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TeX
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\chapter{I prodotti hermitiani e complessificazione (non indicizzato)}
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\begin{definition} (prodotto hermitiano) Sia $\KK = \CC$. Una mappa $\varphi : V \times V \to \CC$ si dice \textbf{prodotto hermitiano} se:
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\begin{enumerate}[(i)]
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\item $\varphi$ è $\CC$-lineare nel secondo argomento, ossia se $\varphi(\v, \U + \w) = \varphi(\v, \U) + \varphi(\v, \w)$ e
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$\varphi(\v, a \w) = a \, \varphi(\v, \w)$,
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\item $\varphi(\U, \w) = \conj{\varphi(\w, \U)}$.
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\end{enumerate}
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\end{definition}
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\begin{definition} (prodotto hermitiano canonico in $\CC^n$) Si definisce
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\textbf{prodotto hermitiano canonico} di $\CC^n$ il prodotto $\varphi : \CC^n \times \CC^n \to \CC$ tale per cui, detti $\v = (z_1 \cdots z_n)^\top$ e $\w = (w_1 \cdots w_n)^\top$, $\varphi(\v, \w) = \sum_{i=1}^n \conj{z_i} w_i$.
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\end{definition}
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\begin{remark}\nl
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\li $\varphi(\U + \w, \v) = \conj{\varphi(\v, \U + \w)} =
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\conj{\varphi(\v, \U) + \varphi(\v, \w)} = \conj{\varphi(\v, \U)} + \conj{\varphi(\v, \U)} = \varphi(\w, \v) + \varphi(\U, \v)$, ossia
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$\varphi$ è additiva anche nel primo argomento. \\
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\li $\varphi(a \v, \w) = \conj{\varphi(\w, a \v)} = \conj{a} \conj{\varphi(\w, \v)} = \conj{a} \, \varphi(\v, \w)$. \\
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\li $\varphi(\v, \v) = \conj{\varphi(\v, \v)}$, e quindi $\varphi(\v, \v) \in \RR$. \\
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\li Sia $\v = \sum_{i=1}^n x_i \vv i$ e sia $\w = \sum_{i=1}^n y_i \vv i$, allora $\varphi(\v, \w) = \sum_{i =1}^n \sum_{j=1}^n \conj{x_i} y_i \varphi(\vv i, \vv j)$. \\
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\li $\varphi(\v, \w) = 0 \iff \varphi(\w, \v) = 0$.
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\end{remark}
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\begin{proposition}
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Data la forma quadratica $q : V \to \RR$ del prodotto hermitiano $\varphi$ tale che $q(\v) = \varphi(\v, \v) \in \RR$, tale
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forma quadratica individua univocamente il prodotto hermitiano $\varphi$.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Innanzitutto si osserva che:
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\[ \varphi(\v, \w) = \frac{\varphi(\v, \w) + \conj{\varphi(\v, \w)}}{2} + \frac{\varphi(\v, \w) . \conj{\varphi(\v, \w)}}{2}. \]
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\vskip 0.05in
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Si considerano allora le due identità:
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\[ q(\v + \w) - q(\v) - q(\w) =
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\varphi(\v, \w) + \conj{\varphi(\w, \v)} = 2 \, \Re(\varphi(\v, \w)), \]
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\[ q(i\v + \w) - q(\v) - q(\w) = -i(\varphi(\v, \w) - \conj{\varphi(\v, \w)}) = 2 \, \imm(\varphi(\v, \w)), \]
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\vskip 0.05in
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da cui si conclude che il prodotto $\varphi$ è univocamente
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determinato dalla sua forma quadratica.
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\end{proof}
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\begin{definition}
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Si definisce \textbf{matrice aggiunta} di $A \in M(n, \KK)$ la matrice coniugata della trasposta di $A$, ossia:
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\[ A^* = \conj{A^\top} = \conj{A}^\top. \]
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\end{definition}
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\begin{remark}
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Per quanto riguarda la matrice aggiunta valgono le principali proprietà della matrice trasposta:
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\begin{itemize}
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\item $(A + B)^* = A^* + B^*$,
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\item $(AB)^* = B^* A^*$,
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\item $(A\inv)^* = (A^*)\inv$, se $A$ è invertibile.
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\end{itemize}
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\end{remark}
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%TODO: aggiungere tr(conj(A^t) B)
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\begin{definition} (matrice associata del prodotto hermitiano) Analogamente
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al caso del prodotto scalare, data una base $\basis = \{\vv 1, \ldots, \vv n\}$ si definisce
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come \textbf{matrice associata del prodotto hermitiano} $\varphi$
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la matrice $M_\basis(\varphi) = (\varphi(\vv i, \vv j))_{i,j = 1 \textrm{---} n}$.
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\end{definition}
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\begin{remark}
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Si osserva che, analogamente al caso del prodotto scalare, vale
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la seguente identità:
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\[ \varphi(\v, \w) = [\v]_\basis^* M_\basis(\varphi) [\w]_\basis. \]
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\end{remark}
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\begin{proposition}
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(formula del cambiamento di base per i prodotto hermitiani) Siano
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$\basis$, $\basis'$ due basi di $V$. Allora vale la seguente
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identità:
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\[ M_{\basis'} = M_{\basis}^{\basis'}(\Idv)^* M_\basis(\varphi) M_{\basis}^{\basis'}(\Idv). \]
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Siano $\basis = \{ \vv 1, \ldots, \vv n \}$ e $\basis' = \{ \ww 1, \ldots, \ww n \}$. Allora $\varphi(\ww i, \ww j) = [\ww i]_\basis^* M_\basis(\varphi) [\ww j]_\basis = \left( M_\basis^{\basis'}(\Idv)^i \right)^* M_\basis(\varphi) M_\basis^{\basis'}(\Idv)^j =
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\left(M_\basis^{\basis'}(\Idv)\right)^*_i M_\basis(\varphi) M_\basis^{\basis'}(\Idv)^j$, da cui si ricava l'identità
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desiderata.
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\end{proof}
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\begin{definition} (radicale di un prodotto hermitiano)
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Analogamente al caso del prodotto scalare, si definisce il \textbf{radicale} del prodotto $\varphi$ come il seguente sottospazio:
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\[ V^\perp = \{ \v \in V \mid \varphi(\v, \w) = 0 \, \forall \w \in V \}. \]
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\end{definition}
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\begin{proposition}
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Sia $\basis$ una base di $V$ e $\varphi$ un prodotto hermitiano. Allora $V^\perp = [\cdot]_\basis \inv (\Ker M_\basis(\varphi))$\footnote{Stavolta non è sufficiente considerare la mappa $f : V \to V^*$ tale che $f(\v) = \left[ \w \mapsto \varphi(\v, \w) \right]$, dal momento che $f$ non è lineare, bensì antilineare, ossia $f(a \v) = \conj a f(\v)$.}.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Sia $\basis = \{ \vv 1, \ldots, \vv n \}$ e sia $\v \in V^\perp$.
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Siano $a_1$, ..., $a_n \in \KK$ tali che $\v = a_1 \vv 1 + \ldots + a_n \vv n$. Allora, poiché $\v \in V$, $0 = \varphi(\vv i, \v)
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= a_1 \varphi(\vv i, \vv 1) + \ldots + a_n \varphi(\vv i, \vv n) = M_i [\v]_\basis$, da cui si ricava che $[\v]_\basis \in \Ker M_\basis(\varphi)$, e quindi che $V^\perp \subseteq [\cdot]_\basis \inv (\Ker M_\basis(\varphi))$. \\
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Sia ora $\v \in V$ tale che $[\v]_\basis \in \Ker M_\basis(\varphi)$.
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Allora, per ogni $\w \in V$, $\varphi(\w, \v) = [\w]_\basis^* M_\basis(\varphi) [\v]_\basis = [\w]_\basis^* 0 = 0$, da cui si
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conclude che $\v \in V^\perp$, e quindi che $V^\perp \supseteq [\cdot]_\basis \inv (\Ker M_\basis(\varphi))$, da cui
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$V^\perp = [\cdot]_\basis \inv (\Ker M_\basis(\varphi))$, ossia
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la tesi.
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\end{proof}
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\begin{remark}
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Come conseguenza della proposizione appena dimostrata, valgono
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le principali proprietà già viste per il prodotto scalare. \\
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\li $\det(M_\basis(\varphi)) = 0 \iff V^\perp \neq \zerovecset \iff \varphi$ è degenere, \\
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\li Vale il teorema di Lagrange, e quindi quello di Sylvester, benché con alcune accortezze: si
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introduce, come nel caso di $\RR$, il concetto di segnatura, che diventa l'invariante completo
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della nuova congruenza hermitiana, che ancora una volta si dimostra essere una relazione
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di equivalenza. \\
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\li Come mostrato nei momenti finali del documento (vd.~\textit{Esercizio 3}), vale
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la formula delle dimensioni anche nel caso del prodotto hermitiano.
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\end{remark}
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\hr
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\begin{definition} (restrizione ai reali di uno spazio) Sia $V$
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uno spazio vettoriale su $\CC$ con base $\basis$. Si definisce allora lo spazio $V_\RR$, detto
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\textbf{spazio di restrizione su $\RR$} di $V$, come uno spazio su $\RR$ generato da
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$\basis_\RR = \basis \cup i \basis$.
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\end{definition}
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\begin{example}
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Si consideri $V = \CC^3$. Una base di $\CC^3$ è chiaramente $\{ \e1, \e2, \e3 \}$. Allora
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$V_\RR$ sarà uno spazio vettoriale su $\RR$ generato dai vettori $\{ \e1, \e2, \e3, i\e1, i\e2, i\e3 \}$.
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\end{example}
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\begin{remark}
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Si osserva che lo spazio di restrizione su $\RR$ e lo spazio di partenza condividono lo stesso insieme
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di vettori. Infatti, $\Span_\CC(\basis) = \Span_\RR(\basis \cup i\basis)$. Ciononostante, $\dim V_\RR = 2 \dim V$\footnote{Si sarebbe potuto ottenere lo stesso risultato utilizzando il teorema delle torri algebriche: $[V_\RR : \RR] = [V: \CC] [\CC: \RR] = 2 [V : \CC]$.}, se $\dim V \in \NN$.
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\end{remark}
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\begin{definition} (complessificazione di uno spazio) Sia $V$ uno spazio vettoriale su $\RR$.
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Si definisce allora lo \textbf{spazio complessificato} $V_\CC = V \times V$ su $\CC$ con le seguenti operazioni:
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\begin{itemize}
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\item $(\v, \w) + (\v', \w') = (\v + \v', \w + \w')$,
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\item $(a+bi)(\v, \w) = (a\v - b\w, a\w + b\v)$.
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\end{itemize}
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\end{definition}
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\begin{remark}
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La costruzione dello spazio complessificato emula in realtà la costruzione di $\CC$ come spazio
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$\RR \times \RR$. Infatti se $z = (c, d)$, vale che $(a + bi)(c, d) = (ac - bd, ad + bc)$, mentre
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si mantiene l'usuale operazione di addizione. In particolare si può identificare l'insieme
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$V \times \zerovecset$ come $V$, mentre $\zerovecset \times V$ viene identificato come l'insieme
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degli immaginari $iV$ di $V_\CC$. Infine, moltiplicare per uno scalare reale un elemento di
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$V \times \zerovecset$ equivale a moltiplicare la sola prima componente con l'usuale operazione
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di moltiplicazione di $V$. Allora, come accade per $\CC$, si può sostituire la notazione
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$(\v, \w)$ con la più comoda notazione $\v + i \w$.
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\end{remark}
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\begin{remark}
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Sia $\basis = \{ \vv 1, \ldots, \vv n \}$ una base di $V$. Innanzitutto si osserva che
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$(a+bi)(\v, \vec 0) = (a\v, b\v)$. Pertanto si può concludere che $\basis \times \zerovecset$ è
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una base dello spazio complessificato $V_\CC$ su $\CC$. \\
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Infatti, se $(a_1 + b_1 i)(\vv 1, \vec 0) + \ldots + (a_n + b_n i)(\vv n, \vec 0) = (\vec 0, \vec 0)$,
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allora $(a_1 \vv 1 + \ldots + a_n \vv n, b_1 \vv 1 + \ldots + b_n \vv n) = (\vec 0, \vec 0)$.
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Poiché però $\basis$ è linearmente indipendente per ipotesi, l'ultima identità implica che
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$a_1 = \cdots = a_n = b_1 = \cdots = b_n = 0$, e quindi che $\basis \times \zerovecset$ è linearmente
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indipendente. \\
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Inoltre $\basis \times \zerovecset$ genera $V_\CC$. Se infatti $\v = (\U, \w)$, e vale che:
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\[ \U = a_1 \vv 1 + \ldots + a_n \vv n, \quad \w = b_1 \vv 1 + \ldots + b_n \vv n, \]
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\vskip 0.1in
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allora $\v = (a_1 + b_1 i) (\vv 1, \vec 0) + \ldots + (a_n + b_n i) (\vv n, \vec 0)$. Quindi
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$\dim V_\CC = \dim V$.
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\end{remark}
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\begin{definition}
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Sia $f$ un'applicazione $\CC$-lineare di $V$ spazio vettoriale su $\CC$. Allora
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si definisce la \textbf{restrizione su} $\RR$ di $f$, detta $f_\RR : V_\RR \to V_\RR$,
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in modo tale che $f_\RR(\v) = f(\v)$.
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\end{definition}
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\begin{remark}
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Sia $\basis = \{\vv 1, \ldots, \vv n\}$ una base di $V$ su $\CC$. Sia $A = M_\basis(f)$. Si
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osserva allora che, se $\basis' = \basis \cup i \basis$ e $A = A' + i A''$ con $A'$, $A'' \in M(n, \RR)$,
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vale la seguente identità:
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\[ M_{\basis'}(f_\RR) = \Matrix{ A' & \rvline & -A'' \\ \hline A'' & \rvline & A' }. \]
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Infatti, se $f(\vv i) = (a_1 + b_1 i) \vv 1 + \ldots + (a_n + b_n i) \vv n$, vale che
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$f_\RR(\vv i) = a_1 \vv 1 + \ldots + a_n \vv n + b_1 (i \vv 1) + \ldots + b_n (i \vv n)$,
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mentre $f_\RR(i \vv i) = i f(\vv i) = - b_1 \vv 1 + \ldots - b_n \vv n + a_1 (i \vv 1) + \ldots + a_n (i \vv n)$.
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\end{remark}
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\begin{definition}
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Sia $f$ un'applicazione $\RR$-lineare di $V$ spazio vettoriale su $\RR$. Allora
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si definisce la \textbf{complessificazione} di $f$, detta $f_\CC : V_\CC \to V_\CC$,
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in modo tale che $f_\CC(\v + i \w) = f(\v) + i f(\w)$.
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\end{definition}
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\begin{remark}
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Si verifica infatti che $f_\CC$ è $\CC$-lineare.
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\begin{itemize}
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\item $f_\CC((\vv1 + i \ww1) + (\vv2 + i \ww2)) = f_\CC((\vv1 + \vv2) + i (\ww1 + \ww2)) =
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f(\vv1 + \vv2) + i f(\ww1 + \ww2) = (f(\vv1) + i f(\ww1)) + (f(\vv2) + i f(\ww2)) =
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f_\CC(\vv1 + i\ww1) + f_\CC(\vv2 + i\ww2)$.
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\item $f_\CC((a+bi)(\v + i\w)) = f_\CC(a\v-b\w + i(a\w+b\v)) = f(a\v - b\w) + i f(a\w + b\v) =
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af(\v) - bf(\w) + i(af(\w) + bf(\v)) = (a+bi)(f(\v) + if(\w)) = (a+bi) f_\CC(\v + i\w)$.
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\end{itemize}
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\end{remark}
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\begin{proposition}
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Sia $f_\CC$ la complessificazione di $f \in \End(V)$, dove $V$ è uno spazio vettoriale su $\RR$.
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Sia inoltre $\basis = \{ \vv 1, \ldots, \vv n \}$ una base di $V$. Valgono allora i seguenti risultati:
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\begin{enumerate}[(i)]
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\item $\restr{(f_\CC)_\RR}{V}$ assume gli stessi valori di $f$,
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\item $M_\basis(f_\CC) = M_\basis(f) \in M(n, \RR)$,
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\item $M_{\basis \cup i \basis}((f_\CC)_\RR) = \Matrix{M_\basis(f) & \rvline & 0 \\ \hline 0 & \rvline & M_\basis(f)}$.
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\end{enumerate}
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\end{proposition}
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\begin{proof}Si dimostrano i risultati separatamente.
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\begin{enumerate}[(i)]
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\item Si osserva che $(f_\CC)_\RR(\vv i) = f_\CC(\vv i) = f(\vv i)$. Dal momento che
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$(f_\CC)_\RR$ è $\RR$-lineare, si conclude che $(f_\CC)_\RR$ assume gli stessi valori
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di $f$.
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\item Dal momento che $\basis$, nell'identificazione di $(\v, \vec 0)$ come $\v$, è
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sempre una base di $V_\CC$, e $f_\CC(\vv i) = f(\vv i)$, chiaramente
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$[f_\CC(\vv i)]_\basis = [f(\vv i)]_\basis$, e quindi $M_\basis(f_\CC) = M_\basis(f)$,
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dove si osserva anche che $M_\basis(f) \in M(n, \RR)$, essendo $V$ uno spazio vettoriale
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su $\RR$.
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\item Sia $f(\vv i) = a_1 \vv 1 + \ldots + a_n \vv n$ con $a_1$, ..., $a_n \in \RR$. Come
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osservato in (i), $\restr{(f_\CC)_\RR}{\basis} = \restr{(f_\CC)_\RR}{\basis}$, e quindi
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la prima metà di $M_{\basis \cup i \basis}((f_\CC)_\RR)$ è formata da due blocchi: uno
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verticale coincidente con $M_\basis(f)$ e un altro completamente nullo, dal momento che
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non compare alcun termine di $i \basis$ nella scrittura di $(f_\CC)_\RR(\vv i)$. Al
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contrario, per $i \basis$, $(f_\CC)_\RR(i \vv i) = f_\CC(i \vv i) = i f(\vv i) = a_1 (i \vv 1) +
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\ldots + a_n (i \vv n)$; pertanto la seconda metà della matrice avrà i due blocchi della prima metà,
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benché scambiati.
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\end{enumerate}
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\end{proof}
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\begin{remark}
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Dal momento che $M_\basis(f_\CC) = M_\basis(f)$, $f_\CC$ e $f$ condividono lo stesso polinomio caratteristico
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e vale che $\Sp(f) \subseteq \Sp(f_\CC)$, dove vale l'uguaglianza se e solo se tale polinomio caratteristico
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è completamente riducibile in $\RR$. Inoltre, se $V_\lambda$ è l'autospazio su $V$ dell'autovalore $\lambda$, l'autospazio
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su $V_\CC$, rispetto a $f_\CC$, è invece ${V_\CC}_\lambda = V_\lambda + i V_\lambda$, la cui
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dimensione rimane invariata rispetto a $V_\lambda$, ossia $\dim V_\lambda = \dim {V_\CC}_\lambda$
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(infatti, analogamente a prima, una base di $V_\lambda$ può essere identificata come base
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anche per ${V_\CC}_\lambda$).
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\end{remark}
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\begin{proposition}
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Sia $f_\CC$ la complessificazione di $f \in \End(V)$, dove $V$ è uno spazio vettoriale su $\RR$.
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Sia inoltre $\basis = \{ \vv 1, \ldots, \vv n \}$ una base di $V$. Allora un endomorfismo
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$\tilde g : V_\CC \to V_\CC$ complessifica un endomorfismo $g \in \End(V)$ $\iff$ $M_\basis(\tilde g) \in M(n, \RR)$.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Se $\tilde g$ complessifica $g \in \End(V)$, allora, per la proposizione precedente,
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$M_\basis(\tilde g) = M_\basis(g) \in M(n, \RR)$. Se invece $A = M_\basis(\tilde g) \in M(n, \RR)$,
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si considera $g = M_\basis\inv(A) \in \End(V)$. Si verifica facilemente che $\tilde g$ non è altro che
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il complessificato di tale $g$:
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\begin{itemize}
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\item $\tilde g (\vv i) = g(\vv i)$, dove l'uguaglianza è data dal confronto delle matrici associate,
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e quindi $\restr{\tilde g}{V} = g$;
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\item $\tilde g(\v + i\w) = \tilde g(\v) + i \tilde g(\w) = g(\v) + i g(\w)$, da cui la tesi.
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\end{itemize}
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\end{proof}
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\begin{proposition}
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Sia $\varphi$ un prodotto scalare di $V$ spazio vettoriale su $\RR$. Allora esiste un
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unico prodotto hermitiano $\varphi_\CC : V_\CC \times V_\CC \to \CC$ che estende $\varphi$ (ossia tale che
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$\restr{\varphi_\CC}{V \times V} = \varphi$), il quale assume la stessa segnatura
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di $\varphi$.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Sia $\basis$ una base di Sylvester per $\varphi$. Si consideri allora il prodotto
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$\varphi_\CC$ tale che:
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\[ \varphi_\CC(\vv1 + i\ww1, \vv2 + i\ww2) = \varphi(\vv1, \vv2) + \varphi(\ww1, \ww2) + i(\varphi(\vv1, \ww1) - \varphi(\ww1, \vv2)). \]
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Chiaramente $\restr{\varphi_\CC}{V \times V} = \varphi$. Si verifica allora che $\varphi_\CC$ è hermitiano:
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\begin{itemize}
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\item $\varphi_\CC(\v + i\w, (\vv1 + i\ww1) + (\vv2 + i\ww2))$ $= \varphi(\v, \vv1 + \vv2) + \varphi(\w, \ww1 + \ww2)$ $+ i(\varphi(\v, \ww1 + \ww2)$ $- \varphi(\w, \vv1 + \vv2))$ $= [\varphi(\v, \vv1) + \varphi(\w, \ww1) + i(\varphi(\v, \ww1) - \varphi(\w, \vv1))]$ $+ [\varphi(\v, \vv2) + \varphi(\w, \ww2) + i(\varphi(\v, \ww2) - \varphi(\w, \vv2))] = \varphi_\CC(\v + i\w, \vv1 + i\ww1) +
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\varphi_\CC(\v + i\w, \vv2 + i\ww2)$ (additività nel secondo argomento),
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\item $\varphi_\CC(\v + i\w, (a+bi)(\vv1 + i\ww1)) = \varphi_\CC(\v + i\w, a\vv1-b\ww1 + i(b\vv1+a\ww1)) =
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\varphi(\v, a\vv1-b\ww1) + \varphi(\w, b\vv1+a\ww1) + i(\varphi(\v, b\vv1+a\ww1) - \varphi(\w, a\vv1-b\ww1))=
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a\varphi(\v, \vv1) - b\varphi(\v, \ww1) + b\varphi(\w, \vv1) + a\varphi(\w, \ww1) + i(b\varphi(\v, \vv1) + a\varphi(\v, \ww1) - a\varphi(\w, \vv1) + b\varphi(\w, \ww1)) = a(\varphi(\v, \vv1) + \varphi(\w, \ww1)) -
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b(\varphi(\v, \ww1) - \varphi(\w, \vv1)) + i(a(\varphi(\v, \ww1) - \varphi(\w, \vv1)) + b(\varphi(\v, \vv1) + \varphi(\w, \ww1))) = (a+bi)(\varphi(\v, \vv1) + \varphi(\w, \ww1) + i(\varphi(\v, \ww1) - \varphi(\w, \vv1))) = (a+bi) \varphi_\CC(\v + \w, \vv1 + i\ww1)$ (omogeneità nel secondo argomento),
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\item $\varphi_\CC(\vv1 + i\ww1, \vv2 + i\ww2) = \varphi(\vv1, \vv2) + \varphi(\ww1, \ww2) + i(\varphi(\vv1, \ww2) - \varphi(\ww1, \vv2)) = \conj{\varphi(\vv1, \vv2) + \varphi(\ww1, \ww2) + i(\varphi(\ww1, \vv2) - \varphi(\vv1, \ww2))} = \conj{\varphi(\vv2, \vv1) + \varphi(\ww2, \ww1) + i(\varphi(\vv2, \ww1) - \varphi(\ww2, \vv1))} = \conj{\varphi_\CC(\vv2 + \ww2, \vv1 + \ww1)}$ (coniugio nello scambio degli argomenti).
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\end{itemize}
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Ogni prodotto hermitiano $\tau$ che estende il prodotto scalare $\varphi$ ha la stessa matrice associata nella
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base $\basis$, essendo $\tau(\vv i, \vv i) = \varphi(\vv i, \vv i)$ vero per ipotesi. Pertanto $\tau$ è
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unico, e vale che $\tau = \varphi_\CC$. Dal momento che $M_\basis(\varphi_\CC) = M_\basis(\varphi)$ è
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una matrice di Sylvester, $\varphi_\CC$ mantiene anche la stessa segnatura di $\varphi$.
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\end{proof}
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