%-------------------------------------------------------------------- \chapter*{Notazioni impiegate} \addcontentsline{toc}{chapter}{Notazioni impiegate} \setlength{\parindent}{2pt} \begin{multicols*}{2} \section*{Algebra lineare} \addcontentsline{toc}{section}{Teoria della misura} \begin{itemize} \item $q_\varphi$ -- dato uno spazio vettoriale $V$ equipaggiato con un prodotto scalare $\varphi$, $q_\varphi$ è la forma quadratica associatogli, ovverosia $q_\varphi(v) = \varphi(v, v)$. \item $\norm{v}_{\varphi}$ -- dato uno spazio vettoriale reale $V$ equipaggiato con un prodotto scalare (semi)definito positivo $\varphi$, $\norm{\cdot}_{\varphi}$ è la (semi)norma indotta da $\varphi$, ovverosia $\norm{v}_{\varphi} = \sqrt{q_{\varphi}(v)} = \sqrt{\varphi(v, v)}$. \item vettore isotropo -- vettore che annulla la forma quadratica. \item vettore anisotropo -- vettore non isotropo, vettore che non annulla la forma quadratica. \item $\cos_\varphi(v, w)$, $\cos(v, w)$ -- dati due vettori anisotropi $v$, $w$ su uno spazio vettoriale reale $V$ equipaggiato di un prodotto scalare semidefinito positivo $\varphi$, si definisce $\cos_\varphi(v, w)$ (o $\cos(v, w)$ se $\varphi$ è noto dal contesto) in modo tale che: \[ \cos_\varphi(v, w) = \frac{\varphi(v, w)}{\norm{v}_\varphi \cdot \norm{w}_\varphi}. \] \item vettore $v$ ortogonale a $w$ per $\varphi$ -- Due vettori $v$, $w$ tali per cui $\varphi(v, w) = 0$. \item $V^\perp_{\varphi}$ -- Radicale del prodotto scalare (o hermitiano) $\varphi$ sullo spazio $V$, ovverosia sottospazio dei vettori ortogonali ai vettori di tutto lo spazio. \item $\CI(\varphi)$ -- Sottoinsieme dei vettori di $V$ che annullano $q_{\varphi}$, ossia sottoinsieme dei vettori isotropi. \item $C_{\varphi}(v, w)$ -- coefficiente di Fourier di $v$ rispetto a $w$, ossia $C(v, w) \defeq \frac{\varphi(v, w)}{\varphi(v, v)}$. \end{itemize} \section*{Analisi matematica} \addcontentsline{toc}{section}{Analisi matematica} \begin{itemize} \item $f(A_i) \goesup x$ -- la successione $(f(A_i))_{i \in \NN}$ a valori in $\RR$ è crescente al crescere di $i$ e ha come limite $x$. \item $f(A_i) \goesdown x$ -- la successione $(f(A_i))_{i \in \NN}$ a valori in $\RR$ è decrescente al crescere di $i$ e ha come limite $x$. \item esponente coniugato di $p$ -- per $p > 1$, l'esponente coniugato $p'$ di $p$ è un numero reale $p' > 1$ tale per cui: \[ \frac{1}{p} + \frac{1}{p'} = 1. \] \item $\norm{x}_p$ -- norma $p$-esima del vettore $x \in \RR^n$, ovverosia: \[ \norm{x}_p = \left(\sum_{i \in [n]} \abs{x_i}^p\right)^\frac{1}{p}. \] Per $p = 2$, si scrive semplicemente $\norm{x}$, e coincide con la norma indotta dal prodotto scalare canonico di $\RR^n$. \item $f > g$ -- Per una funzione $f$ a valori reali, come affermazione corrisponde a dire che per un qualsiasi punto del dominio $x$, $f(x) > g(x)$. Si estende naturalmente a $<$, $\geq$, $\leq$ (eventualmente con catene di disuguaglianze). Da non confondersi con l'insieme $f > g$. \item $a$ -- Per una costante $a \in \RR$ la mappa costante $D \ni d \mapsto a \in \RR$; la sua interpretazione dipende dal contesto. \item $f^+$ -- Parte positiva di una mappa $f$ a valori reali, ovverosia $f^+(a)$ è uguale a $f(a)$ se $f(a) \geq 0$ e $0$ altrimenti. \item $f^-$ -- Parte negativa di una mappa $f$ a valori reali, ovverosia $f^-(a)$ è uguale a $-f(a)$ se $f(a) \leq 0$ e $0$ altrimenti. In questo modo $f = f^+ - f^-$. \item $\exp$ -- Funzione esponenziale $e^x$. \item $\log \equiv \ln = \log_e$ -- Logaritmo naturale, ossia logaritmo in base $e$. \item $C^n$ -- Classe di funzioni derivabili $n$ volte con $n$-esima derivata continua. Per $n = 0$, classe di funzioni continue. \item $C^\infty$ -- Classe di funzioni derivabili un numero illimitato di volte. \end{itemize} \section*{Combinatoria} \addcontentsline{toc}{section}{Combinatoria} \begin{itemize} \item $D_{n,k} = \frac{n!}{(n-k)!}$ -- numero di disposizioni ottenute prendendo $k$ elementi tra $n$ oggetti. \item $\binom{n}{k} = C_{n,k}$ -- il coefficiente binomiale $n$ su $k$, ovverosia il numero di combinazioni possibili prendendo $k$ elementi tra $n$ oggetti; equivale a $\frac{n!}{(n-k)!k!} = D_{n,k}/k!$. Alternativamente, il numero di sottoinsiemi di $k$ elementi in $[n]$. \item $S(I)$ -- gruppo simmetrico relativo a $I$, gruppo delle permutazioni di $I$. \item $S_n$ -- $n$-esimo gruppo simmetrico, gruppo delle permutazioni di $[n]$. \end{itemize} \section*{Teoria degli insiemi} \addcontentsline{toc}{section}{Teoria degli insiemi} \begin{itemize} \item $\PP(\Omega)$ -- insieme delle parti di $\Omega$, ossia insieme dei sottoinsiemi di $\Omega$. \item $\restr{f}{A}$ -- restrizione della funzione al dominio $A$. \item $A \cupdot B$ -- unione disgiunta di $A$ e $B$, ovverosia $A \cup B$ con l'ipotesi che $A \cap B = \emptyset$ (la notazione si estende naturalmente a una famiglia di insiemi a due a due disgiunti). \item $A \Delta B = A \setminus B \cupdot B \setminus A$ -- differenza simmetrica tra $A$ e $B$. \item $[n]$ -- l'insieme $\{1, \ldots, n\}$. \item $\prod_{i \in I} S_i$ con $S_i$ insieme e $I$ ordinato -- prodotto cartesiano degli $S_i$, ordinato secondo $I$. \item $[[n]]$ -- l'insieme $\{0, \ldots, n\} = \{0\} \cup [n]$. \item $\#A$, $\abs{A}$ -- numero di elementi di $A$, o semplicemente la cardinalità di $A$. \item insieme finito -- insieme in bigezione con $[n]$ per qualche $n \in \NN$. \item insieme numerabile -- insieme in bigezione con $\NN$. \item $A_i \goesup A$ -- la famiglia $(A_i)_{i \in \NN}$ è crescente e ha come limite $A$, ovverosia $A_i \subseteq A_{i+1}$ per ogni $i \in \NN$ e $\bigcup_{i \in \NN} A_i = A$. \item $A_i \goesdown A$ -- la famiglia $(A_i)_{i \in \NN}$ è decrescente e ha come limite $A$, ovverosia $A_i \supseteq A_{i+1}$ per ogni $i \in \NN$ e $\bigcap_{i \in \NN} A_i = A$. \item $\omega_i$ -- $i$-esima coordinata di $\omega \in \Omega$, se $\Omega$ è un prodotto cartesiano di finiti termini o di un numero numerabile di termini. \item $A^1 \defeq A$ -- useremo questa notazione per comodità. \item $A^c$ -- il complementare di $A$ riferito a $\Omega$, quindi $\Omega \setminus A$, in modo tale che $\Omega = A \cupdot A^c$. \item $X\inv(A)$ -- controimmagine dell'insieme $A \subseteq C$ in riferimento alla funzione $X : D \to C$, ovverosia $X\inv(A) = \{\omega \in D \mid X(\omega) \in A\}$. \item $S_X$, $\im X$ -- immagine della funzione $X$. \item $\supp X$ -- supporto di $X$, ovverosia sottoinsieme del dominio degli elementi che non annullano $X$. \item $1_A$, $I_A$ -- funzione indicatrice di $A$, ovverosia la funzione $1_A : B \to [[1]] \subseteq \RR$ riferita ad $A \subseteq B$ tale per cui: \[ 1_A(b) = \begin{cases} 1 & \text{se } b \in A, \\ 0 & \text{altrimenti}. \end{cases} \] \item $\groupto$ -- simbolo utilizzato al posto $\to$ quando si elencano più funzioni che condividono o lo stesso dominio o lo stesso codominio (e.g.~$f$, $g : A$, $B \groupto C$ elenca una funzione $f : A \to C$ e una $g : B \to C$; $f$, $g : A \groupto B$, $C$ elenca una funzione $f : A \to B$ e una $g : A \to C$). \end{itemize} \section*{Topologia generale} \addcontentsline{toc}{section}{Topologia generale} \begin{itemize} \item $\tau(X)$ -- dato $X$ spazio metrico, insieme degli aperti di $X$, ossia topologia di $X$. \item spazio separabile -- spazio topologico contenente un denso, ossia un insieme la cui chiusura è tutto lo spazio (e.g.~$\QQ$ per $\RR$). \item spazio II-numerabile -- spazio topologico che ammette una base numerabile. \end{itemize} \section*{Probabilità e teoria della misura} \addcontentsline{toc}{section}{Probabilità e teoria della misura} \begin{itemize} \item $\Omega$ -- spazio campionario, l'insieme di tutti i possibili esiti dell'esperimento aleatorio considerato. \item $\sigma(\tau)$ -- $\sigma$-algebra generata dalla famiglia $\tau \subseteq \PP(\Omega)$. \item $\sigma\{A_1, \ldots, A_n\}$ -- $\sigma$-algebra generata dalla famiglia $\tau = \{A_1, \ldots, A_n\} \subseteq \PP(\Omega)$. \item $\BB(X)$ -- $\sigma$-algebra dei boreliani, ossia $\sigma$-algebra generata dagli aperti di $X$ spazio metrico separabile. \item $\FF$ -- $\sigma$-algebra relativa a $\Omega$, ossia l'insieme dei possibili eventi. \item $(\Omega, \FF)$ -- spazio misurabile. \item $\pi$-sistema -- insieme $I \subseteq \FF$, $I \neq \emptyset$ con $(\Omega, \FF)$ spazio misurabile, $\sigma(I) = \FF$ e $I$ chiuso per intersezioni. \item $\mu$ -- misura su uno spazio misurabile. \item $m$ -- misura di Lebesgue sullo spazio misurabile $(\RR, \BB(\RR))$. \item $P$ -- misura di probabilità su uno spazio misurabile. \item $(\Omega, \FF, P)$ -- spazio di probabilità. \item \qc -- quasi certo/quasi certamente. \item \qo -- quasi ovunque. \item $p$ -- per $\Omega$ discreto, funzione di densità discreta; per una probabilità discreta $P$, la densità discreta della probabilità ristretta all'insieme $\Omega_0$ su cui è concentrata $P$ o, con abuso di notazione, la mappa $x \mapsto P(\{x\})$ (che coincide sui termini di $\Omega_0$ con $p$ e che è $0$ negli altri punti). \item $\delta_a$ -- delta di Dirac; dato uno spazio misurabile $(\Omega, \FF)$ e $a \in \Omega$, probabilità tale per cui $\delta_a(A) = 1$ se $a \in A$ e $0$ altrimenti (tale probabilità è concentrata in $\{a\}$ ed è dunque discreta). \item f.d.r.~-- funzione di ripartizione, rispetto a una probabilità reale. \item $F$, $F_P$ -- per una probabilità reale, funzione di ripartizione. \item $f$ -- densità (in senso reale) della probabilità. \item AC -- assolutamente continua, riferito a una probabilità. \item \va -- variabile aleatoria. \item $P^X$ -- legge della v.a.~$X$ rispetto a $P$. \item $p_X$ -- densità della legge della v.a.~$X$, rispetto a $P$. \item $X \in A$ -- per una \va $X : \Omega \to S$, $X \in A$ è l'insieme $X\inv(A)$. Si estende naturalmente al caso $\notin$. \item $X = a$ -- per una \va $X : \Omega \to S$, $X = a$ è l'insieme $X\inv(a)$. Si estende naturalmente al caso $\neq$. \item $X = Y$ -- per due \va $X, Y : \Omega \groupto S$ l'insieme $\{ \omega \in \Omega \mid X(\omega) = Y(\omega) \}$. Si estende naturalmente al caso $\neq$ e in modo analogo a $>$, $<$, $\leq$, $\geq$. \item $X > a$ -- per una \va reale $X : \Omega \to \RR$, $X > a$ è l'insieme $X\inv((a, \infty))$; per una \va discreta $X : \Omega \to \RR$ è l'insieme $X\inv(\{m \in \NN \mid m > a\})$. Si estende naturalmente ai casi $<$, $\leq$, $\geq$ (eventualmente anche con una catena di disuguaglianze). Da non confondersi con l'affermazione $X > a$ per $X$ a valori reali. \item $\varphi(X)$ -- per una \va, la composizione $\varphi \circ X$. \item $\deq$, $\sim$ -- per due v.a.~$X, Y : \Omega_1, \Omega_2 \groupto S$ indica l'uguaglianza di legge, ovverosia $P_{\Omega_1}^X = P_{\Omega_2}^Y$. \item i.d.~-- identicamente distribuite; utilizzato in relazione a un gruppo di v.a.~che condividono la stessa legge (spesso rispetto a uno stesso $\Omega$). \item i.i.d.~-- indipendenti e identicamente distribuite; utilizzato in relazione a un gruppo di v.a.~indipendenti che condividono la stessa legge (spesso rispetto a uno stesso $\Omega$). \item $(X_i)_{i \in I}$ -- famiglia di v.a., oppure v.a.~congiunta. \item $(X_1, \ldots, X_n)$ -- per una famiglia $(X_i : \Omega \to S_i)_{i \in [n]}$ di v.a.~indica la v.a.~congiunta (multivariata) $(X_1, \ldots, X_n) : \Omega \to \prod_{i \in [n]} S_i$, $\omega \mapsto (X_1(\omega), \ldots, X_n(\omega))$. Se la famiglia è composta da due variabili, si dice anche \textit{coppia bivariata}. \item $P(A, B) \defeq P(A \cap B)$ -- notazione introdotta per scrivere più comodamente $P(X = x, Y = y)$ in luogo di $P((X = x) \cap (Y = y))$. Si generalizza in modo naturale a più eventi. \item $L(A, B) \defeq \frac{P(A \mid B)}{P(A)}$ -- rapporto di influenza tra $A$ e $B$. \item $\bigotimes_{i \in [n]} P_i = P_1 \otimes \cdots \otimes P_n$ -- Date $P_i$ probabilità su $S_i$ discreto, $P_1 \otimes \cdots \otimes P_n \defeq P$ è la misura di probabilità naturale su $\prod_{i \in [n]} S_i$ tale per cui le proiezioni $\pi_i$ siano v.a.~discrete indipendenti e per cui $P(\pi_i = x_i) = p_i(x_i)$ per ogni $x_i \in S_i$, $i \in [n]$. \item $\EE[X]$ -- valore atteso di $X$. \item $\EE[X \mid A] = \defeq \frac{\EE[X \cdot 1_A]}{P(A)}$ -- valore atteso di $X$ condizionato a $A$. \item $\Cov(X, Y) \defeq \EE[(X - \EE[X])(Y - \EE[Y])]$ -- covarianza di $X$ e $Y$. \item $\Var(X) \defeq \Cov(X, X)$ -- varianza di $X$. \item $\sigma(X) \defeq \sqrt{\Var(X)}$ -- deviazione standard di $X$. \item $\rho(X, Y)$ -- coefficiente di correlazione di Pearson, ovverosia $\cos_{\Cov}(X, Y) = \frac{\Cov(X, Y)}{\sigma(X) \cdot \sigma(Y)}$. \item $a^*$, $b^*$ -- date due v.a.~$X$, $Y$, $a^*$ e $b^*$ sono i parametri della retta di regressione $y = a^*x + b^*$. \item $I(t)$ -- trasformata di Cramer. \item LGN - Legge dei Grandi Numeri. \item TCL, TLC - Teorema Centrale del Limite. \item $m$, $\sigma$ -- spesso nel contesto della LGN e del TCL si usa $m$ per indicare $\EE[X_1]$ e $\sigma$ per indicare $\sigma(X_1)$. \end{itemize} \end{multicols*}