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\chapter*{Tabella e proprietà delle distribuzioni assolutamente continue}
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\addcontentsline{toc}{chapter}{Tabella e proprietà delle distribuzioni assolutamente continue}
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\begin{table}[htb]
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\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|l|}
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Nome distribuzione & Caso di utilizzo & Parametri & Densità & Funzione di ripartizione & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Valore atteso \\ e momenti\end{tabular} & Varianza \\ \hline
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\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Distr. uniforme\\ $X \sim U(B)$\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Estrazione di un\\ punto reale a caso\\ su $B$ senza preferenze.\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$B \in \BB(\RR)$ -- insieme\\ da cui estrarre.\end{tabular} & $f(x) = \frac{1}{m(B)} 1_B(x)$ & $F(x) = \frac{m((-\infty, x] \cap B)}{m(B)}$ & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$\EE[X] = \frac{a+b}2$ se\\ $B = (a, b)$\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$\Var(X) = \frac{(b-a)^2}{12}$\\ se $B = (a,b)$\end{tabular} \\ \hline
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\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Distr. esponenz.\\ $X \sim \Exp(\lambda)$\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Processo di Poisson\\ in senso continuo.\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$\lambda > 0$ -- parametro\\ di Poisson.\end{tabular} & $f(x) = \lambda e^{-\lambda x} 1_{(0, \infty)} (x)$ & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$F(x) = 1-e^{-\lambda x}$\\ per $x \geq 0$, $0$ altrimenti.\end{tabular} & $\EE[X] = \frac{1}{\lambda}$ & $\Var(X) = \frac{1}{\lambda^2}$ \\ \hline
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\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Distr. gamma\\ $X \sim \Gamma(r, \lambda)$\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Estensione della distr.\\ binomiale in senso\\ continuo.\end{tabular} & $r > 0$, $\lambda > 0$. & $f(x) = \frac{\lambda^r}{\Gamma(r)} x^{r-1} e^{-\lambda x} 1_{(0, \infty)}(x)$ & & $\EE[X] = \frac{r}{\lambda}$ & $\Var(X) = \frac{r}{\lambda^2}$ \\ \hline
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\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}Distr. normale\\ $X \sim N(m, \sigma^2)$\end{tabular} & & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$m$ -- media.\\ $\sigma^2 > 0$ -- varianza.\end{tabular} & $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} e^{-\nicefrac{(x-m)^2}{2\sigma^2}}$ & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-\nicefrac{t^2}{2}} \dt$\\ per $N(0, 1)$ e si standardizza\\ le altre distr. con il cambio\\ di var. $z = \nicefrac{(x-m)}{\sigma}$.\end{tabular} & \begin{tabular}[c]{@{}l@{}}$\EE[X] = m$. Inoltre\\ $\EE[(X-m)^p] = 0$ se\\ $p$ è dispari\\ e $\EE[(X-m)^p] =$ \\ $= \sigma^p(p-1)!!$\\ se $p$ è pari, dove\\ $!!$ indica il\\ \textit{doppio fattoriale}.\end{tabular} & $\Var(X) = \sigma^2$ \\ \hline
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\end{tabular}
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\end{table}
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Si ricorda che la funzione $\Gamma$ è definita in modo tale che $\Gamma(x) = \int_0^\infty t^{x-1} e^{-t} \dt$; si tratta
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di un'estensione della nozione di fattoriale ai valori reali (infatti, $\Gamma(n+1) = n!$ per $n \in \NN$). \smallskip
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Valgono inoltre le seguenti altre proprietà:
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\small
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\begin{itemize}
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\item La distribuzione $\Exp(\lambda)$ coincide con la distribuzione $\Gamma(1, \lambda)$.
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\end{itemize}
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