%--------------------------------------------------------------------
\chapter*{Prerequisiti matematici}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Prerequisiti matematici}
\setlength{\parindent}{2pt}

\begin{multicols*}{2}
      \section*{Algebra lineare}
      \addcontentsline{toc}{section}{Algebra lineare}

      \begin{itemize}
            \item \textbf{Caratterizzazione del rango di una matrice} -- Sia $M \in \RR^{m \times n}$ una matrice. Allora $\rk(M) = k$ se e solo se
                  i minori di taglia superiore a $k$ in $M$ hanno tutti determinante nullo ed esiste un minore di
                  taglia $k$ con determinante \underline{non} nullo.
      \end{itemize}

      \section*{Analisi matematica}
      \addcontentsline{toc}{section}{Analisi matematica}

      \begin{itemize}
            \item \textbf{Teorema di Schwarz} -- Sia $f : \RR^n \to \RR$ una funzione che ammette derivate seconde
                  miste continue in $\vec{x}$. Allora $\partial_{x_i x_j} f(\vec{x}) = \partial_{x_j x_i} f(\vec{x})$ per
                  ogni variabile $x_i$, $x_j$.

            \item \textbf{Teorema della funzione implicita} -- Sia $U$ un aperto di $\RR^m \times \RR^n$ e sia
                  $f : U \to \RR^n$ una funzione di classe $C^k$ con $k \geq 1$. Sia $\vec{p} = (\vec{x_0}, \vec{y_0})$ un punto in $U$ con
                  $f(\vec{x_0}, \vec{y_0}) = \vec{a}$ e $J_{\vec{y}} f(\vec{p})$ invertibile. \smallskip

                  Allora esiste un
                  intorno $A = I_{\vec{x}} \times I_{\vec{y}}$  di $\vec{p}$ in $U$ all'interno del quale esiste un'unica
                  funzione $g : I_{\vec{x}} \to I_{\vec{y}}$ di classe $C^k$ per cui:
                  \[ \vec{y} = g(\vec{x}) \iff f(\vec{x}, \vec{y}) = \vec{a}, \quad \text{(in $A$)}. \]
                  Inoltre per tale $g$ vale:
                  \[ J g(\vec{x_0}) = - J_{\vec{y}} f(\vec{p})\inv J_{\vec{x}} f(\vec{p}). \]

            \item \textbf{Teorema di invertibilità locale} (o \textit{della funzione inversa}) -- Sia $U$ un aperto di $\RR^n$ e sia $f : U \to \RR^n$ una
                  funzione di classe $C^k$, con $k \geq 1$. Sia $\vec{x_0}$ un punto in $U$ con $J f(\vec{x_0})$ invertibile. \smallskip

                  Allora esiste un
                  intorno $A$ di $\vec{x_0}$ in $U$ dentro al quale $\restr{f}{A}$ ha un'inversa $g$, anch'essa di classe
                  $C^k$, per la quale $J g(f(\vec{x})) = J f(\vec{x})\inv$.

            \item \textbf{Teorema di esistenza e unicità globale per sistemi lineari di equazioni differenziali} --
                  Sia $I \subseteq \RR$ un intervallo aperto e siano date due funzioni continue:
                  \[ A : I \to \RR^{n \times n} \quad \text{e} \quad \vec{b} : I \to \RR^n. \]
                  Fissato $(t_0, \vec{y_0}) \in I \times \RR^n$, esiste un'unica soluzione $\vec{y} : I \to \RR^n$
                  del problema di Cauchy:
                  \[
                        \begin{cases}
                              \vec{y}'(t) = A(t)\vec{y}(t) + \vec{b}(t), \\
                              \vec{y}(t_0) = \vec{y_0}.
                        \end{cases}
                  \]

            \item \textbf{Teorema di Cauchy-Lipschitz per l'esistenza e l'unicità locale} --
                  Sia $\Omega$ un aperto di $\RR \times \RR^n$ e sia $\vec{f} : \Omega \to \RR^n$ una funzione continua.
                  Si supponga inoltre che $\vec{f}$ sia \emph{localmente lipschitziana} rispetto alla seconda variabile. \smallskip

                  Allora, per ogni $(t_0, \vec{y_0}) \in \Omega$, esistono $\delta > 0$ e un'unica funzione
                  $\vec{y} : (t_0 - \delta, t_0 + \delta) \to \RR^n$ di classe $C^1$ che risolve il problema di Cauchy:
                  \[
                        \begin{cases}
                              \vec{y}'(t) = \vec{f}(t, \vec{y}(t)), \\
                              \vec{y}(t_0) = \vec{y_0}.
                        \end{cases}
                  \]

            \item \textbf{Teorema di dipendenza liscia dai dati iniziali} --
                  Sia $\Omega$ un aperto di $\RR \times \RR^n$ e sia $\vec{f} : \Omega \to \RR^n$ una funzione di classe
                  $C^k$ con $k \geq 1$. Indichiamo con $\Phi(t, t_0, \vec{y_0})$ la soluzione massimale del
                  problema di Cauchy con dato iniziale $\vec{y}(t_0) = \vec{y_0}$. \smallskip

                  Allora l'insieme di definizione del flusso:
                  \[
                        \mathcal{D} = \left\{ (t, t_0, \vec{y_0}) \in \RR \times \Omega :
                        \begin{array}{c}
                              \text{la soluzione } \vec{y}(t, t_0, \vec{y_0}) \\
                              \text{esiste al tempo } t
                        \end{array}
                        \right\}
                  \]
                  è un aperto di $\RR \times \Omega$ e l'applicazione $\Phi : \mathcal{D} \to \RR^n$ è di classe $C^k$.

            \item \textbf{Teorema di Sard sugli aperti di $\RR^n$} -- Sia $U \subseteq \RR^n$ aperto, e sia $f : U \to \RR^n$ una mappa
                  liscia. Allora l'insieme $\crit(f)$ dei valori critici di $f$ ha misura nulla.

            \item \textbf{Teorema di approssimazione di Weierstrass} -- Sia $K \subseteq \RR^n$ un compatto, e sia $f : K \to \RR$ una mappa
                  continua. Allora per ogni $\eps > 0$ esiste una funzione polinomiale $P : K \to \RR$ tale per cui $\norm{f-P}_\infty < \eps$.
      \end{itemize}

      \section*{Teoria della misura}
      \addcontentsline{toc}{section}{Teoria della misura}

      \begin{itemize}
            \item \textbf{Caratterizzazione dell'annullamento della misura di Lebesgue} -- Sia $A$ un sottinsieme di $\RR^n$. Allora
                  $A$ ha misura nulla se e solo se, per ogni scelta di $\eps > 0$, esiste una famiglia numerabile $\{B_i\}_{i \geq 0}$
                  di rettangoli $B_i \subseteq \RR^n$ tali per cui:
                  \[ A \subseteq \bigcup_{i \geq 0} B_i, \quad \sum_{i \geq 0} \vol(B_i) < \eps. \]

            \item \textbf{Lemma per la nullità della misura su un unione numerabile di insiemi di misura nulla} -- Se $\{A_k\}_{k \geq 0}$
                  è una famiglia di sottinsiemi di misura nulla di $\RR^n$, allora anche $\bigcup_{k \geq 0} A_k$ ha misura nulla.

      \end{itemize}

\end{multicols*}