\documentclass[10pt,landscape]{article} \usepackage{amssymb,amsmath,amsthm,amsfonts} \usepackage{multicol,multirow} \usepackage{marvosym} \usepackage{calc} \usepackage{ifthen} \usepackage[landscape]{geometry} \usepackage[colorlinks=true,citecolor=blue,linkcolor=blue]{hyperref} \usepackage{notes_2023} \setlength{\extrarowheight}{0pt} \ifthenelse{\lengthtest { \paperwidth = 11in}} { \geometry{top=.5in,left=.5in,right=.5in,bottom=.5in} } {\ifthenelse{ \lengthtest{ \paperwidth = 297mm}} {\geometry{top=1cm,left=1cm,right=1cm,bottom=1cm} } {\geometry{top=1cm,left=1cm,right=1cm,bottom=1cm} } } %\pagestyle{empty} \makeatletter \renewcommand{\section}{\@startsection{section}{1}{0mm}% {-1ex plus -.5ex minus -.2ex}% {0.5ex plus .2ex}%x {\normalfont\large\bfseries}} \renewcommand{\subsection}{\@startsection{subsection}{2}{0mm}% {-1explus -.5ex minus -.2ex}% {0.5ex plus .2ex}% {\normalfont\normalsize\bfseries}} \renewcommand{\subsubsection}{\@startsection{subsubsection}{3}{0mm}% {-1ex plus -.5ex minus -.2ex}% {1ex plus .2ex}% {\normalfont\small\bfseries}} \makeatother \setcounter{secnumdepth}{0} \setlength{\parindent}{0pt} \setlength{\parskip}{0pt plus 0.5ex} % ----------------------------------------------------------------------- \title{Scheda riassuntiva di Teoria dei campi e di Galois} \begin{document} \parskip=0.7ex \raggedright \footnotesize \begin{center} \Large{\textbf{Scheda riassuntiva di Teoria dei campi e di Galois}} \\ \end{center} \begin{multicols}{3} \setlength{\premulticols}{1pt} \setlength{\postmulticols}{1pt} \setlength{\multicolsep}{1pt} \setlength{\columnsep}{2pt} \section{Campi e omomorfismi} Si dice \textbf{campo} un anello commutativo non banale $K$ che è contemporaneamente anche un corpo. Si dice \textbf{omomorfismo di campo} tra due campi $K$ ed $L$ un omomorfismo di anelli. Dal momento che un omomorfismo $\varphi$ è tale per cui $\Ker \varphi$ è un ideale di $K$ con $1 \notin \Ker \varphi$, deve per forza valere $\Ker \varphi = \{0\}$, e quindi ogni omomorfismo di campi è un'immersione. \medskip \section{Caratteristica di un campo} Dato l'omomorfismo $\zeta : \ZZ \to K$ completamente determinato dalla relazione $1 \xmapsto{\zeta} 1_K$, si definisce \textbf{caratteristica di $K$}, detta $\Char K$, il generatore non negativo di $\Ker \zeta$. In particolare $\Char K$ è $0$ o un numero primo. Se $\Char K$ è zero, $\zeta$ è un'immersione, e quindi $K$ è un campo infinito, e in particolare vi si immerge anche $\QQ$. \medskip Tuttavia non è detto che $\Char K = p$ implichi che $K$ è finito. In particolare $\ZZ_p(x)$, il campo delle funzioni razionali a coefficienti in $\ZZ_p$, è un campo infinito a caratteristica $p$. \subsection{Proprietà dei campi a caratteristica $p$} Se $\Char K = p$, per il Primo teorema di isomorfismo per anelli, $\ZZmod{p}$ si immerge su $K$ tramite la proiezione di $\zeta$; pertanto $K$ contiene una copia isomorfa di $\ZZmod{p}$. Per campi di caratteristica $p$, vale il Teorema del binomio ingenuo, ossia: \[ (a + b)^p = a^p + b^p, \] estendibile anche a più addendi. In particolare, per un campo $K$ di caratteristica $p$, la mappa $\Frob : K \to K$ tale per cui $a \xmapsto{\Frob} a^p$ è un omomorfismo di campi, ed in particolare è un'immersione di $K$ in $K$, detta \textbf{endomorfismo di Frobenius}. Se $K$ è un campo finito, $\Frob$ è anche un isomorfismo. Si osserva che per gli elementi della copia $K \supseteq \FF_p \cong \ZZmod{p}$ vale $\restr{\Frob}{\FF_p} = \Id_{\FF_p}$, e quindi $\Frob$ è un elemento di $\Gal(K / \FF_p)$. \section{Campi finiti} Per ogni $p$ primo e $n \in \NN^+$ esiste un campo finito di ordine $p^n$. In particolare, tutti i campi finiti di ordine $p^n$ sono isomorfi tra loro, possono essere visti come spazi vettoriali di dimensione $n$ sull'immersione di $\ZZmod{p}$ che contengono, e come campi di spezzamento di $x^{p^n}-x$ su tale immersione. Tali campi hanno obbligatoriamente caratteristica $p$, dove $\abs{K} = p^n$. Esiste sempre un isomorfismo tra due campi finiti che manda la copia isomorfa di $\ZZmod{p}$ di uno nell'altra. \medskip Poiché i campi finiti di medesima cardinalità sono isomorfi, si indicano con $\FF_p$ e $\FF_{p^n}$ le strutture algebriche di tali campi. In particolare con $\FF_{p^n} \subseteq \FF_{p^m}$ si intende che esiste un'immersione di un campo con $p^n$ elementi in uno con $p^m$ elementi, e analogamente si farà con altre relazioni (come l'estensione di campi) tenendo bene in mente di star considerando tutti i campi di tale ordine. \medskip Vale la relazione $\FF_{p^n} \subseteq \FF_{q^m}$ se e solo se $p=q$ e $n \mid m$. Conseguentemente, l'estensione minimale per inclusione comune a $\FF_{p^{n_1}}$, ..., $\FF_{p^{n_i}}$ è $\FF_{p^m}$ dove $m := \mcm(n_1, \ldots, n_i)$. Pertanto se $p \in \FF_{p^n}[x]$ si decompone in fattori irriducibili di grado $n_1$, \ldots, $n_i$, il suo campo di spezzamento è $\FF_{p^m}$. Inoltre, $x^{p^n}-x$ è in $\FF_p$ il prodotto di tutti gli irriducibili di grado divisore di $n$. \section{Proprietà dei polinomi di $K[x]$} Per il Teorema di Lagrange sui campi, ogni polinomio di $K[x]$ ammette al più tante radici quante il suo grado. Come conseguenza pratica di questo teorema, ogni sottogruppo moltiplicativo finito di $K$ è ciclico. Pertanto $\FF_{p^n}^* = \gen{\alpha}$ per $\alpha \in \FF_{p^n}$, e quindi $\FF_{p^n} = \FF_p(\alpha)$, ossia $\FF_{p^n}$ è sempre un'estensione semplice su $\FF_p$. Si dice \textbf{campo di spezzamento} di una famiglia $\mathcal{F}$ di polinomi di $K[x]$ un sovracampo minimale per inclusione di $K$ che fa sì che ogni polinomio di $\mathcal{F}$ si decomponga in fattori lineari. I campi di spezzamento di $\mathcal{F}$ sono sempre $K$-isomorfi tra loro. \medskip Un polinomio irriducibile si dice separabile se ammette radici distinte. Per il criterio della derivata, $p \in K[x]$ ammette radici multiple se e solo se $\MCD(p, p')$ non è invertibile, dove $p'$ è la derivata formale di $p$. Se $p \in K[x]$ e $n := \deg p$, il campo di spezzamento $L$ di $p$ è tale per cui $[L : K] \leq n!$. Se $p$ è irriducibile e separabile, vale anche che $n \mid [L : K] \mid n!$, come conseguenza dell'azione del relativo gruppo di Galois sulle radici. \medskip Se $p$ è irriducibile in $K[x]$, $(p)$ è un ideale massimale, e $K[x] / (p)$ è un campo che ne contiene una radice, ossia $[x]$. In particolare $K$ si immerge in $K[x] / (p)$, e quindi tale campo può essere identificato come un'estensione di $K$ che aggiunge una radice di $p$. Se $K$ è finito, detta $\alpha$ la radice aggiunta all'estensione, $L := K[x] / (p) \cong K(\alpha)$ contiene tutte le radici di $p$ (ed è dunque il suo campo di spezzamento). Infatti detto $[L : \FF_p] = n$, $[x]$ annulla $x^{p^n}-x$ per il Teorema di Lagrange sui gruppi, e quindi $p$ deve dividere $x^{p^n}-x$; in tal modo $p$ deve spezzarsi in fattori lineari, e quindi ogni radice deve già appartenere ad $L$. In particolare, ogni estensione finita e semplice di un campo finito è normale, e quindi di Galois. \medskip \section{Estensioni di campo} Si dice che $L$ è un'estensione di $K$, e si indica con $L / K$, se $L$ è un sovracampo di $K$, ossia se $K \subseteq L$. Si indica con $[L : K] = \dim_K L$ la dimensione di $L$ come $K$-spazio vettoriale. Si dice che $L$ è un'estensione finita di $K$ se $[L : K]$ è finito, e infinita altrimenti. Un'\textbf{estensione finita} di un campo finito è ancora un campo finito. Un'estensione è finita se e solo se è finitamente generata da elementi algebrici. Una $K$-immersione è un omomorfismo di campi iniettivo da un'estensione di $K$ in un'altra estensione di $K$ che agisce come l'identità su $K$. Un $K$-isomorfismo è una $K$-immersione che è isomorfismo. \medskip \subsection{Composto di estensioni e teorema delle torri algebriche} Date estensioni $L$ e $M$ su $K$, si definisce $LM = L(M) = M(L)$ come il \textbf{composto} di $L$ ed $M$, ossia come la più piccola estensione di $K$ che contiene sia $L$ che $M$. In particolare, $LM$ può essere visto come $L$-spazio vettoriale con vettori in $M$, o analogamente come $M$-spazio con vettori in $L$. \medskip Per il Teorema delle torri algebriche, $L / K$ è un'estensione finita se e solo se $L / F$ e $F / K$ lo sono (ossia la finitezza vale strettamente per torri). Inoltre, se $\basis_{L/F}$ e $\basis_{F/K}$ sono basi di $L/F$ e $F/K$, allora $\basis_{L/F} \basis_{F/K}$ è una base di $L / K$, dove i suoi elementi sono i prodotti tra i vari elementi delle due basi. Infine se $L / K$ è finita, allora anche $LM / M$ è finita, e vale che $[LM : M] \leq [L : K]$ (infatti una base di $L / K$ può essere trasformata in un insieme di generatori di $LM / M$), e quindi la finitezza vale per \textit{shift}. Sempre per il Teorema delle torri algebriche, se $L / K$ è finito, allora vale che: \[ [L : K] = [L : F] [F : K]. \] Se $L / K$ e $M / K$ sono finite, anche $LM / K$ lo è (infatti la finitezza vale sia per torri che per \textit{shift}). In particolare, vale che: \[ \mcm([L : K], [M : K]) \mid [LM : K]. \] Se $[L : K]$ ed $[M : K]$ sono coprimi tra loro, allora vale proprio l'uguaglianza $[LM : K] = [L : K] [M : K]$. Infatti, in tal caso, si avrebbe $[L : K] [M : K] \leq [LM : K]$ e $[LM : K] = [LM : M] [M : K] \leq [L : K] [M : K]$. \subsection{Omomorfismo di valutazioni, elementi algebrici e trascendenti e polinomio minimo} Dato $\alpha$, si definisce $K(\alpha)$ il più piccolo sovracampo di $K$ che contiene $\alpha$. Si definisce l'\textbf{omomorfismo di valutazione} $\varphi_{\alpha, K} : K[x] \to K[\alpha]$, detto $\varphi_\alpha$ se $K$ è noto, l'omomorfismo completamente determinato dalla relazione $p \xmapsto{\varphi_\alpha} p(\alpha)$. Si verifica che $\varphi_\alpha$ è surgettivo. Se $\varphi_\alpha$ è iniettivo, si dice che $\alpha$ è \textbf{trascendentale} su $K$ e $K[x] \cong K[\alpha]$, da cui $[K[\alpha] : K] = [K[x] : K] = \infty$. Se invece $\varphi_\alpha$ non è iniettivo, si dice che $\alpha$ è \textbf{algebrico} su $K$. Si definisce $\mu_\alpha$, detto il \textbf{polinomio minimo} di $\alpha$ su $K$, il generatore monico di $\Ker \varphi_\alpha$. IDal momento che $K$ è in particolare un dominio di integrità, $\mu_\alpha$ è sempre irriducibile. \medskip Si definisce $\deg_K \alpha := \deg \mu_\alpha$. Se $\alpha$ è algebrico su $K$, $K[x] / (\mu_\alpha) \cong K[\alpha]$, e quindi $K[\alpha]$ è un campo. Dacché $K[\alpha] \subseteq K(\alpha)$, vale allora $K[\alpha] = K(\alpha)$. Inoltre, poiché $\dim_K K[x] / (\mu_\alpha) = \deg_K \alpha$, vale anche che $[K(\alpha) : K] = \deg_K \alpha$. Infine, si verifica che $\alpha$ è algebrico se e solo se $[K(\alpha) : K]$ è finito. \medskip \subsection{Estensioni semplici, algebriche} Si dice che $L$ è un'\textbf{estensione semplice} di $K$ se $\exists \alpha \in L$ tale per cui $L = K(\alpha)$. In tal caso si dice che $\alpha$ è un \textbf{elemento primitivo} di $K$. Si dice che $L$ è un'\textbf{estensione algebrica} di $K$ se ogni suo elemento è algebrico su $K$. Ogni estensione finita è algebrica. Non tutte le estensioni algebriche sono finite (e.g.~$\overline{\QQ}$ su $\QQ$). \medskip L'insieme degli elementi algebrici di un'estensione di $K$ su $K$ è un estensione algebrica di $K$. Pertanto se $\alpha$ e $\beta$ sono algebrici, $\alpha \pm \beta$, $\alpha \beta$, $\alpha \beta\inv$ e $\alpha\inv \beta$ (a patto che o $\alpha \neq 0$ o $\beta \neq 0$) sono algebrici. \subsection{Campi perfetti, estensioni separabili e coniugati} Si dice che un'estensione algebrica $L$ è un'\textbf{estensione separabile} di $K$ se per ogni elemento $\alpha \in L$, $\mu_\alpha$ ammette radici distinte. Si dice che $K$ è un \textbf{campo perfetto} se ogni polinomio irriducibile ammette radici distinte, ossia se ogni polinomio irriducibile è separabile. In un campo perfetto, ogni estensione algebrica è separabile. Si definiscono i coniugati di $\alpha$ algebrico su $K$ come le radici di $\mu_\alpha$. Se $K(\alpha)$ è separabile su $K$, $\alpha$ ha esattamente $\deg_K \alpha$ coniugati, altrimenti esistono al più $\deg_K \alpha$ coniugati. \medskip Un campo è perfetto se e solo se ha caratteristica $0$ o altrimenti se l'endomorfismo di Frobenius è un automorfismo. Equivalentemente, un campo è perfetto se le derivate dei polinomi irriducibili sono sempre non nulle. Esempi di campi perfetti sono allora tutti i campi di caratteristica $0$ e tutti i campi finiti. \subsection{Campi algebricamente chiusi e chiusura algebrica di $K$} Un campo $K$ si dice \textbf{algebricamente chiuso} se ogni $p \in K[x]$ ammette una radice in $K$. Equivalentemente $K$ è algebricamente chiuso se ogni $p \in K[x]$ ammette tutte le sue radici in $K$. Si dice \textbf{chiusura algebrica} di $K$ una sua estensione algebrica e algebricamente chiusa. Le chiusure algebriche di $K$ sono $K$-isomorfe tra loro, e quindi si identifica con $\overline{K}$ la struttura algebrica della chiusura algebrica di $K$. \medskip Se $L$ è una sottoestensione di $K$ algebricamente chiuso, allora $\overline{L}$ è il campo degli elementi algebrici di $K$ su $L$. Infatti se $p \in L[x]$, $p$ ammette una radice $\alpha$ in $K$, essendo algebricamente chiuso. Allora $\alpha$ è un elemento di $K$ algebrico su $L$, e quindi $\alpha \in \overline{L}$. Per il Teorema fondamentale dell'algebra, $\overline{\RR} = \CC$. \subsection{Estensioni normali e di Galois, $K$-immersioni di un'estensione finita di $K$} Sia $\alpha$ un elemento algebrico su $K$. Allora $[K(\alpha) : K] = \deg_K \alpha$. Le $K$-immersioni da $K(\alpha)$ in $\overline{K}$ sono esattamente tante quanti sono i coniugati di $\alpha$ e sono tali da mappare $\alpha$ ad un suo coniugato. Se $K$ è perfetto, esistono esattamente $\deg_K \alpha$ $K$-immersioni da $K(\alpha)$ in $\overline{K}$. \medskip Se $L / K$ è un'estensione separabile finita su $K$, allora esistono esattamente $[L : K]$ $K$-immersioni da $L$ in $\overline{K}$. Per quanto detto prima, tali immersioni mappano gli elementi $L$ nei loro coniugati. \medskip Se $L$ è un'estensione separabile finita, allora per ogni $\varphi : K \to \overline{K}$ esistono esattamente $[L : K]$ estensioni $\varphi_i : L \to \overline{K}$ di $\varphi$, ossia omomorfismi tali per cui $\restr{\varphi_i}{K} = \varphi$. \medskip Per quanto detto prima, per calcolare dunque tutti i coniugati di $\alpha \in L$ su $K$, è sufficiente calcolare i distinti valori delle $K$-immersioni di $L$ su $\alpha$. Infatti, ogni $K$-immersione da $K(\alpha)$ può estendersi a $K$-immersione di $L$, e viceversa ogni $K$-immersione di $L$ può restringersi a $K$-immersione di $K(\alpha)$. In particolare, una volta computati tutti i coniugati, è semplice trovare il polinomio minimo di $\alpha$ su $K$ (è sufficiente considerare il prodotto dei vari $x-\alpha_i$ dove gli $\alpha_i$ sono tutti i coniugati di $\alpha$). \medskip Si dice che un'estensione algebrica $L / K$ è un'\textbf{estensione normale} se per ogni $K$-immersione $\varphi$ da $L$ in $\overline{K}$ vale che $\varphi(L) = L$. Equivalentemente un'estensione è normale se è il campo di spezzamento di una famiglia di polinomi (in particolare è il campo di spezzamento di tutti i polinomi irriducibili che hanno una radice in $L$). Ancora, un'estensione $L$ è normale se e solo se per ogni $\alpha \in L$, i coniugati di $L$ appartengono ancora ad $L$. Per un'estensione normale, per ogni $K$-immersione $\varphi : L \to \overline{K}$ si può restringere il codominio ad un campo isomorfo a $L \subseteq \overline{K}$, e quindi considerare $\varphi$ come un automorfismo di $L$ che fissa $K$. \medskip Un'estensione finita $L/K$ di grado $2$ è sempre normale, ed in particolare può sempre scriversi come $L = K(\sqrt{\Delta})$, dove $\Delta$ non è un quadrato in $K$. Si indica con $\Aut_K(L) = \Aut(L / K)$ l'insieme degli automorfismi di $L$ che fissano $K$. Se $L$ è normale e separabile, si dice \textbf{estensione di Galois}, e si definisce il suo \textbf{gruppo di Galois} $\Gal(L / K)$ come $(\Aut_K L, \circ)$, ossia come il gruppo $\Aut_K L$ con l'operazione di composizione. \subsection{Azione di $\Gal(L / K)$ sulle radici di $L$ campo di spezzamento} Sia $p \in K[x]$ irriducibile e separabile. Allora si definisce il \textbf{gruppo di Galois di $p$} come il gruppo di Galois $\Gal(L / K)$, dove $L$ è un campo di spezzamento di $p$ su $K$. Se $\deg p = n$ e $a_1$, ..., $a_n$ sono le radici di $p$, $\Gal(L / K)$ agisce su $\{a_1, \ldots, a_n\}$ mediante $\Xi$, in modo tale che: \begin{equation*} \begin{split} \Xi : \Gal(&L / K) \to S(\{a_1, \ldots, a_n\}) \cong S_n, \\ &\varphi_i \xmapsto{\Xi} [a_j \mapsto \varphi_i(a_j)]. \end{split} \end{equation*} In particolare tale azione è transitiva (dunque $\Orb(a_i) = \{a_j\}_{j=1-n}$)e fedele. Poiché $\Xi$ è fedele, vale che $\Gal(L / K) \mono S_n$. Se $\Gal(L / K)$ è abeliano (e in tal caso si dice che $L$ è un'\textbf{estensione abeliana}), $\Xi$ è anche transitiva, e quindi $\Gal(L / K)$ si identifica come un sottogruppo abeliano transitivo di $S_n$, e in quanto tale deve valere che $\abs{\Gal(L / K)} = n$. \medskip Dal momento che $\Xi$ è un'immersione, vale che $\abs{\Gal(L / K)} \mid n!$. Dacché allora $[K(a_1) : K] = n$, vale in particolare che: \[ n \mid \abs{\Gal(L / K)} = [L : K] \mid n!. \] \section{Diagrammi di campo e proprietà} Si definisce \textbf{diagramma di campo} un diagramma della seguente forma: \[\begin{tikzcd} & LM \\ L & {} & M \\ & {L \cap M} \\ & K \arrow[no head, from=4-2, to=3-2] \arrow[no head, from=3-2, to=2-1] \arrow[no head, from=2-1, to=1-2] \arrow[no head, from=3-2, to=2-3] \arrow[no head, from=2-3, to=1-2] \end{tikzcd}\] In particolare il precedente diagramma rappresenta lo studio dell'estensione di $LM$ su $K$, e rappresenta $L$, $M$ e $L \cap M$ come sottoestensioni di $LM$. Un estremo superiore di una freccia è sempre, per definizione, un'estensione dell'estremo inferiore della stessa freccia. \medskip Sia $\mathcal{P}$ una proprietà. Allora si studia la proprietà $\mathcal{P}$ secondo le seguenti tre modalità: \begin{itemize} \item validità per \textbf{torri}: se $\mathcal{P}$ vale in due estensioni in $K \subseteq F \subseteq L$, allora vale anche per la terza estensione, ossia vale per tutta la torre di estensioni, \item validità per \textbf{\textit{shift}} (o per il \textbf{traslato}): se $\mathcal{P}$ vale per $F / K$, allora vale anche per $LF / F$, ossia vale sul ramo parallelo a quello di $F / K$, \item validità per il \textbf{composto}: se $\mathcal{P}$ vale per $L / K$ ed $M / K$, allora vale anche per $LM / K$. \item validità per l'\textbf{intersezione}: se $\mathcal{P}$ vale per $L / K$ ed $M / K$, allora vale anche per $L \cap M / K$. \end{itemize} Si dice che $\mathcal{P}$ vale \textit{debolmente} per torri, se $\mathcal{P}$ vale per $L / K$ solo se vale per $L / F$ sottoestensione. Si dice che $\mathcal{P}$ vale \textit{strettamente} per torri, se è $\mathcal{P}$ vale per $L / K$ se e solo se vale per $L / F$ e $F / K$. Se $\mathcal{P}$ vale strettamente per torri, allora $\mathcal{P}$ vale anche per l'intersezione. \medskip Si dice che $\mathcal{P}$ vale \textit{inversamente} per \textit{shift} se $\mathcal{P}$ vale su $LF / F$ solo se vale su $L / K$. Si dice che $\mathcal{P}$ vale \textit{inversamente} per il composto se $\mathcal{P}$ vale su $LF / K$ implica che $\mathcal{P}$ valga anche su $L / K$ e $F / K$. Si dice che $\mathcal{P}$ vale \textit{completamente} per \textit{shift} o composto se $\mathcal{P}$ vale \textit{inversamente} e normalmente per \textit{shift} o composto. Se $\mathcal{P}$ vale per torri e per \textit{shift}, allora vale anche per il composto. La seguente tabella raccoglie le proprietà delle estensioni sui diagrammi di campo: \begin{center} \scriptsize \vskip -0.1in \begin{tabular}{l|l|l|l|l} \hline $\mathcal{P}$ & Torri & \textit{Shift} & Composto & Intersez. \\ \hline Est. fin. & Strett. & Normal. & Complet. & Sì \\ \hline Est. alg. & Strett. & Complet. & Complet. & Sì \\ \hline Est. sep. & Strett. & Normal. & Normal. & Sì \\ \hline Est. nor. & Debolm. & Normal. & Normal. & Sì \\ \hline Est. Gal. & Debolm. & Normal. & Normal. & Sì \end{tabular} \end{center} \section{Teorema dell'elemento primitivo} Se $L / K$ è un'estensione finita e separabile, $L$ è in particolare un'estensione semplice di $K$, per il \textbf{Teorema dell'elemento primitivo}. In campi finiti, un tale elemento primitivo è un generatore di $L^*$. In campi infiniti, per $L = K(a, b)$, si può invece considerare il seguente polinomio: \[ p(x) = \prod_{i < j} (\varphi_i(a) + x \varphi_i(b) - \varphi_j(b) - x \varphi_j(b)), \] dove le varie $\varphi_i$ sono le $K$-immersioni di $L$ su $\overline{K}$. Si verifica che $p(x)$ è non nullo, e pertanto ha supporto non vuoto. Pertanto esiste un $t \in K$ tale per cui $p(t) \neq 0$, da cui si ricava che $L = K(a + bt)$. Reiterando questo algoritmo su tutti i generatori dell'estensione, si ottiene un elemento primitivo desiderato. \section{Teorema di corrispondenza di Galois} Se $L / K$ è di Galois, detto $H \leq \Gal(L / K)$, si definisce $L^H$ come la sottoestensione di $L$ fissata da tutte le $K$-immersioni di $H$. In particolare vale che $L^H = K \iff H = \Gal(L / K)$. Conseguentemente, vale il \textbf{Teorema di corrispondenza di Galois}, di seguito descritto: \begin{theorem} Sia $\mathcal{E}$ l'insieme delle sottoestensioni di $L / K$ estensione di Galois. Sia $\mathcal{G}$ l'insieme dei sottogruppi di $\Gal(L / K)$. Allora $\mathcal{E}$ è in bigezione con $\mathcal{G}$ attraverso la mappa $\alpha : \mathcal{E} \to \mathcal{G}$ tale per cui: \[ F \xmapsto{\alpha} \Gal(L / F) \leq \Gal(L / K), \] la cui inversa $\beta : \mathcal{G} \to \mathcal{E}$ è tale per cui: \[ H \xmapsto{\beta} L^H \subseteq L. \] Inoltre, una sottoestensione $F / K$ di $L / K$ è normale su $K$ se e solo se il corrispondente sottogruppo di $\Gal(L / K)$ è normale. Infine, se $F / K$ è normale, $F$ è in particolare di Galois e vale che: \[ \Gal(F / K) \cong \faktor{\Gal(L / K)}{\Gal(L / F)}. \] \end{theorem} Pertanto, a partire dal Teorema di corrispondenza di Galois, valgono le seguenti proprietà: \begin{itemize} \item il numero di sottogruppi di $\Gal(L / K)$ di un certo ordine $n$ è uguale al numero di sottoestensioni di $L$ tali per cui $L$ abbia grado $n$ su di esse (infatti $[L : F] = \abs{\Gal(L / F)}$), \item il numero di sottogruppi di $\Gal(L / K)$ di un certo indice $n$ è uguale al numero di sottoestensioni di $L$ che hanno grado $n$ su $K$ (infatti $[F : K] = [L : K] / [L : F] = \abs{\Gal(L / K)}) / \abs{\Gal(L : F)} = [\Gal(L / K) : \Gal(L / F)]$), \item $L^H \subset L^Q \iff Q < H$, \item $L^H L^Q = L^H(L^Q) = L^{H \cap Q}$, \item $L^{\gen{H, Q}} = L^H \cap L^Q$, \end{itemize} In particolare, un diagramma di campi -- a patto che il suo estremo superiore sia di Galois -- può essere collegato ad un diagramma di gruppi, ``invertendo'' le inclusioni. Se $G = \Gal(L / K)$ e $H \subseteq G$, allora il diagramma: \[\begin{tikzcd} L \\ {L^H} \\ K \arrow["G", bend left, no head, from=3-1, to=1-1] \arrow["{G/H}"', no head, from=3-1, to=2-1] \arrow["H"', no head, from=2-1, to=1-1] \end{tikzcd}\] si relaziona tramite corrispondenza al diagramma: \[\begin{tikzcd}[row sep=small] {\{e\}} \\ \\ H \\ \\ G \arrow[no head, from=1-1, to=3-1] \arrow[no head, from=3-1, to=5-1] \end{tikzcd}\] \section{Gruppi di Galois noti} \subsection{Campi finiti} Il campo finito $\FF_{p^n}$ è sempre normale su $\FF_p$, dal momento che può essere costruito come campo di spezzamento di $x^{p^n} - x$ su $\FF_p$ stesso. Equivalentemente, poiché un omomorfismo di campi è sempre iniettivo (e dunque conserva sempre la cardinalità), una $\FF_p$-immersione deve mandare $\FF_{p^n}$ in un campo della stessa cardinalità, e quindi necessariamente un campo isomorfo a $\FF_{p^n}$. \medskip Per un campo finito, $\Frob$ è un automorfismo che fissa $\FF_p$. Allora $\Frob \in \Gal(\FF_{p^n} / \FF_p)$. Inoltre $\ord \Frob = n = \abs{\Gal(\FF_{p^n} / \FF_p}$ (altrimenti $\FF_{p^n}$ non sarebbe campo di spezzamento di $x^{p^n}-x$), e quindi vale che: \[ \Gal(\FF_{p^n} / \FF_p) = \gen{\Frob} \cong \ZZmod{n}. \] Pertanto se $\alpha \in \FF_{p^n} \setminus \FF_p$, tutti i suoi coniugati si ottengono reiterando al più $p^n$ volte $\Frob$ su $\alpha$. \subsection{Polinomi biquadratici} Sia $p(x) = x^4 + ax^2 + b$ irriducibile su $\QQ$. Allora, se $L$ è un suo campo di spezzamento e $\Delta = a^2 - 4b$ è l'usuale discriminante di $p$ visto come polinomio in $x^2$, vale che: \[ \Gal(L / \QQ) \cong \begin{cases} \ZZmod{4} & \se b \text{ è quadrato in $\QQ$}, \\ \ZZmod{2} \times \ZZmod{2} & \se b \Delta \text{ è quadrato in $\QQ$}, \\ D_4 & \altrimenti. \end{cases} \] \subsection{Radici di primi in $\QQ$} Siano $p_1$, ..., $p_n$ numeri primi distinti. Allora vale che: \[ \Gal(\QQ(\sqrt{p_1}, \ldots, \sqrt{p_n})/\QQ) \cong (\ZZmod{2})^n. \] \subsection{I polinomi ciclotomici $\Phi_n(x)$} Sia $\Phi_n(x)$ l'$n$-esimo polinomio ciclotomico, così definito: \[ \Phi_n(x) = \prod_{\substack{1 \leq d \leq n \\ \MCD(d, n) = 1}} (x - \zeta_n^d), \] dove $\zeta_n$ è una radice primitiva $n$-esima dell'unità. \medskip Tale polinomio è sempre a coefficienti interi ed è inoltre primitivo su $\ZZ[x]$. Vale inoltre che: \[ x^n - 1 = \prod_{m \mid n} \Phi_m(x). \] Il campo di spezzamento di $\Phi_n(x)$ su $\QQ$ è $\QQ(\zeta_n)$, che è un'estensione normale, separabile e finita, e pertanto di Galois. \medskip Inoltre vale che: \[ \Gal(\QQ(\zeta_n)/\QQ) \cong (\ZZmod{n})^\times, \] e dunque $\Phi_n(x)$ è sempre irriducibile su $\QQ$. \vfill \hrule ~\\ Ad opera di Gabriel Antonio Videtta, \url{https://poisson.phc.dm.unipi.it/~videtta/}. ~\\Reperibile su \url{https://notes.hearot.it}, nella sezione \textit{Secondo anno $\to$ Algebra 1 $\to$ 3. Teoria delle estensioni di campo e di Galois $\to$ Scheda riassuntiva di Teoria dei campi e di Galois}. \end{multicols} \end{document}