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\documentclass[12pt]{scrartcl}
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\usepackage{notes_2023}
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\begin{document}
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\title{Il gruppo degli automorfismi}
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\maketitle
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\begin{note}
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Nel corso del documento per $(G, \cdot)$ si intenderà un qualsiasi gruppo.
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Si scriverà $gh$ per indicare $g \cdot h$, omettendo il punto.
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\end{note}
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\begin{definition}[gruppo degli automorfismi]
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Si definisce \textbf{gruppo degli automorfismi} di un gruppo $G$ il
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gruppo $(\Aut(G), \circ)$ dotato dell'operazione di composizione.
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\end{definition} \smallskip
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Si può associare ad ogni elemento $g \in G$ un automorfismo particolare $\varphi_g$
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determinato dalla seguente associazione:
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\[ h \xmapsto{\varphi_g} ghg\inv. \]
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\begin{definition}[gruppo degli automorfismi interni] Si definisce \textbf{gruppo
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degli automorfismi interni} di un gruppo $G$ il gruppo $(\Inn(G), \circ)$
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dotato dell'operazione di composizione, dove:
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\[ \Inn(G) = \{ \varphi_g \mid g \in G \}. \]
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\end{definition}
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Gli automorfismi interni soddisfano alcune proprietà. Per esempio vale che:
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\[ \varphi_g \circ \varphi_h = \varphi_{gh}, \]
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così come vale anche che:
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\[ \varphi_g \inv = \varphi_{g\inv}. \] \smallskip
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Chiaramente $\Inn(G) \leq \Aut(G)$. Tuttavia vale anche che $\Inn(G)$ è un sottogruppo
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normale di $\Aut(G)$. Infatti, se $f \in \Aut(G)$, vale che:
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\[ f \circ \varphi_g \circ f\inv = \varphi_{f(g)} \in \Inn(G). \]
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Inoltre, se $G$ è abeliano, $\varphi_g$ coincide con la sola identità $\Id$
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(infatti, in tal caso, $\varphi_g(h) = ghg\inv = gg\inv h = h$). \bigskip
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Si dimostra adesso un teorema fondamentale che mette in relazione $\Inn(G)$
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con un gruppo quoziente particolare di $G$, $G \quot Z(G)$. Preliminarmente,
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si osserva che $Z(G)$ è un sottogruppo normale di $G$, e quindi
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$G \quot Z(G)$ è effettivamente un gruppo. Allora si può enunciare la:
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\begin{proposition}
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$\Inn(G) \cong G \quot Z(G)$.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Sia $\zeta : G \to \Inn(G)$ la mappa che associa $g$ al proprio
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automorfismo interno associato $\varphi_g$. Si osserva che $\zeta$
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è un omomorfismo tra gruppi:
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\[ \zeta(gh) = \varphi_{gh} = \varphi_g \circ \varphi_h = \zeta(g) \circ \zeta(h). \]
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Chiaramente $\zeta$ è una mappa surgettiva, e quindi $\Im \zeta = \Inn(G)$.
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Si osserva inoltre che $\Ker \zeta$ è esattamente il centro di $G$, $Z(G)$. Infatti,
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se $g \in \Ker \zeta$, vale che $\zeta(g) = \Id$, e quindi che:
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\[ ghg\inv = h \implies gh=hg \quad \forall h \in G. \]
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Allora, per il Primo teorema di isomorfismo, $G \quot {\Ker \zeta} = G \quot Z(G) \cong \Inn(G)$.
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\end{proof} \bigskip
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Il gruppo $G \quot Z(G)$ risulta particolarmente utile nello studio della commutatività
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del gruppo. Infatti vale la:
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\begin{proposition}
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$G \quot Z(G)$ è ciclico se e solo se $G$ è abeliano (e quindi se e solo se $G \quot Z(G)$ è banale).
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Se $G$ è abeliano, $G \quot Z(G)$ contiene solo l'identità, ed è dunque ciclico.
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Viceversa, sia $g Z(G)$ un generatore di $G \quot Z(G)$.
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Se $h$, $k \in G$, vale in particolare che esistono $m$, $n \in \NN$ tali per cui
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$h Z(G) = g^m Z(G)$ e $k Z(G) = g^n Z(G)$. Allora esistono
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$z_1$, $z_2 \in Z(G)$ per cui $h = g^m z_1$ e $k = g^n z_2$. \bigskip
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Si conclude allora che:
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\[ hk = g^m z_1 g^n z_2 = g^n z_2 g^m z_1 = kh, \]
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e quindi $G$ è abeliano (da cui si deduce che $G \quot Z(G)$ è in realtà banale).
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\end{proof} \bigskip
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Allora, poiché $\Inn(G) \cong G \quot Z(G)$, $\Inn(G)$ è ciclico se e solo se
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$G$ è abeliano (e dunque se e solo se è banale). Inoltre, il gruppo $\Inn(G)$
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risulta utile per definire in modo alternativo (ma equivalente) la nozione
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di \textit{sottogruppo normale}. Infatti vale che:
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\begin{proposition}
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Sia $H \leq G$. Allora $H \nsgeq G$ se e solo se $H$ è $\varphi_g$-invariante
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per ogni $g \in G$ (ossia se $\varphi_g(H) \subseteq H$).
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Se $H$ è normale, allora $\varphi_g(h) = g h g\inv$ appartiene ad $H$ per
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definizione. Allo stesso modo dire che $H$ è $\varphi_g$-invariante
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equivale a dire che $gHg\inv \subseteq H$ per ogni $g \in G$.
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\end{proof} \bigskip
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In generale, se $H \nsgeq G$, vale che la restrizione $\restr{\varphi_g}{H}$ è
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ancora un omomorfismo ed è in particolare un elemento di $\Aut(H)$. Infatti
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$\restr{\varphi_g}{H}$ è ancora iniettiva, e per ogni $h \in H$ vale che:
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\[ \varphi_g(g\inv h g) = h, \]
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mostrando la surgettività di $\restr{\varphi_g}{H}$ (infatti $g\inv h g \in H$). \bigskip
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Si può estendere questa idea considerando i sottogruppi di $G$ che sono $f$-invarianti
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per ogni scelta di $f \in \Aut(G)$.
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\begin{definition}[sottogruppo caratteristico]
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$H \leq G$ si dice \textbf{sottogruppo caratteristico} di $G$ se $H$
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è $f$-invariante per ogni $f \in \Aut(G)$.
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\end{definition} \smallskip
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In particolare, $H \leq G$ è un sottogruppo caratteristico di $G$ se ogni
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automorfismo di $G$ si riduce, restringendolo su $H$, ad un automorfismo
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di $H$. Infatti, se $f(H) \subseteq H$, vale anche che $f\inv(H) \subseteq H \implies
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H \subseteq f(H)$, e quindi $f(H) = H$ (da cui la surgettività dell'omomorfismo
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in $H$). \bigskip
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Chiaramente ogni sottogruppo caratteristico è un sottogruppo normale (infatti è
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in particolare $\varphi_g$-invariante per ogni scelta di $g \in G$), ma non è
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vero il contrario. Per esempio, si definisca l'automorfismo $\eta$ per $(\QQ, +)$
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tale per cui:
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\[ x \xmapsto{\eta} \nicefrac{x}2. \]
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Si osserva facilmente che $\eta$ è un automorfismo. Dal momento che $(\QQ, +)$ è
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abeliano, ogni suo sottogruppo è normale. In particolare $(\ZZ, +) \nsg (\QQ, +)$.
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Tuttavia $\eta(\ZZ) \not\subseteq \ZZ$ (e quindi $\ZZ$ non è caratteristico in $\QQ$). \bigskip
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Esiste tuttavia, per qualsiasi scelta di gruppo $G$, un sottogruppo che è caratteristico,
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$Z(G)$ (oltre che $G$ stesso ed il sottogruppo banale). Infatti, se $z \in Z(G)$ e
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$g \in G$, vale che:
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\[ f(z)g = f(z)f(f\inv(g)) = f(z f\inv(g)) = f(f\inv(g) z) = g f(z) \quad \forall f \in \Aut(G), \]
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e quindi $f(Z(G)) \subseteq Z(G)$ per ogni scelta di $f \in \Aut(G)$. \bigskip
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Inoltre, se $H \leq G$ è l'unico sottogruppo di un certo ordine (o è comunque
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caratterizzato univocamente da una proprietà invariante per automorfismi),
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$H$ è anche caratteristico (infatti gli automorfismi preservano le cardinalità essendo
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bigezioni). \bigskip
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\begin{example}[$\Aut(S_3) \cong S_3$]
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Si\footnote{
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Vale un fatto molto più generale: $\Aut(S_n) \cong S_n$
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per ogni $n \geq 3$ con $n \neq 6$.
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} osserva che $Z(S_3)$ deve essere obbligatoriamente
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banale\footnote{
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In generale $Z(S_n)$ è banale per $n \geq 3$.
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}. Infatti, se non lo fosse, $Z(S_3)$ potrebbe
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avere come cardinalità gli unici divisori positivi di
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$\abs{S_3} = 6$, ossia $2$, $3$ e $6$ stesso. In tutti
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e tre i casi $S_3 \quot Z(S_3)$ sarebbe ciclico, e quindi
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$S_3$ sarebbe abeliano, \Lightning. \medskip
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Poiché allora $Z(S_3)$ è banale, $S_3$ è isomorfo a
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$\Inn(S_3) \leq \Aut(S_3)$. Pertanto $\abs{\Aut(S_3)} \geq \abs{S_3} = 6$. Ogni automorfismo è
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determinato dalle immagini dei propri generatori, e quindi
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ci sono al più $3 \cdot 2 = 6$ scelte dal momento che
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$S_3 = \gen{(1,2), (1,2,3)}$. Allora
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$\abs{\Aut(S_3)} \leq 6$, da cui si deduce che
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$\abs{\Aut(S_3)} = 6$. \medskip
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Dacché $\Aut(S_3)$ ha lo stesso numero di elementi
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del suo sottogruppo $\Inn(S_3)$, deve valere l'uguaglianza
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tra i due insiemi, e quindi $\Aut(S_3) = \Inn(S_3)$. Si
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conclude dunque che $\Aut(S_3) \cong S_3$.
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\end{example}
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\begin{example}[$\Aut(\ZZ \quot n \ZZ) \cong (\ZZ \quot n \ZZ)^*$]
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Sia $f$ un automorfismo di $\Aut(\ZZ \quot n \ZZ)$. Allora,
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necessariamente, $f(\cleq1)$ deve essere un
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generatore di $\Aut(\ZZ \quot n \ZZ)$. Si può quindi costruire
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un isomorfismo $\zeta : \Aut(\ZZ \quot n \ZZ) \to
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(\ZZ \quot n \ZZ)^*$ tale per cui
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$f \xmapsto{\zeta} f(\cleq1)$. \medskip
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Chiaramente $\zeta$ è un omomorfismo, infatti\footnote{
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Potrebbe non risultare completamente ovvio che
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valga $f(g(\cleq 1)) = f(\cleq 1) g(\cleq 1)$.
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È necessario però ricordarsi che $\ZZ\quot n \ZZ$ è
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un gruppo definito sulla somma, e quindi vale sempre
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che $f(\cleq a) = a f(\cleq 1) = \cleq{a} f(\cleq 1)$.
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}:
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\[ \zeta(f \circ g) = f(g(\cleq 1)) = f(\cleq 1) g(\cleq 1) = \zeta(f) \zeta(g). \]
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Inoltre $f(\cleq 1) = \cleq 1 \implies f = \Id$, e quindi
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$\zeta$ è iniettiva. Infine, per ogni $\cleq a \in (\ZZ \quot n \ZZ)^*$, si può costruire $f_a \in \Aut(\ZZ \quot n \ZZ)$
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di cui è immagine ponendo semplicemente che valga\footnote{
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L'automorfismo è ben determinato dal momento che manda
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un generatore in un altro generatore.
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}
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$f_a(\cleq 1) = \cleq a$. Si conclude quindi che
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$\zeta$ è un isomorfismo e dunque che vale il seguente
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isomorfismo:
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\[ \Aut(\ZZ \quot n \ZZ) \cong (\ZZ \quot n \ZZ)^* \]
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Il risultato è valido anche con $n = 0$, da cui si
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ricava che:
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\[ \Aut(\ZZ) \cong \ZZ^* \cong \{\pm 1\}. \]
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\end{example}
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Si illustrano adesso dei risultati molto interessanti sui gruppi di automorfismi
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dei prodotti diretti, a partire dalla:
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\begin{proposition}
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Siano $H$ e $K$ due gruppi finiti di cardinalità coprime tra loro. Allora
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$H \times \{e\}$ e $\{e\} \times K$ sono caratteristici in $H \times K$.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Sia $\varphi \in \Aut(H \times K)$. Si deve dimostrare che se
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$\varphi(h, e) = (h', k')$, allora $k' = e$. Chiaramente
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$\ord(h, e) = \ord(h) \mid \abs{H}$. Allo stesso tempo
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$\ord(h', k') = \mcm(\ord(h'), \ord(k'))$. In particolare, dal momento
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che $\MCD(\abs{H}, \abs{K}) = 1$, $\ord(h', k') = \ord(h') \ord(k')$.
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Dacché $\varphi$ è un automorfismo, $\ord(h', k') = \ord(h, e) = \ord(h)$, e
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quindi $\ord(h') \ord(k') = \ord(h)$. Allora $\ord(k')$ deve dividere
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$\abs{H}$, e quindi può valere soltanto $1$, essendo $\abs{H}$ e
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$\abs{K}$ coprimi. Pertanto $k' = e$, e quindi $H \times \{e\}$ è caratteristico
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in $H \times K$. Analogamente si dimostra la tesi per $\{e\} \times K$.
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\end{proof}
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\begin{proposition}
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Siano $H$ e $K$ due gruppi con $H \times \{e\}$ e $\{e\} \times K$ caratteristici
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in $H \times K$. Allora $\Aut(H \times K) \cong \Aut(H) \times \Aut(K)$.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Nel corso della dimostrazione, se $\varphi \in \Aut(H \times K)$, si
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denota con $\varphi_H = \iota_{H \xhookrightarrow{} H \times \{e\}}\inv \circ \restr{\varphi}{H \times \{e\}} \circ \iota_{H \xhookrightarrow{} H \times \{e\}}$ la proiezione di $\varphi$ su
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$H$ a partire da $H$, e analogamente si fa lo stesso con $\varphi_K$. Tale
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notazione è ben definita dal momento che $\varphi$ può sempre essere ristretta
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ad $H \times \{e\}$ (infatti è un sottogruppo caratteristico). \medskip
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Sia allora
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$\alpha : \Aut(H \times K) \to \Aut(H) \times \Aut(K)$ tale per cui
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$\varphi \xmapsto{\alpha} (\varphi_H, \varphi_K)$. La mappa è ben
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definita dal momento che $\varphi_H$ e $\varphi_K$ sono due automorfismi
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di $\Aut(H)$ e $\Aut(K)$. Analogamente si definisce la mappa
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$\beta : \Aut(H) \times \Aut(K) \to \Aut(H \times K)$ tale per cui
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$(\varphi_H, \varphi_K) \xmapsto{\beta} [(h, k) \mapsto (\varphi_H(h), \varphi_K(k))]$.
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\medskip
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Si verifica facilmente che $\alpha$ è un omomorfismo di gruppi, che
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$\alpha \circ \beta = \Id_{\Aut(H) \times \Aut(K)}$ e che
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$\beta \circ \alpha = \Id_{\Aut(H \times K)}$, da cui segue la tesi.
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%TODO: scrivere le verifiche
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\end{proof}
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Allo stesso modo si verifica che se $\alpha$ è un isomorfismo, allora
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$H \times \{e\}$ e $\{e\} \times K$ sono caratteristici in $H \times K$. \medskip
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A partire dal precedente risultato, si dimostra facilmente che se $\MCD(m, n) = 1$,
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allora:
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\[ \Aut(\ZZ \quot m \ZZ \times \ZZ \quot n \ZZ) \cong \Aut(\ZZ \quot m \ZZ) \times \Aut(\ZZ \quot n \ZZ), \]
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e quindi, ricordando che $\ZZ \quot m \ZZ \times \ZZ \quot n \ZZ \cong \ZZ \quot mn \ZZ$
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per il Teorema cinese del resto e che $\Aut(\ZZ \quot m \ZZ) \cong (\ZZ \quot m \ZZ)^*$,
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vale che:
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\[ (\ZZ \quot m \ZZ)^* \times (\ZZ \quot n \ZZ)^* \cong (\ZZ \quot mn \ZZ)^* \]
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\begin{example}($\Aut((\ZZ \quot p \ZZ)^n)$)
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Il gruppo $(\ZZ \quot p \ZZ)^n$ ha una più facile
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visualizzazione se lo si pensa come spazio vettoriale su
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$\ZZ \quot p \ZZ$ (che per $p$ primo è, per l'appunto,
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un campo). In tal caso, gli automorfismi di
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$(\ZZ \quot p \ZZ)^n$ coincidono esattamente con gli
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endomorfismi invertibili di $\End((\ZZ \quot p \ZZ)^n)$,
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e quindi vale in particolare che:
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\[ \Aut((\ZZ \quot p \ZZ)^n) \cong \GL_n(\ZZ \quot p \ZZ). \]
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In questo modo è estremamente più facile contare il
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numero di automorfismi di questo gruppo. È infatti
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sufficiente contare le possibili matrici invertibili con
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elementi in $\ZZ \quot p \ZZ$. Nella prima colonna di una
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matrice $A \in \GL_n(\ZZ \quot p \ZZ)$ possono
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essere effettuate $p^n - 1$ scelte (si esclude il vettore
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nullo); nella seconda è sufficiente scegliere un vettore
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che non stia in $(\ZZ \quot p \ZZ)^n \setminus
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\Span(A^1)$, e quindi si hanno $p^n - p$ scelte; per la
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terza colonna se ne hanno $p^n - p^2$, ... \medskip
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Si conclude dunque che vale la seguente identità:
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\[ \abs{\Aut((\ZZ \quot p \ZZ)^n)} = \prod_{i=0}^{n-1} (p^n - p^i). \] \medskip
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Se si prende $m$ \textit{square-free}\footnote{
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Ossia $m$ non è diviso da alcun quadrato; equivalentemente
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un primo che compare nella fattorizzazione di $m$
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compare con esponente unitario.
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}, il risultato si può estendere facilmente
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su $\Aut((\ZZ \quot m)^n)$. Se infatti
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$m = p_1 \cdots p_k$, vale che:
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\[
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\Aut((\ZZ \quot m \ZZ)^n) \cong
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\Aut((\ZZ \quot p_1 \ZZ)^n \times \cdots \times (\ZZ \quot p_k \ZZ)^n)
|
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\cong \Aut((\ZZ \quot p_1 \ZZ)^n) \times
|
|
\cdots \times \Aut((\ZZ \quot p_k \ZZ)^n,
|
|
\]
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|
dove si è usato sia il Teorema cinese del resto, sia
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il fatto per cui $\MCD(p_i, p_j) = 1$ per $i \neq j$.
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\end{example}
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\begin{example}[$\Aut(\ZZ \quot 2 \ZZ \times \ZZ \quot 2 \ZZ) \cong S_3$ e altre proprietà]
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Ora che è chiara la visualizzazione in senso vettoriale
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di $(\ZZ \quot p \ZZ)^n$, si possono elencare alcune
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proprietà di $\ZZmod2 \times \ZZmod2$. \medskip
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Innanzitutto, benché $\ZZmod2 \times \ZZmod2$ sia abeliano,
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$\Aut(\ZZmod2 \times \ZZmod2) \cong \GL_2(\ZZmod2)$ non
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lo è. Inoltre, ogni sottogruppo proprio e non banale di
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$\ZZmod2 \times \ZZmod2$ non è caratteristico: ogni
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tale sottogruppo è vettorialmente una retta (infatti
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$\ZZmod2 \times \ZZmod2$ ha dimensione due), e quindi
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è sufficiente costruire un automorfismo che manda tale
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retta in un'altra. \medskip
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Infine, sempre perché $\Aut(\ZZmod2 \times \ZZmod2) \cong \GL_2(\ZZmod2)$, si può visualizzare facilmente l'isomorfismo
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tra $\Aut(\ZZmod2 \times \ZZmod2)$ e $S_3$. Infatti,
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$\GL_2(\ZZmod2)$ si compone di $6$ matrici, nella
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seguente bigezione con $S_3$:
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\[
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\Matrix{1 & 0 \\ 0 & 1} \bij e, \quad
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\Matrix{0 & 1 \\ 1 & 0} \bij (1, 2), \quad
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\Matrix{1 & 1 \\ 0 & 1} \bij (2, 3),
|
|
\]
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|
|
\[
|
|
\Matrix{1 & 0 \\ 1 & 1} \bij (1, 3), \quad
|
|
\Matrix{0 & 1 \\ 1 & 1} \bij (1, 2, 3) \quad
|
|
\Matrix{1 & 1 \\ 1 & 0} \bij (1, 3, 2).
|
|
\]
|
|
\vskip 0.1in
|
|
|
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Infine, poiché $\Aut(\ZZmod2 \times \ZZmod2) \cong
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S_3 \cong \Aut(S_3)$, $\ZZmod2 \times \ZZmod2$ e
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$S_3$ formano un esempio di gruppi non isomorfi
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(in particolare uno è abeliano e l'altro no) i cui
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|
gruppi di automorfismo sono isomorfi.
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|
\end{example}
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|
\end{document}
|