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3.3 KiB
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\documentclass[12pt]{scrartcl}
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\usepackage{notes_2023}
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\begin{document}
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\title{Normalizzatore e teorema di Cayley}
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\maketitle
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\begin{note}
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Nel corso del documento per $(G, \cdot)$ si intenderà un qualsiasi gruppo.
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\end{note}
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Sia $X = \{ H \subseteq G \mid H \leq G \}$ l'insieme dei sottogruppi di $G$.
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Allora si può costruire un'azione $\varphi : G \to S(X)$ in modo tale che:
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\[ g \xmapsto{\varphi} \left[ H \mapsto gHg\inv \right]. \]
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Si definisce \textbf{normalizzatore} lo stabilizzatore di un sottogruppo
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$H$ (e si indica con $N_G(H)$), mentre $\Orb(H)$ è l'insieme dei \textbf{coniugati}
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di $H$. In particolare $N_G(H)$ è il massimo sottogruppo per inclusione in cui $H$
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è normale. \medskip
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Si osserva ora in modo cruciale che $H \nsgeq G$ se e solo se
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$\Orb(H) = \{H\}$, e quindi se e solo se $N_G(H) = G$. Analogamente si
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osserva che $H$ è normale se e solo se:
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\[ H = \bigcup_{h \in H} \Cl(h). \] \bigskip
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Si illustra adesso un risultato principale della teoria dei gruppi che mette in
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relazione ogni gruppo con il proprio gruppo di bigezioni, ed ogni gruppo finito con i
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sottogruppi dei gruppi simmetrici.
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\begin{theorem}[di Cayley]
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Ogni gruppo è isomorfo a un sottogruppo del suo gruppo di bigezioni.
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In particolare, ogni gruppo finito $G$ è isomorfo a un sottogruppo di un gruppo
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simmetrico.
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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Si consideri l'azione\footnote{Tale azione prende il nome di \textbf{rappresentazione regolare a sinistra}.
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Si può infatti definire un'azione analoga a destra ponendo $g \mapsto \left[ h \mapsto hg\inv \right]$,
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costruendo dunque una \textit{rappresentazione regolare a destra}.} $\varphi : G \to S(G)$ tale per cui:
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\[ g \xmapsto{\varphi} \left[ h \mapsto gh \right]. \]
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Si mostra che $\varphi$ è fedele\footnote{L'azione $\varphi$ è molto
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più che fedele; è infatti innanzitutto libera.}. Sia infatti $\varphi(g) = \Id$; allora
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vale che $ge = e \implies g = e$. Quindi $\Ker \varphi$ è banale, e per il
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Primo teorema di isomorfismo vale che:
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\[ G \cong \Im \varphi \leq S(G). \]
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Se $G$ è finito, $S(G)$ è isomorfo a $S_n$, dove $n := \abs{G}$, e quindi
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$\Im \varphi$ è a sua volta isomorfo a un sottogruppo di $S_n$, da cui
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la tesi.
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\end{proof}
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Si presentano adesso due risultati interessanti legati ai sottogruppi normali di
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un gruppo $G$.
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\begin{proposition}
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Sia $H \leq G$. Allora, se $[G : H] = 2$, $H$ è normale in $G$.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Poiché $[G : H] = 2$, le uniche classi laterali sinistre rispetto ad $H$ in
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$G$ sono $H$ e $gH = G \setminus H$, dove $g \notin H$. Analogamente esistono
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due sole classi laterali destre, $H$ e $Hg = G \setminus H$. In particolare
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$gH$ deve obbligatoriamente essere uguale a $Hg$, e quindi $gHg\inv = H$, da
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cui la tesi.
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\end{proof}
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\begin{proposition}
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Siano $K \leq H \leq G$. Allora, se $H$ è normale in $G$ e $K$ è caratteristico
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in $H$, $K$ è normale in $G$.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Sia $\varphi_g \in \Inn(G)$. Poiché $H$ è normale in $G$, $\varphi_g(H) = H$. Pertanto
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si può considerare la restrizione di $\varphi_g$ su $H$, $\restr{\varphi_g}{H}$.
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In particolare $\restr{\varphi_g}{H}$ è un automorfismo di $\Aut(H)$, e quindi,
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poiché $K$ è caratteristico in $H$, $\restr{\varphi_g}{H}(K) = K$, da cui si
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deduce che $gKg\inv = K$ per ogni $g \in G$.
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\end{proof}
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\end{document} |