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\documentclass[12pt]{scrartcl}
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\usepackage{notes_2023}
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\begin{document}
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\title{Il prodotto semidiretto}
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\maketitle
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\begin{note}
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Nel corso del documento con $G$ un qualsiasi gruppo.
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\end{note}
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Siano $H$ e $K$ due gruppi. Allora, dato un omomorfismo $\varphi : K \to \Aut(H)$ e
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detto $\varphi_k := \varphi(k)$,
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si può costruire un gruppo su $H \times K$ detto \textbf{prodotto semidiretto} tra $H$ e $K$,
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indicato con $H \rtimes_\varphi K$, dove l'operazione è data da:
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\[ (h,k)(h',k') = (h \, \varphi_k(h'), k k'). \]
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In questo gruppo l'inverso di $(h, k)$ è dato da $(\varphi_k\inv(h\inv), k\inv)$,
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infatti:
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\[ (h, k) (\varphi_k\inv(h\inv), k\inv) = (h \, \varphi_k(\varphi_k\inv(h\inv)), kk\inv) = (e, e). \]
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In particolare, se $\varphi$ è banale, e quindi $k \xmapsto{\varphi} \Id_H$,
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$H \rtimes_\varphi K$ ha la stessa struttura usuale del prodotto diretto. Nel
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prodotto semidiretto $H \rtimes_\varphi K$ si possono identificare facilmente
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$H$ e $K$ nei sottogruppi $H \times \{e\}$ e $\{e\} \times K$. \medskip
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Detto $\alpha: H \rtimes_\varphi K \to K$ la mappa che associa $(h, k)$ a
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$k$, si verifica che $\alpha$ è un omomorfismo con $\Ker \alpha = H \times \{e\}$.
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Pertanto $H \times \{e\}$ è un sottogruppo normale di $H \rtimes_\varphi K$,
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mentre in generale $K \times \{e\}$ non lo è. \medskip
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Si illustra adesso un teorema che permette di decomporre, sotto opportune ipotesi,
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un gruppo in un prodotto semidiretto di due suoi sottogruppi:
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\begin{theorem}[di decomposizione in prodotto semidiretto]
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Siano $H$ e $K$ due sottogruppi di $G$ con $H \cap K = \{e\}$ e
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$H \nsgeq G$. Allora vale che $HK \cong H \rtimes_\varphi K$ con
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$\varphi : K \to \Aut(H)$ tale per cui\footnote{
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Tale mappa è ben definita dal momento che $H$ è normale in $G$.
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} $k \xmapsto{\varphi} [h \mapsto k h k\inv]$.
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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Si costruisce un isomorfismo tra $H \rtimes_\varphi K$ e $HK$. Sia
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$\alpha : H \rtimes_\varphi K \to HK$ tale per cui
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$(h, k) \xmapsto{\alpha} hk$. Si verifica che $\alpha$ è un
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omomorfismo:
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\[ \alpha((h,k)(h',k')) = \alpha(h k h' k\inv, k k') =
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h k h' k\inv k k' = hkh'k' = \alpha(h,k)\alpha(h',k'). \]
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Chiaramente $\alpha$ è iniettivo dal momento che $hk=e \implies h = k\inv \in H \cap K \implies h = k = e$. Infine $\alpha$ è surgettiva dal momento che $hk = \alpha(h, k)$,
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e quindi $\alpha$ è un isomorfismo.
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\end{proof}
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\end{document} |