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3.7 KiB
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\documentclass[12pt]{scrartcl}
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\usepackage{notes_2023}
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\begin{document}
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\title{Gruppi liberi e presentazioni}
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\maketitle
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\begin{note}
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Nel corso del documento con $G$ un qualsiasi gruppo.
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\end{note}
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Si definisce il \textbf{gruppo libero} su $n$ generatori
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il gruppo $F_n$ tale per cui:
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\[ F_n = \gen{x_1, \ldots, x_n} = \{ x_{i_1}^{\pm 1} \cdots x_{i_k}^{\pm 1} \mid i_j \in \{1, \ldots, n\} \} \quot \sim, \]
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dove\footnote{
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Chiaramente la relazione $\sim$ è di equivalenza.
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} $a \sim b$ se e solo se sostituendo i vari $x_i x_i\inv$
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o $x_i\inv x_i$ si ottengono le stesse scritture in
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funzione dei simboli $x_1$, ..., $x_n$. L'operazione di
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questo gruppo è la concatenazione (ossia il prodotto tra
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$x_i$ e $x_j$ è per definizione $x_i x_j$) e la stringa
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vuota è per definizione l'identità, indicata con $e$.
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Per convenzione si denota $x \cdots x$ ripetuto $k$ volte come $x^k$ e si pone $x^{-k} := (x\inv)^k$, facendo
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valere le usuali proprietà delle potenze. \medskip
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In generale, dato un insieme $S$, si definisce
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il gruppo libero $F(S)$ come il gruppo libero ottenuto
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dalle scritture finite di $S$ a meno di equivalenza per
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$\sim$. Se $S$ è finito e $\abs{S} = n$, allora
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$F(S) \cong F_n$, dove l'isomorfismo è costruito mandando
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ordinatamente i generatori di $F(S)$ in
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$x_1$, \ldots, $x_n$. \medskip
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Per i gruppi liberi vale la \textbf{proprietà universale},
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ossia $\Hom(F_n, G)$ è in bigezione con $G^n$ tramite
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la mappa che associa un omomorfismo $\varphi$ alla $n$-upla
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$(\varphi(x_1), \ldots, \varphi(x_n))$, la cui inversa associa
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una $n$-upla $(g_1, \ldots, g_n)$ ad un unico omomorfismo
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tale per cui $\varphi(x_i) = g_i$. Questi gruppi, infatti,
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non presentano alcuna relazione tra i propri generatori,
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e dunque gli omomorfismi presentati sono sempre ben definiti. \medskip
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Si dice che un gruppo $G$ ammette una \textbf{presentazione} se esiste un insieme $S$ di generatori di $G$ e un sottoinsieme $R$ di $F(S)$ tale per cui:
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\[ G \cong F(S) \quot N, \]
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dove $N$ è il più piccolo sottogruppo normale di
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$F(S)$ contenente $R$ (ossia la \textit{chiusura normale}
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di $R$). In particolare $G$ ammette una \textbf{presentazione finita} se $S$ e $R$ sono finiti. \medskip
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Se $G$ ammette una presentazione, allora esiste un
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omomorfismo surgettivo $\varphi : F(S) \to G$ tale
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per cui $\varphi$ ristretto a $S$ sia l'identità\footnote{
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A livello astratto $S$ in $F(S)$ è solo una scrittura
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simbolica, quello che si intende è che si associa
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al simbolo $s \in S$ l'effettivo elemento $s$ in
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$G$.
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} e per cui $\Ker \varphi = N$. \medskip
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In tal caso, è decisamente più facile descrivere gli
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omomorfismi da $G$ a un qualsiasi altro gruppo $H$.
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Infatti, poiché $G \cong F(S) \quot N$, esiste una bigezione,
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secondo il Primo teorema di omomorfismo, tra
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$\Hom(G, H)$ e gli omomorfismi di $\Hom(F(S), H)$ tali
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per cui $N$ sia contenuto nel nucleo; affinché $N$
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sia contenuto nel nucleo è però sufficiente
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vi sia contenuto $R$, dacché $N$ è la chiusura normale
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di $R$. Pertanto $R$ rappresenta in un certo senso un
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insieme di ``relazioni tra i generatori'' che devono
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essere rispettate affinché l'omomorfismo sia ben definito.
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Si scrive allora la presentazione di $G$ come:
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\[ G \cong F(S) \quot N = \gen{S \mid R}. \]
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Talvolta per $R$ si scrive un insieme di identità
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$a_1 = b_1$, sottintendendo che
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$a_1 b_1\inv \in R$.
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\begin{example}
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Si illustrano le presentazioni dei gruppi
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più importanti:
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\begin{itemize}
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\item $\ZZ \cong \gen{x}$,
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\item $\ZZmod n \cong \gen{x \mid x^n}$,
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\item $\ZZmod 2 \times \ZZmod 2 \cong \gen{x, y \mid x^2, y^2, [x, y]}$,
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\item $D_n \cong \gen{r, s \mid r^n, s^2, (sr)^2}$.
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\end{itemize}
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\end{example}
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\end{document} |