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\documentclass[11pt]{article}
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\usepackage[physics]{personal_commands}
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\usepackage[italian]{babel}
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\title{\textbf{Note del corso di Fisica 1}}
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\author{Gabriel Antonio Videtta}
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\date{29 e 30 marzo 2023}
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\begin{document}
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\maketitle
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\begin{center}
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\Large \textbf{Esempi di forze conservative}
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\end{center}
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Un esempio notevole di forza conservativa è quello della
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forza elastica $\vec f = -k \vec r$. Sia infatti $\vec f = (f_x, f_y, f_z)$.
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Allora $L_{\gamma(A, B)} = \int_{\gamma(A, B)} \vec f \cdot d\vec r =
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\int_{x_A}^{x_B} f_x dx + \int_{y_A}^{y_B} f_y dy + \int_{z_A}^{z_B} f_z dz =
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-k (\int_{x_A}^{x_B} x dx + \int_{y_A}^{y_B} y dy + \int_{z_A}^{z_B} z dz) =
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-\frac{k}{2} (\norm{B}^2 - \norm{A}^2)$, ossia non dipende dalla traiettoria
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$\gamma$. Si ricava allora che $U(x) = \frac{k}{2} x ^2$, nel caso
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unidimensionale.
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%TODO: recuperare lezione.
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\begin{definition} (impulso di una forza)
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Si definisce \textbf{impulso di una forza} l'integrale
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$\vec I(t_1, t_2) = \int_{t_1}^{t_2} \vec F(t) dt$.
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\end{definition}
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Sia $\vec F = \sum_{i=1}^N \vec F_i$. Allora $\vec I(t_1, t_2) =
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\sum_{i=1}^N \vec I_i(t_1, t_2)$, dove $\vec I_i$ è calcolato su $\vec F_i$.
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\begin{theorem} (dell'impulso)
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Vale l'identità $\vec I(t_1, t_2) = \vec P(t_2) - \vec P(t_1) = \Delta \vec P$.
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\end{theorem}
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\begin{definition} (momento di un vettore applicato)
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Si definisce \textbf{momento di un vettore} $\vec v$ dal polo
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$\omega$ sul punto applicato $A$ con vettore $\vec r$ il
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vettore perpendicolare ad ambo i vettori $\vec r \times \vec v$.
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\end{definition}
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Si consideri $\vec{\ell_\omega} = (\vec r - \vec{r_0}) \times \vec p$.
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Allora, la sua derivata è $(\vec v . \vec{r_0}) \times \vec p +
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(\vec r - \vec{r_0}) \times \vec F$.
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\end{document}
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