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\newcommand{\gfrac}[2]{\displaystyle \frac{#1}{#2}}
\newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}
\newcommand{\norm}[1]{\lVert \vec{#1} \rVert}
\newcommand{\nnorm}[1]{\lVert #1 \rVert}


\begin{document}

\author{Gabriel Antonio Videtta}
\title{Appunti di Fisica}

\maketitle

\tableofcontents

\chapter{I moti principali della fisica}

\section{Il moto uniformemente accelerato (m.u.a.)}

Conoscendo le definizioni di accelerazione ($\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt}$)
e di velocità ($\vec{v} = \frac{d\vec{x}}{dt}$) è possibile, ponendo l'accelerazione
costante (i.e. il \textit{jerk} è nullo, $\frac{d\vec{a}}{dt} = 0$), ricavare numerose formule.

\subsection{Le equazioni del moto in un sistema di riferimento unidimensionale}

Le equazioni del moto sono le seguenti:

\begin{equation}
    \begin{dcases}
        x(t)=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2 \\
        v(t)=v_0+at
    \end{dcases}
    \label{eq:mua}
\end{equation}

\begin{proof}
    Da $a=\frac{dv}{dt}$, si ricava $dv=a\cdot dt$, da cui:

    \begin{equation*}
        \int dv=\int a\, dt = a \int dt \Rightarrow v=v_0+at
    \end{equation*}

    Dimostrata questa prima equazione, è possibile dimostrare in modo analogo l'altra:

    \begin{equation*}
        \int dx=\int v\cdot dt = \int v_0\, dt + \int at\, dt = x_0+v_0t+\frac12at^2
    \end{equation*}

    La dimostrazione può essere inoltre resa immediata se si sviluppano $x(t)$ e
    $v(t)$ come serie di Taylor-Maclaurin.

\end{proof}

\subsection{Lo spostamento in funzione della velocità e dell'accelerazione}

Senza ricorrere alla variabile di tempo $t$, è possibile
esprimere lo spostamento in funzione della velocità e dell'accelerazione
mediante le seguente formula:

\begin{equation}
    x-x_0=\frac{v^2-v_0^2}{2a}
\end{equation}

\begin{proof}

    Considerando $a=\frac{dv}{dt}$, è possibile riscrivere, mediante l'impiego
    delle formule di derivazione delle funzioni composte, quest'ultima formula:

    \begin{equation*}
        a=\frac{dv}{dt}=\frac{dx}{dt}\frac{dv}{dx}=v\,\frac{dv}{dx}
    \end{equation*}

    Da ciò si può ricavare infine l'ultima formula:

    \begin{equation*}
        a\,dx=v\,dv \Rightarrow a \int dx = \int v \, dv
    \end{equation*}

    E quindi:

    \begin{equation*}
        a(x-x_0)=\frac{v^2-v_0^2}{2} \Rightarrow x-x_0=\frac{v^2-v_0^2}{2a}
    \end{equation*}

\end{proof}

\section{Il moto dei proiettili}

Il \textit{moto dei proiettili}, o moto parabolico, non
è altro che la forma vettoriale del m.u.a. sfruttando due accelerazioni per
entrambe le dimensioni: una nulla (quella dello spostamento parallelo al
terreno) ed una pari a $-g$ (quella data dalla gravità nello spostamento
normale al terreno).

\subsection{Le equazioni del moto dei proiettili}

Riprendendo le precedenti considerazioni, si può dunque scrivere
l'equazione del moto in forma vettoriale:

\begin{equation}
    \begin{pmatrix}
        x \\
        y
    \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
        x_0 \\
        y_0
    \end{pmatrix} + \vec{v_0} t + \frac12 \begin{pmatrix}
        0 \\
        -g
    \end{pmatrix} t^2
\end{equation}

O si può separare quest'ultima in due equazioni:

\begin{equation}
    \begin{dcases}
        x(t)=x_0+v_0\cos(\theta)t \\
        y(t)=y_0+v_0\sin(\theta)t-\frac12gt^2
    \end{dcases}
\end{equation}

\subsection{Il calcolo della gittata e della traiettoria}

Definita la \textit{gittata} come la distanza tra il punto di lancio ed
il punto in cui il corpo assume la stessa ordinata del punto di lancio e
la \textit{traiettoria} come la distanza tra il punto di lancio ed il
punto in cui il corpo assume la massima ordinata, si possono facilmente
dimostrare le seguenti equazioni:

\begin{equation}
    \displaystyle
    \begin{dcases}
        x_{\text{gittata}} = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g} \\
        x_{\text{traiettoria}} = \frac12 x_{\text{gittata}} = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{2g}
    \end{dcases}
\end{equation}

\section{Il moto circolare uniforme}

Definendo alcune grandezze fisiche in modo analogo a come vengono
proposte nel m.u.a., è possibile riproporre le equazioni \ref{eq:mua}
mediante l'impiego di grandezze esclusivamente angolari.

\subsection{Le equazioni del moto circolare uniforme}

Si definiscono dunque le seguenti grandezze:

\begin{itemize}
    \item $\theta$ in funzione del tempo
    \item $\displaystyle \omega=\dot{\theta}=\frac{d\theta}{dt}$
    \item $\displaystyle \alpha=\ddot{\theta}=\frac{d\omega}{dt}=\frac{d^2\theta}{dt^2}$
\end{itemize}

Innanzitutto, è possibile coniugare il mondo angolare con quello
cartesiano, tenendo conto del fatto che $x=\theta r$. In questo modo
si ricavano le seguenti relazioni:

\begin{itemize}
    \item $\displaystyle v=\omega r$, la velocità angolare
    \item $\displaystyle a_t=\alpha r$, l'accelerazione tangenziale
    (da distinguersi da quella centripeta!)
\end{itemize}

Per sostituzione, dalle equazioni \ref{eq:mua} si ottengono dunque
le analoghe seguenti:

\begin{equation}
    \begin{dcases}
        \theta = \theta_0 + \omega t + \frac12 \alpha t^2 \\
        \omega = \omega_0 + \alpha t
    \end{dcases}
\end{equation}

\subsection{L'accelerazione centripeta}

Oltre all'accelerazione tangenziale, direttamente proporzionale a
quella lineare, è possibile definire anche un altro tipo di
accelerazione: \textbf{l'accelerazione centripeta} ($a_c$), diretta dal
corpo verso il centro della circonferenza sulla quale questo muove.

Questo tipo di accelerazione è costante nel moto circolare uniforme
ed è calcolata mediante le seguente equazione:

\begin{equation}
    a=\frac{v^2}{r}
    \label{eq:acc_c}
\end{equation}

\begin{proof}
La velocità può essere espressa vettorialmente nella seguente
forma $\vec{v}(-v\sin(\theta),v\cos(\theta))$, mentre
le funzioni trigonometriche possono essere sostituite utilizzando
le coordinate del punto ed il raggio della circonferenza su cui
si muove il corpo secondo le seguenti relazioni:

\begin{equation*}
    \begin{dcases}
        \cos(\theta)=\frac{x}{r} \\
        \sin(\theta)=\frac{y}{r}
    \end{dcases}
\end{equation*}

Perciò, derivando la velocità, si ottiene l'accelerazione
nella seguente forma:

\begin{equation*}
    \vec{a}=(-\frac{v}{r}\cdot v_y, \frac{v}{r}\cdot v_x)
\end{equation*}

Computando il modulo dell'accelerazione e tenendo
conto che $v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$, si ottiene
il risultato desiderato:

\begin{equation*}
    a=\frac{v^2}r
\end{equation*}

\end{proof}

\newpage

\subsection{Il moto circolare visualizzato vettorialmente}

\vskip 0.1in

\begin{wrapfigure}{l}{0.45\textwidth}
    \begin{tikzpicture}
        \coordinate (a) at (2.236, 0);
        \coordinate (b) at (0.89, 0.92);
        \coordinate (o) at (0, 0);

        \draw [rotate around={0:(0,0)}] (0,0) ellipse (2.236 and 1);
        \draw [->,thick] (0,0) -- (0,2.5) node[midway, right] {$\vec{\omega}$};
        \draw [->,thick] (0,0) -- (a) node[right] {$\vec{r}(t)$};
        \draw [->,thick] (0,0) -- (b) node[above right] {$\vec{r}(t+dt)$};

        \draw [->] (a) -- (2.6, 0.7) node[right] {$\vec{v}(t)$};

        \draw pic["$d\theta$", draw=black, angle eccentricity=1.5, angle radius=0.5cm] {angle=a--o--b};

    \end{tikzpicture}
    \caption{Il moto circolare nel piano $O_{xy}$} \label{fig:moto_circolare}
\end{wrapfigure}

Per visualizzare in modo più intuitivo, ma anche più formale, il
moto circolare, è possibile costruire un sistema di riferimento
basandosi su alcune assunzioni.

Basandosi sul figura \ref{fig:moto_circolare}, assumiamo
$\vec{d\theta} = d\theta \cdot \hat{z}$, attraverso cui
possiamo concludere che $\vec{\omega}=\frac{\vec{d\theta}}{dt}$ è anch'esso
parallelo a $\hat{z}$.

Inoltre, $d\vec{r}$ deve essere perpendicolare a $\vec{r}$, e, poiché
appartiene al piano $O_{xy}$, $d\vec{r}$ deve essere perpendicolare anche
a $\vec{\omega}$.

Perciò è possibile riscrivere $d\vec{r}$ nella seguente forma:

\begin{equation*}
    d\vec{r}=\frac{d\theta \cdot \norm{r}}{\lVert \vec{w} \times
    \vec{r} \rVert} \vec{w} \times \vec{r} =
    \frac{d\theta}{\norm{\omega}} \vec{w} \times \vec{r}
\end{equation*}

Poiché la velocità $\vec{v}$ è pari a $\frac{d\vec{r}}{dt}$, si ottiene,
conoscendo $d\vec{r}$, la seguente relazione:

\begin{equation}
    \vec{v}=\vec{w}\times\vec{r}
\end{equation}

Dalla quale si ricava che $\vec{v}$ è perpendicolare sia a $\vec{r}$ che
a $\vec{\omega}$.

Analogamente, è possibile ricavare l'accelerazione:

\begin{equation}
    \vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{d(\vec{\omega}
    \times \vec{r})}{dt}=\vec{\alpha} \times \vec{r}
    + \vec{\omega} \times \vec{v}
\end{equation}

È interessante notare che $\vec{\alpha} \times \vec{r}$
è perpendicolare a $\vec{\omega} \times \vec{v}$, permettendoci
di calcolare facilmente il modulo dell'accelerazione:

\begin{equation}
    \norm{a} = \sqrt{\nnorm{\vec{\alpha} \times \vec{r}}^2 + \nnorm{\vec{\omega} \times \vec{v}}^2}
\end{equation}

Non solo: $\vec{\alpha} \times \vec{r}$ è perpendicolare a $\vec{r}$ e
$\vec{\omega} \times \vec{v}$ gli è parallelo, ma possiede un verso opposto.
Per questa serie di motivi, $\vec{\alpha} \times \vec{r}$ viene chiamata
\textbf{accelerazione tangenziale} ($\vec{a_t}$), mentre
$\vec{\omega} \times \vec{v}$ viene chiamata \textbf{accelerazione centripeta}
($\vec{a_c}$).

Nel moto circolare uniforme, ove $\vec{\alpha}=0$, infatti l'accelerazione
centripeta è costante (vd. eq. \ref{eq:acc_c}) e l'accelerazione tangenziale
è nulla (quindi $\vec{a}=\vec{a_c}$).

\end{document}