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\title{Scheda riassuntiva di Teoria dei campi e di Galois}

\begin{document}
	
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	\raggedright
	\footnotesize
	
	\begin{center}
		\Large{\textbf{Scheda riassuntiva di Teoria dei campi e di Galois}} \\
	\end{center}
	\begin{multicols}{3}
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		\section{Campi e omomorfismi}
		
		Si dice \textbf{campo} un anello commutativo non banale
		$K$ che è
		contemporaneamente anche un corpo. Si dice
		\textbf{omomorfismo di campo} tra due campi $K$ ed $L$
		un omomorfismo di anelli. Dal momento che un omomorfismo
		$\varphi$ è tale per cui $\Ker \varphi$ è un ideale
		di $K$ con $1 \notin \Ker \varphi$, deve per forza
		valere $\Ker \varphi = \{0\}$, e quindi ogni omomorfismo
		di campi è un'immersione. \medskip
		
		
		\section{Caratteristica di un campo}
		
		Dato l'omomorfismo $\zeta : \ZZ \to K$ completamente
		determinato dalla relazione $1 \xmapsto{\zeta} 1_K$,
		si definisce \textbf{caratteristica di $K$}, detta
		$\Char K$, il
		generatore non negativo di $\Ker \zeta$. In particolare
		$\Char K$ è $0$ o un numero primo. Se $\Char K$ è zero,
		$\zeta$ è un'immersione, e quindi $K$ è un campo infinito,
		e in particolare vi si immerge anche $\QQ$. \medskip
		
		
		Tuttavia non è detto che $\Char K = p$ implichi che $K$ è
		finito. In particolare $\ZZ_p(x)$, il campo delle funzioni
		razionali a coefficienti in $\ZZ_p$, è un campo infinito
		a caratteristica $p$.
		
		
		\subsection{Proprietà dei campi a caratteristica $p$}
		
		Se $\Char K = p$, per il Primo
		teorema di isomorfismo per anelli, $\ZZmod{p}$ si immerge
		su $K$ tramite la proiezione di $\zeta$; pertanto
		$K$ contiene una copia isomorfa di $\ZZmod{p}$. Per
		campi di caratteristica $p$, vale il Teorema del
		binomio ingenuo, ossia:
		\[ (a + b)^p = a^p + b^p, \]
		estendibile anche a più addendi.
		In particolare, per un campo $K$ di caratteristica $p$,
		la mappa $\Frob : K \to K$ tale per cui $a \xmapsto{\Frob} a^p$
		è un omomorfismo di campi, ed in particolare è un'immersione
		di $K$ in $K$, detta \textbf{endomorfismo di Frobenius}. Se $K$ è un campo finito, $\Frob$ è anche
		un isomorfismo. Si osserva che per gli elementi della
		copia $K \supseteq \FF_p \cong \ZZmod{p}$ vale
		$\restr{\Frob}{\FF_p} = \Id_{\FF_p}$, e quindi
		$\Frob$ è un elemento di $\Gal(K / \FF_p)$. 
		
		
		\section{Campi finiti}
		
		
		Per ogni $p$ primo e $n \in \NN^+$ esiste un campo finito
		di ordine $p^n$. In particolare, tutti i campi finiti di
		ordine $p^n$ sono isomorfi tra loro, possono essere visti
		come spazi vettoriali di dimensione $n$ sull'immersione di $\ZZmod{p}$ che contengono,
		e come campi di spezzamento di $x^{p^n}-x$
		su tale immersione. Tali campi hanno obbligatoriamente
		caratteristica $p$, dove $\abs{K} = p^n$. Esiste
		sempre un isomorfismo tra due campi finiti che manda la copia isomorfa di $\ZZmod{p}$ di uno nell'altra. \medskip
		
		
		Poiché i campi finiti di medesima cardinalità sono isomorfi,
		si indicano con $\FF_p$ e $\FF_{p^n}$ le strutture
		algebriche di tali campi. In particolare con
		$\FF_{p^n} \subseteq \FF_{p^m}$ si intende che
		esiste un'immersione di un campo con $p^n$ elementi in
		uno con $p^m$ elementi, e analogamente si farà con
		altre relazioni (come l'estensione di campi)
		tenendo bene in mente di star
		considerando tutti i campi di tale ordine. \medskip
		
		
		Vale la relazione $\FF_{p^n} \subseteq \FF_{q^m}$
		se e solo se $p=q$ e $n \mid m$. Conseguentemente,
		l'estensione minimale per inclusione comune a
		$\FF_{p^{n_1}}$, ..., $\FF_{p^{n_i}}$ è
		$\FF_{p^m}$ dove $m := \mcm(n_1, \ldots, n_i)$. Pertanto
		se $p \in \FF_{p^n}[x]$ si decompone in fattori irriducibili
		di grado $n_1$, \ldots, $n_i$, il suo campo di spezzamento
		è $\FF_{p^m}$. Inoltre, $x^{p^n}-x$ è in $\FF_p$ il
		prodotto di tutti gli irriducibili di grado divisore
		di $n$.
		
		\section{Proprietà dei polinomi di $K[x]$}
		
		Per il Teorema di Lagrange sui campi, ogni polinomio
		di $K[x]$ ammette al più tante radici quante il suo grado.
		Come conseguenza pratica di questo teorema, ogni sottogruppo
		moltiplicativo finito di $K$ è ciclico. Pertanto
		$\FF_{p^n}^* = \gen{\alpha}$ per $\alpha \in \FF_{p^n}$,
		e quindi $\FF_{p^n} = \FF_p(\alpha)$, ossia
		$\FF_{p^n}$ è sempre un'estensione semplice su $\FF_p$. Si dice
		\textbf{campo di spezzamento} di una famiglia $\mathcal{F}$
		di polinomi di $K[x]$ un sovracampo minimale per
		inclusione di $K$ che fa sì che ogni polinomio di $\mathcal{F}$ si decomponga in fattori lineari. I campi
		di spezzamento di $\mathcal{F}$ sono sempre
		$K$-isomorfi tra loro. \medskip
		
		
		Un polinomio irriducibile si dice separabile se ammette
		radici distinte. Per il criterio della derivata,
		$p \in K[x]$ ammette radici multiple se e solo se
		$\MCD(p, p')$ non è invertibile, dove $p'$ è la derivata
		formale di $p$. Se $p \in K[x]$ e $n := \deg p$, il campo di spezzamento $L$ di $p$ è tale per cui
		$[L : K] \leq n!$. Se $p$ è irriducibile e separabile, vale anche che $n \mid [L : K] \mid n!$, come
		conseguenza dell'azione del relativo gruppo di
		Galois sulle radici. \medskip
		
		
		Se $p$ è irriducibile in $K[x]$, $(p)$ è un ideale
		massimale, e $K[x] / (p)$ è un campo che
		ne contiene una radice, ossia $[x]$. In
		particolare $K$ si immerge in $K[x] / (p)$,
		e quindi tale campo può essere identificato come
		un'estensione di $K$ che aggiunge una radice di $p$.
		Se $K$ è finito, detta $\alpha$ la radice aggiunta
		all'estensione, $L := K[x] / (p) \cong K(\alpha)$ contiene
		tutte le radici di $p$ (ed è dunque il suo campo
		di spezzamento). Infatti detto $[L : \FF_p] = n$,
		$[x]$ annulla $x^{p^n}-x$ per il Teorema di Lagrange
		sui gruppi, e quindi $p$ deve dividere $x^{p^n}-x$;
		in tal modo $p$ deve spezzarsi in fattori lineari,
		e quindi ogni radice deve già appartenere ad $L$.
		In particolare, ogni estensione finita e semplice
		di un campo finito è normale, e quindi di Galois. \medskip
		
		\section{Estensioni di campo}
		
		
		Si dice che $L$ è un'estensione di $K$, e si indica
		con $L / K$, se $L$ è un sovracampo di $K$,
		ossia se $K \subseteq L$. Si indica con $[L : K] = \dim_K L$ la
		dimensione di $L$ come $K$-spazio vettoriale. Si
		dice che $L$ è un'estensione finita di $K$ se $[L : K]$
		è finito, e infinita altrimenti. Un'\textbf{estensione finita}
		di un campo finito è ancora un campo finito. Un'estensione
		è finita se e solo se è finitamente generata da elementi algebrici. Una $K$-immersione è un omomorfismo di campi
		iniettivo da un'estensione di $K$ in un'altra estensione di $K$ che
		agisce come l'identità su $K$. Un $K$-isomorfismo è
		una $K$-immersione che è isomorfismo. \medskip
		
		
		\subsection{Composto di estensioni e teorema delle torri algebriche}
		
		
		Date estensioni $L$ e $M$ su $K$, si definisce
		$LM = L(M) = M(L)$ come il \textbf{composto} di $L$
		ed $M$, ossia come la più piccola estensione di $K$ che
		contiene sia $L$ che $M$. In particolare, $LM$
		può essere visto come $L$-spazio vettoriale con
		vettori in $M$, o analogamente come $M$-spazio con
		vettori in $L$. \medskip
		
		
		Per il Teorema delle torri algebriche, $L / K$ è
		un'estensione finita se e solo se $L / F$ e
		$F / K$ lo sono (ossia la finitezza vale strettamente
		per torri). Inoltre, se $\basis_{L/F}$ e $\basis_{F/K}$
		sono basi di $L/F$ e $F/K$, allora
		$\basis_{L/F} \basis_{F/K}$ è una base di
		$L / K$, dove i suoi elementi sono i prodotti tra
		i vari elementi delle due basi. Infine
		se $L / K$ è finita, allora
		anche $LM / M$ è finita, e vale che $[LM : M] \leq [L : K]$ (infatti una base di $L / K$ può essere trasformata
		in un insieme di generatori di $LM / M$), e quindi
		la finitezza vale per \textit{shift}. Sempre per
		il Teorema delle torri algebriche, se $L / K$ è
		finito, allora vale che:
		\[ [L : K] = [L : F] [F : K]. \]
		Se $L / K$ e $M / K$ sono finite, anche $LM / K$ lo
		è (infatti la finitezza vale sia per torri che per \textit{shift}). In particolare, vale che:
		\[ \mcm([L : K], [M : K]) \mid [LM : K]. \]
		Se $[L : K]$ ed $[M : K]$ sono coprimi tra loro,
		allora vale proprio l'uguaglianza
		$[LM : K] = [L : K] [M : K]$. Infatti, in tal caso,
		si avrebbe $[L : K] [M : K] \leq [LM : K]$ e
		$[LM : K] = [LM : M] [M : K] \leq [L : K] [M : K]$.
		
		
		\subsection{Omomorfismo di valutazioni, elementi algebrici e trascendenti e polinomio minimo}
		
		
		Dato $\alpha$, si definisce $K(\alpha)$ il più piccolo
		sovracampo di $K$ che contiene $\alpha$. Si definisce l'\textbf{omomorfismo di
		valutazione} $\varphi_{\alpha, K} : K[x] \to K[\alpha]$, detto
		$\varphi_\alpha$ se $K$ è noto, l'omomorfismo completamente
		determinato dalla relazione $p \xmapsto{\varphi_\alpha} p(\alpha)$. Si verifica che $\varphi_\alpha$ è
		surgettivo. Se $\varphi_\alpha$ è iniettivo,
		si dice che $\alpha$ è \textbf{trascendentale} su $K$ e
		$K[x] \cong K[\alpha]$, da cui $[K[\alpha] : K] =
		[K[x] : K] = \infty$. Se invece $\varphi_\alpha$ non
		è iniettivo, si dice che $\alpha$ è \textbf{algebrico}
		su $K$. Si definisce $\mu_\alpha$, detto il \textbf{polinomio
		minimo} di $\alpha$ su $K$, il generatore monico
		di $\Ker \varphi_\alpha$. IDal momento che $K$ è
		in particolare un dominio di integrità, $\mu_\alpha$ è sempre irriducibile. \medskip
		
		
		Si definisce
		$\deg_K \alpha := \deg \mu_\alpha$. Se $\alpha$ è
		algebrico su $K$, $K[x] / (\mu_\alpha) \cong
		K[\alpha]$, e quindi $K[\alpha]$ è un campo. Dacché
		$K[\alpha] \subseteq K(\alpha)$, vale allora
		$K[\alpha] = K(\alpha)$. Inoltre, poiché $\dim_K K[x] / (\mu_\alpha) = \deg_K \alpha$, vale
		anche che $[K(\alpha) : K] = \deg_K \alpha$.
		Infine, si verifica che $\alpha$ è algebrico se e solo se
		$[K(\alpha) : K]$ è finito. \medskip


		\subsection{Estensioni semplici, algebriche}

		
		Si dice che $L$ è un'\textbf{estensione semplice} di
		$K$ se $\exists \alpha \in L$ tale per cui $L = K(\alpha)$.
		In tal caso si dice che $\alpha$ è un \textbf{elemento primitivo} di $K$. Si dice che $L$ è un'\textbf{estensione
		algebrica} di $K$ se ogni suo elemento è algebrico su $K$.
		Ogni estensione finita è algebrica. Non tutte le
		estensioni algebriche sono finite (e.g.~$\overline{\QQ}$ su $\QQ$). \medskip
		
		
		L'insieme degli elementi algebrici di un'estensione
		di $K$ su $K$ è un estensione algebrica di $K$.
		Pertanto se $\alpha$ e $\beta$ sono algebrici,
		$\alpha \pm \beta$, $\alpha \beta$, $\alpha \beta\inv$
		e $\alpha\inv \beta$ (a patto che o $\alpha \neq 0$ o
		$\beta \neq 0$) sono algebrici.  
		
		
		\subsection{Campi perfetti, estensioni separabili e coniugati}
		
		
		Si dice che un'estensione algebrica $L$ è un'\textbf{estensione separabile} di
		$K$ se per ogni elemento $\alpha \in L$,
		$\mu_\alpha$ ammette radici distinte. Si dice
		che $K$ è un \textbf{campo perfetto} se ogni
		polinomio irriducibile ammette radici distinte,
		ossia se ogni polinomio irriducibile è separabile.
		In un campo perfetto, ogni estensione algebrica
		è separabile. Si definiscono i coniugati di
		$\alpha$ algebrico su $K$ come le radici
		di $\mu_\alpha$. Se $K(\alpha)$ è separabile su $K$,
		$\alpha$ ha esattamente $\deg_K \alpha$ coniugati,
		altrimenti esistono al più $\deg_K \alpha$ coniugati. \medskip
		
		
		Un campo è perfetto se e solo se ha caratteristica
		$0$ o altrimenti se l'endomorfismo di
		Frobenius è un automorfismo. Equivalentemente,
		un campo è perfetto se le derivate dei polinomi
		irriducibili sono sempre non nulle. Esempi di
		campi perfetti sono allora tutti i campi di
		caratteristica $0$ e tutti i campi finiti. 
		
		
		\subsection{Campi algebricamente chiusi e chiusura algebrica di $K$}
		
		Un campo $K$ si dice \textbf{algebricamente chiuso} se
		ogni $p \in K[x]$ ammette una radice in $K$. Equivalentemente $K$ è algebricamente chiuso se
		ogni $p \in K[x]$ ammette tutte le sue radici in $K$.
		Si dice \textbf{chiusura algebrica} di $K$
		una sua estensione algebrica e algebricamente
		chiusa. Le chiusure algebriche di $K$ sono
		$K$-isomorfe tra loro, e quindi si identifica
		con $\overline{K}$ la struttura algebrica della
		chiusura algebrica di $K$. \medskip
		
		
		Se $L$ è una sottoestensione di $K$ algebricamente
		chiuso, allora $\overline{L}$ è il campo degli
		elementi algebrici di $K$ su $L$. Infatti se
		$p \in L[x]$, $p$ ammette una radice $\alpha$ in $K$, essendo
		algebricamente chiuso. Allora $\alpha$ è un elemento
		di $K$ algebrico su $L$, e quindi $\alpha \in \overline{L}$. Per il Teorema fondamentale dell'algebra,
		$\overline{\RR} = \CC$.
		
		
		\subsection{Estensioni normali e di Galois, $K$-immersioni di un'estensione finita di $K$}
		
		Sia $\alpha$ un elemento algebrico su $K$. Allora
		$[K(\alpha) : K] = \deg_K \alpha$. Le
		$K$-immersioni da $K(\alpha)$ in $\overline{K}$
		sono esattamente tante quanti sono i coniugati di
		$\alpha$ e sono tali da mappare $\alpha$ ad un suo coniugato. Se $K$ è perfetto, esistono esattamente
		$\deg_K \alpha$ $K$-immersioni da $K(\alpha)$
		in $\overline{K}$. \medskip
		
		
		Se $L / K$ è un'estensione separabile finita su $K$, allora
		esistono esattamente $[L : K]$ $K$-immersioni
		da $L$ in $\overline{K}$. Per quanto detto prima,
		tali immersioni mappano gli elementi $L$ nei
		loro coniugati. \medskip
		
		
		Se $L$ è un'estensione separabile finita, allora per
		ogni $\varphi : K \to \overline{K}$ esistono
		esattamente $[L : K]$ estensioni $\varphi_i : L \to \overline{K}$ di $\varphi$, ossia omomorfismi
		tali per cui $\restr{\varphi_i}{K} = \varphi$. \medskip
		
		
		Per quanto detto prima, per calcolare dunque tutti
		i coniugati di $\alpha \in L$ su $K$, è sufficiente
		calcolare i distinti valori delle $K$-immersioni
		di $L$ su $\alpha$. Infatti, ogni $K$-immersione
		da $K(\alpha)$ può estendersi a $K$-immersione di
		$L$, e viceversa ogni $K$-immersione di $L$ può
		restringersi a $K$-immersione di $K(\alpha)$. In
		particolare, una volta computati tutti i coniugati, è semplice trovare il polinomio minimo di $\alpha$
		su $K$ (è sufficiente considerare il prodotto dei vari $x-\alpha_i$ dove gli $\alpha_i$ sono tutti i coniugati di $\alpha$). \medskip
		
		
		Si dice che un'estensione algebrica $L / K$ è un'\textbf{estensione normale}
		se per ogni $K$-immersione $\varphi$ da $L$ in $\overline{K}$
		vale che $\varphi(L) = L$. Equivalentemente
		un'estensione è normale se è il campo di spezzamento
		di una famiglia di polinomi (in particolare è il campo
		di spezzamento di tutti i polinomi irriducibili che
		hanno una radice in $L$). Ancora, un'estensione $L$
		è normale se e solo se per ogni $\alpha \in L$,
		i coniugati di $L$ appartengono ancora ad $L$.
		Per un'estensione normale, per ogni $K$-immersione
		$\varphi : L \to \overline{K}$ si può restringere
		il codominio ad un campo isomorfo a $L \subseteq \overline{K}$, e quindi considerare $\varphi$ come
		un automorfismo di $L$ che fissa $K$. \medskip
		
		
		Un'estensione finita $L/K$ di grado $2$ è sempre normale,
		ed in particolare può sempre scriversi come
		$L = K(\sqrt{\Delta})$, dove $\Delta$ non è un quadrato
		in $K$.
		
		
		Si indica con $\Aut_K(L) = \Aut(L / K)$ l'insieme
		degli automorfismi di $L$ che fissano $K$. Se
		$L$ è normale e separabile, si dice
		\textbf{estensione di Galois}, e si definisce
		il suo \textbf{gruppo di Galois}
		$\Gal(L / K)$ come $(\Aut_K L, \circ)$, ossia come
		il gruppo $\Aut_K L$ con l'operazione di
		composizione.
		
		
		\subsection{Azione di $\Gal(L / K)$ sulle radici di $L$ campo di spezzamento}
		
		Sia $p \in K[x]$ irriducibile e separabile.
		Allora si definisce
		il \textbf{gruppo di Galois di $p$} come il gruppo
		di Galois $\Gal(L / K)$, dove $L$ è un campo di
		spezzamento di $p$ su $K$. Se $\deg p = n$ e
		$a_1$, ..., $a_n$ sono le radici di $p$,
		$\Gal(L / K)$ agisce su $\{a_1, \ldots, a_n\}$
		mediante $\Xi$, in modo tale che:
		
		\begin{equation*}
		\begin{split}
			\Xi : \Gal(&L / K) \to S(\{a_1, \ldots, a_n\}) \cong S_n, \\
			&\varphi_i \xmapsto{\Xi} [a_j \mapsto \varphi_i(a_j)].
		\end{split}
		\end{equation*}

		In particolare tale azione è transitiva (dunque $\Orb(a_i) = \{a_j\}_{j=1-n}$)e fedele. Poiché $\Xi$ è fedele, vale che
		$\Gal(L / K) \mono S_n$. Se $\Gal(L / K)$ è abeliano
		(e in tal caso si dice che $L$ è un'\textbf{estensione abeliana}), $\Xi$ è anche transitiva, e quindi
		$\Gal(L / K)$ si identifica come un sottogruppo
		abeliano transitivo di $S_n$, e in quanto tale deve
		valere che $\abs{\Gal(L / K)} = n$. \medskip


		
		Dal momento che $\Xi$ è un'immersione, vale
		che $\abs{\Gal(L / K)} \mid n!$. Dacché allora
		$[K(a_1) : K] = n$, vale in particolare che:
		\[ n \mid \abs{\Gal(L / K)} = [L : K] \mid n!. \]
		
		
		\section{Diagrammi di campo e proprietà}
		
		
		Si definisce \textbf{diagramma di campo} un
		diagramma della seguente forma:
		\[\begin{tikzcd}
			& LM \\
			L & {} & M \\
			& {L \cap M} \\
			& K
			\arrow[no head, from=4-2, to=3-2]
			\arrow[no head, from=3-2, to=2-1]
			\arrow[no head, from=2-1, to=1-2]
			\arrow[no head, from=3-2, to=2-3]
			\arrow[no head, from=2-3, to=1-2]
		\end{tikzcd}\]
		In particolare il precedente diagramma rappresenta
		lo studio dell'estensione di $LM$ su $K$, e
		rappresenta $L$, $M$ e $L \cap M$ come sottoestensioni
		di $LM$. Un estremo superiore di una freccia è sempre,
		per definizione, un'estensione dell'estremo inferiore
		della stessa freccia. \medskip
		
		
		Sia $\mathcal{P}$ una proprietà. Allora si
		studia la proprietà $\mathcal{P}$ secondo
		le seguenti tre modalità:
		\begin{itemize}
			\item validità per \textbf{torri}: se $\mathcal{P}$ vale in due estensioni in $K \subseteq F \subseteq L$, allora vale anche per la terza estensione, ossia
			vale per tutta la torre di estensioni,
			\item validità per \textbf{\textit{shift}} (o per il \textbf{traslato}): se $\mathcal{P}$ vale
			per $F / K$, allora vale anche per $LF / F$, ossia
			vale sul ramo parallelo a quello di $F / K$,
			\item validità per il \textbf{composto}: se
			$\mathcal{P}$ vale per $L / K$ ed $M / K$, allora
			vale anche per $LM / K$.
			\item validità per l'\textbf{intersezione}:
			se $\mathcal{P}$ vale per $L / K$ ed $M / K$,
			allora vale anche per $L \cap M / K$.
		\end{itemize}
		Si dice che $\mathcal{P}$ vale \textit{debolmente}
		per torri, se $\mathcal{P}$ vale per $L / K$ solo
		se vale per $L / F$ sottoestensione.
		Si dice che $\mathcal{P}$ vale \textit{strettamente}
		per torri, se è $\mathcal{P}$ vale per $L / K$ se
		e solo se vale per $L / F$ e $F / K$. Se $\mathcal{P}$ vale strettamente per torri, allora $\mathcal{P}$
		vale anche per l'intersezione. \medskip
		
		
		Si dice che
		$\mathcal{P}$ vale \textit{inversamente} per
		\textit{shift} se $\mathcal{P}$ vale su
		$LF / F$ solo se vale su $L / K$. Si dice che
		$\mathcal{P}$ vale \textit{inversamente} per
		il composto se $\mathcal{P}$ vale su $LF / K$
		implica che $\mathcal{P}$ valga anche su $L / K$
		e $F / K$. Si dice che $\mathcal{P}$ vale \textit{completamente} per \textit{shift} o composto se $\mathcal{P}$
		vale \textit{inversamente} e normalmente per \textit{shift} o
		composto. Se $\mathcal{P}$ vale per torri e
		per \textit{shift}, allora vale anche per il
		composto.
		
		La seguente tabella raccoglie le proprietà
		delle estensioni sui diagrammi di campo:
		\begin{center}
			\scriptsize
			\vskip -0.1in
			\begin{tabular}{l|l|l|l|l}
				\hline
				$\mathcal{P}$ & Torri        & \textit{Shift} & Composto      & Intersez. \\ \hline
				Est. fin.            & Strett. & Normal.                     & Complet. & Sì           \\ \hline
				Est. alg.         & Strett. & Complet.                   & Complet. & Sì           \\ \hline
				Est. sep.        & Strett. & Normal.                     & Normal.   & Sì           \\ \hline
				Est. nor.           & Debolm.   & Normal.                     & Normal.   & Sì           \\ \hline
				Est. Gal.        & Debolm.   & Normal.                     & Normal.   & Sì          
			\end{tabular}
		\end{center}


		\section{Teorema dell'elemento primitivo}
		
		Se $L / K$ è un'estensione finita e separabile,
		$L$ è in particolare un'estensione semplice di
		$K$, per il \textbf{Teorema dell'elemento primitivo}.
		In campi finiti, un tale elemento primitivo è
		un generatore di $L^*$. In campi infiniti, per
		$L = K(a, b)$,
		si può invece considerare il seguente polinomio:
		\[ p(x) = \prod_{i < j} (\varphi_i(a) + x \varphi_i(b) - \varphi_j(b) - x \varphi_j(b)), \]
		dove le varie $\varphi_i$ sono le $K$-immersioni di
		$L$ su $\overline{K}$.
		Si verifica che $p(x)$ è non nullo, e pertanto
		ha supporto non vuoto. Pertanto esiste un $t \in K$ tale
		per cui $p(t) \neq 0$, da cui si ricava che
		$L = K(a + bt)$. Reiterando questo algoritmo su
		tutti i generatori dell'estensione, si ottiene
		un elemento primitivo desiderato.
		
		\section{Teorema di corrispondenza di Galois}
		
		
		Se $L / K$ è di Galois, detto $H \leq \Gal(L / K)$,
		si definisce $L^H$ come la sottoestensione di $L$
		fissata da tutte le $K$-immersioni di $H$.
		In particolare vale che $L^H = K \iff H = \Gal(L / K)$.
		Conseguentemente, vale il \textbf{Teorema di corrispondenza di Galois}, di seguito descritto:
		
		\begin{theorem}
			Sia $\mathcal{E}$ l'insieme delle sottoestensioni
			di $L / K$ estensione di Galois. Sia
			$\mathcal{G}$ l'insieme dei sottogruppi di
			$\Gal(L / K)$. Allora $\mathcal{E}$ è
			in bigezione con $\mathcal{G}$ attraverso
			la mappa $\alpha : \mathcal{E} \to \mathcal{G}$
			tale per cui:
			\[ F \xmapsto{\alpha} \Gal(L / F) \leq
			\Gal(L / K), \]
			la cui inversa $\beta : \mathcal{G} \to \mathcal{E}$
			è tale per cui:
			\[ H \xmapsto{\beta} L^H \subseteq L. \]
			Inoltre, una sottoestensione $F / K$ di
			$L / K$ è normale su $K$ se e solo se
			il corrispondente sottogruppo di $\Gal(L / K)$
			è normale. Infine, se $F / K$ è normale,
			$F$ è in particolare di Galois e vale che:
			\[ \Gal(F / K) \cong \faktor{\Gal(L / K)}{\Gal(L / F)}. \]
		\end{theorem}
		
		Pertanto, a partire dal Teorema di corrispondenza di Galois, valgono le seguenti proprietà:

		\begin{itemize}
			\item il numero di sottogruppi di $\Gal(L / K)$ di un certo ordine $n$ è uguale al numero di sottoestensioni di $L$ tali per cui $L$ abbia
			grado $n$ su di esse (infatti $[L : F] = \abs{\Gal(L / F)}$),
			\item il numero di sottogruppi di $\Gal(L / K)$ di
			un certo indice $n$ è uguale al numero di
			sottoestensioni di $L$ che hanno grado $n$ su
			$K$ (infatti $[F : K] = [L : K] / [L : F] = \abs{\Gal(L / K)}) / \abs{\Gal(L : F)} =
			[\Gal(L / K) : \Gal(L / F)]$),
			\item $L^H \subset L^Q \iff Q < H$,
			\item $L^H L^Q = L^H(L^Q) = L^{H \cap Q}$,
			\item $L^{\gen{H, Q}} = L^H \cap L^Q$,
		\end{itemize}
	
		In particolare, un diagramma di campi -- a patto
		che il suo estremo superiore sia di Galois -- può
		essere collegato ad un diagramma di gruppi,
		``invertendo'' le inclusioni. Se
		$G = \Gal(L / K)$ e $H \subseteq G$, allora il
		diagramma:
		    \[\begin{tikzcd}
				L \\
				{L^H} \\
				K
				\arrow["G", bend left, no head, from=3-1, to=1-1]
				\arrow["{G/H}"', no head, from=3-1, to=2-1]
				\arrow["H"', no head, from=2-1, to=1-1]
			\end{tikzcd}\]
		si relaziona tramite corrispondenza al
		diagramma:
		\[\begin{tikzcd}[row sep=small]
			{\{e\}} \\
			\\
			H \\
			\\
			G
			\arrow[no head, from=1-1, to=3-1]
			\arrow[no head, from=3-1, to=5-1]
		\end{tikzcd}\]
		
		\section{Gruppi di Galois noti}

		\subsection{Campi finiti}
		
		Il campo finito $\FF_{p^n}$ è sempre normale
		su $\FF_p$, dal momento che può essere costruito
		come campo di spezzamento di $x^{p^n} - x$ su
		$\FF_p$ stesso. Equivalentemente, poiché
		un omomorfismo di campi è sempre iniettivo (e dunque
		conserva sempre la cardinalità),
		una $\FF_p$-immersione deve mandare $\FF_{p^n}$
		in un campo della stessa cardinalità, e quindi
		necessariamente un campo isomorfo a $\FF_{p^n}$. \medskip
		
		
		Per un campo finito, $\Frob$ è un automorfismo che
		fissa $\FF_p$. Allora $\Frob \in \Gal(\FF_{p^n} / \FF_p)$. Inoltre $\ord \Frob = n = \abs{\Gal(\FF_{p^n} / \FF_p}$ (altrimenti $\FF_{p^n}$ non sarebbe campo di
		spezzamento di $x^{p^n}-x$), e quindi vale che:
		\[ \Gal(\FF_{p^n} / \FF_p) = \gen{\Frob} \cong \ZZmod{n}. \]
			
		
		Pertanto se $\alpha \in \FF_{p^n} \setminus \FF_p$,
		tutti i suoi coniugati si ottengono reiterando
		al più $p^n$ volte $\Frob$ su $\alpha$.
		
		\subsection{Polinomi biquadratici}
		
		Sia $p(x) = x^4 + ax^2 + b$ irriducibile su $\QQ$.
		Allora, se $L$ è un suo campo di spezzamento e $\Delta = a^2 - 4b$ è l'usuale discriminante di $p$ visto come polinomio in $x^2$, vale che:
		
		\[ \Gal(L / \QQ) \cong \begin{cases}
			\ZZmod{4} & \se b \text{ è quadrato in $\QQ$}, \\
			\ZZmod{2} \times \ZZmod{2} & \se b \Delta \text{ è quadrato in $\QQ$}, \\
			D_4 & \altrimenti.
		\end{cases} \]
		
		
		\subsection{Radici di primi in $\QQ$}
		
		Siano $p_1$, ..., $p_n$ numeri primi distinti.
		Allora
		vale che:
		\[ \Gal(\QQ(\sqrt{p_1}, \ldots, \sqrt{p_n})/\QQ) \cong (\ZZmod{2})^n. \]
		
		\subsection{I polinomi ciclotomici $\Phi_n(x)$}
		
		Sia $\Phi_n(x)$ l'$n$-esimo polinomio ciclotomico, così definito:
		\[ \Phi_n(x) = \prod_{\substack{1 \leq d \leq n \\ \MCD(d, n) = 1}} (x - \zeta_n^d), \]
		dove $\zeta_n$ è una radice primitiva $n$-esima dell'unità. \medskip
		
		
		Tale polinomio è sempre a coefficienti interi ed è inoltre primitivo
		su $\ZZ[x]$. Vale inoltre che:
		\[ x^n - 1 = \prod_{m \mid n} \Phi_m(x). \]
		Il campo di spezzamento di $\Phi_n(x)$ su $\QQ$ è
		$\QQ(\zeta_n)$, che è un'estensione normale, separabile e finita,
		e pertanto di Galois. \medskip
		
		
		Inoltre vale che:
		\[ \Gal(\QQ(\zeta_n)/\QQ) \cong (\ZZmod{n})^\times, \]
		e dunque $\Phi_n(x)$ è sempre irriducibile su $\QQ$.
		
		\vfill
		\hrule
		~\\
		Ad opera di Gabriel Antonio Videtta, \url{https://poisson.phc.dm.unipi.it/~videtta/}.
		~\\Reperibile su
		\url{https://notes.hearot.it}, nella sezione \textit{Secondo anno $\to$ Algebra 1 $\to$ 3. Teoria delle estensioni di campo e di Galois $\to$ Scheda riassuntiva di Teoria dei campi e di Galois}.
	\end{multicols}
	
\end{document}