\documentclass[11pt]{article} \usepackage{personal_commands} \usepackage[italian]{babel} \usepackage[a4paper, total={7in, 8in}]{geometry} \title{\textbf{Note del corso di Geometria 1}} \author{Gabriel Antonio Videtta} \date{10 maggio 2023} \begin{document} \maketitle \begin{center} \Large \textbf{Quadriche e classificazione affine delle coniche} \end{center} \begin{note} Nel corso del documento si assume $\Char \KK \neq 2$. \end{note} \begin{definition}[quadriche] Si dice \textbf{quadrica} il luogo di zeri di un polinomio $p \in \KK[x_1, \ldots, x_n]$ con $\deg p = 2$. \end{definition} \begin{definition}[coniche] Si dice \textbf{conica} una quadrica relativa ad un polinomio in due variabili. \end{definition} \begin{remark}\nl \li Una quadrica è invariante per la relazione $\sim$ su $\KK[x_1, \ldots, x_n]$, dove $p_1 \sim p_2 \defiff \exists \alpha \in \KK^* \mid p_1 = \alpha p_2$. Infatti il luogo di zeri di un polinomio non varia se esso viene moltiplicato per una costante non nulla di $\KK$. \\ \li Una quadrica può essere vuota (come nel caso della conica relativa a $x^2 + y^2 + 1$ in $\RR$). \\ \li Si identifica con la notazione $p(\x)$ con $\x \in \KK^n$, la valutazione del polinomio $p$ nelle coordinate di $\x$. Per esempio, se $\x = (1, 2)$ e $p(x, y) = x^2 + y^2$, con $p(\x)$ si identifica il valore $p(1, 2) = 1^2 + 2^2 = 5$. \end{remark} \begin{remark} [riscrittura di $p$ mediante matrici] Sia $p \in \KK[x_1, \ldots, x_n]$ di grado due. Allora $p$ si può sempre scrivere come $p_2 + p_1 + p_0$, dove $p_i$ è un polinomio omogeneo contenente soltanto monomi di grado $i$. \\ In particolare, $p_2(x_1, \ldots, x_n)$ può essere sempre riscritto come $\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}$ con $a_{ij} \in \KK$ con $a_{ij} = a_{ji}$. È infatti sufficiente "sdoppiare" il coefficiente $c_{ij}$ di $x_i x_j$ in due metà, in modo tale che $c_{ij} x_i x_j = \frac{c_{ij}}{2} x_i x_j + \frac{c_{ij}}{2} x_i x_j = \frac{c_{ij}}{2} x_i x_j + \frac{c_{ij}}{2} x_j x_i$. Inoltre, anche $p_1(x_1, \ldots, x_n)$ può essere riscritto come $\sum_{i=1}^n b_{ij}$. \\ Si possono allora considerare la matrice $A \in M(n, \KK)$ ed il vettore $\vec b \in \KK^n$, definiti in modo tale che: \[ A = (a_{ij})_{i,j=1\mbox{--}n}, \qquad \vec b = (b_i)_{i=1\mbox{--}n} \in \KK^n. \] \vskip 0.05in Infatti, $A$ e $\vec b$ soddisfano la seguente identità: \[ p(\x) = \x^\top A \x + \vec b^\top \x + c, \] \vskip 0.05in che, riscritta tramite l'identificazione di $\AnK$ come l'iperpiano $H_{n+1} \in \Aa_{n+1}(\KK)$, diventa: \[ p(\x) = {\hat \x}^\top \hat A \hat \x, \quad \dove \hat A = \Matrix{A & \rvline & \nicefrac{\vec b}{2} \, \\ \hline \nicefrac{{\vec b}^\top}{2} & \rvline & c }. \] \vskip 0.05in Si osserva che $\hat A$ è una matrice simmetrica di taglia $n+1$ a elementi in $\KK$, e in quanto tale essa induce un prodotto scalare su $\KK^{n+1}$. Pertanto la quadrica relativa $p$ è esattamente l'intersezione tra $H_{n+1}$ e $\CI(\hat A)$, identificando $\KK^{n+1}$ come $H_{n+1}$, ossia la quadrica è esattamente $\iota\inv(H_{n+1} \cap \CI(\hat A))$. \end{remark} \begin{definition}[matrice associata ad una quadrica] Si definisce la costruzione appena fatta di $\hat A$ come la \textbf{matrice associata alla quadrica relativa a $p$}, e si indica con $\MM(p)$. In particolare, $A$ è detta la matrice che rappresenta la \textit{parte quadratica}, e si indica con $\AA(p)$, mentre $\nicefrac{\vec b}2$ rappresenta la \textit{parte lineare}, indicata con $\Ll(p)$, e $c = c(p)$ è detto \textit{termine noto}. \end{definition} \begin{definition}[azione di $A(\Aa_n(\KK))$ su $\KKxn$] Sia $f \in A(\Aa_n(\KK))$. Allora $A(\Aa_n(\KK))$ agisce (a destra) su $\KKxn$ in modo tale che $p' = p \circ f$ è un polinomio per cui $p'(\x) = p(f(\x))$. \end{definition} \begin{definition}[equivalenza affine tra polinomi e quadriche] Si dice che due polinomi $p_1$, $p_2 \in \KKxn$ sono affinemente equivalenti se e solo se $\exists f \in A(\AnK) \mid p_1 = p_2 \circ f$. In tal caso si scrive che $p_1 \sim p_2$. Analogamente due quadriche si dicono affinemente equivalenti se i relativi polinomi sono affinemente equivalenti. \end{definition} \begin{remark}\nl \li L'equivalenza affine è una relazione di equivalenza. \\ \li Sia $Z(p)$ il luogo di zeri di $p$. Allora, $p_1 \sim p_2 \implies \exists f \in A(\AnK) \mid Z(p_2) = f(Z(p_1))$. \\ \li In generale, se $p_1 = p_2 \circ f$, vale che $Z(p_2) = f(Z(p_1))$. \\ \li Dal momento che $A(\AnK)$ su $\KKxn$ è un azione (destra) di gruppo, vale che $(p \circ f_1) \circ f_2 = p \circ (f_1 \circ f_2)$ $\forall f_1$, $f_2 \in A(\AnK)$, $p \in \KKxn$. \end{remark} \begin{proposition} [formula del cambiamento della matrice associata su azione di $A(\Aa_n(\KK))$] Sia $f \in A(\Aa_n(\KK))$ e sia $p \in \KK[x_1, \ldots, x_n]$ di grado due. Allora vale la seguente identità: \begin{equation*} \MM(p \circ f) = {\hat M}^\top \MM(p) \hat M = \Matrix{M^\top \AA(p) M & \rvline & M^\top(\AA(p) \vec t + \Ll(p)) \, \\ \hline \, \left(M^\top(\AA(p) \vec t + \Ll(p))\right)^\top & \rvline & p(\vec t)}, \end{equation*} \vskip 0.05in con $\hat M = \Matrix{ M & \rvline & \vec t \, \\ \hline 0 & \rvline & 1 \, }$, dove $f(\x) = M \x + \vec t$ $\forall \x \in \KK^n$ con $M \in \GL(n, \KK)$ e $\vec t \in \KK^n$. \end{proposition} \begin{proof} Per definizione, $p \circ f$ è tale che $(p \circ f)(\x) = p(f(\x)) = p(M\x + \vec t)$. In particolare, $(p \circ f)(\x) = \widehat{\left( M \x + \vec t \right)^\top} \MM(p) \widehat{\left( M \x + \vec t \right)} = \left( \hat M \hat x \right)^\top \!\! \MM(p) \left( \hat M \hat x \right)$. Pertanto vale che: \[ (p \circ f)(\x) = \hat x^\top \hat M^\top \MM(p) \hat M \hat x \implies \MM(p \circ f) = {\hat M}^\top \MM(p) \hat M, \] \vskip 0.05in da cui la tesi. \end{proof} \begin{remark}\nl \li Per la proposizione precedente, due matrici, associate a due polinomi di secondo grado affinemente equivalenti, variano per congruenza, così come le matrici della parte quadratica. \\ Pertanto $\rg(\MM(p \circ f)) = \rg(\MM(p))$, come $\rg(\AA(p \circ f)) = \rg(\AA(p))$ (così come, per $\KK=\RR$, non variano i segni dei vari determinanti). Allo stesso tempo, la classe di equivalenza di $\MM(p)$ è rappresentata completamente per $\KK = \CC$ (tramite il rango) e per $\KK = \RR$ (tramite la segnatura), per il teorema di Sylvester. \\ \li Se $f$ è una traslazione, $M = I_n$, e dunque la formula si riduce alla seguente: \[ \MM(p \circ f) = \Matrix{\AA(p) & \rvline & \AA(p) \vec t + \Ll(p) \, \\ \hline \, \left(\AA(p) \vec t + \Ll(p)\right)^\top & \rvline & p(\vec t)}. \] \vskip 0.05in In particolare, non varia la matrice relativa alla parte quadratica, ossia vale che $\AA(p \circ f) = \AA(p)$. \\ \li Se $\lambda \in \KK^*$, $\MM(\lambda p) = \lambda \MM(p)$, dal momento che $\AA(\lambda p) = \lambda \AA(p)$, così come $\Ll(\lambda p) = \lambda \Ll(p)$ e $c(\lambda p) = \lambda c(p)$. Tuttavia, a differenza del cambio di matrice per equivalenza affine, per $\KK=\RR$ la segnatura non è più un invariante (infatti, in generale $\sigma(-S) = (\iota_-(S), \iota_+(S), \iota_0(S))$, se $S \in \Sym(n, \RR)$). Ciononostante non varia, in valore assoluto, la differenza tra l'indice di positività e quello di negatività, ossia $S(\MM(p)) := \abs{\iota_+ - \iota_-}$ continua ad essere invariante. \\ \li Vale sempre la disuguaglianza $\rg(\MM(p)) \geq \rg(\AA(p)) \geq 1$, dal momento che $\AA(p)$ è una sottomatrice di $\MM(p)$ e che $p$, per definizione di quadrica, contiene sempre un termine quadratico (e dunque la matrice $\AA(p)$ non è mai nulla). \end{remark} \begin{definition} [quadrica non degenere] Una quadrica relativa a $p \in \KKxn$ si dice \textbf{non degenere} se $\rg(\MM(p)) = n+1$ (ossia se $\det(\MM(p)) \neq 0$), e altrimenti si dice degenere. In particolare, una conica si dice \textit{non degenere} se $\rg(\MM(p)) = 3$ e degenere altrimenti. \end{definition} \begin{definition} [quadrica a centro] Una quadrica $C$ relativa a $p \in \KKxn$ (o $p$ stesso) si dice \textbf{a centro} se $\exists \x_0 \in \KK^n \mid p(\x_0 + \x) = p(\x_0 - \x)$ $\forall \x \in \KK^n$. In particolare, si dice che tale $\x_0$ è un \textbf{centro di simmetria} per $C$. \end{definition} \begin{remark}\nl \li Si osserva che $\vec 0$ è un centro di simmetria per $p$ se $p(\x) = p(-\x)$, ossia se e solo se la parte lineare $\Ll(p)$ è nulla. \\ \li Allora $\x_0$ è un centro di simmetria per $p$ se e solo se $\vec 0$ è un centro di simmetria per $p \circ f$, dove $f$ è la traslazione che manda $\vec 0$ in $\x_0$. Infatti, in tal caso, vale che $f(\x) = \x + \x_0$ e che: \[ (p \circ f)(\x) = p(\x + \x_0) = p(\x - \x_0) = (p \circ f)(-\x). \] \vskip 0.05in \li Per le osservazioni precedenti, vale allora che $\x_0$ è un centro di simmetria per $p$ se e solo se la parte lineare di $p \circ f$ è nulla, ossia se e solo se $\x_0$ è tale che $\AA(p) \x_0 + \Ll(p)$. Pertanto $p$ è a centro se e solo se il sistema $\AA(p) \x = - \Ll(p)$ è risolvibile, e quindi se e solo se $\rg\!\Matrix{\AA(p) & \rvline & \Ll(p)} = \rg(\AA(p))$ $\iff \Ll(p) \in \Im(\AA(p))$, per il teorema di Rouché-Capelli. Vale dunque che $p$ è sempre a centro, se $\AA(p)$ è invertibile. \\ Poiché i centri di una conica sono esattamente le soluzioni del sistema lineare $\AA(p) \x = - \Ll(p)$, essi formano un sottospazio affine. In particolare, se $\x_0$ è un centro, vale che tale sottospazio è esattamente $\x_0 + \Ker \AA(p)$. Pertanto, se $\AA(p)$ è invertibile (ossia se è iniettiva), il centro è unico. \end{remark} \hr \begin{theorem} [classificazione delle coniche complesse] Sia $\KK=\CC$. Allora ogni conica è affinemente equivalente ad un'equazione canonica della seguente tabella, unicamente determinata dagli invarianti $\rg(\MM(p))$ e $\rg(\AA(p))$. \begin{center} \begin{tabular}{|l|l|l|l|l|} \hline & $\rg(\MM(p))$ & $\rg(\AA(p))$ & Equazione canonica & A centro \\ \hline $\mathcal{C}_1$ & 3 & 2 & $x^2+y^2=1$ & Sì \\ \hline $\mathcal{C}_2$ & 3 & 1 & $x^2=y$ & No \\ \hline $\mathcal{C}_3$ & 2 & 2 & $x^2+y^2=0$ & Sì \\ \hline $\mathcal{C}_4$ & 2 & 1 & $x^2=1$ & Sì \\ \hline $\mathcal{C}_5$ & 1 & 1 & $x^2=0$ & Sì \\ \hline \end{tabular} \end{center} \end{theorem} \vskip 0.01in \begin{proof} La classificazione è completa perché sono comprese tutte le possibili scelte di rango. Inoltre tale classificazione è ben definita, dal momento che due coniche distinte della tabella differiscono di almeno un'invariante, e pertanto non possono essere affinemente equivalenti. Pertanto, se esiste, una conica è affinemente equivalente ad una sola delle coniche presenti nella tabella. \\ Sia allora $\mathcal{C}$ una conica relativa al polinomio $p \in \CC[x, y]$. Se $\rg(\AA(p)) = 2$, allora, per il teorema di Sylvester complesso, esiste una matrice $M \in \GL(2, \CC)$ tale per cui $M^\top \AA(p) M = I_2$. \\ Si consideri allora l'affinità $f_1 \in A(\Aa_2(\CC))$ tale per cui $f_1(\x) = M\x + \vec t$, dove $\vec t = - \AA(p)\inv \vec b$. Se $p_1 = p \circ f_1$, allora, per la formula di cambiamento della matrice associata, vale che: \[ \MM(p_1) = \MM(p \circ f_1) = \Matrix{I_2 & \rvline & 0 \, \\ \hline \, 0 & \rvline & p(\vec t)}. \] \vskip 0.05in Se $\rg(\MM(p)) = 2$, $c(p_1) = p(\vec t)$ è nullo (altrimenti i ranghi di $\MM(p)$ e $\MM(p_1)$ sarebbero diversi; assurdo, dal momento che il rango di $\MM(p)$ è invariante per equivalenza affine, \Lightning). In tal caso $p_1$ è il polinomio $x^2 + y^2$, e dunque $\mathcal{C}$ è affinemente equivalente a $\mathcal{C}_3$ tramite l'identità $p_1 = p \circ f_1$. \\ Se invece $\rg(\MM(p)) = 3$, $c' := c(p_1)$ non è nullo, e dunque $p_1$ è il polinomio $x^2 + y^2 + c'$. Considerando allora $f_2 \in A(\Aa_2(\CC))$ tale che $f_2(\x) = \sqrt{-c\,'} \, \x$, si ottiene che $p_2 = p_1 \circ f_2$ è tale per cui: \[ \MM(p_2) = -c' \Matrix{ I_2 & \rvline & 0 \\ \hline 0 & \rvline & -1 }, \] \vskip 0.05in ossia $p_2$ è il polinomio $c'(x^2 + y^2 - 1) = 0$. Poiché $c'$ è diverso da zero, $p_2$ ha lo stesso luogo di zeri di $x^2 + y^2 - 1$, ossia $p_2$ è legato alla conica $\mathcal{C}_1$. Si conclude dunque che $p$ e $p_2$ sono affinemente equivalenti tramite l'identità $p_2 = p \circ \, (f_1 \circ f_2)$. \\ Sia ora invece $\rg(\AA(p)) = 1$. Allora, sempre per il teorema di Sylvester complesso, esiste $M \in \GL(2, \CC)$ tale per cui: \[ B := M^\top \AA(p) M = \Matrix{1 & 0 \\ 0 & 0}. \] \vskip 0.05in Si consideri allora l'affinità $f_1 \in A(\Aa_2(\CC))$ tale per cui $f_1(\x) = M \x$. Allora, se $p_1 = p \circ f_1$, vale che: \[ \MM(p_1) = \MM(p \circ f_1) = \Matrix{ 1 & 0 & b_1 \\ 0 & 0 & b_2 \\ b_1 & b_2 & c(p) }, \] \vskip 0.05in dove $(b_1, b_2)^\top = M^\top \Ll(p)$. Se $\rg(\MM(p)) = 3$, $b_2$ è necessariamente non nullo (altrimenti $\rg(\MM(p \circ f_1)) \leq 2$, \Lightning). Si consideri allora l'affinità $f_2 \in A(\Aa_2(\CC))$ tale che $f_2(\x) = \x - \vec t_1$, dove $\vec t_1 = (-b_1, 0)^\top$. Allora, se $p_2 = p_1 \circ f_2$, vale che: \[ \MM(p_2) = \MM(p_1 \circ f_2) = \Matrix{1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & b_2 \\ 0 & b_2 & c'}, \] \vskip 0.05in dove $c' := p_1(\vec t_1)$. Pertanto $p_2$ è il polinomio $x^2 + 2b_2 y + c'$. Si cerca adesso di eliminare il termine noto considerando una traslazione di vettore $\vec t_2$ in modo tale che $p_2(\vec t_2) = 0$ e che rimanga invariata la parte lineare. Se $\vec t_2 = (x', y')^\top$, si considera $x' = 0$ in modo tale da lasciare invariata la parte lineare e si cerca $y'$ in modo tale che: \[ 2b_2 y' + c' = 0 \implies y' = -\frac{c'}{2 b_2}. \] \vskip 0.05in Sia dunque $f_3 \in A(\Aa_2(\CC))$ tale che $f_3(\x) = \x + \vec t_2$. Se $p_3 = p_2 \circ f_3$, vale allora che: \[ \MM(p_3) = \MM(p_2 \circ f_3) = \Matrix{1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & b_2 \\ 0 & b_2 & 0}. \] \vskip 0.05in Pertanto $p_3$ è il polinomio $x^2 + 2b_2 y$. Sostituendo allora $y \mapsto -\nicefrac{y}{2b_2}$, si può normalizzare il coefficiente di $y$. Si considera allora $f_4 \in A(\Aa_2(\CC))$ tale che: \[ f_4(\x) = \Matrix{1 & 0 \\ 0 & \nicefrac{-y}{2b_2}} \x. \] \vskip 0.05in Se si pone allora $p_4 = p_3 \circ f_4$, si ottiene finalmente che: \[ \MM(p_4) = \MM(p_3 \circ f_4) = \Matrix{1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\nicefrac{1}{2} \\ 0 & -\nicefrac{1}{2} & 0}, \] \vskip 0.05in e dunque $p_4$ rappresenta il polinomio $x^2 - y$, legato alla conica $\mathcal{C}_2$. Si conclude dunque che $\mathcal{C}$ è affinemente equivalente a $\mathcal{C}_2$ tramite l'identità $p_4 = p \circ \, (f_1 \circ f_2 \circ f_3 \circ f_4)$. \\ Se invece $\rg(\MM(p)) \leq 2$, $b_2$ è necessariamente nullo (altrimenti $\rg(\MM(p \circ f_1)) = 3$, \Lightning). Si cerca adesso una traslazione di vettore $\vec t = (t_1, t_2)^\top$ tale che annulli la parte lineare del polinomio, ossia un vettore per cui $\AA(p_1) \vec t + (b_1, 0)^\top = \vec 0$. Un vettore di questo tipo è $\vec t = (-b_1, 0)^\top$. \\ Sia allora $f_2 \in \Aa_2(\CC)$ per cui $f_2(\x) = \x + \vec t$, e sia $p_2 = p_1 \circ f_2$. Vale allora che: \[ \MM(p_2) = \Matrix{1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c'}, \] \vskip 0.05in dove $c' := p_1(\vec t)$. Se $\rg(\MM(p)) = 1$, $c'$ è necessariamente nullo (altrimenti $\MM(p_2)$ non sarebbe congruente a $\MM(p)$, \Lightning), e dunque $p_2$ è il polinomio $x^2 = 0$, legato alla conica $\mathcal{C}_5$ (quindi $\mathcal{C}$ è affinemente equivalente a $\mathcal{C}_5$ tramite l'identità $p_2 = p \circ \, (f_1 \circ f_2)$). \\ Altrimenti, se $\rg(\MM(p)) = 2$, $c' \neq 0$. Sia allora $f_3 \in A(\Aa_2(\CC))$ tale che: \[ f_3(\x) = \Matrix{\sqrt{-c'\,} & 0 \\ 0 & 1} \x. \] \vskip 0.05in Se $p_3 = p_2 \circ f_3$, allora risulta che: \[ \MM(p_3) = \MM(p_2 \circ f_3) = -c' \Matrix{1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1}, \] \vskip 0.05in e dunque $p_3$ è il polinomio $-c'(x^2 - 1)$. Poiché $c' \neq 0$, $p_3$ ha lo stesso luogo di zeri di $x^2 - 1$, e dunque è legato alla conica $\mathcal{C}_4$. Allora $\mathcal{C}$ è affinemente equivalente a $\mathcal{C}_4$ mediante l'identità $p_3 = p \circ (f_1 \circ f_2 \circ f_3)$, concludendo la classificazione delle coniche complesse. \end{proof} \begin{theorem} [classificazione delle coniche reali] Sia $\KK=\RR$. Allora ogni conica è affinemente equivalente ad un'equazione canonica della seguente tabella, unicamente determinata dagli invarianti $\rg(\MM(p))$, $\rg(\AA(p))$, $S(\MM(p)) := \abs{\iota_+(\MM(p)) - \iota_-(\MM(p))}$ e $S(\AA(p)) := \abs{\iota_+(\AA(p)) - \iota_-(\AA(p))}$. \\[0.1in] \centering\small \begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|} \hline & $\rg(\MM(p))$ & $\rg(\AA(p))$ & $S(\MM(p))$ & $S(\AA(p))$ & Equazione canonica \\ \hline ellisse reale ($\mathcal{C}_1$) & 3 & 2 & 1 & 2 & $x^2+y^2-1=0$ \\ \hline iperbole ($\mathcal{C}_2$) & 3 & 2 & 1 & 0 & $x^2-y^2-1=0$ \\ \hline parabola ($\mathcal{C}_3$) & 3 & 1 & 1 & 1 & $x^2-y=0$ \\ \hline due rette reali incidenti ($\mathcal{C}_4$) & 2 & 2 & 0 & 0 & $x^2-y^2=0$ \\ \hline due rette reali parallele ($\mathcal{C}_5$) & 2 & 1 & 0 & 1 & $x^2-1=0$ \\ \hline due rette reali coincidenti ($\mathcal{C}_6$) & 1 & 1 & 1 & 1 & $x^2=0$ \\ \hline ellisse immaginaria ($\mathcal{C}_7$) & 3 & 2 & 3 & 2 & $x^2+y^2+1=0$ \\ \hline \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}due rette complesse coniugate\\ e incidenti in un punto reale ($\mathcal{C}_8$)\end{tabular} & 2 & 2 & 2 & 2 & $x^2+y^2=0$ \\ \hline \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}due rette complesse coniugate,\\ distinte e parallele ($\mathcal{C}_9$)\end{tabular} & 2 & 1 & 2 & 1 & $x^2+1=0$ \\ \hline \end{tabular} \end{theorem} \vskip 0.1in %TODO: terminare dimostrazione della classificazione \begin{proof} Come già visto precedentemente, la classificazione è completa perché sono comprese tutte le possibili scelte di invarianti, ed è anche ben definita, dacché due coniche distinte della tabella differiscono di almeno un'invariante. \\ Sia allora $\mathcal{C}$ una conica relativa al polinomio $p \in \RR[x, y]$. Sia $\rg(\AA(p)) = 2$. Se $S(\AA(p)) = 2$, allora, per il teorema di Sylvester, $\exists M \in \GL(2, \RR) \mid M^\top \AA(p) M = \pm I_2$. Sia allora $f_1 \in A(\AA_2(\RR))$ l'affinità tale per cui $f_1(\vec x) = M \vec x + \vec t$, dove $\vec t = - \AA(p)\inv \vec b$. Allora, detto $p_1$ il polinomio monico ottenuto moltiplicando eventualmente per $-1$ il polinomio $p \circ f_1$, vale che: \[ \MM(p_1) = \Matrix{I_2 & \rvline & 0 \, \\ \hline \, 0 & \rvline & c}, \] \vskip 0.05in dove $c \in \RR$. Se $\rg(\MM(p)) = 2$, allora $c$ deve necessariamente essere nullo. In tal caso $p_1(x, y) = x^2 + y^2$, la cui conica corrispondente è data da due rette complesse coniugate e incidenti in un punto reale ($\mathcal{C}_8$). \\ Altrimenti, se $\rg(\MM(p)) = 3$, si discutono due casi dipendentemente dal valore di $S(\MM(p))$. Se $S(\MM(p)) = 3$, allora $c$ è necessariamente positivo. Pertanto, detta $f_2 \in A(\AA_2(\RR))$ l'affinità tale per cui $f_2(\vec x) = \sqrt{c} \, \vec x$ e detto $p_2 = p_1 \circ f_2$, vale che $\MM(p_2) = c \, I_3$, ossia che $p_2(x, y) = c(x^2 + y^2 + 1)$. Si è ottenuto dunque che $\mathcal{C}$ è affinemente equivalente all'ellisse immaginaria ($\mathcal{C}_7$). \\ Si procede analogamente se $S(\MM(p)) = 1$: in tal caso $c$ è necessariamente negativo, e quindi $f_2$ si costruità moltiplicando per $\sqrt{-c}$: si ottiene in questo modo l'ellisse reale ($\mathcal{C}_1$). \\ Sia ora invece $S(\AA(p)) = 1$. Allora, per il teorema di Sylvester, $\exists M \in \GL(2, \RR) \mid M^\top \AA(p) M = \SMatrix{1 & 0 \\ 0 & -1}$. Si costruisca allora l'affinità $f_1 \in A(\AA_2(\RR))$ in modo tale che $f_1(\vec x) = M \vec x + \vec t$, dove $\vec t = -\AA(p) \vec b$. Detto allora $p_1 = p \circ f_1$, vale che: \[ \MM(p_1) = \Matrix{\begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{smallmatrix} & \rvline & 0 \, \\ \hline \, 0 & \rvline & c}. \] \vskip 0.05in Se $\rg(\MM(p)) = 2$, allora $c$ è necessariamente nullo, e quindi $p_1(x, y) = x^2 - y^2$, da cui si deduce che $\mathcal{C}$ è affinemente equivalente alla conica generata da due rette reali incidenti ($\mathcal{C}_4$). Se invece $\rg(\MM(p)) = 3$, $c$ non è nullo, e quindi si può costruire l'affinità $f_2 \in A(\AA_2(\RR))$ data da $f_2(\vec x) = \sqrt{\abs{c}} \, \vec x$. Allora, detto $p_2 = f \circ p_1$, $p_2$ può essere sempre ricondotto a un multiplo di $x^2 - y^2 - 1$: se infatti $c < 0$, $p_2$ lo è già, altrimenti è sufficiente applicare una terza affinità $f_3(\vec x) = \SMatrix{0 & 1 \\ 1 & 0} \, \vec x$ e considerare $p_3 = p_2 \circ f_3$. Pertanto $\mathcal{C}$ è in questo caso affinemente equivalente a un'iperbole ($\mathcal{C}_2$). \\ Sia adesso $\rg(\AA(p)) = 1$. Allora, per il teorema di Sylvester, $\exists M \in \GL(2, \RR) \mid M^\top \AA(p) M = \SMatrix{1 & 0 \\ 0 & 0}$. Sia $\Ll(p) = \SMatrix{b_1 \\ b_2}$, con $b_1$, $b_2 \in \RR$. Si costruisca $f_1 \in A(\AA_2(\RR))$ in modo tale che $f_1(\vec x) = M \vec x$. Detto $p_1 = p \circ f_1$, vale che: \[ \MM(p_1) = \MM(p \circ f_1) = \Matrix{1 & 0 & b_1 \\ 0 & 0 & b_2 \\ b_1 & b_2 & c(p)}. \] \vskip 0.1in Si consideri dunque l'affinità $f_2 \in A(\AA_2(\RR))$ costruita in modo tale che $f_2(\vec x) = \vec x - (b_1, 0)^\top$. Detto quindi $p_2 = p_1 \circ f_2$, vale che: \[ \MM(p_2) = \Matrix{1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & b_2 \\ 0 & b_2 & c'}, \] \vskip 0.07in dove $c' \in \RR$. Se $\rg(\MM(p)) = 3$, allora $b_2$ è necessariamente non nullo. Si cerca adesso di eliminare il termine noto $c'$ mediante una traslazione: si consideri $f_3 \in A(\AA_2(\RR))$ definita in modo tale che $f_3(\vec x) = \vec x + (0, -\frac{c}{2 b_2})^\top$, analogamente a come era stata impostata l'affinità nel caso complesso. Allora, detto $p_3 = p_2 \circ f_2$, vale che: \[ \MM(p_3) = \Matrix{1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & b_2 \\ 0 & b_2 & 0}. \] \vskip 0.05in Normalizzando il coefficiente di $y$ mediante l'affinità $f_4 \in A(\AA_2(\RR))$ tale per cui $f_4(\vec x) = \SMatrix{1 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2b_2}}$, e detto $p_4 = p_3 \circ f_4$, si ottiene finalmente che $p_4(x, y) = x^2 - y$, ossia che $\mathcal{C}$ è affinemente equivalente a una parabola ($\mathcal{C}_3$). \\ Se $\rg(\MM(p)) = 2$, allora necessariamente $b_2 = 0$ e $c \neq 0$. Si costruisce dunque l'affinità $f_3 \in A(\AA_2(\RR))$ definita in modo tale che $f_3(\vec x) = \SMatrix{\sqrt{\abs{c'}} & 0 \\ 0 & 1}$ e si pone $p_3 = p_2 \circ f_3$. Se $S(\MM(p)) = 0$, allora necessariamente $c' < 0$, e quindi vale che $p_3$ è multiplo di $x^2 - 1$. Pertanto $\mathcal{C}$ è affinemente equivalente alla conica generata da due rette reali parallele ($\mathcal{C}_5$). Se invece $S(\MM(p)) = 2$, $c'$ è strettamente positivo, e quindi $p_3$ è multiplo di $x^2 + 1$. In tal caso $\mathcal{C}$ è affinemente equivalente alla conica generata da due rette complesse coniugate, distinte e parallele ($\mathcal{C}_9$). \\ Se invece $\rg(\MM(p)) = 1$, sia $b_2$ che $c$ devono essere nulli. Allora $p_2(x, y) = x^2$, da cui si deduce che $\mathcal{C}$ è affinemente equivalente alla conica generata da due rette reali coincidenti ($\mathcal{C}_6$), completando la classificazione. \end{proof} \begin{remark} È utile osservare che la classificazione delle coniche complesse è una mera conseguenza della classificazione delle coniche reali. È possibile infatti dedurre le coniche complesse ``dimenticando'' il segno nelle equazioni canoniche delle coniche reali. Formalmente è sufficiente costruire un'affinità in modo tale che una variabile venga moltiplicata per $i$ per far sì che il segno scompaia. \end{remark} \end{document}