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\documentclass[11pt]{article}
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\usepackage{personal_commands}
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\usepackage[italian]{babel}
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\title{\textbf{Note del corso di Analisi matematica 1}}
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\author{Gabriel Antonio Videtta}
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\date{21 marzo 2023}
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\begin{document}
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\maketitle
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\begin{center}
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\Large \textbf{Limiti di funzioni e funzioni continue}
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\end{center}
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\begin{note} Nel corso del documento, per un insieme $X$, qualora non
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specificato, si intenderà sempre un sottoinsieme generico dell'insieme
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dei numeri reali esteso $\RRbar$. Analogamente per $f$ si intenderà
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sempre una funzione $f : X \to \RRbar$.
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\end{note}
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\begin{definition} (continuità in un punto) Sia
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$\xbar \in X$. Allora $f$ si dice \textit{continua} su $\xbar$ se e solo
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se $\forall I$ intorno di $f(\xbar)$ $\exists J$ intorno di $\xbar$ tale
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che $f(J \cap X) \subseteq I$. Conseguentemente $f$ si dirà \textit{discontinua}
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su $\xbar$ se non è continua su $\xbar$.
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\end{definition}
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\begin{definition} (continuità di una funzione) Si dice che $f$ è una \textit{funzione
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continua} se e solo se $f$ è continua su $\xbar$ $\forall \xbar \in X$.
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\end{definition}
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\begin{definition} (punti di accumulazione e punti isolati) Si dice che $\xbar \in \RRbar$ è un \textit{punto
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di accumulazione} di $X$ se $\forall I$ intorno di $x$ $\exists x \in X$, $x \neq \xbar \mid
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x \in I$, o equivalentemente se $I \cap X \setminus \{\xbar\} \neq \emptyset$. Analogamente
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un punto che non è di accumulazione e che appartiene a $X$ si dice \textit{punto isolato}.
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\end{definition}
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\begin{definition}
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(derivato di un insieme) Si definisce derivato di $X$ l'insieme dei punti di
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accumulazione di $X$, e si denota con $D(X)$.
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\end{definition}
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\begin{definition}
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(chiusura di un insieme) Si definisce chiusura di $X$ l'unione di $X$ ai suoi
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punti di accumulazione, ossia $\bar{X} = X \cup D(X)$.
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\end{definition}
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\begin{proposition}
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Sono equivalenti i seguenti fatti:
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\begin{enumerate}
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\item $\xbar$ è un punto di accumulazione di $X$,
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\item esiste una successione $(x_n) \subseteq X \setminus \{\xbar\}$ tale
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che $x_n \tendston \xbar$.
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\end{enumerate}
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\end{proposition}
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\begin{proof} Si dimostrano le due implicazioni separatamente. \\
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\rightproof Se $\xbar \in \RR$, per ogni $n$ si consideri l'intorno $I_n = [\xbar - \frac{1}{n}, \xbar + \frac{1}{n}]$, e si estragga un elemento $k \in I_n \cap X \setminus \{\xbar\}$ (che per ipotesi esiste, dacché
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$\xbar$ è un punto di accumulazione). Si ponga dunque $x_n = k$. Poiché $\liminftyn \xbar - \frac{1}{n} = \liminftyn \xbar + \frac{1}{n} = \xbar$ e $x_n \in I_n$ $\forall n \in \NN$, allora $x_n \tendston \xbar$. \\
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Altrimenti, se $\xbar$ non è finito, si consideri il caso $\xbar = +\infty$. Per ogni $n$ si consideri allora l'intorno $I_n = [n, \infty]$, e si
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estragga, come prima, $k \in I_n \cap X \setminus \{\xbar\}$, ponendo infine $x_n = k$. Poiché $I_n \tendston \{\infty\}$, $x_n \tendston \xbar$. Analogamente si dimostra il caso $\xbar = -\infty$. \\
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\leftproof Se esiste una tale successione, allora $\forall I$ intorno di $\xbar$ $\exists n_k \in \NN \mid n \geq n_k \implies x_n \in I$, ed in particolare, poiché per ipotesi
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$x_n \neq \xbar$, $x_n \in X \forall n \in \NN$, $I$ contiene sempre un punto diverso
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da $\xbar$ ed appartenente ad $X$, ossia $I \cap X \setminus \{\xbar\}$.
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\end{proof}
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\begin{remark} Negando la definizione di punto di accumulazione, si ricava che $\xbar \in X$ è un
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punto isolato $\iff$ $\exists I$ intorno di $\xbar$ $\mid I \cap X = \{\xbar\}$.
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\end{remark}
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\begin{definition} (limite di una funzione) Sia $\xbar \in D(X)$. Allora $\lim_{x \to \xbar} f(x) = L
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\defiff \forall I$ intorno di $L$, $\exists J$ intorno di $\xbar$ $\mid f(J \cap X \setminus \{\xbar\})
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\subseteq I$.
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\end{definition}
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\begin{remark} La definizione di limite di una funzione richiede che $\xbar$ sia un punto di
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accumulazione di $X$ per due principali motivi, uno teorico e uno strettamente pratico:
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\begin{enumerate}
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\item se $\xbar$ fosse un punto isolato, allora esisterebbe sicuramente un suo intorno $J$ tale
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che $J \cap X \setminus \{\xbar\} = \emptyset$, e quindi $f(J \cap X \setminus \{\xbar\}) = f(\emptyset) = \emptyset \in I$, per qualsiasi intorno $I$ scelto, a prescindere da $L$; si
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perderebbe dunque una proprietà fondamentale del limite, ovverosia la sua unicità.
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\item se $\xbar$ fosse un punto isolato, non vi sarebbe alcun modo di ``predirre'' il
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comportamento di $f$ nel momento in cui tende a $\xbar$, dacché non si potrebbero
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computare valori per $x$ ``vicine'' a $\xbar$.
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\end{enumerate}
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\end{remark}
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\begin{proposition}
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Se $\xbar \in D(X)$, sono equivalenti i seguenti fatti:
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\begin{enumerate}
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\item $\lim_{x \to \xbar} f(x) = L$,
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\item $\forall$ successione $(x_n) \subseteq X \setminus \{\xbar\}$ tale che
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$x_n \tendston \xbar$, $f(x_n) \tendston L$.
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\end{enumerate}
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Si dimostrano le due implicazioni separatamente. \\
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\rightproof Sia $(x_n) \subseteq X \setminus \{\xbar\}$ una successione tale che
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$x_n \tendston \xbar$. Poiché $\lim_{x \to \xbar} f(x) = L$, $\forall I$ intorno di
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$L$, $\exists J$ intorno di $\xbar$ tale che $f(J \cap X \setminus \{\xbar\}) \subseteq I$.
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Allo stesso tempo, poiché $x_n \tendston \xbar$ e $J$ è un intorno di $\xbar$, esiste un $n_k \in \NN$
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tale che $n \geq n_k \implies x_n \in J \implies f(x_n) \in I$ (infatti $x_n$ per definizione
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appartiene a $X$ ed è sempre diverso da $\xbar$). Allora $\forall I$ intorno di $L$, $\exists n_k$
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tale che $n \geq n_k \implies f(x_n) \in I$, ossia $f(x_n) \tendston L$. \\
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\leftproof Si ponga per assurdo che $\lim_{x \to \xbar} f(x) \neq L$. Allora esiste almeno
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un intorno $I$ di $L$ tale per cui non esista alcun intorno $J$ di $\xbar \mid f(J \cap X \setminus \{\xbar\}) \subseteq I$. Si consideri adesso il caso $\xbar \in \RR$ ed il suo intorno $J_n = [\xbar - \frac{1}{n}, \xbar + \frac{1}{n}]$: da ogni $J_n$ si può estrarre un $k \in X \setminus \{\xbar\}$
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(infatti $\xbar$ è un punto di accumulazione), tale che $f(k) \notin I$. Si ponga allora $x_n = k$.
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Dal momento che $J_n \tendston \{\xbar\}$, $x_n \tendston \xbar$. Allo stesso tempo, per $n \to \infty$, $f(x_n)$ non può tendere a $L$, dacché per costruzione $f(x_n)$ non appartiene all'intorno
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$I$. Tuttavia ciò contraddice l'ipotesi, e quindi $\lim_{x \to \xbar} f(x) = L$. \\
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Altrimenti, se $\xbar = \infty$, si consideri per ogni $n$ l'intorno $J_n = [n, \infty]$, e se ne
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estragga $k \in X \setminus \{\xbar\}$ tale che $f(k) \notin I$ (come prima, questo deve esistere
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dacché $\xbar$ è un punto di accumulazione). Si ponga dunque $x_n = k$. Poiché $J_n \tendston \{\infty\}$, $x_n \tendston \xbar$. Tuttavia $f(x_n)$ non può tendere a $L$ per $n \to \infty$,
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dal momento che $f(x_n)$ per costruzione non appartiene mai all'intorno $I$. Questo contraddice
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nuovamente l'ipotesi, e quindi $\lim_{x \to \xbar} f(x) = L$.
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\end{proof}
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\begin{exercise} Si dimostri che $\overline{\overline{X}} = \overline{X}$.
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\end{exercise}
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\begin{exercise} Si mostri che l'ipotesi che la successione $(x_n)$ non abbia elementi uguali
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a $\xbar$ sia necessaria, riportando un controesempio.
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\end{exercise}
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\end{document}
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