\documentclass[12pt]{scrartcl}
\usepackage{notes_2023}

\begin{document}
	\title{Il prodotto semidiretto}
	\maketitle
	
	\begin{note}
		Nel corso del documento con $G$ un qualsiasi gruppo.
	\end{note}

	Siano $H$ e $K$ due gruppi. Allora, dato un omomorfismo $\varphi : K \to \Aut(H)$ e
	detto $\varphi_k := \varphi(k)$,
	si può costruire un gruppo su $H \times K$ detto \textbf{prodotto semidiretto} tra $H$ e $K$,
	indicato con $H \rtimes_\varphi K$, dove l'operazione è data da:
	\[ (h,k)(h',k') = (h \, \varphi_k(h'), k k'). \]
	
	In questo gruppo l'inverso di $(h, k)$ è dato da $(\varphi_k\inv(h\inv), k\inv)$,
	infatti:
	\[ (h, k) (\varphi_k\inv(h\inv), k\inv) = (h \, \varphi_k(\varphi_k\inv(h\inv)), kk\inv) = (e, e). \]
	In particolare, se $\varphi$ è banale, e quindi $k \xmapsto{\varphi} \Id_H$,
	$H \rtimes_\varphi K$ ha la stessa struttura usuale del prodotto diretto. Nel
	prodotto semidiretto $H \rtimes_\varphi K$ si possono identificare facilmente
	$H$ e $K$ nei sottogruppi $H \times \{e\}$ e $\{e\} \times K$. \medskip
	
	
	Detto $\alpha: H \rtimes_\varphi K \to K$ la mappa che associa $(h, k)$ a
	$k$, si verifica che $\alpha$ è un omomorfismo con $\Ker \alpha = H \times \{e\}$.
	Pertanto $H \times \{e\}$ è un sottogruppo normale di $H \rtimes_\varphi K$,
	mentre in generale $K \times \{e\}$ non lo è. \medskip
	
	
	Si illustra adesso un teorema che permette di decomporre, sotto opportune ipotesi,
	un gruppo in un prodotto semidiretto di due suoi sottogruppi:
	
	\begin{theorem}[di decomposizione in prodotto semidiretto]
		Siano\footnote{
			Si osserva che questo teorema richiede \textit{quasi} le stesse ipotesi
			del Teorema di decomposizione in prodotto diretto. L'unica ipotesi che
			manca è quella della normalità di $K$. Ciononostante, questo teorema
			copre anche il teorema analogo sul prodotto diretto: se $K$ fosse normale,
			$\varphi$ sarebbe l'identità ($h$ e $k$ commuterebbero), e quindi
			$H \rtimes_\varphi K$ sarebbe esattamente $H \times K$.
		} $H$ e $K$ due sottogruppi di $G$ con $H \cap K = \{e\}$ e
		$H \nsgeq G$. Allora vale che $HK \cong H \rtimes_\varphi K$ con
		$\varphi : K \to \Aut(H)$ tale per cui\footnote{
			Tale mappa è ben definita dal momento che $H$ è normale in $G$.
		} $k \xmapsto{\varphi} [h \mapsto k h k\inv]$.
	\end{theorem}
	
	\begin{proof}
		Si costruisce un isomorfismo tra $H \rtimes_\varphi K$ e $HK$. Sia
		$\alpha : H \rtimes_\varphi K \to HK$ tale per cui
		$(h, k) \xmapsto{\alpha} hk$. Si verifica che $\alpha$ è un
		omomorfismo:
		\[ \alpha((h,k)(h',k')) = \alpha(h k h' k\inv, k k') =
			h k h' k\inv k k' = hkh'k' = \alpha(h,k)\alpha(h',k'). \]
		Chiaramente $\alpha$ è iniettivo dal momento che $hk=e \implies h = k\inv \in H \cap K \implies h = k = e$. Infine $\alpha$ è surgettiva dal momento che $hk = \alpha(h, k)$,
		e quindi $\alpha$ è un isomorfismo.
	\end{proof}
	
	\begin{example}[$\Sn \cong \An \rtimes_\varphi \gen{\tau}$]
		Sia $\tau$ una trasposizione di $\Sn$. Allora $\An$ è normale in $\Sn$,
		$\An \cap \gen{\tau} = \{e\}$ e $\abs{\An} \abs{\gen{\tau}} = \abs{\Sn} \implies
		\Sn = \An \gen{\tau}$. Allora, per il Teorema di decomposizione in prodotto
		semidiretto, vale che:
		\[ \Sn \cong \An \rtimes_\varphi \gen{\tau}, \]
		con $\varphi : \gen{\tau} \to \Aut(\An)$ tale per cui
		$\tau \xmapsto{\varphi} [h \mapsto \tau h \tau\inv]$.
	\end{example}
	
	\begin{example}[$\Dn \cong \rotations \rtimes_\varphi \gen{sr^k}$]
		Sia $sr^k$ una qualsiasi simmetria di $\Dn$. Allora $\rotations$ è normale in $\Dn$,
		$\rotations \cap \gen{sr^k} = \{e\}$ e $\abs{\rotations} \abs{\gen{s r^k}} = \abs{\Dn} \implies
		\Dn = \rotations \gen{s r^k}$. Allora, come prima, vale che:
		\[ \Dn \cong \rotations \rtimes_\varphi \gen{sr^k}, \]
		con $\varphi : \gen{s r^k} \to \Aut(\rotations)$ tale per cui
		$s r^k \xmapsto{\varphi} [h \mapsto sr^k h (sr^k)\inv]$.
	\end{example}
	
	Si illustrano adesso due lemmi che verranno riutilizzati successivamente per classificare
	i gruppi di ordine $pq$.
	
	\begin{lemma}
		Siano $\varphi$, $\psi : K \to \Aut(H)$ tali per cui esistono
		$\alpha \in \Aut(H)$ e $\beta \in \Aut(K)$ che soddisfano la seguente
		identità:
		\[ \alpha \circ \varphi_k \circ \alpha\inv = \psi_{\beta(k)}, \qquad \forall k \in K. \]
		Allora vale che $H \rtimes_\varphi K \cong H \rtimes_\psi K$.
	\end{lemma}
	
	\begin{proof}
		Si costruisce la mappa $F : H \rtimes_\varphi K \to H \rtimes_\psi K$ tale
		per cui $(h, k) \xmapsto{F} (\alpha(h), \beta(k))$. Si verifica che $F$ è un omomorfismo:
		\[ F(h \varphi_k(h'), k k') = (\alpha(h) \alpha(\varphi_k(h')), \beta(k) \beta(k')), \]
		e quindi, poiché $\alpha \circ \varphi_k = \psi_{\beta(k)} \circ \alpha$:
		\[ F(h \varphi_k(h'), k k') = (\alpha(h)\psi_{\beta(k)}(\alpha(h')), \beta(k) \beta(k')) = F(h, k) F(h', k'). \]
		Chiaramente $F$ è anche iniettiva e surgettiva, e quindi $F$ è l'isomorfismo
		desiderato dalla tesi.
	\end{proof}
	
	\begin{lemma}
		Siano $\ZZmod q \rtimes_\varphi \ZZmod p$ e
		$\ZZmod q \rtimes_\psi \ZZmod p$ due prodotti
		semidiretti con $p$, $q$ primi tali per cui
		$p$ è minore di $q$ e $p \mid q-1$. Allora,
		se $\varphi$ e $\psi$ sono entrambi omomorfismi non banali,
		$\ZZmod q \rtimes_\varphi \ZZmod p$ è isomorfo
		a $\ZZmod q \rtimes_\psi \ZZmod p$.
	\end{lemma}
	
	\begin{proof}
		Poiché $\ZZmod p$ è ciclico, sia $\varphi$ che
		$\psi$ sono univocamente determinati come
		omomorfismi da $\varphi_{\cleq 1}$ e
		$\psi_{\cleq 1}$. In particolare, affinché i due
		omomorfismi non siano banali, gli ordini di
		queste valutazioni devono entrambi essere $p$,
		dato che $\ord(\varphi_{\cleq 1})$, $\ord(\psi_{\cleq 1})
		\mid \ord(\cleq 1) = p$. \medskip
		
		
		Poiché $\Aut(\ZZmod q) \cong \ZZmod{(q-1)}$ è ciclico,
		$\ord(\varphi_{\cleq 1}) = \ord(\psi_{\cleq 1}) \implies \gen{\varphi_{\cleq 1}} = \gen{\psi_{\cleq 1}}$, e quindi
		esiste\footnote{
			Si scarta la possibilità in cui $\ell = 0$ dal
			momento che altrimenti $\varphi_{\cleq 1}$ sarebbe
			l'identità di $\Aut(\ZZmod q)$.
		} $\ell \in \{1, \ldots, p-1\}$ tale per cui $\varphi_{\cleq 1} = \psi_{\cleq 1}^\ell$. Si osserva inoltre
		che $\psi_{\cleq 1}^\ell = \psi_{\cleq \ell}$. \medskip
		
		
		Sia $\beta \in \Aut(\ZZmod p)$ l'automorfismo\footnote{
			$\beta$ è in effetti un automorfismo dal momento
			che $\ell \neq 0$, e quindi $\cleq \ell$ è un altro
			generatore di $\ZZmod p$.
		} di $\ZZmod p$ univocamente
		determinato da $\beta(\cleq 1) = \cleq \ell$. Allora
		vale che:
		\[ \varphi_{\cleq n} = \varphi_{\cleq 1}^n =
			\psi_{\cleq \ell}^n = \psi_{n \cleq \ell} = \psi_{\beta(\cleq n)}, \qquad \forall \cleq n \in \ZZmod p. \]
		Si conclude allora per il \textit{Lemma 1} che
		$\ZZmod q \rtimes_\varphi \ZZmod p$ è isomorfo
		a $\ZZmod q \rtimes_\psi \ZZmod p$.
	\end{proof}
	
	\begin{proposition}
		Sia $G$ un gruppo di ordine $pq$ con $p$ e $q$ primi tali per cui $p < q$. Allora $G$ è
		isomorfo a $\ZZ_{pq}$ se $p \nmid q-1$. Altrimenti $G$ è isomorfo a $\ZZmod{pq}$ o
		a $\ZZmod q \rtimes_\varphi \ZZmod p$ con $\varphi : \ZZmod p \to \Aut(\ZZmod q)$
		univocamente determinata dalla relazione
		$\cleq 1 \xmapsto{\varphi} f$ con $f$ un qualsiasi elemento
		di ordine $p$ di $\Aut(\ZZmod q)$ (ossia $\varphi$ non è banale). In particolare esiste un solo gruppo non abeliano
		di ordine $pq$ a meno di isomorfismo.
	\end{proposition}
	
	\begin{proof}
		Per il Teorema di Cauchy, esistono due elementi $x$ e $y$ di $G$ con $\ord(x)=q$
		e $\ord(y)=p$. Siano $H = \gen{x}$ e $K = \gen{y}$. Allora, poiché $[G : H] = p$
		è il più piccolo primo che divide $\abs{G} = pq$, $H$ è normale. Inoltre
		$H \cap K = \{e\}$, dacché $\abs{H \cap K} \mid \MCD(p, q) = 1$. Pertanto
		$\abs{HK} = \abs{H} \abs{K} = pq \implies G = HK$. \medskip
		
		
		Per il Teorema di decomposizione di un gruppo in un prodotto semidiretto,
		$G$ è isomorfo al prodotto semidiretto $H \rtimes_\varphi K$ con
		$\varphi : K \to \Aut(H)$ tale per cui $k \xmapsto{\varphi} [h \mapsto k h k\inv]$.
		Si osserva che $H \cong \ZZmod q$, $\Aut(H) \cong \ZZmod{(q-1)}$ e analogamente che
		$K \cong \ZZmod p$. \medskip
		
		
		Deve inoltre valere anche che $\abs{\Im \varphi} \mid \MCD(\abs{K},
		\abs{\Aut(H)}) = \MCD(p, q-1)$. Pertanto, se $p \nmid q-1$, $\MCD(p, q-1) = 1$,
		e quindi $\Im \varphi$ è banale. In tal caso $\varphi$ è la mappa che associa
		ogni $k$ all'identità di $\Aut(H)$, e quindi $G \cong H \times K \cong \ZZmod p \times \ZZmod q \cong \ZZmod{pq}$, dove si è usato il Teorema cinese del resto. \medskip
		
		
		Altrimenti $\MCD(p, q-1) = p$, e quindi $\Im \varphi$ può essere banale (riconducendoci
		al caso di prima, in cui $G \cong \ZZmod{pq}$), oppure $\abs{\Im \varphi} = p$, e in tal caso $G$ è isomorfo,
		per\footnote{
			Infatti $H \cong \ZZmod q$ e $K \cong \ZZmod p$, e
			quindi i prodotti semidiretti tra $H$ e $K$
			sono gli stessi di $\ZZmod q$ e $\ZZmod p$.
		} il \textit{Lemma 2}, a tutti i prodotti semidiretti
		non banali (e quindi, a meno di isomorfismo, ne esiste
		soltanto uno). Tale prodotto semidiretto dà luogo ad
		un gruppo non abeliano\footnote{
			Se $H \rtimes_\varphi K$ con
			$\varphi$ non banale fosse un gruppo abeliano, allora
			$\{e\} \times K$ sarebbe normale. Pertanto,
			$(h',k')(e,k)(h',k')\inv$ dovrebbe appartenere
			a $\{e\} \times K$. Tuttavia vale che:
			\[ (h',k')(e,k)(h',k')\inv =
				(h', k' k)(\varphi_{{k'}\inv}({h'}\inv), {k'}\inv) =
				(h' \varphi_{k}({h'}\inv), k), \]
			e quindi dovrebbe valere $\varphi_k(h') = h'$
			per ogni $h' \in H$. In tal caso però
			$\varphi_k$ sarebbe l'identità per ogni $k \in K$,
			e $\varphi$ sarebbe quindi in particolare banale.
		}, e pertanto non può essere
		isomorfo a $\ZZmod{pq}$.
	\end{proof}
	
	In particolare, si osserva che se $G$ non abeliano ha ordine $pq$,
	allora $Z(G)$ è banale. Infatti $\abs{Z(G)} \neq p$, $q$
	(altrimenti $G \quot{Z(G)}$ sarebbe ciclico, e quindi
	$G$ sarebbe abeliano), né tantomeno $\abs{Z(G)} = pq$.
	
\end{document}