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\documentclass[12pt]{scrartcl}
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\usepackage{notes_2023}
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\begin{document}
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\title{Il gruppo dei quaternioni}
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\maketitle
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Si illustra in questo documento il \textbf{gruppo dei quaternioni}, spesso
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e volentieri impiegato in teoria dei gruppi per fornire controesempi. Storicamente
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si definisce tale gruppo, indicato con $Q_8$, come il gruppo formato dai
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quaternioni $\pm 1$, $\pm i$, $\pm j$ e $\pm k$ sotto le usuali regole
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dei moltiplicazione di $\HH$. In particolare, si può definire $Q_8$ mediante
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la seguente presentazione:
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\[ Q_8 = \gen{i, j \mid i^2 = j^2, i^4 = j^4 = e, ij = j^3 i}, \]
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dove $1 := e$, $k := ij$ e $-1 := i^2$. In particolare $-i := i^3$ è l'inverso
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di $i$, $-j := j^3$ quello di $j$ e
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$-k := j^3 i$ quello di $k$. Si osserva che $Q_8$ ha otto elementi, sei di ordine
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$4$ ($\pm i$, $\pm j$ e $\pm k$), uno di ordine $2$ ($-1$)
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e, ovviamente, uno di ordine $1$ ($1$). \medskip
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Le moltiplicazioni tra $i$, $j$ e $k$ si possono riassumere col seguente
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diagramma:
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\[ \begin{tikzpicture}[->,scale=.7] % rubato a Diego Monaco -- dispense di Algebra 1, p. 52
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\foreach \a/\t in {90/i,-30/j,210/k}{
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\node (\t) at (\a:1cm) {$\t$};
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\draw (\a-20:1cm) arc (\a-20:\a-100:1cm);
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}
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\end{tikzpicture}
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\]
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Moltiplicando in senso orario viene restituito il terzo termine, in senso
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antiorario viene restituita la terza potenza del terzo termine rimanente
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(per esempio, $ik=j^3=-j$, si ``aggiunge'' in pratica il segno meno). \medskip
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Si possono classificare molto facilmente i sottogruppi di $Q_8$, che sono:
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\begin{itemize}
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\item $Q_8$ stesso, di ordine $8$, banalmente normale,
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\item $\gen{i}$, $\gen{j}$ e $\gen{k}$, di ordine $4$, normali perché
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di indice $2$,
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\item $\gen{-1}$ di ordine $2$, normale perché caratteristico (è l'unico sottogruppo
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di ordine $2$ ed è anche il centro $Z(Q_8)$ di $Q_8$),
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\item $\{1\}$, di ordine $1$, banalmente normale.
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\end{itemize}
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Pertanto $Q_8$ è un esempio di gruppo non abeliano i cui sottogruppi sono tutti normali
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(e in particolare anche ciclici).
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Inoltre $Q_8$ non può essere decomposto non banalmente in un prodotto semidiretto
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tra i suoi sottogruppi: andrebbero infatti scelti due sottogruppi di ordine $4$, che,
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essendo normali, indurrebbero obbligatoriamente un prodotto diretto tra gruppi ciclici;
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poiché questo prodotto è abeliano, $Q_8$ non può essergli isomorfo.
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\end{document} |