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\documentclass[10pt,landscape]{article}
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\makeatletter
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\title{Scheda riassuntiva di Geometria 2}
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\begin{document}
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\parskip=0.7ex
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\raggedright
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\footnotesize
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\begin{center}
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\Large{\textbf{Scheda riassuntiva di Geometria 2}} \\
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\end{center}
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\begin{multicols}{3}
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\setlength{\premulticols}{1pt}
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\section{Geometria proiettiva}
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\subsection{Spazi e trasformazioni proiettive}
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Sia $\KK$ un campo e sia $V$ uno spazio proiettivo. Sia $\sim$ la seguente
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relazione di equivalenza su $V \setminus \zerovecset$ tale per cui
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\[ \v \sim \w \defiff \exists \lambda \in \KK^* \mid \v = \lambda \w. \]
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Allora si definisce lo \textbf{spazio proiettivo} associata a $V$, denotato
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con $\PP(V)$, come:
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\[ \PP(V) = V \setminus \zerovecset \quot \sim. \]
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In particolare esiste una bigezione tra gli elementi dello spazio proiettivo
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e le rette di $V$ (i.e.~i sottospazi di $V$ con dimensione $1$). Si definisce
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la \textit{dimensione} di $\PP(V)$ come:
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\[ \dim \PP(V) := \dim V - 1. \]
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Gli spazi proiettivi di dimensione $1$ sono detti \textit{rette proiettive},
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mentre quelli di dimensione $2$ \textit{piani}. Si dice
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\textbf{spazio proiettivo standard di dimensione $n$} lo spazio proiettivo
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associato a $\KK^{n+1}$, e viene denotato come $\PP^n(\KK) := \PP(\KK^{n+1})$.
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Si indica con $\pi$ la proiezione al quoziente tramite $\sim$, ossia:
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\[ \pi(W) = \{ [\w] \mid \w \in W \}. \]
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Si dice \textbf{sottospazio proiettivo} un qualsiasi sottoinsieme $S$ di $\PP(V)$
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tale per cui esista un sottospazio vettoriale $W$ di $V$ tale per cui
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$S = \pi(W \setminus \zerovecset)$, e si scrive $S = \PP(W)$, con:
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\[ \dim S = \dim W - 1. \]
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In particolare, tramite $\pi$ si descrive una bigezione tra i sottospazi vettoriali di
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$V$ e i sottospazi proiettivi di $\PP(V)$. \medskip
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L'intersezione di sottospazi proiettivi è ancora un sottospazio proiettivo ed
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è indotto dall'intersezione degli spazi vettoriali che generano i singoli
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sottospazi proiettivi. Pertanto, se $F \subseteq \PP(V)$, è ben definito
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il seguente sottospazio:
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\[ \displaystyle L(F) = \bigcap_{\substack{F \subseteq S_i \\ S_i \text{\;ssp. pr.}}} S_i, \]
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ossia l'intersezione di tutti i sottospazi proiettivi che contengono $F$.
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Si scrive $L(S_1, \ldots, S_n)$ per indicare $L(S_1 \cup \cdots \cup S_n)$.
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Se $S_1 = \PP(W_1)$, ..., $S_n = \PP(W_n)$, allora vale che:
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\[ L(S_1, \ldots, S_n) = \PP(W_1 + \ldots + W_n). \]
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Vale pertanto la \textbf{formula di Grassmann proiettiva}:
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\[ \dim L(S_1, S_2) = \dim S_1 + \dim S_2 - \dim (S_1 \cap S_2). \]
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Allora, se $\dim S_1 + \dim S_2 \geq \dim \PP(V)$ (si osservi che è
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$\geq$ e non $>$ come nel caso vettoriale, dacché un sottospazio di dimensione
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zero è comunque un punto in geometria proiettiva), vale necessariamente
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che:
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\[ S_1 \cap S_2 \neq \emptyset, \]
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infatti $\dim S_1 \cap S_2 = \dim S_1 + \dim S_2 - \dim L(S_1, S_2) \geq
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\dim S_1 + \dim S_2 - \dim \PP(V) \geq 0$. In particolare, in $\PP^2(\KK)$,
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questo implica che due rette proiettive distinte si incontrano sempre in un unico
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punto (infatti $1+1\geq2$).
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Sia $W$ uno spazio vettoriale. Una mappa $f : \PP(V) \to \PP(W)$ si dice
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\textbf{trasformazione proiettiva} se è tale per cui esiste un'applicazione
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lineare $\varphi \in \Ll(V, W)$ che soddisfa la seguente identità:
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\[ f([\v]) = [\varphi(\w)], \]
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dove con $[\cdot]$ si denota la classe di equivalenza in $\PP(V)$. Si scrive
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in questo caso che $[\varphi] = f$.
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Una trasformazione proiettiva invertibile da $\PP(V)$ in $\PP(W)$
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si dice \textbf{isomorfismo proiettivo}. Una
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trasformazione proiettiva da $\PP(V)$ in $\PP(V)$ si dice
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\textbf{proiettività}.
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\begin{itemize}
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\item Se $f$ è una trasformazione proiettiva, allora $\varphi$ è necessariamente
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iniettiva (altrimenti l'identità non sussisterebbe, dacché $[\vec 0]$ non
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esiste -- la relazione d'equivalenza $\sim$ è infatti definita su $V \setminus
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\zerovecset$).
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\item Allo stesso tempo, un'applicazione lineare $\varphi$ iniettiva induce
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sempre una trasformazione proiettiva $f$,
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\item Se $f$ è una trasformazione proiettiva, allora $f$ è in particolare anche
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iniettiva (infatti $[\varphi(\v)] = [\varphi(\w)] \implies \exists \lambda \in \KK^* \mid \v = \lambda \w \implies \v \sim \w$),
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\item La composizione di due trasformazioni proiettive è ancora una
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trasformazione proiettiva ed è indotta dalla composizione delle app.
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lineari associate alle trasformazioni di partenza,
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\item L'identità $\Id$ è una proiettività di $\PP(V)$, ed è indotta
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dall'identità di $V$.
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\end{itemize}
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Poiché allora nelle proiettività di $V$ esiste un'identità, un inverso e vale
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l'associatività nella composizione, si definisce $\PPGL(V)$ come il gruppo delle
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proiettività di $V$ rispetto alla composizione. In particolare si pone la
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seguente definizione
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\[ \PPGL_{n+1}(\KK) := \PPGL(\KK^{n+1}). \]
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Sono inoltre equivalenti i seguenti fatti:
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\begin{enumerate}[(i)]
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\item $f$ è surgettiva,
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\item $f$ è bigettiva,
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\item $\dim \PP(V) = \dim \PP(W)$,
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\item $f$ è invertibile e $f\inv$ è una trasformazione proiettiva.
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\end{enumerate}
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In particolare $\varphi\inv$ induce esattamente $f\inv$.
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\begin{itemize}
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\item I punti fissi di $f$ sono indotti esattamente dalle rette di autovettori
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di $\varphi$ (infatti $\varphi(\v) = \lambda \v \implies f([\v]) = [\v]$),
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\item In particolare, $f \in \PPGL(\PP^n(\RR))$ ammette sempre un punto
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fisso se $n$ è pari (il polinomio caratteristico di $\varphi$ ha grado
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dispari, e quindi ammette una radice in $\RR$),
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\item Se $\KK$ è algebricamente chiuso, $f$ ammette sempre un punto fisso
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(il polinomio caratteristico di $\varphi$ ha tutte le radici in $\KK$).
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\end{itemize}
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\subsection{Riferimenti proiettivi, teorema fondamentale della geometria proiettiva
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e coordinate omogenee}
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Più punti $P_1$, ..., $P_k$ si dicono \textbf{indipendenti} se e solo se
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i vettori delle loro classi di equivalenza sono tra di loro linearmente indipendenti.
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In particolare, $P_1$, ..., $P_k$ sono indipendenti se e solo se
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$\dim L(P_1, \ldots, P_k) = k-1$. Analogamente al caso vettoriale, se $\dim \PP(V) = n$,
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presi più di $n+1$ punti, questi sono sicuramente non indipendenti. \medskip
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Un insieme $\{P_1, \ldots, P_k\}$ si dice \textit{in posizione generale} se e solo se
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ogni suo sottoinsieme di $h \leq n+1$ punti è indipendente. Se $k \leq n+1$, un
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insieme è in posizione generale se e solo se è indipendente. Altrimenti, l'insieme
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è in posizione generale se ogni sottoinsieme di $n+1$ punti è indipendente. \medskip
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Si dice \textbf{riferimento proiettivo} una qualsiasi $(n+2)$-upla di punti
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$P_1$, ..., $P_{n+2}$ in posizione generale. In particolare, si dice che i punti
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$P_1$, ..., $P_{n+1}$ sono i \textbf{punti fondamentali} del riferimento, mentre
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$P_{n+2}$ è il \textbf{punto unità}. Una base $\basis = \{\vv 1, \ldots, \vv{n+1}\}$
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di $V$ si dice \textbf{base normalizzata} rispetto a $P_1$, ..., $P_{n+2}$ se:
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\[ P_i = [\vv i] \, \forall i \leq n+1 \qquad P_{n+2} = [\vv 1 + \ldots + \vv n]. \]
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Una base normalizzata per $R$ esiste sempre ed
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è unica a meno di \textit{riscalamento simultaneo}
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(ossia a meno di moltiplicare ogni vettore della base per uno stesso $\lambda \in \KK^*$). In particolare, se $P_i = [\vv i]$ con $i \leq n+1$ e
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$P_{n+2} = [\v]$, dacché $\{\vv 1, \ldots, \vv {n+1}\}$ è una base di $V$
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esistono $\alpha_i \in \KK$ per cui:
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\[ \v = \alpha_1 \vv 1 + \ldots + \alpha_{n+1} \vv{n+1}, \]
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con $\alpha_i \neq 0$ (altrimenti si avrebbero $n+1$ vettori linearmente
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dipendenti, contraddicendo la posizione generale). Allora
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$\{\alpha_1 \vv 1, \ldots, \alpha_{n+1} \vv {n+1}\}$ è una base normalizzata
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per il riferimento proiettivo. \medskip
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Sia d'ora in poi $R = \{P_1, \ldots, P_{n+2}\}$ un riferimento proiettivo e
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$\basis = \{\vv 1, \ldots, \vv{n+1}\}$ una base normalizzata rispetto ad $R$.
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Se $f = [\varphi]$, $g = [\psi]$ sono trasformazioni da $\PP(V)$ in $\PP(W)$, sono equivalenti i seguenti fatti:
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\begin{itemize}
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\item $\varphi = \lambda \psi$ per $\lambda \in \KK^*$,
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\item $f = g$,
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\item $f(P_i) = g(P_i)$ per $1 \leq i \leq n+2$.
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\end{itemize}
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Come conseguenza di questo fatto, vale che:
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\[ \PPGL(V) \cong GL(V) \quot N, \]
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dove $N = \{ \lambda \Id_V \mid \lambda \in \KK^* \}$ (è sufficiente
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considerare l'omomorfismo $\zeta : GL(V) \to \PPGL(V)$ tale per cui
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$f \xmapsto{\zeta} [f]$).
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Il \textbf{teorema fondamentale della geometria proiettiva}
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asserisce che se $R = \{P_1, \ldots, P_{n+2}\}$ e $R' = \{Q_1, \ldots, Q_{m+2}\}$ sono
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due riferimenti proiettivi di $V$ e $W$ e vale che $\dim \PP(W) \geq \dim \PP(V)$,
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allora, per ogni scelta di $n+2$ punti $Q_1'$, ..., $Q_{n+2}'$ da $R'$, esiste
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un'unica trasformazione proiettiva tale per cui:
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\[ f(P_i) = Q_i' \, \forall 1 \leq i \leq n+2. \]
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Se $n=m$, il teorema asserisce semplicemente che esiste un'unica trasformazione
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che mappa ordinatamente $R$ in $R'$. \medskip
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Si può costruire su $R$ un sistema di coordinate, dette \textbf{coordinate omogenee},
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per cui $P = [a_1, \ldots, a_n] = [a_1 : \cdots : a_n]$ se e solo se
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$P = [a_1 \vv 1 + \ldots + a_{n+1} \vv n]$ dove $\basis = \{\vv 1, \ldots, \vv{n+1}\}$
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è una base normalizzata associata a $R$. Per $\PP^n(\KK)$, si definisce il
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\textit{riferimento standard} come il riferimento dato da
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$[\e1]$, ..., $[\e{n+1}]$ e $[\e1 + \ldots + \e{n+1}]$. In tal caso vale
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la seguente identità:
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\[ [a_1, \ldots, a_n] = [(a_1, \ldots, a_n)]. \]
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Si osserva che $[0, \ldots, 0]$ non è mai associato a nessun punto e che due punti
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hanno le stesse coordinate in un riferimento proiettivo a meno di riscalamento
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di tutte le coordinate per uno stesso $\lambda \in \KK^*$.
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\vfill
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\hrule
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~\\
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Ad opera di Gabriel Antonio Videtta, \url{https://poisson.phc.dm.unipi.it/~videtta/}.
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|
~\\Reperibile su
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|
\url{https://notes.hearot.it}, nella sezione \textit{Secondo anno $\to$ Geometria 2 $\to$ Scheda riassuntiva}.
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\end{multicols}
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\end{document}
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