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\documentclass[11pt]{article}
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\usepackage{personal_commands}
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\usepackage[italian]{babel}
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\title{\textbf{Note del corso di Analisi matematica 1}}
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\author{Gabriel Antonio Videtta}
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\date{28 aprile 2023}
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\begin{document}
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\maketitle
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\begin{center}
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\Large \textbf{Criterio di confronto per gli integrali}
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\end{center}
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\wip
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Siano $\int_a^b f(x) \, dx$ e $\int_a^b g(x) \, dx$ due integrali
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impropri semplici in $b$.
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\begin{proposition}
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Se $o \leq f \leq g$ in un intorno di $b$, allora:
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\begin{enumerate}[(i)]
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\item Se $\int_a^b f(x) \, dx = +\infty$, allora
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$\int_a^b g(x) \, dx = +\infty$.
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\item Se $\int_a^b g(x) \, dx < +\infty$, allora
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$\int_a^b f(x) \, dx < +\infty$.
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\end{enumerate}
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\end{proposition}
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\begin{proposition} [confronto asintotico debole]
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Se $f$, $g \geq 0$ in un intorno di $b$ e $f(x) = O(g(x))$
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per $x \to b^-$, allora:
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\begin{enumerate}[(i)]
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\item Se $\int_a^b f(x) \, dx = +\infty$, allora
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$\int_a^b g(x) \, dx = +\infty$.
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\item Se $\int_a^b g(x) \, dx < +\infty$, allora
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$\int_a^b f(x) \, dx < +\infty$.
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\end{enumerate}
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\end{proposition}
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\begin{proposition} [confronto asintotico forte]
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Se $f$, $g \geq 0$ in un intorno di $b$ e esiste $0 < m < +\infty$ tale
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che $f(x) \sim m g(x)$ per $x \to b^-$, allora i due integrali
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impropri hanno lo stesso comportamento.
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\end{proposition}
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\end{document}
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