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\chapter{Spazi di probabilità in generale}
\setlength{\parindent}{2pt}

\begin{multicols*}{2}
    \section{Definizioni preliminari}

    \subsection{Esperimento aleatorio, spazi campionari}

    \begin{definition}[Esperimento aleatorio]
        Si dice \textbf{esperimento aleatorio} un fenomeno il cui esito
        non è determinabile a priori.
    \end{definition}
    
    \begin{definition}[Spazio campionario]
        Si definisce \textbf{spazio campionario}, spesso indicato con
        $\Omega$, un insieme non vuoto che contiene gli
        esiti di un esperimento aleatorio.
    \end{definition}

    \subsection{\texorpdfstring{$\sigma$}{σ}-algebre, spazi e funzioni misurabili}

    \begin{definition}[$\sigma$-algebra]
        Una $\sigma$-algebra $\FF$ di $\Omega$ è un sottoinsieme $\FF \subseteq \PP(\Omega)$ tale per cui:

        \begin{enumerate}[(i.)]
            \item $\Omega \in \FF$,
            \item $A \in \FF \implies A^c \in \FF$,
            \item per $(A_i)_{i \in \NN}$ famiglia numerabile di insiemi
                in $\FF$, $\bigcup_{i \in \NN} A_i \in \FF$ ($\FF$ è chiuso per unioni numerabili).
        \end{enumerate}
    \end{definition}

    Una $\sigma$-algebra $\FF$ di uno spazio campionario $\Omega$ rappresenta l'insieme degli
    \textbf{eventi accettabili}. In particolare:

    \begin{definition}[Spazio misurabile]
        Si definisce \textbf{spazio misurabile} una coppia
        $(\Omega, \FF)$, dove $\FF$ è una $\sigma$-algebra
        di $\Omega$. Gli elementi di $\FF$ sono detti
        \textbf{insiemi misurabili} (e nel caso della probabilità,
        \textbf{eventi}).
    \end{definition}

    \begin{definition}[Funzione misurabile]
        Data una funzione $f$ dallo spazio misurabile $(X, \FF)$ allo spazio
        $(Y, \cS)$ si dice \textbf{misurabile} se $f\inv(A) \in \FF$ per ogni
        $A \in \cS$, ovverosia se la controimmagine di un insieme misurabile è
        misurabile.
    \end{definition}

    \begin{remark}
        Se $\mathcal{G}$ genera $\cS$, allora è sufficiente verifica che
        $f\inv(A) \in \FF$ per ogni $A \in \mathcal{G}$ affinché
        $f$ sia misurabile.
    \end{remark}

    \begin{remark}
        Un insieme $A$ è misurabile in $(\Omega, \FF)$ se e solo se
        $1_A$ è misurabile rispetto a $\{0,1\}$ e le sue parti (infatti
        $1_A\inv(1) = A$ e $1_A\inv(0) = A^c$).
    \end{remark}

    \subsection{Insiemi discreti e \texorpdfstring{$\sigma$}{σ}-algebra naturale}

    In alcuni casi la scelta della $\sigma$-algebra $\FF$ è
    naturale, come nel caso in cui si considera uno spazio
    campionario discreto:

    \begin{definition}[Insieme discreto]
        Diciamo che un insieme $\Omega$ è discreto se è finito o numerabile.
        Se non viene esplicitato altrimenti, per $\Omega$ si considererà
        sempre la $\sigma$-algebra naturale $\PP(\Omega)$.
    \end{definition}

    \subsection{Proprietà di una \texorpdfstring{$\sigma$}{σ}-algebra e \texorpdfstring{$\sigma$}{σ}-algebra generata}

    In casi non discreti, è invece più naturale considerare
    $\sigma$-algebre molto meno grandi dell'insieme delle
    parti; in particolare, come vedremo nella \textit{Parte 3},
    sarà naturale chiedersi qual è la $\sigma$-algebra più
    piccola che contiene una certa famiglia di insiemi:

    \begin{definition}[$\sigma$-algebra generata da una famiglia di insiemi]
        Sia $\tau$ una famiglia di sottoinsiemi di $\PP(\Omega)$. Allora
        si definisce la $\sigma$-algebra
        generata da $\tau$, detta $\sigma(\tau)$, come la più
        piccola $\sigma$-algebra contenente $\tau$. Equivalentemente:
        \[
            \sigma(\tau) = \bigcap_{\substack{\FF \subseteq \PP(\Omega) \\ \tau \subseteq \FF \\ \FF \; \sigma\text{-alg.}}} \FF.
        \]
    \end{definition}

    \begin{remark}
        La definizione data è una buona definizione dal momento che si
        verifica facilmente che l'intersezione di $\sigma$-algebre è ancora
        una $\sigma$-algebra.
    \end{remark}

    \begin{proposition}[Proprietà di $\FF$] Se $\FF$ è una $\sigma$-algebra
    di $\Omega$, allora:
        \begin{enumerate}[(i.)]
            \item $\emptyset \in \FF$,
            \item per $(A_i)_{i \in \NN}$ famiglia numerabile di insiemi
                in $\FF$, $\bigcap_{i \in \NN} A_i \in \FF$ ($\FF$ è chiuso per intersezioni numerabili),
            \item $A \setminus B = A \cap B^c \in \FF \impliedby A$, $B \in \FF$.
        \end{enumerate}
    \end{proposition}

    \section{Corrispondenze logiche e relazionali tra eventi}

    \begin{remark}[Corrispondenze affermazioni ed eventi]
        Ad alcune affermazioni logiche su $A$ e $B$ eventi di $\FF$ corrispondono degli eventi ben precisi o delle
        relazioni:
        \begin{itemize}
            \item ``Si verificano $A$ e $B$'' corrisponde a $A \cap B$,
            \item ``Si verifica $A$ o $B$'' corrisponde a $A \cup B$,
            \item ``Si verifica esattamente uno tra $A$ e $B$'' corrisponde a $A \setminus B \cupdot B \setminus A = A \Delta B$ (differenza simmetrica),
            \item ``Non si verifica $A$'' corrisponde a $A^c$,
            \item ``Si verifica qualcosa'' corrisponde a $\Omega$,
            \item ``Non si verifica niente'' corrisponde a $\emptyset$,
            \item ``Se succede $A$, allora succede $B$'' corrisponde a $A \subseteq B$,
            \item ``Non succedono $A$ e $B$ contemporaneamente'' corrisponde a
                $A \cap B = \emptyset$.
        \end{itemize}
    \end{remark}

    \section{Misure di probabilità}

    \subsection{La probabilità \texorpdfstring{$P$}{P} su \texorpdfstring{$\Omega$}{Ω} e spazi di probabilità}

    \begin{definition}[Probabilità \texorpdfstring{$P$}{P} su $(\Omega, \FF)$ secondo Kolmogorov]
        Dato $(\Omega, \FF)$ spazio misurabile, una \textbf{misura
        di probabilità} $P$, detta semplicemente \textit{probabilità},
        è una funzione $P : \FF \to \RR$ tale per cui:

        \begin{enumerate}[(i.)]
            \item $P(\Omega) = 1$,
            \item $0 \leq P(A) \leq 1$ per ogni $A \in \FF$ (ossia $P$ può restringersi su $[0, 1]$ al codominio),
            \item $P(\bigcupdot_{i \in \NN} A_i) = \sum_{i \in \NN} P(A_i)$ ($\sigma$-additività).
        \end{enumerate}

        In particolare $P$ è una misura per cui $P(\Omega) = 1$.
    \end{definition}

    \begin{definition}[Spazio di probabilità]
        Si dice \textbf{spazio di probabilità} una tripla
        ($\Omega$, $\FF$, $P$) dove ($\Omega$, $\FF$) è
        uno spazio misurabile e $P$ è una
        probabilità su ($\Omega$, $\FF$).
    \end{definition}

    \subsection{Proprietà della probabilità \texorpdfstring{$P$}{P}}

    \begin{proposition}[Proprietà di $P$]
        Se $P$ è una probabilità su ($\Omega$, $\FF$), allora:

        \begin{enumerate}[(i.)]
            \item $P(\emptyset) = 0$,
            \item $P(\bigcupdot_{i \in [n]} A_i) = \sum_{i \in [n]} P(A_i)$ ($\sigma$-additività finita),
            \item $P(A) + P(A^c) = 1$,
            \item $A \subseteq B \implies P(A) \leq P(B)$ e $P(B \setminus A) = P(B) - P(A)$ (segue da (iii.)),
            \item $P(B \setminus A) = P(B) - P(A \cap B)$ (segue da (iv) considerando che $B \setminus A = B \setminus (A \cap B)$),
            \item $P(A \cup B) = P(A \Delta B \cupdot A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ (segue da (v.)),
            \item $P(\bigcup_{i \in [n]} A_i) = \sum_{j \in [n]} (-1)^{j+1} \sum_{1 \leq i_1 < \cdots < i_j \leq n} P(\bigcap_{k \in [j]} A_{i_{k}})$ (segue da (vi.) per induzione, Principio di inclusione-esclusione ``probabilistico''),
            \item $P(\bigcup_{i \in \NN} A_i) \leq \sum_{i \in \NN} P(A_i)$ ($\sigma$-subadditività).
        \end{enumerate}
    \end{proposition}

    \begin{remark}
        Per $\Omega$ finito, la $\sigma$-additività finita implica la $\sigma$-additività per il Principio della piccionaia.
    \end{remark}

    \begin{proposition}[Comportamento di $P$ al limite]
        Sia $(A_i)_{i \in \NN}$ una famiglia numerabile di
        eventi in $\FF$ sullo spazio di probabilità
        $(\Omega, \FF, P)$. Allora:

        \begin{enumerate}[(i.)]
            \item $A_i \goesup A \implies P(A_i) \goesup P(A)$,
            \item $A_i \goesdown A \implies P(A_i) \goesdown P(A)$.
        \end{enumerate}
    \end{proposition}

    \subsection{Eventi incompatibili, quasi certi e trascurabili, proprietà che accadono q.c.}

    \begin{definition}[Eventi trascurabili e quasi certi]
        Sia $A \in \FF$. Allora $A$ si dice \textbf{trascurabile} se
        $P(A) = 0$; si dice \textbf{quasi certo} se $P(A) = 1$.
    \end{definition}

    \begin{definition}[Eventi incompatibili]
        Due eventi $A$, $B \in \FF$ si dicono \textbf{incompatibili} se
        $A \cap B = \emptyset$.
    \end{definition}

    \begin{definition}[$q$ accade \qc]
        Si dice che una proprietà $q$ \textbf{accade quasi certamente (\qc)}
        se esiste $A \in \FF$ quasi certo che soddisfa
        $q$.
    \end{definition}

    \begin{remark}
        Si osserva che la nozione di proprietà che accade \qc è perfettamente
        coerente con la nozione di proprietà che accade \qc riferita a
        $P$ come misura (e non specificatamente come misura di probabilità) su $\RR$, ovverosia $q$ accade \qc se esiste
        $A \in \FF$ trascurabile tale per cui $A^c$ soddisfi $q$.
    \end{remark}

    \section{Probabilità condizionata}

    \subsection{Definizione di \texorpdfstring{$P(\cdot \mid B)$}{P(•|B)}}

    \begin{definition}[Probabilità condizionata su $B$]
        Dato $B \in \FF$ evento non trascurabile (i.e.~$P(B) \neq 0$),
        la \textbf{probabilità condizionata} su $B$ è la misura
        di probabilità $P(\cdot \mid B)$ sullo stesso spazio misurabile
        tale per cui:
        \[
            P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad \forall A \in \FF.
        \]
    \end{definition}

    \begin{proposition}
        $P(\cdot \mid B)$ è una misura di probabilità su $(\Omega, \FF)$.
    \end{proposition}

    \begin{remark}
        La probabilità condizionata su $\Omega$ coincide con $P$.
    \end{remark}

    \begin{remark}
        In generale $P(A \mid \cdot)$ non è una probabilità, dacché
        per $\Omega$ si ricava che $P(A \mid \Omega) = P(A)$, che
        potrebbe non essere $1$.
    \end{remark}

    \subsection{Regola della catena, formula delle probabilità totali e Teorema di Bayes}

    \begin{lemma}[Regola della catena, o della torre]
        Dati $(A_i)_{i \in [n]}$ con $P(\bigcap_{i \in [n]} A_i) > 0$, allora vale che
        $P(\bigcap_{i \in [j]} A_i) > 0$ per ogni $j \leq n$. Inoltre vale che:
        \[ P\left(\bigcap_{i \in [n]} A_i\right) = \left(\prod_{j \in [n-1]} P\left(A_j \,\middle\vert\, \bigcap_{i=j+1}^{n} A_i\right)\right) P(A_n), \]

        che segue per induzione applicando $P(A \cap B) = P(A \mid B) P(B)$.
    \end{lemma}

    \begin{remark}
        Per esempio, la regola della catena per $A$, $B$ e $C$ si riduce
        a:
        \[
            P(A \cap B \cap C) = P(A \mid B \cap C) P(B \mid C) P(C).
        \]
    \end{remark}

    \begin{definition}[Sistema di alternative]
        Una famiglia $(B_i)_{i \in I}$ con $I = \NN$ o
        $I = [n]$ si dice \textbf{sistema di alternative}
        per $\Omega$ se $\Omega = \bigcupdot_{i \in I} B_i$
        e $P(B_i) > 0$ per ogni $i \in I$ (ovverosia
        $B_i$ non è mai trascurabile).
    \end{definition}

    Un sistema di alternative permette di calcolare più agevolmente
    la probabilità di un evento riducendosi alle probabilità
    condizionate, come mostra il:

    \begin{lemma}[Formula delle probabilità totali, o formula della partizione]
        Sia $(B_i)_{i \in I}$ un sistema di alternative per $\Omega$. Allora vale
        che:
        \[ 
            P(A) = \sum_{i \in I} P(A \cap B_i) = \sum_{i \in I} P(A \mid B_i) P(B_i).
        \]
    \end{lemma}

    Nella maggior parte dei casi è possibile ``invertire'' una probabilità
    condizionata, ovverosia ricavare una probabilità tra $P(A \mid B)$,
    $P(B \mid A)$, $P(A)$ e $P(B)$ conoscendone tre, a patto che
    $A$ e $B$ non siano trascurabili, come mostra il:

    \begin{theorem}[di Bayes]
        Siano $A$ e $B$ due eventi non trascurabili. Allora vale che:
        \[
            P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) P(A)}{P(B)}.
        \]
        Segue considerando le due scritture possibili di $P(A \cap B)$.
    \end{theorem}

    \begin{remark}
        Applicando il Teorema di Bayes e la formula delle probabilità totali,
        si ricava che per un sistema di alternative $(B_i)_{i \in I}$ e
        $A$ non trascurabile vale che:

        \[
            P(B_i \mid A) = \frac{P(A \mid B_i) P(B_i)}{\sum_{j \in I} P(A \mid B_j) P(B_j)}, \quad \forall i \in I.
        \]
    \end{remark}

    \begin{remark}
        Applicando la regola della catena, la formula delle probabilità totali
        e il Teorema di Bayes è possibile calcolare agevolmente la probabilità
        di un'intersezione di eventi cononoscendone l'albero di sviluppo probabilistico.
        In particolare, per calcolare la probabilità di un nodo è sufficiente
        moltiplicare le probabilità dei rami facenti parte del percorso dal nodo
        alla radice.
    \end{remark}

    \subsection{Rapporto di influenza, correlazione positiva e negativa}

    \begin{definition}[Rapporto di influenza]
        Siano $A$ e $B$ due eventi non trascurabili. Allora
        il \textbf{rapporto di influenza} di $A$ e $B$
        (o più brevemente, la loro \textit{influenza}) è
        il parametro:
        \[
            L(A, B) \defeq \frac{P(A\mid B)}{P(A)},
        \]
        ed è tale per cui:
        \[
            P(A \mid B) = L(A, B) P(A).
        \]
    \end{definition}

    \begin{proposition}
        $L(\cdot, \cdot)$ è simmetrica, ovverosia $L(A, B) = L(B, A)$ per
        ogni evento $A$ e $B$. Segue dal Teorema di Bayes.
    \end{proposition}

    \begin{definition}[Correlazione positiva e negativa tra $A$ e $B$]
        Se $A$ e $B$ sono due eventi non trascurabili, si dice
        che $A$ è \textbf{positivamente correlato} a $B$ (o che
        si \textit{dilata probabilisticamente} rispetto a $B$) se
        $P(A \mid B) \geq P(A)$ (ovverosia se $L(A, B) > 1$). \smallskip
        
        Analogamente
        si dice che $A$ è \textbf{negativamente correlato} a $B$
        (o che si \textit{contrae probabilisticamente} rispetto a $B$) se
        $P(A \mid B) \leq P(A)$ (ovverosia se $L(A, B) < 1$).
    \end{definition}

    \begin{remark}
        Il caso in cui $L(A, B) = 1$ è discusso nella sezione \textit{\nameref{sec:indipendenza}} e corrisponde all'indipendenza
        tra $A$ e $B$.
    \end{remark}

    \begin{remark}
        Si può parlare più generalmente di correlazione tra $A$ e $B$
        senza scegliere un evento ``rispetto'' a cui analizzarla, dacché
        $L(\cdot, \cdot)$ è simmetrica per il Teorema di Bayes. Infatti,
        se $P(A \mid B) \leq P(A)$, anche $P(B \mid A) \leq P(B)$, cioè
        $A$ è correlato positivamente a $B$ se e solo se $B$ è correlato
        positivamente ad $A$. \smallskip


        Una correlazione positiva tra $A$ e $B$ indica che, accadendo $B$,
        si amplifica la probabilità che accada $A$; viceversa, una correlazione
        negativa inficia ridimensionando in contrazione la probabilità che accada $A$
        se accade $B$.
    \end{remark}

    \section{Indipendenza stocastica tra eventi}
    \label{sec:indipendenza}

    \begin{definition}[Famiglia di eventi indipendenti]
        Una famiglia $(A_i)_{i \in I}$ di eventi si dice \textbf{stocasticamente
        indipendente}, o più semplicemente indipendente, se
        per ogni $J \subseteq I$ finito vale che:
        \[
            P(\cap_{j \in J} A_j) = \prod_{j \in J} P(A_j).
        \]

        Nel caso di due eventi questo si riduce a verificare
        che $P(A \cap B) = P(A) P(B)$. Si dice che gli $A_i$ sono
        \textbf{collettivamente indipendenti}.
    \end{definition}

    \begin{remark}
        Generalmente non è sufficiente verificare che ogni coppia di eventi distinti è
        indipendente per verificare che la famiglia è globalmente indipendente.
        Infatti, il significato dell'indipendenza in termini puramente probabilistici
        è che una famiglia $\FF$ è indipendente se e solo se il ``verificarsi'' di
        alcuni eventi della famiglia non influenza il ``verificarsi'' degli altri.
    \end{remark}

    \begin{remark}
        Se $(A_i)_{i \in I}$ è una famiglia di eventi indipendenti, allora
        per $J \subseteq I$, $(A_j)_{j \in J}$ è ancora una famiglia di
        eventi indipendenti (l'indipendenza si tramanda per restrizione).
    \end{remark}

    \begin{proposition}
        Se $P(B) > 0$, allora $A$ e $B$ sono indipendenti se
        e solo se $P(A \mid B) = P(A)$. Inoltre, se
        $(A_j)_{j \in J} \cup \{A\}$ è una famiglia finita di eventi
        non trascurabili (eccetto eventualmente per $A$)
        indipendenti tra loro, allora
        $P(\bigcap_{j \in J} A_j) \neq 0$ e
        $P(A \mid \bigcap_{j \in J} A_j) = P(A)$.
    \end{proposition}

    \begin{proposition}
        Se $A$ e $B$ sono indipendenti, allora anche
        $A^c$ e $B$ sono indipendenti. Analogamente
        lo sono $A$ e $B^c$, così come
        $A^c$ e $B^c$.


        Da ciò segue che se $(A_i)_{i \in I}$ è una famiglia di eventi
        indipendenti, allora $(A_i^{\alpha_i})_{i \in I}$ è una famiglia
        di eventi indipendenti per qualsiasi scelta di $\alpha_i$ in
        $\{1, c\}$.
    \end{proposition}

    \begin{proposition}
        Sia $(A_i)_{i \in I}$ una famiglia di eventi indipendenti. Allora,
        se $I$ è partizionato dagli $I_j$, ovverosia $I = \bigcupdot_{j \in J} I_j$,
        allora $(\bigcap_{i \in I_j} A_{i})_{j \in J})$ è ancora una famiglia
        di eventi indipendenti (ossia intersecando alcuni elementi della famiglia
        e lasciandone invariati altri, la famiglia ottenuta è ancora indipendente).
    \end{proposition}

    \begin{theorem}
        Sia $(A_i)_{i \in I}$ una famiglia di eventi indipendenti. Allora,
        ogni operazione di unione, intersecazione o complementare di alcuni elementi della famiglia restituisce una famiglia ancora indipendente. \smallskip

        Segue dalle due proposizioni precedenti (infatti $A \cup B = (A^c \cap B^c)^c$).
    \end{theorem}

    \begin{example}
        Per esempio, se $A$, $B$ e $C$ sono indipendenti, anche $A \cup B$, $C^c$
        è indipendente. Se $A$, $B$, $C$ e $D$ sono indipendenti, anche
        $(A \cap B) \cup C^c$ e $D^c$ lo sono.
    \end{example}

    \begin{remark}
        Un'evento $A$ è indipendente da ogni evento $B \in \FF$, incluso
        sé stesso, se e solo se $P(A) \in \{0, 1\}$, ovvero se e solo
        se $A$ è trascurabile o quasi certo (infatti si avrebbe che
        $P(A) = P(A \cap A) = P(A)^2$).
    \end{remark}

    \begin{remark}
        Due eventi incompatibili $A$ e $B$ sono indipendenti se e solo se
        uno dei due è trascurabile.
    \end{remark}
\end{multicols*}