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\documentclass[10pt,landscape]{article}
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%\pagestyle{empty}
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\makeatletter
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% -----------------------------------------------------------------------
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\title{Scheda riassuntiva di Teoria dei campi e di Galois}
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\begin{document}
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\parskip=0.7ex
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\raggedright
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\footnotesize
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\begin{center}
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\Large{\textbf{Scheda riassuntiva di Teoria dei campi e di Galois}} \\
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\end{center}
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\begin{multicols}{3}
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\setlength{\postmulticols}{1pt}
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\setlength{\multicolsep}{1pt}
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\setlength{\columnsep}{2pt}
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\section{Campi e omomorfismi}
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Si dice \textbf{campo} un anello commutativo non banale
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$K$ che è
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contemporaneamente anche un corpo. Si dice
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\textbf{omomorfismo di campo} tra due campi $K$ ed $L$
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un omomorfismo di anelli. Dal momento che un omomorfismo
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$\varphi$ è tale per cui $\Ker \varphi$ è un ideale
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di $K$ con $1 \notin \Ker \varphi$, deve per forza
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valere $\Ker \varphi = \{0\}$, e quindi ogni omomorfismo
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di campi è un'immersione. \medskip
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\section{Caratteristica di un campo}
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Dato l'omomorfismo $\zeta : \ZZ \to K$ completamente
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determinato dalla relazione $1 \xmapsto{\zeta} 1_K$,
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si definisce \textbf{caratteristica di $K$}, detta
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$\Char K$, il
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generatore non negativo di $\Ker \zeta$. In particolare
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$\Char K$ è $0$ o un numero primo. Se $\Char K$ è zero,
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$\zeta$ è un'immersione, e quindi $K$ è un campo infinito,
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e in particolare vi si immerge anche $\QQ$. \medskip
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Tuttavia non è detto che $\Char K = p$ implichi che $K$ è
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finito. In particolare $\ZZ_p(x)$, il campo delle funzioni
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razionali a coefficienti in $\ZZ_p$, è un campo infinito
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a caratteristica $p$.
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\subsection{Proprietà dei campi a caratteristica $p$}
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Se $\Char K = p$, per il Primo
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teorema di isomorfismo per anelli, $\ZZmod{p}$ si immerge
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su $K$ tramite la proiezione di $\zeta$; pertanto
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$K$ contiene una copia isomorfa di $\ZZmod{p}$. Per
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campi di caratteristica $p$, vale il Teorema del
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binomio ingenuo, ossia:
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\[ (a + b)^p = a^p + b^p, \]
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estendibile anche a più addendi.
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In particolare, per un campo $K$ di caratteristica $p$,
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la mappa $\Frob : K \to K$ tale per cui $a \xmapsto{\Frob} a^p$
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è un omomorfismo di campi, ed in particolare è un'immersione
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di $K$ in $K$, detta \textbf{endomorfismo di Frobenius}. Se $K$ è un campo finito, $\Frob$ è anche
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un isomorfismo. Si osserva che per gli elementi della
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copia $K \supseteq \FF_p \cong \ZZmod{p}$ vale
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$\restr{\Frob}{\FF_p} = \Id_{\FF_p}$, e quindi
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$\Frob$ è un elemento di $\Gal(K / \FF_p)$.
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\section{Campi finiti}
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Per ogni $p$ primo e $n \in \NN^+$ esiste un campo finito
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di ordine $p^n$. In particolare, tutti i campi finiti di
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ordine $p^n$ sono isomorfi tra loro, possono essere visti
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come spazi vettoriali di dimensione $n$ sull'immersione di $\ZZmod{p}$ che contengono,
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e come campi di spezzamento di $x^{p^n}-x$
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su tale immersione. Tali campi hanno obbligatoriamente
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caratteristica $p$, dove $\abs{K} = p^n$. Esiste
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sempre un isomorfismo tra due campi finiti che manda la copia isomorfa di $\ZZmod{p}$ di uno nell'altra. \medskip
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Poiché i campi finiti di medesima cardinalità sono isomorfi,
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si indicano con $\FF_p$ e $\FF_{p^n}$ le strutture
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algebriche di tali campi. In particolare con
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$\FF_{p^n} \subseteq \FF_{p^m}$ si intende che
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esiste un'immersione di un campo con $p^n$ elementi in
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uno con $p^m$ elementi, e analogamente si farà con
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altre relazioni (come l'estensione di campi)
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tenendo bene in mente di star
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considerando tutti i campi di tale ordine. \medskip
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Vale la relazione $\FF_{p^n} \subseteq \FF_{q^m}$
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se e solo se $p=q$ e $n \mid m$. Conseguentemente,
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l'estensione minimale per inclusione comune a
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$\FF_{p^{n_1}}$, ..., $\FF_{p^{n_i}}$ è
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$\FF_{p^m}$ dove $m := \mcm(n_1, \ldots, n_i)$. Pertanto
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se $p \in \FF_{p^n}[x]$ si decompone in fattori irriducibili
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di grado $n_1$, \ldots, $n_i$, il suo campo di spezzamento
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è $\FF_{p^m}$. Inoltre, $x^{p^n}-x$ è in $\FF_p$ il
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prodotto di tutti gli irriducibili di grado divisore
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di $n$.
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\section{Proprietà dei polinomi di $K[x]$}
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Per il Teorema di Lagrange sui campi, ogni polinomio
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di $K[x]$ ammette al più tante radici quante il suo grado.
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Come conseguenza pratica di questo teorema, ogni sottogruppo
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moltiplicativo finito di $K$ è ciclico. Pertanto
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$\FF_{p^n}^* = \gen{\alpha}$ per $\alpha \in \FF_{p^n}$,
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e quindi $\FF_{p^n} = \FF_p(\alpha)$, ossia
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$\FF_{p^n}$ è sempre un'estensione semplice su $\FF_p$. Si dice
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\textbf{campo di spezzamento} di una famiglia $\mathcal{F}$
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di polinomi di $K[x]$ un sovracampo minimale per
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inclusione di $K$ che fa sì che ogni polinomio di $\mathcal{F}$ si decomponga in fattori lineari. I campi
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di spezzamento di $\mathcal{F}$ sono sempre
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$K$-isomorfi tra loro. \medskip
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Un polinomio irriducibile si dice separabile se ammette
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radici distinte. Per il criterio della derivata,
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$p \in K[x]$ ammette radici multiple se e solo se
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$\MCD(p, p')$ non è invertibile, dove $p'$ è la derivata
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formale di $p$. Se $p \in K[x]$ e $n := \deg p$, il campo di spezzamento $L$ di $p$ è tale per cui
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$[L : K] \leq n!$. Se $p$ è irriducibile e separabile, vale anche che $n \mid [L : K] \mid n!$, come
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conseguenza dell'azione del relativo gruppo di
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Galois sulle radici. \medskip
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Se $p$ è irriducibile in $K[x]$, $(p)$ è un ideale
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massimale, e $K[x] / (p)$ è un campo che
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ne contiene una radice, ossia $[x]$. In
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particolare $K$ si immerge in $K[x] / (p)$,
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e quindi tale campo può essere identificato come
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un'estensione di $K$ che aggiunge una radice di $p$.
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Se $K$ è finito, detta $\alpha$ la radice aggiunta
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all'estensione, $L := K[x] / (p) \cong K(\alpha)$ contiene
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tutte le radici di $p$ (ed è dunque il suo campo
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di spezzamento). Infatti detto $[L : \FF_p] = n$,
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$[x]$ annulla $x^{p^n}-x$ per il Teorema di Lagrange
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sui gruppi, e quindi $p$ deve dividere $x^{p^n}-x$;
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in tal modo $p$ deve spezzarsi in fattori lineari,
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e quindi ogni radice deve già appartenere ad $L$.
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In particolare, ogni estensione finita e semplice
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di un campo finito è normale, e quindi di Galois. \medskip
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\section{Estensioni di campo}
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Si dice che $L$ è un'estensione di $K$, e si indica
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con $L / K$, se $L$ è un sovracampo di $K$,
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ossia se $K \subseteq L$. Si indica con $[L : K] = \dim_K L$ la
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dimensione di $L$ come $K$-spazio vettoriale. Si
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dice che $L$ è un'estensione finita di $K$ se $[L : K]$
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è finito, e infinita altrimenti. Un'\textbf{estensione finita}
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di un campo finito è ancora un campo finito. Un'estensione
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è finita se e solo se è finitamente generata da elementi algebrici. Una $K$-immersione è un omomorfismo di campi
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iniettivo da un'estensione di $K$ in un'altra estensione di $K$ che
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agisce come l'identità su $K$. Un $K$-isomorfismo è
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una $K$-immersione che è isomorfismo. \medskip
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\subsection{Composto di estensioni e teorema delle torri algebriche}
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Date estensioni $L$ e $M$ su $K$, si definisce
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$LM = L(M) = M(L)$ come il \textbf{composto} di $L$
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ed $M$, ossia come la più piccola estensione di $K$ che
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contiene sia $L$ che $M$. In particolare, $LM$
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può essere visto come $L$-spazio vettoriale con
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vettori in $M$, o analogamente come $M$-spazio con
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vettori in $L$. \medskip
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Per il Teorema delle torri algebriche, $L / K$ è
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un'estensione finita se e solo se $L / F$ e
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$F / K$ lo sono (ossia la finitezza vale strettamente
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per torri). Inoltre, se $\basis_{L/F}$ e $\basis_{F/K}$
|
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sono basi di $L/F$ e $F/K$, allora
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$\basis_{L/F} \basis_{F/K}$ è una base di
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$L / K$, dove i suoi elementi sono i prodotti tra
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i vari elementi delle due basi. Infine
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se $L / K$ è finita, allora
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anche $LM / M$ è finita, e vale che $[LM : M] \leq [L : K]$ (infatti una base di $L / K$ può essere trasformata
|
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in un insieme di generatori di $LM / M$), e quindi
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la finitezza vale per \textit{shift}. Sempre per
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il Teorema delle torri algebriche, se $L / K$ è
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finito, allora vale che:
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\[ [L : K] = [L : F] [F : K]. \]
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Se $L / K$ e $M / K$ sono finite, anche $LM / K$ lo
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è (infatti la finitezza vale sia per torri che per \textit{shift}). In particolare, vale che:
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\[ \mcm([L : K], [M : K]) \mid [LM : K]. \]
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Se $[L : K]$ ed $[M : K]$ sono coprimi tra loro,
|
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allora vale proprio l'uguaglianza
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$[LM : K] = [L : K] [M : K]$. Infatti, in tal caso,
|
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si avrebbe $[L : K] [M : K] \leq [LM : K]$ e
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$[LM : K] = [LM : M] [M : K] \leq [L : K] [M : K]$.
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\subsection{Omomorfismo di valutazioni, elementi algebrici e trascendenti e polinomio minimo}
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Dato $\alpha$, si definisce $K(\alpha)$ il più piccolo
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sovracampo di $K$ che contiene $\alpha$. Si definisce l'\textbf{omomorfismo di
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valutazione} $\varphi_{\alpha, K} : K[x] \to K[\alpha]$, detto
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$\varphi_\alpha$ se $K$ è noto, l'omomorfismo completamente
|
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determinato dalla relazione $p \xmapsto{\varphi_\alpha} p(\alpha)$. Si verifica che $\varphi_\alpha$ è
|
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surgettivo. Se $\varphi_\alpha$ è iniettivo,
|
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si dice che $\alpha$ è \textbf{trascendentale} su $K$ e
|
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$K[x] \cong K[\alpha]$, da cui $[K[\alpha] : K] =
|
|
[K[x] : K] = \infty$. Se invece $\varphi_\alpha$ non
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è iniettivo, si dice che $\alpha$ è \textbf{algebrico}
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su $K$. Si definisce $\mu_\alpha$, detto il \textbf{polinomio
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minimo} di $\alpha$ su $K$, il generatore monico
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di $\Ker \varphi_\alpha$. IDal momento che $K$ è
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in particolare un dominio di integrità, $\mu_\alpha$ è sempre irriducibile. \medskip
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Si definisce
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$\deg_K \alpha := \deg \mu_\alpha$. Se $\alpha$ è
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algebrico su $K$, $K[x] / (\mu_\alpha) \cong
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K[\alpha]$, e quindi $K[\alpha]$ è un campo. Dacché
|
|
$K[\alpha] \subseteq K(\alpha)$, vale allora
|
|
$K[\alpha] = K(\alpha)$. Inoltre, poiché $\dim_K K[x] / (\mu_\alpha) = \deg_K \alpha$, vale
|
|
anche che $[K(\alpha) : K] = \deg_K \alpha$.
|
|
Infine, si verifica che $\alpha$ è algebrico se e solo se
|
|
$[K(\alpha) : K]$ è finito. \medskip
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\subsection{Estensioni semplici, algebriche}
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Si dice che $L$ è un'\textbf{estensione semplice} di
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$K$ se $\exists \alpha \in L$ tale per cui $L = K(\alpha)$.
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In tal caso si dice che $\alpha$ è un \textbf{elemento primitivo} di $K$. Si dice che $L$ è un'\textbf{estensione
|
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algebrica} di $K$ se ogni suo elemento è algebrico su $K$.
|
|
Ogni estensione finita è algebrica. Non tutte le
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|
estensioni algebriche sono finite (e.g.~$\overline{\QQ}$ su $\QQ$). \medskip
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L'insieme degli elementi algebrici di un'estensione
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di $K$ su $K$ è un estensione algebrica di $K$.
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Pertanto se $\alpha$ e $\beta$ sono algebrici,
|
|
$\alpha \pm \beta$, $\alpha \beta$, $\alpha \beta\inv$
|
|
e $\alpha\inv \beta$ (a patto che o $\alpha \neq 0$ o
|
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$\beta \neq 0$) sono algebrici.
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\subsection{Campi perfetti, estensioni separabili e coniugati}
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Si dice che un'estensione algebrica $L$ è un'\textbf{estensione separabile} di
|
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$K$ se per ogni elemento $\alpha \in L$,
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$\mu_\alpha$ ammette radici distinte. Si dice
|
|
che $K$ è un \textbf{campo perfetto} se ogni
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|
polinomio irriducibile ammette radici distinte,
|
|
ossia se ogni polinomio irriducibile è separabile.
|
|
In un campo perfetto, ogni estensione algebrica
|
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è separabile. Si definiscono i coniugati di
|
|
$\alpha$ algebrico su $K$ come le radici
|
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di $\mu_\alpha$. Se $K(\alpha)$ è separabile su $K$,
|
|
$\alpha$ ha esattamente $\deg_K \alpha$ coniugati,
|
|
altrimenti esistono al più $\deg_K \alpha$ coniugati. \medskip
|
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Un campo è perfetto se e solo se ha caratteristica
|
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$0$ o altrimenti se l'endomorfismo di
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Frobenius è un automorfismo. Equivalentemente,
|
|
un campo è perfetto se le derivate dei polinomi
|
|
irriducibili sono sempre non nulle. Esempi di
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campi perfetti sono allora tutti i campi di
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caratteristica $0$ e tutti i campi finiti.
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\subsection{Campi algebricamente chiusi e chiusura algebrica di $K$}
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Un campo $K$ si dice \textbf{algebricamente chiuso} se
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|
ogni $p \in K[x]$ ammette una radice in $K$. Equivalentemente $K$ è algebricamente chiuso se
|
|
ogni $p \in K[x]$ ammette tutte le sue radici in $K$.
|
|
Si dice \textbf{chiusura algebrica} di $K$
|
|
una sua estensione algebrica e algebricamente
|
|
chiusa. Le chiusure algebriche di $K$ sono
|
|
$K$-isomorfe tra loro, e quindi si identifica
|
|
con $\overline{K}$ la struttura algebrica della
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|
chiusura algebrica di $K$. \medskip
|
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|
Se $L$ è una sottoestensione di $K$ algebricamente
|
|
chiuso, allora $\overline{L}$ è il campo degli
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|
elementi algebrici di $K$ su $L$. Infatti se
|
|
$p \in L[x]$, $p$ ammette una radice $\alpha$ in $K$, essendo
|
|
algebricamente chiuso. Allora $\alpha$ è un elemento
|
|
di $K$ algebrico su $L$, e quindi $\alpha \in \overline{L}$. Per il Teorema fondamentale dell'algebra,
|
|
$\overline{\RR} = \CC$.
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\subsection{Estensioni normali e di Galois, $K$-immersioni di un'estensione finita di $K$}
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|
Sia $\alpha$ un elemento algebrico su $K$. Allora
|
|
$[K(\alpha) : K] = \deg_K \alpha$. Le
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|
$K$-immersioni da $K(\alpha)$ in $\overline{K}$
|
|
sono esattamente tante quanti sono i coniugati di
|
|
$\alpha$ e sono tali da mappare $\alpha$ ad un suo coniugato. Se $K$ è perfetto, esistono esattamente
|
|
$\deg_K \alpha$ $K$-immersioni da $K(\alpha)$
|
|
in $\overline{K}$. \medskip
|
|
|
|
|
|
Se $L / K$ è un'estensione separabile finita su $K$, allora
|
|
esistono esattamente $[L : K]$ $K$-immersioni
|
|
da $L$ in $\overline{K}$. Per quanto detto prima,
|
|
tali immersioni mappano gli elementi $L$ nei
|
|
loro coniugati. \medskip
|
|
|
|
|
|
Se $L$ è un'estensione separabile finita, allora per
|
|
ogni $\varphi : K \to \overline{K}$ esistono
|
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esattamente $[L : K]$ estensioni $\varphi_i : L \to \overline{K}$ di $\varphi$, ossia omomorfismi
|
|
tali per cui $\restr{\varphi_i}{K} = \varphi$. \medskip
|
|
|
|
|
|
Per quanto detto prima, per calcolare dunque tutti
|
|
i coniugati di $\alpha \in L$ su $K$, è sufficiente
|
|
calcolare i distinti valori delle $K$-immersioni
|
|
di $L$ su $\alpha$. Infatti, ogni $K$-immersione
|
|
da $K(\alpha)$ può estendersi a $K$-immersione di
|
|
$L$, e viceversa ogni $K$-immersione di $L$ può
|
|
restringersi a $K$-immersione di $K(\alpha)$. In
|
|
particolare, una volta computati tutti i coniugati, è semplice trovare il polinomio minimo di $\alpha$
|
|
su $K$ (è sufficiente considerare il prodotto dei vari $x-\alpha_i$ dove gli $\alpha_i$ sono tutti i coniugati di $\alpha$). \medskip
|
|
|
|
|
|
Si dice che un'estensione algebrica $L / K$ è un'\textbf{estensione normale}
|
|
se per ogni $K$-immersione $\varphi$ da $L$ in $\overline{K}$
|
|
vale che $\varphi(L) = L$. Equivalentemente
|
|
un'estensione è normale se è il campo di spezzamento
|
|
di una famiglia di polinomi (in particolare è il campo
|
|
di spezzamento di tutti i polinomi irriducibili che
|
|
hanno una radice in $L$). Ancora, un'estensione $L$
|
|
è normale se e solo se per ogni $\alpha \in L$,
|
|
i coniugati di $L$ appartengono ancora ad $L$.
|
|
Per un'estensione normale, per ogni $K$-immersione
|
|
$\varphi : L \to \overline{K}$ si può restringere
|
|
il codominio ad un campo isomorfo a $L \subseteq \overline{K}$, e quindi considerare $\varphi$ come
|
|
un automorfismo di $L$ che fissa $K$. \medskip
|
|
|
|
|
|
Un'estensione finita $L/K$ di grado $2$ è sempre normale,
|
|
ed in particolare può sempre scriversi come
|
|
$L = K(\sqrt{\Delta})$, dove $\Delta$ non è un quadrato
|
|
in $K$.
|
|
|
|
|
|
Si indica con $\Aut_K(L) = \Aut(L / K)$ l'insieme
|
|
degli automorfismi di $L$ che fissano $K$. Se
|
|
$L$ è normale e separabile, si dice
|
|
\textbf{estensione di Galois}, e si definisce
|
|
il suo \textbf{gruppo di Galois}
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$\Gal(L / K)$ come $(\Aut_K L, \circ)$, ossia come
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il gruppo $\Aut_K L$ con l'operazione di
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composizione.
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\subsection{Azione di $\Gal(L / K)$ sulle radici di $L$ campo di spezzamento}
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Sia $p \in K[x]$ irriducibile e separabile.
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Allora si definisce
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il \textbf{gruppo di Galois di $p$} come il gruppo
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di Galois $\Gal(L / K)$, dove $L$ è un campo di
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spezzamento di $p$ su $K$. Se $\deg p = n$ e
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$a_1$, ..., $a_n$ sono le radici di $p$,
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$\Gal(L / K)$ agisce su $\{a_1, \ldots, a_n\}$
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mediante $\Xi$, in modo tale che:
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\vskip -0.3in
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\begin{equation*}
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\begin{split}
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\Xi : \Gal(&L / K) \to S(\{a_1, \ldots, a_n\}) \cong S_n, \\
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&\varphi_i \xmapsto{\Xi} [a_j \mapsto \varphi_i(a_j)].
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\end{split}
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\end{equation*}
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\vskip -0.2in
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In particolare tale azione è transitiva (dunque $\Orb(a_i) = \{a_j\}_{j=1-n}$)e fedele. Poiché $\Xi$ è fedele, vale che
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$\Gal(L / K) \mono S_n$. Se $\Gal(L / K)$ è abeliano
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(e in tal caso si dice che $L$ è un'\textbf{estensione abeliana}), $\Xi$ è anche transitiva, e quindi
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$\Gal(L / K)$ si identifica come un sottogruppo
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abeliano transitivo di $S_n$, e in quanto tale deve
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valere che $\abs{\Gal(L / K)} = n$. \medskip
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Dal momento che $\Xi$ è un'immersione, vale
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che $\abs{\Gal(L / K)} \mid n!$. Dacché allora
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$[K(a_1) : K] = n$, vale in particolare che:
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\[ n \mid \abs{\Gal(L / K)} = [L : K] \mid n!. \]
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\section{Diagrammi di campo e proprietà}
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Si definisce \textbf{diagramma di campo} un
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diagramma della seguente forma:
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\[\begin{tikzcd}
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& LM \\
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L & {} & M \\
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& {L \cap M} \\
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& K
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\arrow[no head, from=4-2, to=3-2]
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\arrow[no head, from=3-2, to=2-1]
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\arrow[no head, from=2-1, to=1-2]
|
|
\arrow[no head, from=3-2, to=2-3]
|
|
\arrow[no head, from=2-3, to=1-2]
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\end{tikzcd}\]
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In particolare il precedente diagramma rappresenta
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lo studio dell'estensione di $LM$ su $K$, e
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rappresenta $L$, $M$ e $L \cap M$ come sottoestensioni
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di $LM$. Un estremo superiore di una freccia è sempre,
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per definizione, un'estensione dell'estremo inferiore
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della stessa freccia. \medskip
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Sia $\mathcal{P}$ una proprietà. Allora si
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studia la proprietà $\mathcal{P}$ secondo
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le seguenti tre modalità:
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\begin{itemize}
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\item validità per \textbf{torri}: se $\mathcal{P}$ vale in due estensioni in $K \subseteq F \subseteq L$, allora vale anche per la terza estensione, ossia
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vale per tutta la torre di estensioni,
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\item validità per \textbf{\textit{shift}} (o per il \textbf{traslato}): se $\mathcal{P}$ vale
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per $F / K$, allora vale anche per $LF / F$, ossia
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vale sul ramo parallelo a quello di $F / K$,
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\item validità per il \textbf{composto}: se
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$\mathcal{P}$ vale per $L / K$ ed $M / K$, allora
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vale anche per $LM / K$.
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\item validità per l'\textbf{intersezione}:
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se $\mathcal{P}$ vale per $L / K$ ed $M / K$,
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allora vale anche per $L \cap M / K$.
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\end{itemize}
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Si dice che $\mathcal{P}$ vale \textit{debolmente}
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per torri, se $\mathcal{P}$ vale per $L / K$ solo
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se vale per $L / F$ sottoestensione.
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Si dice che $\mathcal{P}$ vale \textit{strettamente}
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per torri, se è $\mathcal{P}$ vale per $L / K$ se
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e solo se vale per $L / F$ e $F / K$. Se $\mathcal{P}$ vale strettamente per torri, allora $\mathcal{P}$
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vale anche per l'intersezione. \medskip
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Si dice che
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$\mathcal{P}$ vale \textit{inversamente} per
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\textit{shift} se $\mathcal{P}$ vale su
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$LF / F$ solo se vale su $L / K$. Si dice che
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$\mathcal{P}$ vale \textit{inversamente} per
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il composto se $\mathcal{P}$ vale su $LF / K$
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implica che $\mathcal{P}$ valga anche su $L / K$
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e $F / K$. Si dice che $\mathcal{P}$ vale \textit{completamente} per \textit{shift} o composto se $\mathcal{P}$
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vale \textit{inversamente} e normalmente per \textit{shift} o
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composto. Se $\mathcal{P}$ vale per torri e
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per \textit{shift}, allora vale anche per il
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composto.
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La seguente tabella raccoglie le proprietà
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delle estensioni sui diagrammi di campo:
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\begin{center}
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\scriptsize
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\vskip -0.1in
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\begin{tabular}{l|l|l|l|l}
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\hline
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$\mathcal{P}$ & Torri & \textit{Shift} & Composto & Intersez. \\ \hline
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Est. fin. & Strett. & Normal. & Complet. & Sì \\ \hline
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Est. alg. & Strett. & Complet. & Complet. & Sì \\ \hline
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Est. sep. & Strett. & Normal. & Normal. & Sì \\ \hline
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Est. nor. & Debolm. & Normal. & Normal. & Sì \\ \hline
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Est. Gal. & Debolm. & Normal. & Normal. & Sì
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\end{tabular}
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\end{center}
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\section{Teorema dell'elemento primitivo}
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Se $L / K$ è un'estensione finita e separabile,
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$L$ è in particolare un'estensione semplice di
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$K$, per il \textbf{Teorema dell'elemento primitivo}.
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In campi finiti, un tale elemento primitivo è
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un generatore di $L^*$. In campi infiniti, per
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$L = K(a, b)$,
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si può invece considerare il seguente polinomio:
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\[ p(x) = \prod_{i < j} (\varphi_i(a) + x \varphi_i(b) - \varphi_j(b) - x \varphi_j(b)), \]
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dove le varie $\varphi_i$ sono le $K$-immersioni di
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$L$ su $\overline{K}$.
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Si verifica che $p(x)$ è non nullo, e pertanto
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ha supporto non vuoto. Pertanto esiste un $t \in K$ tale
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per cui $p(t) \neq 0$, da cui si ricava che
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$L = K(a + bt)$. Reiterando questo algoritmo su
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tutti i generatori dell'estensione, si ottiene
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un elemento primitivo desiderato.
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\section{Teorema di corrispondenza di Galois}
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Se $L / K$ è di Galois, detto $H \leq \Gal(L / K)$,
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si definisce $L^H$ come la sottoestensione di $L$
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fissata da tutte le $K$-immersioni di $H$.
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In particolare vale che $L^H = K \iff H = \Gal(L / K)$.
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Conseguentemente, vale il \textbf{Teorema di corrispondenza di Galois}, di seguito descritto:
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\begin{theorem}
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Sia $\mathcal{E}$ l'insieme delle sottoestensioni
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di $L / K$ estensione di Galois. Sia
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$\mathcal{G}$ l'insieme dei sottogruppi di
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$\Gal(L / K)$. Allora $\mathcal{E}$ è
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in bigezione con $\mathcal{G}$ attraverso
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la mappa $\alpha : \mathcal{E} \to \mathcal{G}$
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tale per cui:
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\[ F \xmapsto{\alpha} \Gal(L / F) \leq
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\Gal(L / K), \]
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la cui inversa $\beta : \mathcal{G} \to \mathcal{E}$
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è tale per cui:
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\[ H \xmapsto{\beta} L^H \subseteq L. \]
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Inoltre, una sottoestensione $F / K$ di
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$L / K$ è normale su $K$ se e solo se
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il corrispondente sottogruppo di $\Gal(L / K)$
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è normale. Infine, se $F / K$ è normale,
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$F$ è in particolare di Galois e vale che:
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\[ \Gal(F / K) \cong \faktor{\Gal(L / K)}{\Gal(L / F)}. \]
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\end{theorem}
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Pertanto, a partire dal Teorema di corrispondenza di Galois, valgono le seguenti proprietà:
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\begin{itemize}
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\item il numero di sottogruppi di $\Gal(L / K)$ di un certo ordine $n$ è uguale al numero di sottoestensioni di $L$ tali per cui $L$ abbia
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grado $n$ su di esse (infatti $[L : F] = \abs{\Gal(L / F)}$),
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\item il numero di sottogruppi di $\Gal(L / K)$ di
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un certo indice $n$ è uguale al numero di
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sottoestensioni di $L$ che hanno grado $n$ su
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$K$ (infatti $[F : K] = [L : K] / [L : F] = \abs{\Gal(L / K)}) / \abs{\Gal(L : F)} =
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[\Gal(L / K) : \Gal(L / F)]$),
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\item $L^H \subset L^Q \iff Q < H$,
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\item $L^H L^Q = L^H(L^Q) = L^{H \cap Q}$,
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\item $L^{\gen{H, Q}} = L^H \cap L^Q$,
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\end{itemize}
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In particolare, un diagramma di campi -- a patto
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che il suo estremo superiore sia di Galois -- può
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essere collegato ad un diagramma di gruppi,
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``invertendo'' le inclusioni. Se
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$G = \Gal(L / K)$ e $H \subseteq G$, allora il
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diagramma:
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\[\begin{tikzcd}
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L \\
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{L^H} \\
|
|
K
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\arrow["G", bend left, no head, from=3-1, to=1-1]
|
|
\arrow["{G/H}"', no head, from=3-1, to=2-1]
|
|
\arrow["H"', no head, from=2-1, to=1-1]
|
|
\end{tikzcd}\]
|
|
si relaziona tramite corrispondenza al
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diagramma:
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\[\begin{tikzcd}[row sep=small]
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|
{\{e\}} \\
|
|
\\
|
|
H \\
|
|
\\
|
|
G
|
|
\arrow[no head, from=1-1, to=3-1]
|
|
\arrow[no head, from=3-1, to=5-1]
|
|
\end{tikzcd}\]
|
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\section{Gruppi di Galois noti}
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\subsection{Campi finiti}
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Il campo finito $\FF_{p^n}$ è sempre normale
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su $\FF_p$, dal momento che può essere costruito
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come campo di spezzamento di $x^{p^n} - x$ su
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$\FF_p$ stesso. Equivalentemente, poiché
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un omomorfismo di campi è sempre iniettivo (e dunque
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conserva sempre la cardinalità),
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una $\FF_p$-immersione deve mandare $\FF_{p^n}$
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in un campo della stessa cardinalità, e quindi
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necessariamente un campo isomorfo a $\FF_{p^n}$. \medskip
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Per un campo finito, $\Frob$ è un automorfismo che
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fissa $\FF_p$. Allora $\Frob \in \Gal(\FF_{p^n} / \FF_p)$. Inoltre $\ord \Frob = n = \abs{\Gal(\FF_{p^n} / \FF_p}$ (altrimenti $\FF_{p^n}$ non sarebbe campo di
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spezzamento di $x^{p^n}-x$), e quindi vale che:
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\[ \Gal(\FF_{p^n} / \FF_p) = \gen{\Frob} \cong \ZZmod{n}. \]
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Pertanto se $\alpha \in \FF_{p^n} \setminus \FF_p$,
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tutti i suoi coniugati si ottengono reiterando
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al più $p^n$ volte $\Frob$ su $\alpha$.
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\subsection{Polinomi biquadratici}
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Sia $p(x) = x^4 + ax^2 + b$ irriducibile su $\QQ$.
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Allora, se $L$ è un suo campo di spezzamento e $\Delta = a^2 - 4b$ è l'usuale discriminante di $p$ visto come polinomio in $x^2$, vale che:
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\[ \Gal(L / \QQ) \cong \begin{cases}
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\ZZmod{4} & \se b \text{ è quadrato in $\QQ$}, \\
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\ZZmod{2} \times \ZZmod{2} & \se b \Delta \text{ è quadrato in $\QQ$}, \\
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|
D_4 & \altrimenti.
|
|
\end{cases} \]
|
|
|
|
|
|
\vfill
|
|
\hrule
|
|
~\\
|
|
Ad opera di Gabriel Antonio Videtta, \url{https://poisson.phc.dm.unipi.it/~videtta/}.
|
|
~\\Reperibile su
|
|
\url{https://notes.hearot.it}, nella sezione \textit{Secondo anno $\to$ Algebra 1 $\to$ 3. Teoria delle estensioni di campo e di Galois $\to$ Scheda riassuntiva di Teoria dei campi e di Galois}.
|
|
\end{multicols}
|
|
|
|
\end{document} |