'(t) \times \alpha''(t)}{\norm{\alpha'(t) \times \alpha''(t)}},}
        \]
        ovverosia il versore binormale è dato dalla normalizzazione
        di $\alpha' \times \alpha''$ al tempo $t$.
    \end{proposition}

    \begin{remark}[Formula per il versore normale]
        Per calcolare $N_\alpha(t)$ si sfrutta la relazione:
        \[ \boxed{N_\alpha(t) = B_\alpha(t) \times T_\alpha(t).} \]
    \end{remark}

    \begin{remark}
        Deriviamo per l'ultima volta l'eq. \eqref{eq:derivata_2_riparametrizzazione_pla}, e sostituendovi
        \eqref{eq:frenet_2}, otteniamo:
        \begin{equation} \label{eq:derivata_3_riparametrizzazione_pla}
            \begin{aligned}
                \alpha'''(t) & = \left(f'''(t) - \kappa_\alpha(t) f'(t)^3\right) \underline{\mathbf{T}_\alpha}(t)                                  \\
                             & \quad + \left({\kappa_\alpha}'(t) f'(t)^3 + 3 \kappa_\alpha(t) f'(t) f''(t)\right) \underline{\mathbf{N}_\alpha}(t) \\
                             & \quad + \kappa_\alpha(t) \tau_\alpha(t) f'(t)^3 \underline{\mathbf{B}_\alpha}(t).
            \end{aligned}
        \end{equation}
        Applicando $(\alpha'(t) \times \alpha''(t)) \cdot -$ all'eq. \eqref{eq:derivata_3_riparametrizzazione_pla},
        e usando che $\alpha'(t) \times \alpha''(t)$ è
        ortogonale a $T_\alpha$, $N_\alpha$, ma parallelo a $B_\alpha$, ricaviamo la seguente proposizione:
    \end{remark}

    \begin{proposition}[Formula per la torsione]
        Sia $\alpha$ una curva di Frenet. Allora vale:
        \[
            \boxed{\tau_\alpha(t) = \frac{(\alpha'(t) \times \alpha''(t)) \cdot \alpha'''(t)}{\norm{\alpha'(t) \times \alpha''(t)}^2}.}
        \]
    \end{proposition}

    \section{Proprietà di curvatura e torsione}

    \subsection{Torsione e piano osculatore}

    La torsione rappresenta ``quanto una curva è distante dall'essere un piano''.
    Più $\tau_\alpha(t)$ si avvicina a $0$ e più la curva $\alpha$ in $0$ è
    localmente simile a un piano, in particolare il piano osculatore:

    \begin{definition}[Piano osculatore]
        Sia $\alpha$ una curva di Frenet. Allora si definisce
        il \textbf{piano osculatore} $\Pi_\alpha(t)$ al tempo $t$ di
        $\alpha$ come il seguente piano affine:
        \[ \boxed{\Pi_\alpha(t) \defeq \alpha(t) + \Span(T_\alpha(t), N_\alpha(t)).} \]
    \end{definition}

    L'intuizione presentata precedentemente è formalizzata dal seguente risultato:

    \begin{proposition}
        Sia $\alpha$ una curva di Frenet con $\tau_\alpha \equiv 0$. Allora
        $\Pi_\alpha(t)$ è costante e la traccia di $\alpha$ è contenuta in
        $\Pi_\alpha$.
    \end{proposition}

    \begin{proof}
        Possiamo assumere senza perdita di generalità che $\alpha : I \to \RR^3$ sia p.l.a.
        Allora da \eqref{eq:frenet_3}, si ricava $\dot{B_\alpha} \equiv 0$,
        e quindi $B_\alpha$ è costante. Poiché $B_\alpha$ è costante, la normale
        di $\Pi_\alpha(t)$ è costante. \smallskip

        Osserviamo che $T_\alpha \in B_\alpha^\perp$,
        da cui $T_\alpha \cdot B_\alpha = \alpha' \cdot B_\alpha = 0$. Ciò, unito al fatto
        che $I$ è connesso, implica che $\alpha(t) \cdot B_\alpha$ sia costante. Pertanto
        $(\alpha(t) - \alpha(t_0)) \cdot B_\alpha = 0$ per ogni $t_0$ in $I$ su tutto $I$.
        Questa è esattamente l'equazione di appartenenza al piano $\Pi_\alpha(t_0)$: si conclude
        allora che $\Pi_\alpha(t)$ è costante e che la traccia di $\alpha$ è contenuta in
        $\Pi_\alpha$.
    \end{proof}

    \subsection{Raggio di curvatura, rette affini e cerchio osculatore}

    La curvatura rappresenta ``quanto una curva è distante dall'essere una retta''.
    Più $\kappa_\alpha(t)$ si avvicina a $0$ e più la curva $\alpha$ in $0$ è localmente
    simile a una retta. \smallskip

    I due seguenti risultati formalizzano proprio questa intuizione.

    \begin{proposition}
        Sia $\alpha$ una curva regolare con $\kappa_\alpha \equiv 0$. Allora
        $\alpha$ è contenuta in una retta affine. Viceversa, una retta affine
        si parametrizza con una curva avente curvatura nulla.
    \end{proposition}

    \begin{proof}
        Possiamo supporre senza perdita di generalità che $\alpha$ sia p.l.a. Allora
        $\kappa_\alpha \equiv 0$ implica che $\dot{T_\alpha} \equiv 0$, ovverosia
        che $T_\alpha$ è costante. Pertanto $\alpha(t) = T_\alpha \cdot t + P$ per un
        $P \in \RR^3$. \smallskip

        Il viceversa è poi immediato.
    \end{proof}

    \begin{definition}[Raggio di curvatura]
        Sia $\alpha$ una curva di Frenet. Allora si definisce il
        \textbf{raggio di curvatura} $R_\alpha(t)$ al tempo $t$ di $\alpha$
        come:
        \[
            \boxed{R_\alpha(t) \defeq \frac{1}{\kappa_\alpha(t)}.}
        \]
    \end{definition}

    \begin{definition}[Cerchio osculatore]
        Sia $\alpha$ una curva di Frenet. Si definisce il
        \textbf{cerchio osculatore} $\cc_\alpha(t)$ al tempo $t$ di $\alpha$ come
        il cerchio di raggio $R_\alpha(t)$ e centro $\alpha(t) + R_\alpha(t) N_\alpha(t)$ contenuto
        nel piano osculatore $\Pi_\alpha(t)$.
    \end{definition}

    \begin{proposition}[Il raggio di curvatura è il raggio del cerchio che meglio approssima $\alpha$ in un punto]
        Sia $\alpha$ una curva p.l.a.~di Frenet. Si ponga:
        \[
            f_{P, R}(t) \defeq \norm{\alpha(t) - P}^2 - R^2.
        \]
        Consideriamo i cerchi di raggio $P$ e $R$ nel piano $\Pi_\alpha(t_0)$, denotati con $\cc(P, R)$.
        Si pongano le seguenti condizioni:
        \begin{itemize}
            \item $f_{P, R}(t_0) = 0$, ovverosia il cerchio $\cc(P, R)$ passa per $\alpha(t_0)$;
            \item $f_{P, R}'(t_0) = f_{P, R}''(t_0) = 0$, ovverosia il
                  cerchio $\cc(P, R)$ approssima $\alpha$ in $t_0$ fino al secondo ordine.
        \end{itemize}
        Allora l'unico cerchio $\cc(P, R)$
        soddisfacente le sopracitate condizioni
        è il cerchio osculatore $\cc_\alpha(t_0)$ al tempo $t_0$ di $\alpha$.
    \end{proposition}

    \begin{proof}
        Osserviamo che:
        \[ f_{P, R}'(t) = 2 \alpha'(t) \cdot (\alpha(t) - P), \]
        e quindi $f_{P, R}'(t_0) = 0$ implica $T_{\alpha}(t_0) \perp \alpha(t_0) - P$.
        Dal momento che il cerchio $\cc(P, R)$ deve essere contenuto nel piano osculatore
        di $\alpha(t_0)$, allora $\alpha(t_0) - P \parallel N_\alpha(t_0)$. \medskip

        Inoltre:
        \[ f_{P, R}''(t) = 2 (\alpha''(t) \cdot (\alpha(t) - P) + \norm{\alpha'(s)}^2), \]
        da cui, ponendo $f_{P, R}''(t_0) = 0$, si ottiene:
        \[ P = \alpha(t_0) + R_\alpha(t_0) N_\alpha(t_0). \]

        Infine, usando che $f_{P, R}(t_0)$, si conclude che $R = R_\alpha(t_0)$.
    \end{proof}

    \subsection{Teorema fondamentale della teoria delle curve}

    La curvatura e la torsione delineano essenzialmente un'unica curva:

    \begin{theorem}[fondamentale della teoria delle curve]
        Due due curve p.l.a.
        di Frenet $\alpha$, $\hat{\alpha} : I \to \RR^3$ hanno curvatura e torsione
        coincidente se e solo se la traccia di una curva è ottenibile dall'altra tramite
        movimento rigido dello spazio \textnormal{(i.e., isometria con
            parte lineare in $\SO(3)$)}.
    \end{theorem}
\end{multicols*}
