\documentclass[12pt]{scrartcl}
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\begin{document}
	\title{Estensioni di campo ed elementi algebrici e trascendenti}
	\maketitle
	
	\begin{note}
		Una buona introduzione alle estensioni di campo
		è già stata fatta nel corso di Aritmetica\footnote{
			Questa parte di teoria è reperibile al
			seguente link: \url{https://git.phc.dm.unipi.it/g.videtta/notes/src/branch/main/Primo\%20anno/Aritmetica/Teoria\%20dei\%20campi}.
		}, e pertanto
		l'esposizione in questo documento dell'argomento sarà
		del tutto \textit{straightforward}. \medskip
		
		
		Per $K$, $L$ ed $F$ si intenderanno sempre dei campi.
		Se non espressamente detto, si sottintenderà anche
		che $K \subseteq L$, $F$, e che $L$ ed $F$ sono
		estensioni costruite su $K$. Per $[L : K]$ si
		intenderà $\dim_K L$, ossia la dimensione di $L$
		come $K$-spazio vettoriale.
	\end{note} \bigskip

	
	Lo studio della teoria dei campi è inevitabile quando si
	intende studiare la risolubilità delle equazioni, come
	ben illustra la teoria di Galois. In particolare,
	questa teoria si basa in parte sullo studio delle
	estensioni, ossia dei ``sovracampi'', del campo di partenza
	che si sta studiando. A questo proposito tornano utili
	le seguenti definizioni:
	
	\begin{definition}[estensione di campo]
		Si dice che $L$ è un'estensione di campo di $K$ se
		$K \subseteq L$, e si scrive $\faktor{L}{K}$ per
		studiare $L$ in riferimento a $K$. Si dice
		che $L$ è un'estensione finita se $[L : K]$ è
		finito.
	\end{definition}
	
	\begin{definition}[omomorfismo di valutazione]
		Sia $\alpha \in K$. Allora si definisce l'\textbf{omomorfismo di valutazione} $\varphi_{\alpha,K} : K[x] \to K[\alpha]$ di $\alpha$ su $K$,
		spesso abbreviato come $\varphi_\alpha$ se è
		sottinteso che si sta lavorando su $K$, come
		l'omomorfismo univocamente determinato dalla
		relazione:
		\[ p \xmapsto{\varphi_\alpha} p(\alpha). \]
	\end{definition}

	\begin{remark}
		L'omomorfismo di valutazione è sempre surgettivo e
		la preimmagine di un elemento di $K[\alpha]$ è per
		esempio lo stesso elemento a cui si è sostituito $x$
		al posto di $\alpha$.
	\end{remark}

	\begin{definition}
		Sia $\alpha \in K$. Allora si definisce $K(\alpha)$
		come la più piccola estensione di $K$ che contiene
		$\alpha$, ossia:
		\[ K(\alpha) = \bigcap_{\substack{\faktor{F_i}{K} \text{ campo}	\\[0.02in] \alpha \in F_i}} F_i. \]
	\end{definition}

	\begin{definition}[estensione semplice]
		Un'estensione $\faktor{L}{K}$ si dice \textbf{semplice}
		se esiste $\alpha \in L$ tale per cui $L = K(\alpha)$.
		Tale $\alpha$ si definisce \textbf{elemento primitivo}
		di $L$ su $K$.
	\end{definition}

	\begin{remark}
		Come suggerisce la definizione di $K(\alpha)$, se
		$\faktor{L}{K}$ è un campo che contiene $\alpha$,
		$K(\alpha) \subseteq L$.
	\end{remark}

	\begin{definition}[elementi algebrici e trascendenti]
		Sia $\alpha \in K$. Allora $\alpha$ si dice \textbf{algebrico su $K$} se $\exists p \in K[x]$
		tale per cui $p(\alpha) = 0$. Se $\alpha$ non è
		algebrico, si dice che $\alpha$ è \textbf{trascendente}.
	\end{definition}

	\begin{remark}
		Se $\alpha \in K$, $\alpha$ è algebrico se e solo
		se $\Ker \varphi_\alpha$ è non banale. Analogamente
		$\alpha$ è trascendente se e solo se $\Ker \varphi_\alpha$ è banale.
	\end{remark}

	\begin{remark}
		Se $\alpha \in K$ è algebrico, allora $\Ker \varphi_\alpha$ è generato da un irriducibile dacché
		$K[x]$ è un PID. In particolare $K[x] \quot {\Ker \varphi_\alpha}$ è un campo, e dunque, per il Primo
		teorema di isomorfismo, lo è anche $K[\alpha]$.
		Dal momento che $K[\alpha] \subseteq K(\alpha)$,
		allora vale in questo caso che $K(\alpha) = K[\alpha]$.
	\end{remark}

	\begin{definition}
		Sia $\alpha \in K$ algebrico su $K$. Si definisce il \textbf{polinomio minimo}
		$\mu_\alpha \in K[x]$ come il generatore monico di
		$\Ker \varphi_\alpha$. Per semplicità si definisce
		$\deg_K \alpha$ come il grado di $\mu_\alpha$. 
	\end{definition}

	\begin{remark}
		Se $\alpha \in K$ è algebrico, allora $K[x] \quot{\Ker \varphi_\alpha}$ è uno spazio vettoriale su $K$ di
		dimensione $\deg_K \alpha$. In particolare vale allora
		che $[K(\alpha) : K] = [K[x] \quot{\Ker \varphi_\alpha} : K] = \deg_K \alpha$. Inoltre $\mu_\alpha$ è irriducibile su $K$ dal momento che $\Ker \varphi_\alpha$ è massimale.
	\end{remark}

	\begin{remark}
		Se $\alpha \in K$ è trascendente, allora
		$\Ker \varphi_\alpha$ è banale e dunque, per il Primo
		teorema di isomorfismo, $K[x] \cong K[\alpha]$.
	\end{remark}

	La caratterizzazione degli elementi algebrici e trascendenti
	si conclude mediante la seguente proposizione:
	
	\begin{proposition}[caratterizzazione degli elementi algebrici e trascendenti]
		Sia $\alpha \in K$. Allora $\alpha$ è algebrico su
		$K$ se e solo se $[K(\alpha) : K]$ è finito.
	\end{proposition}

	\begin{proof}
		Se $\alpha$ è algebrico, allora $[K(\alpha) : K]$ 
		è pari a $\deg_K \alpha$. Se invece $[K(\alpha) : K]$
		è pari ad $n \in \NN^+$, si considerino $1$, $\alpha$,
		\ldots, $\alpha^n$. Dal momento che questi sono
		$n+1$ elementi in $K(\alpha)$, devono essere
		necessariamente linearmente dipendenti. Pertanto
		esistono $a_0$, $a_1$, \ldots, $a_n$ tali per
		cui $a_n \alpha^n + \ldots + a_1 \alpha + a_0 = 0$.
		Pertanto esiste un polinomio con coefficienti in $K$
		che annulla $\alpha$, e dunque $\alpha$ è algebrico. 
	\end{proof}

	A partire dalla definizione di elemento algebrico si può
	anche definire la nozione di \textit{estensione algebrica}:
	
	\begin{definition}[estensione algebrica]
		Si consideri $\faktor{L}{K}$. Allora si dice che
		$L$ è un'\textbf{estensione algebrica} se ogni
		elemento di $L$ è algebrico su $K$.
	\end{definition}

	Le estensioni finite sono privilegiate in questo senso,
	dal momento che sono sempre algebriche, come illustra la:
	
	\begin{proposition}[estensione finita $\implies$ estensione algebrica]
		Sia $L$ un'estensione finita di $K$. Allora $L$
		è un'estensione algebrica di $K$.
	\end{proposition}

	\begin{proof}
		Sia $\alpha \in L$. Dal momento che $K \subseteq K(\alpha) \subseteq L$, $K(\alpha)$ è un sottospazio
		di $L$, che è spazio vettoriale su $K$. Dal momento
		che $L$ è un'estensione finita, $[L : K]$ è finito,
		e dunque lo è anche $[K(\alpha) : K]$, per cui
		$\alpha$ è algebrico, e così $L$.
	\end{proof}

	\begin{remark}
		Mentre ogni estensione finita è algebrica, non è
		vero che ogni estensione algebrica è finita. Per
		esempio,
		la chiusura algebrica $\overline{\QQ}$ di $\QQ$ non
		è finita su $\QQ$. Infatti, per ogni $n \in \NN^+$,
		$p_n(x) = x^n - 2$ è irriducibile in $\QQ[x]$ per il criterio
		di Eisenstein, e dunque, detta $\alpha$ una radice
		di $p_n$, $[\QQ(\alpha) : \QQ] = n$, e quindi, dal
		momento che $\QQ(\alpha) \subseteq \overline{\QQ}$,
		$[\overline{\QQ} : \QQ] \geq n$. Pertanto il grado
		di $\overline{\QQ}$ su $\QQ$ non è finito, benché
		$\overline{\QQ}$ sia un'estensione algebrica per
		definizione.
	\end{remark}

	\begin{remark}
		Se $L$ è un'estensione semplice, allora $L$
		è algebrica se e solo se $L$ è un'estensione
		finita.
	\end{remark}

	Definiamo infine il composto di due estensione $L$, $M$ di $K$ su uno stesso campo $\Omega$:

	\begin{definition}[composto di due estensioni]
		Siano $L$, $M \subseteq \Omega$ estensioni di $K$ con
		$\Omega$ a sua volta campo. Si definisce allora
		il \textbf{composto} $LM$ di $L$ e $M$ come il più
		piccolo sottocampo di $\Omega$ che contiene sia
		$L$ che $M$. Talvolta si scrive anche $L(M) = LM$.
	\end{definition}

	\begin{remark}
		Se $L = K(\alpha_1, \ldots, \alpha_m)$ e
		$M = K(\beta_1, \ldots, \beta_n)$, allora vale che:
		\[ LM = K(\alpha_1, \ldots, \alpha_m, \beta_1, \ldots, 
		\beta_n). \]
	\end{remark}
	
	\begin{theorem}[delle torri algebriche]
		Siano $K \subseteq L \subseteq F$ campi. Allora $\faktor{F}{K}$ è un'estensione finita se e solo se
		$\faktor{L}{K}$ e $\faktor{F}{L}$ sono estensioni finite. \medskip
		

		In particolare\footnote{Si può generalizzare questa formula ad $F$ spazio vettoriale su $K$ e $L$ con $K \subseteq L$, a patto che $K$ e $L$ siano campi.}, se $\faktor{F}{K}$ è un'estensione finita,
		vale che:
		\[ [F : K] = [F : L] [L : K]. \]
	\end{theorem}
	
	\begin{proof}
		Se $\faktor{F}{K}$ è un'estensione finita, allora a
		maggior ragione $\faktor{L}{K}$ è un'estensione finita
		dal momento che $L$ è un $K$-sottospazio vettoriale di
		$F$, che è un $K$-spazio vettoriale. Inoltre,
		anche $\faktor{F}{L}$ è un'estensione finita, dacché
		una base di $\faktor{F}{K}$ è un insieme di generatori
		su $\faktor{F}{L}$, dal momento che $K \subseteq L$. \medskip
		
		
		Si mostra adesso che se $\faktor{L}{K}$ e $\faktor{F}{L}$ sono estensioni finite, allora $F$ è uno spazio
		finito-dimensionale su $K$ e vale che:
		\[ [F : K] = [F : L] [L : K]. \]
		Siano $[F : L] = m$ e $[L : K] = n$. Sia
		$\BB_F = (f_1, \ldots, f_m)$ una base
		di $F$ su $L$, e sia $\BB_L = (l_1, \ldots, l_n)$ una
		base di $L$ su $K$. \\
		
		Si dimostra che la seguente è una base di $F$ su $K$:
		\[\BB_F \BB_L = \{ f_1 l_1, \ldots, f_1 l_n, \ldots, f_m l_n\}, \]
		dove si osserva che $\abs{\BB_F \BB_L} = [F : L] [L : K]$.
		Si mostra innanzitutto che $\BB_F \BB_L$ è un insieme
		di generatori. Sia $f \in F$.
		Allora si può scrivere $f$ come combinazione lineare
		finita con scalari in $L$:
		\[f = \sum_{i=1}^m \beta_i f_i.\]
		A sua volta, allora, si può scrivere ogni $\beta_i \in L$
		come combinazione lineare finita con scalari in $K$:
		\[\beta_i = \sum_{j=1}^n \gamma_j^{(i)} l_j.\]
		Combinando queste due identità, si verifica che
		$\BB_F \BB_L$ genera $F$ come $K$-spazio vettoriale:
		\[ f = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n \gamma_j^{(i)} \, l_j f_i. \]

		
		Infine, si verifica che $\BB_F \BB_L$ è un insieme linearmente
		indipendente. Si consideri l'equazione:
		
		\[ \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n \gamma_j^{(i)} \, l_j f_i = \sum_{i=1}^m \left(\sum_{j=1}^n \gamma_j^{(i)} l_j \right) f_i = 0. \]
		
		Poiché $\BB_F$ è linearmente indipendente, si deduce
		che:
		
		\[ \sum_{j=1}^n \gamma_j^{(i)} l_j = 0. \]
		
		Tuttavia, $\BB_L$ è a sua volta linearmente indipendente,
		e quindi $\gamma_j^{(i)} = 0$, $\forall i, j$. Dunque
		$\BB_F \BB_L$ è linearmente indipendente, e quindi è
		una base dacché è anche un insieme di generatori per
		$F$ come $K$-spazio vettoriale. Pertanto $F$ è un'estensione
		finita di $K$ e vale la tesi.
	\end{proof}

	\begin{proposition}
		Siano $L$ e $M$ due campi tali per cui
		$K \subseteq L$, $M$. Allora, se
		$[L : K] = m \in \NN^+$ e $[M : K] = n \in \NN^+$,
		$LM$ è un'estensione finita di $K$ e $\mcm(m, n) \mid [LM : K]$.
	\end{proposition}

	\begin{proof}
		Si consideri il seguente diamante di estensioni:
		\[\begin{tikzcd}[column sep=scriptsize]
			&& LM \\
			\\
			L &&&& M \\
			\\
			&& K
			\arrow["n", no head, from=3-5, to=5-3]
			\arrow["m"', no head, from=3-1, to=5-3]
			\arrow[no head, from=1-3, to=3-5]
			\arrow[no head, from=1-3, to=3-1]
			\arrow[no head, from=1-3, to=5-3]
		\end{tikzcd}\]
		Dal momento che $LM = L(M)$ è un $L$-spazio vettoriale
		e $M$ è un'estensione finita di $K$, il grado di $LM$
		su $L$ è finito. Pertanto, applicando il teorema delle
		torri algebriche, $m \mid [LM : K]$. Analogamente
		$n \mid [LM : K]$, e quindi $\mcm(m, n) \mid [LM : K]$.
	\end{proof}

	\begin{proposition}
		Sia $L$ un'estensione di campo di $K$. Allora
		$A = \{ \alpha \in L \mid \alpha \text{ algebrico su } K \}$ è un campo, e quindi un'estensione algebrica
		di $K$.
	\end{proposition}

	\begin{proof}
		Siano $\alpha$ e $\beta \in A$. Si consideri il
		seguente diamante di estensioni:
		\[\begin{tikzcd}[column sep=small]
			&& {K(\alpha, \beta)} \\
			\\
			{K(\alpha)} &&&& {K(\beta)} \\
			\\
			&& K
			\arrow[no head, from=3-5, to=5-3]
			\arrow[no head, from=3-1, to=5-3]
			\arrow[no head, from=1-3, to=3-5]
			\arrow[no head, from=1-3, to=3-1]
			\arrow[no head, from=1-3, to=5-3]
		\end{tikzcd}\]
		Dal momento che $K(\alpha, \beta) = K(\alpha)K(\beta)$
		e sia $[K(\alpha) : K]$ che $[K(\beta) : K]$ sono
		finiti dacché $\alpha$ e $\beta$ sono algebrici,
		$K(\alpha, \beta)$ è un'estensione finita di $K$,
		ed è dunque un'estensione algebrica. Pertanto
		$\alpha \pm \beta$, $\alpha\beta$, $\alpha\inv$
		(se $\alpha \neq 0$) e $\beta\inv$ (se $\beta \neq 0$) sono elementi algebrici di $K$,
		e quindi $A$ è un campo, e a maggior ragione un'estensione algebrica di $K$.
	\end{proof}
	
	Le estensioni finite sono completamente caratterizzate
	in qualità di estensioni finitamente generate da elementi
	algebrici sul campo di riferimento, come mostra la:
	
	\begin{proposition}
		$\faktor{L}{K}$ è un'estensione finita se e solo se
		è un'estensione finitamente generata da elementi algebrici.
	\end{proposition}
	
	\begin{proof}
		Se $L$ è un'estensione finita su $K$, allora esiste una
		base finita $\basis = \{l_1, \ldots, l_n\} \subseteq L$
		tale per cui $L = K(l_1, \ldots, l_n)$. Poiché $L$ è
		un'estensione finita, $L$ è anche algebrica, e quindi
		$\basis$ è composta da elementi algebrici su $K$. Pertanto
		$L$ è un'estensione finitamente generata da elementi algebrici
		su $K$. \medskip
		
		Sia ora $L = K(l_1, \ldots, l_n)$ con $l_i$ elemento algebrico
		su $K$. Allora, per il teorema delle torri algebriche,
		$L$ è un'estensione
		finita su $K$ dal momento che questi due campi sono
		i due estremi della seguente torre di estensioni:
		\[\begin{tikzcd}
			{K(l_n, \ldots, l_0)} \\
			{K(l_{n-1}, \ldots, l_0) } \\
			\vdots \\
			{K(l_0)} \\
			K
			\arrow[no head, from=1-1, to=2-1]
			\arrow[no head, from=2-1, to=3-1]
			\arrow[no head, from=3-1, to=4-1]
			\arrow[no head, from=4-1, to=5-1]
		\end{tikzcd}\]
		dove ogni campo interno della torre è un'estensione
		finita del sottocampo corrispondente dal momento
		che $\faktor{L}{K}$ è un'estensione algebrica, da
		cui la tesi.
	\end{proof}

	\begin{proposition}
		Sia $K \subseteq L \subseteq F$ una torre di
		estensioni. Allora $\faktor{F}{K}$ è un'estensione 
		algebrica se e solo se lo sono sia $\faktor{L}{K}$
		che $\faktor{F}{L}$.
	\end{proposition}

	\begin{proof}
		Se $\faktor{F}{K}$ è un'estensione algebrica,
		a maggior ragione $\faktor{F}{L}$ è
		algebrica, dal momento che ogni elemento $f \in K$ è
		radice di un polinomio a coefficienti in $K$, e
		quindi, in particolare, di un polinomio a coefficienti in
		$L$. Allora stesso tempo, ogni elemento di $L$ è un
		elemento di $F$, e quindi tale elemento è ancora algebrico
		su $K$, e così anche $\faktor{L}{K}$ è un'estensione
		algebrica. \medskip
		
		
		Siano $\faktor{L}{K}$ e $\faktor{F}{L}$
		estensioni algebriche. Sia $f \in F$. Allora, poiché $F$ è
		algebrico su $L$, esistono $l_0$, \ldots,
		$l_n \in L$ tali per cui, detto
		$p(x) = l_n x^n + \ldots + l_1 x + l_0 \in L[x]$,
		vale che $p(f) = 0$. In particolare $f$ è
		algebrico su $K(l_n, \ldots, l_0)$, e quindi
		$K(l_n, \ldots, l_0, f)$ è un'estensione finita
		su $K(l_n, \ldots, l_0)$. \medskip
		
		
		Chiaramente anche $K(l_n, \ldots, l_0)$ è un'estensione
		finita su $K$ dal momento che è finitamente generata
		da elementi algebrici su $K$, dacché $L$ è un'estensione
		algebrica su $K$. \medskip
		
		
		Per il teorema delle torri algebriche, allora
		$K(l_n, \ldots, l_0, f)$ è un'estensione finita
		su $K$. Dal momento allora che $K(f) \subseteq K(l_n, \ldots, l_0, f)$, anche questa è un'estensione finita,
		e quindi $f$ è algebrico. Pertanto si conclude che
		$\faktor{F}{K}$ è un'estensione algebrica, da cui
		la tesi.
	\end{proof}
	
	Infine, si presenta un risultato interessante che lega
	l'algebricità di $\faktor{L}{K}$ e $\faktor{M}{K}$ a quella
	di $\faktor{LM}{K}$:
	
	\begin{proposition}
		Siano $K \subseteq L$, $M$. Allora le estensioni
		$\faktor{L}{K}$ e $\faktor{M}{K}$ sono algebriche se
		e solo se $\faktor{LM}{K}$ è algebrica.
	\end{proposition}
	
	\begin{proof}
		Siano $\faktor{L}{K}$ e $\faktor{M}{K}$ algebriche.
		Sia $\alpha \in LM = L(M)$. Dal momento che $L(M)$ è un
		$L$-spazio vettoriale i cui vettori sono gli elementi di
		$M$, allora $\alpha$ può scriversi
		come combinazione lineare finita di elementi in $M$ con
		coefficienti in $L$, ossia:
		\[ \alpha = \sum_{i=1}^n \lambda_i m_i. \]
		Poiché $L$ e $M$ sono estensioni algebriche su $K$,
		$K' := K(\lambda_1, \ldots, \lambda_n, m_1, \ldots, m_n)$ è
		un'estensione finitamente generata da elementi algebrici
		ed è pertanto finita su $K$. Poiché $K(\alpha) \subseteq
		K'$, $K(\alpha)$ è un'estensione finita su $K$ e dunque
		$\alpha$ è algebrico su $K$. Pertanto $LM$ è un'estensione
		algebrica su $K$. \medskip
		
		
		Se $\faktor{LM}{K}$ è un'estensione algebrica, allora
		in particolare ogni elemento di $L$, che appartiene a $L$,
		è algebrico su $K$, e così $\faktor{L}{K}$ è un'estensione
		algebrica. Analogamente lo è anche $\faktor{M}{K}$, da cui
		la tesi.
	\end{proof}

\end{document}