mirror of https://github.com/hearot/notes
You cannot select more than 25 topics
Topics must start with a letter or number, can include dashes ('-') and can be up to 35 characters long.
53 lines
2.2 KiB
TeX
53 lines
2.2 KiB
TeX
\section{Campi di spezzamento}
|
|
|
|
\begin{theorem}
|
|
\label{th:esistenza_spezzamento}
|
|
Sia $A$ un campo, e sia $f(x) \in A[x]$.
|
|
Allora esiste sempre un estensione di $A$ in cui siano
|
|
contenute tutte le radici di $f(x)$.
|
|
\end{theorem}
|
|
|
|
\begin{proof}
|
|
Si dimostra il teorema applicando il principio di induzione sul
|
|
grado di $f(X)$. \\
|
|
|
|
\ (\textit{passo base}) \,Sia $\deg f(x) = 0$. Allora $A$ stesso è un
|
|
campo in cui sono contenute tutte le radici, dacché esse non esistono. \\
|
|
|
|
\ (\textit{passo induttivo}) \,Sia $\deg f(x) = n$. Sia $f_1(x)$ un
|
|
irriducibile di $f(x)$ e sia $\gamma(x) \in A[x]$ tale che
|
|
$f(x)=f_1(x)\gamma(x)$. Allora, per il \thref{th:campo_quoziente_irriducibile}
|
|
$A[x]/(f_1(x))$ è un campo, in cui, per la \propref{prop:radice_quoziente},
|
|
$f_1(x)$ ammette radice. \\
|
|
|
|
Poiché $\deg \gamma(x) < n$, per il passo induttivo
|
|
esiste un campo $C$ che estende $A[x]/(f_1(x))$ in cui risiedono tutte le sue radici. Dacché $C$ contiene $A[x]/(f_1(x))$, sia le radici
|
|
di $f_1(x)$ che di $\gamma(x)$ risiedono in $C$. Tuttavia queste sono
|
|
tutte le radici di $f(x)$, si conclude che $C$, che è un'estensione di $A[x]/(f_1(x))$, e quindi anche di $A$, è il campo ricercato.
|
|
\end{proof}
|
|
|
|
Pertanto ora è possibile enunciare la definizione di \textit{campo di spezzamento}.
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
Si definisce \textbf{campo di spezzamento} di un polinomio $f(x) \in A[x]$ un
|
|
campo $C$ con le seguenti caratteristiche:
|
|
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item $f(x)$ si fattorizza in $C[x]$ come prodotto di irriducibili di
|
|
primo grado (i.e. in $C[x]$ risiedono tutte le radici di $f(x)$),
|
|
\item Se $B$ è un campo tale che $A \subseteq B \subsetneq C$, allora
|
|
$f(x)$ non si fattorizza in $B[x]$ come prodotto di irriducibili di
|
|
primo grado.
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{remark*}
|
|
Per il \thref{th:esistenza_spezzamento} esiste sempre un campo di spezzamento
|
|
di un polinomio, dunque la definizione data è una buona definizione.
|
|
\end{remark*}
|
|
|
|
\begin{remark*}
|
|
In generale i campi di spezzamento non sono uguali, sebbene siano tutti
|
|
isomorfi tra loro\footnote{Per la dimostrazione di questo risultato
|
|
si rimanda a TODO}.
|
|
\end{remark*} |