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\chapter{Teoria delle superfici}
\setlength{\parindent}{2pt}

\begin{multicols*}{2}
    Qualora non specificato, assumeremo l'utilizzo di funzioni di classe $C^\infty$. \smallskip

    Se $\vec{x}$ è una parametrizzazione regolare o una funzione con dominio un sottinsieme di $\RR^2$,
    ammettiamo l'abuso di notazione $\vec{x}(P)$ per sottintendere $\vec{x}(\vec{y}\inv(P))$, dove
    $\vec{y}$ è una parametrizzazione regolare di $P$ sulla superficie studiata.

    \section{Definizioni preliminari}

    \subsection{Parametrizzazioni regolare}

    \begin{definition}[Parametrizzazione regolare]
        Si dice \textbf{parametrizzazione regolare} una mappa
        $\vec{x} : U \to \RR^3$ con $U$ aperto di $\RR^3$ tale che:
        \begin{itemize}
            \item $\vec{x}$ è iniettiva;
            \item $\vec{x_u} \times \vec{x_v} \neq 0$ per ogni $(u, v) \in U$ (\textbf{regolarità});
            \item $\vec{x\inv}$ è continua.
        \end{itemize}
    \end{definition}

    \begin{remark}
        Osserviamo che $J \vec{x} = [\vec{x_u} \;\; \vec{x_v}]$.
        Allora richiedere la regolarità è equivalente a richiedere che $\rk(J \vec{x})$ sia sempre massimo,
        ovvero:
        \[ \rk(J \vec{x}) = 2. \]
    \end{remark}

    \begin{proposition} \label{prop:parametrizzazione_è_cinf}
        Ogni parametrizzazione regolare è un diffeomorfismo $C^\infty$.
    \end{proposition}

    \begin{proof}
        Sia $\vec{x} : U \to \Sigma$ una parametrizzazione regolare surgettiva su $\Sigma$. Sia $(u_0, v_0) \in U$.
        Dal momento che $\vec{x}$ è regolare, esiste un minore $2 \times 2$ in $J \vec{x}(u_0, v_0)$ invertibile.
        Sia $\pi$ la proiezione da $\RR^3$ sul piano $\Span(e_i, e_j) \cong \RR^2$, dove $i$ e $j$ sono gli indici delle
        righe del minore rispetto a $J \vec{x}(u_0, v_0)$. \smallskip

        Allora $J (\pi \circ \vec{x})(u_0, v_0)$ è invertibile,
        e per il Teorema di invertibilità locale, $\pi \circ \vec{x}$ è localmente invertibile. Dacché
        $\vec{x}\inv$ è localmente uguale a $(\pi \circ \vec{x})\inv \circ \pi\inv$, che è composizione di
        funzioni $C^\infty$, si ricava che $\vec{x}$ è un diffeomorfismo $C^\infty$ locale. Dal momento che
        $\vec{x}$ è però iniettiva, si ricava che è anche un diffeomorfismo $C^\infty$.
    \end{proof}

    \subsection{Superficie}

    \begin{definition}[Superficie]
        Una \textbf{superficie} è un sottinsieme $\Sigma$ di $\RR^3$ tale per cui
        ogni punto $P$ di $\Sigma$ ammette una parametrizzazione regolare $\vec{x_P}$ la cui immagine
        sia contenuta in $\Sigma$ e che sia intorno di $P$ in $\Sigma$. Ci riferiremo a
        $\vec{x_P}$ come a una \textbf{parametrizzazione regolare per $P$}.
    \end{definition}

    \begin{remark}
        Chiaramente, se $\vec{x} : U \to \RR^3$ è una parametrizzazione regolare, allora $\vec{x}(U)$ è una
        superficie.
    \end{remark}

    \begin{proposition}
        $\Sigma$ è una superficie se e solo se ogni suo punto ammette una parametrizzazione
        regolare della forma $\vec{x} : B_\eps(0) \subseteq \RR^2 \to \Sigma$.
    \end{proposition}

    \begin{proof}
        Siccome ogni parametrizzazione regolare $\vec{x} : U \to \Sigma$ ha come dominio
        è un aperto, possiamo restringerci a una palla di raggio $\eps$ di $\vec{x}\inv(P)$.
        Tramite traslazione possiamo infine riportare $\vec{x}\inv(P)$ al centro,
        ottenendo una parametrizzazione del tipo desiderato.
    \end{proof}

    \begin{proposition}
        Se $\Sigma$ è una superficie, una funzione $f : \Sigma \to \RR^n$ è
        continua se e solo se $f \circ \vec{x}$ è una funzione continua
        per ogni parametrizzazione regolare $\vec{x}$ di un punto di $\Sigma$.
    \end{proposition}

    \begin{proof}
        Deriva dal fatto che una funzione è continua se e solo se è
        localmente continua.
    \end{proof}

    \section{Classi fondamentali di superfici}

    \subsection{Superfici di rotazione}
    \begin{definition}[Superficie di rotazione]
        Sia $\alpha : I \to \RR^3$ una curva parametrizzata della forma
        $(a(t), 0, b(t))$ tale che $\alpha$ è regolare e omeomorfismo locale.
        Si definisce allora la \textbf{superficie di rotazione} (intorno
        all'asse $z$) di $\alpha$ come l'immagine della seguente
        parametrizzazione canonica:
        \[
            \vec{x}(u, v) = (a(u) \cos(v), a(u) \sin(v), b(u)).
        \]
    \end{definition}

    \begin{definition}[Paralleli e meridiani]
        Sia $\Sigma$ una superficie di rotazione con parametrizzazione canonica
        $\vec{x}$. Allora l'immagine della curva $\alpha_{u_0}(t) = \vec{x}(u_0, t)$
        è detta \textbf{parallelo}, mentre quella della curva
        $\gamma_{v_0}(t) = \vec{x}(t, v_0)$ è detta \textbf{meridiano}. \smallskip

        I paralleli sono dunque le intersezioni della superficie con i piani della
        forma $\{z = k\}$, mentre i meridiani lo sono rispetto ai piani della
        forma $\{ ax + by = 0 \}$.
    \end{definition}

    \begin{proposition}
        Una superficie di rotazione è effettivamente una superficie, poiché
        la sua parametrizzazione canonica è regolare.
    \end{proposition}

    \subsection{Grafici, valori regolari e superfici di livello}
    \begin{proposition}[Il grafico di una funzione $C^\infty$ a valori reali con dominio $U \subseteq \RR^2$ è una superficie] \label{prop:grafici_sono_superfici}
        Il grafico $\Gamma_f$ di una funzione $f : U \to \RR$ con $U \subseteq \RR^2$ è
        parametrizzato come $\vec{x}(u, v) = (u, v, f(u, v))$, ed è dunque una superficie.
    \end{proposition}

    \begin{definition}
        Sia $f : A \to \RR$ con $A \subseteq \RR^3$ una funzione liscia. Allora si dice che
        $a \in f(A)$ è un \textbf{valore regolare} per $f$ se:
        \[
            \nabla f(p) \neq 0, \quad \forall p \in f\inv(a).
        \]
    \end{definition}

    \begin{proposition}
        Sia $f : A \to \RR$ con $A \subseteq \RR^3$ una funzione liscia. Allora, se
        $a$ è un valore regolare per $f$, $f\inv(a)$ è una superficie ed è detta
        \textbf{superficie di livello $a$ rispetto a $f$}.
    \end{proposition}

    \begin{proof}
        La tesi discende direttamente come applicazione del Teorema della funzione
        implicita. Infatti, se $a$ è un valore regolare, $f\inv(a)$ è localmente
        un grafico su ogni suo punto. Allora, per la Proposizione \ref{prop:grafici_sono_superfici},
        $f\inv(a)$ è una superficie.
    \end{proof}

    \section{Piano tangente e orientabilità}

    \subsection{Piano tangente e compatibilità tra parametrizzazioni regolari diverse}

    \begin{definition}[Funzione di transizione]
        Siano $\vec{x}$, $\vec{y} : U, U' \to \RR^3$ due parametrizzazioni regolari per $P$
        su una superficie $\Sigma$ aventi stessa immagine. Si definisce allora la
        \textbf{funzione di transizione} $f_{\vec{x}, \vec{y}} : U \to U'$ da $\vec{x}$ a $\vec{y}$ come:
        \[
            \boxed{f_{\vec{x}, \vec{y}} \defeq \vec{y}\inv \circ \vec{x},}
        \]
        in modo tale che il seguente diagramma commuti:
        \[\begin{tikzcd}
                & \Sigma \\
                \\
                U && {U'}
                \arrow["{\vec{x}}"', from=3-1, to=1-2]
                \arrow["f_{\vec{x}, \vec{y}}", from=3-1, to=3-3]
                \arrow["{\vec{y}}", from=3-3, to=1-2]
            \end{tikzcd}\]
    \end{definition}

    \begin{proposition}
        Una funzione di transizione $f_{\vec{x}, \vec{y}}$ è
        un diffeomorfismo $C^\infty$.
    \end{proposition}

    \begin{proof}
        Dal momento che $\vec{x}$ e $\vec{y}$ sono diffeomorfismi $C^\infty$ per
        la Proposizione \ref{prop:parametrizzazione_è_cinf}, essendo
        $f$ composizione di variazioni di queste, anche $f$ lo è.
    \end{proof}

    \begin{proposition} \label{prop:stesso_piano_tangente_param_regolari}
        Siano $\vec{x}$ e $\vec{y}$ due parametrizzazioni regolari per $P$ su una
        superficie $\Sigma$. Allora vale:
        \[ \Span(\vec{x_u}(P), \vec{x_v}(P)) = \Span(\vec{y_u}(P), \vec{y_v}(P)). \]
    \end{proposition}

    \begin{proof}
        Possiamo assumere senza perdita di generalità che le immagini di $\vec{x}$ e $\vec{y}$ (basta
        prendere l'intersezione delle immagini). \smallskip

        Posto allora $f_{\vec{x}, \vec{y}}(s, t) = (u(s, t), v(s, t))$,
        vale $\vec{x}(s, t) = \vec{y}(u(s, t), v(s, t))$, e quindi:
        \[
            \begin{cases}
                \vec{x_s}(P) = u_s(P) \cdot \vec{y_u}(P) + v_s(P) \cdot \vec{y_t}(P), \\
                \vec{x_t}(P) = u_t(P) \cdot \vec{y_u}(P) + v_t(P) \cdot \vec{y_t}(P).
            \end{cases}
        \]

        Dal momento che $J f_{\vec{x}, \vec{y}}(P)$ ha rango $2$, allora
        il precedente sistema induce un cambio di base da $\{\vec{x_u}(P), \vec{x_v}(P)\}$
        a $\{\vec{y_u}(P), \vec{y_v}(P)\}$, da cui la tesi.
    \end{proof}

    \begin{definition}[Piano tangente]
        Sia $\Sigma$ una superficie. Allora, se $P$ è un punto di $\Sigma$, si definisce
        il \textbf{piano tangente $T_P \Sigma$ di $P$ rispetto a $\Sigma$} come:
        \[
            \boxed{T_P \Sigma \defeq \Span(\vec{x_u}(P), \vec{x_v}(P)),}
        \]
        dove $\vec{x}$ è una qualsiasi parametrizzazione regolare di $P$.
    \end{definition}

    \subsection{Versori normali e orientabilità}

    \begin{definition}[Versore normale su $\vec{x}$]
        Sia $\vec{x}$ una parametrizzazione regolare di un punto $P$ su
        una superficie $\Sigma$. Definiamo il \textbf{versore normale}
        $n_\vec{x}(P)$ come:
        \[ \boxed{n_\vec{x}(P) \defeq \frac{\vec{x_u} \times \vec{x_v}}{\norm{\vec{x_u} \times \vec{x_v}}}.} \]
    \end{definition}

    \begin{proposition}
        Due parametrizzazioni regolari $\vec{x}$, $\vec{y} : U, U' \to \Sigma$
        con stessa immagine hanno stessa normale in ogni punto se e solo se
        la funzione di transizione ha in ogni punto jacobiano di determinante
        positivo.
    \end{proposition}

    \begin{proof}
        Segue dal sistema trovato nella dimostrazione della Proposizione
        \ref{prop:stesso_piano_tangente_param_regolari}.
    \end{proof}

    \begin{definition}[Parametrizzazioni regolari compatibili]
        Due parametrizzazioni regolari $\vec{x}$, $\vec{y} : U, U' \to \Sigma$
        si dicono \textbf{compatibili} se l'intersezione delle immagini è vuota o
        se hanno stessa normale sull'intersezione delle immagini.
    \end{definition}

    \begin{definition}[Superficie orientabile]
        Una superficie $\Sigma$ si dice \textbf{orientabile} se è ricoperta
        da parametrizzazioni regolari a due a due compatibili.
    \end{definition}

    \begin{proposition} \label{prop:normale_continua}
        Una superficie $\Sigma$ è orientabile se e solo se esiste una
        funzione continua $\vec{n} : \Sigma \to \RR^3$ tale per cui
        $\vec{n}(P)$ sia unitario e perpendicolare a $T_P \Sigma$ per
        ogni punto $P$ di $\Sigma$.
    \end{proposition}

    %TODO: breve dimostrazione

    \begin{corollary}
        Ogni superficie $\Sigma$ di livello $\ell$ rispetto a $f$, per $f$ liscia e $\ell$ regolare, è orientabile.
    \end{corollary}

    \begin{proof}
        Il gradiente $\nicefrac{\nabla f}{\norm{\nabla f}}$ è un campo vettoriale unitario e
        ortogonale a $T_P \Sigma$ per ogni punto $P$. Si conclude per la Proposizione \ref{prop:normale_continua}.
    \end{proof}

    \begin{warn}
        Ogni superficie è localmente orientabile! \\[0.5em]
        È sufficiente prendere per ogni
        punto come ricoprimento la sua stessa parametrizzazione regolare.
    \end{warn}
\end{multicols*}