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\documentclass[10pt,landscape]{article}
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\usepackage{amssymb,amsmath,amsthm,amsfonts}
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\usepackage{multicol,multirow}
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\usepackage{calc}
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\usepackage[colorlinks=true,citecolor=blue,linkcolor=blue]{hyperref}
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\usepackage{personal_commands}
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\setlength{\extrarowheight}{0pt}
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\ifthenelse{\lengthtest { \paperwidth = 11in}}
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{ \geometry{top=.5in,left=.5in,right=.5in,bottom=.5in} }
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{\ifthenelse{ \lengthtest{ \paperwidth = 297mm}}
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{\geometry{top=1cm,left=1cm,right=1cm,bottom=1cm} }
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}
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%\pagestyle{empty}
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\makeatletter
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\renewcommand{\section}{\@startsection{section}{1}{0mm}%
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{-1ex plus -.5ex minus -.2ex}%
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{0.5ex plus .2ex}%x
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{\normalfont\large\bfseries}}
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\renewcommand{\subsection}{\@startsection{subsection}{2}{0mm}%
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{-1explus -.5ex minus -.2ex}%
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{0.5ex plus .2ex}%
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\renewcommand{\subsubsection}{\@startsection{subsubsection}{3}{0mm}%
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{-1ex plus -.5ex minus -.2ex}%
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|
{1ex plus .2ex}%
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|
{\normalfont\small\bfseries}}
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|
\makeatother
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\setcounter{secnumdepth}{0}
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\setlength{\parskip}{0pt plus 0.5ex}
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% -----------------------------------------------------------------------
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\title{Schede riassuntive di Geometria 1}
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\begin{document}
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\parskip=0.7ex
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\raggedright
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\footnotesize
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\begin{center}
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\Large{\textbf{Schede riassuntive di Geometria 1}} \\
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\end{center}
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\begin{multicols}{3}
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\setlength{\premulticols}{1pt}
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\setlength{\postmulticols}{1pt}
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\setlength{\multicolsep}{1pt}
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\setlength{\columnsep}{2pt}
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\subsection{Alcuni accenni alla geometria di \texorpdfstring{$\RR^3$}{R\^{}3}}
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Si definisce prodotto scalare la forma
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bilineare simmetrica unicamente determinata da $\innprod{\vec{e_i}, \vec{e_j}} = \delta_{ij}$. Vale la seguente identità: $\innprod{(x, y, z), (x', y', z')} = xx' + yy' + zz'$.
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Inoltre $\innprod{\vec{a}, \vec{b}} = \card{\vec{a}} \card{\vec{b}} \cos(\theta)$, dove $\theta$ è l'angolo compreso tra i due vettori.
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Due vettori $\vec{a}$, $\vec{b}$ si dicono ortogonali
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se e solo se $\innprod{\vec{a}, \vec{b}} = 0$.
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Si definisce prodotto vettoriale la forma bilineare alternante
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da $\RR^3 \times \RR^3$
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in $\RR^3$ tale che $\vec{e_1} \times \vec{e_2} = \vec{e_3}$,
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$\vec{e_2} \times \vec{e_3} = \vec{e_1}$,
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$\vec{e_3} \times \vec{e_1} = \vec{e_2}$ e
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$\vec{e_i} \times \vec{e_i} = \vec{0}$. Dati due
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vettori $(x, y, z)$ e $(x', y', z')$, si può determinarne
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il prodotto vettoriale informalmente come:
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\[ \begin{vmatrix}
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\vec{e_1} & \vec{e_2} & \vec{e_3} \\
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x & y & z \\
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x' & y' & z'
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\end{vmatrix} . \]
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Vale l'identità $\card{\vec{a} \times \vec{b}} = \card{\vec{a}} \card{\vec{b}} \sin(\theta)$, dove $\theta$ è l'angolo con cui, ruotando di
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$\theta$ in senso antiorario $\vec{a}$, si ricade su $\vec{b}$.
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Due vettori $\vec{a}$, $\vec{b}$ si dicono paralleli se $\exists
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k \mid \vec{a} = k \vec{b}$, o equivalentemente se
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$\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$. Altrettanto si può dire
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se $\innprod{\vec{a}, \vec{b}} = \card{\vec{a}} \card{\vec{b}}$ (i.e.
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$\cos(\theta) = 1 \implies \theta = 0$).
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Una retta in $\RR^3$ è un sottospazio affine della
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forma $\vec{v} + \Span(\vec{r})$. Analogamente
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un piano è della forma $\vec{v} + \Span(\vec{x}, \vec{y})$.
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Nella forma cartesiana, un piano è della forma $ax+by+cz=d$,
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dove $(a,b,c)$ è detta normale del piano. Una retta è
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l'intersezione di due piani, e dunque è un sistema lineare
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di due equazioni di un piano. Due piani sono perpendicolari
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fra loro se e solo se le loro normali sono ortogonali. Due
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piani sono paralleli se e solo se le loro normali sono parallele.
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Il vettore $\vec{r}$ che genera lo $\Span$ di una retta che è
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intersezione di due piani può essere computato come
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prodotto vettoriale delle normali dei due piani.
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Valgono le seguenti identità:
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\begin{itemize}
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\item $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) =
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\innprod{\vec{a}, \vec{c}}\,\vec{b} - \innprod{\vec{a}, \vec{b}}\,\vec{c}$ (\textit{identità di Lagrange}),
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\item $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) + \vec{b} \times (\vec{c} \times \vec{a}) + \vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b}) =
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\vec{0}$ (\textit{identità di Jacobi}).
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\end{itemize}
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Dati tre punti $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, il volume
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del parallelepipedo individuato da questi punti è:
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\[\card{\det\begin{pmatrix}\vec{a} \\ \vec{b} \\ \vec{c}\end{pmatrix}} =
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\card{\innprod{\vec{a}, \vec{b} \times \vec{c}}}.\]
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Tre punti sono complanari se e solo se il volume di tale parallelpipedo è nullo
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(infatti questo è equivalente a dire che almeno uno dei tre punti
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si scrive come combinazione lineare degli altri due).
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\subsection{Proprietà generali di uno spazio vettoriale}
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Uno spazio vettoriale $V$ su un campo $\KK$ soddisfa i seguenti
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assiomi:
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\begin{itemize}
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\item $(V, +)$ è un gruppo abeliano,
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\item il prodotto esterno da $\KK \times V$ in $V$ è
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associativo rispetto agli scalari (i.e. $a(b\vec{v}) = (ab)\vec{v}$),
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\item $1_{\KK} \cdot \vec{v} = \vec{v}$,
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\item il prodotto esterno è distributivo da ambo i
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lati (i.e. $(a+b)\vec{v} = a\vec{v} + b\vec{v}$ e
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$a(\vec{v} + \vec{w}) = a\vec{v} + a\vec{w}$.
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\end{itemize}
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Un insieme di vettori $I$ si dice linearmente indipendente se
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una qualsiasi combinazione lineare di un suo sottinsieme
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finito è nulla se e solo se i coefficienti dei vettori
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sono tutti nulli. Si dice linearmente dipendente in caso
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contrario.
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Un insieme di vettori $G$ si dice generatore di $V$ se ogni vettore
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di $V$ si può scrivere come combinazione lineare di un numero
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finito di elementi di $G$, ossia se $V = \Span(G)$.
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Una base è un insieme contemporaneamente linearmente indipendente
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e generatore di $V$. Equivalentemente una base è un insieme generatore
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minimale rispetto all'inclusione e un insieme linearmente indipendente
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massimale, sempre rispetto all'inclusione. Ogni spazio vettoriale,
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anche quelli non finitamente generati,
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ammettono una base. La dimensione della base è unica ed è il
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numero di elementi dell'insieme che è base.
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Dato un insieme linearmente indipendente $I$ in uno spazio di dimensione
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finita, tale insieme, data una base $\basis$, può essere esteso
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a una base $T$ che contiene $I$ e che è completato da
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elementi di $\basis$.
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Analogamente, dato un insieme generatore finito $G$, da esso
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si può estrarre sempre una base dello spazio.
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Uno spazio vettoriale fondato su un campo infinito
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con un insieme di vettori infinito non
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è mai unione finita di sottospazi propri. Un insieme linearmente
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indipendente di $V$ con esattamente $\dim V$ elementi è una
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base di $V$. Analogamente, un insieme generatore di $V$ con esattamente
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$\dim V$ elementi è una base di $V$. In generale, quando il campo su
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cui fonda lo spazio vettoriale è ambiguo, si scrive $\dim_\KK V$ o $[V : \KK]$
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per indicarne la dimensione relativa al campo $\KK$ (per esempio un $\CC$-spazio è
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compatibilmente anche un $\RR$-spazio).
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Sia $\basis = \{\vec{v_1}, \ldots, \vec{v_n}\}$ una base ordinata dello spazio vettoriale $V$.
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\begin{itemize}
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\item $\zerovecset$ e $V$ sono detti sottospazi banali,
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\item lo $\Span$ di $n$ vettori è il più piccolo sottospazio
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di $V$ contenenti tali vettori,
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\item $\Span(\basis) = V$,
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\item $\Span(\emptyset) = \zerovecset$,
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\item $U \cap W$ è sempre un sottospazio se $U$ e $W$ sono due sottospazi di $V$,
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\item $U \cup W$ è un sottospazio se e solo se $U \subseteq W$ o $U \supseteq W$ (e quindi $U \cup W = U$ o $U \cup W = W$),
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\item dato $X$ generatore di $V$, $X \setminus \{\vec{x_0}\}$
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genera $V \iff \vec{x_0} \in \Span(X \setminus \{\vec{x_0}\})$,
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\item $X \subseteq Y$ è un sottospazio di $Y \iff \Span(X) = X$,
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\item $\Span(X) \subseteq Y \iff X \subseteq Y$, se $Y$ è uno spazio,
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\item $\Span(\Span(A)) = \Span(A)$,
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\item se $I$ è un insieme linearmente indipendente di $V$,
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allora $\card{I} \leq \dim V$,
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\item se $G$ è un insieme generatore di $V$, allora
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$\card{G} \geq \dim V$,
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\item $[\vec{v}]_\basis$ è la rappresentazione
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di $\vec{v}$ nella base ordinata $\basis$, ed è
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un vettore di $\KK^n$ che alla coordinata $i$-esima
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associa il coefficiente di $\vec{v_i}$ nella combinazione
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lineare di $\vec{v}$ nella base $\basis$,
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\item la rappresentazione nella base $\basis$ è sempre
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unica ed esiste sempre (è quindi un isomorfismo tra $V$ e
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$\KK^n$),
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\item si definisce base canonica di $\KK^n$ la base
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$e = \{\vec{e_1}, \ldots, \vec{e_n}\}$, dove
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$\vec{e_i}$ è un vettore con tutte le coordinate nulle,
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eccetto per la $i$-esima, che è pari ad $1$ (pertanto
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$\dim \KK^n = n$),
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\item una base naturale di $M(m, n, \KK)$ è data
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da $\basis = \{E_{11}, E_{12}, \ldots, E_{1n}, \ldots, E_{mn}\}$,
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dove $E_{ij}$ è una matrice con tutti gli elementi nulli, eccetto
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quello nel posto $(i, j)$, che è pari ad $1$ (dunque
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$\dim M(m, n, \KK) = mn$),
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\item le matrici $A$ di taglia $n$ tali che $A^\top = A$ formano il
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sottospazio $\Sym(n, \KK)$ di $M(n, \KK)$, detto sottospazio delle matrici
|
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simmetriche, la cui base naturale è data da
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$\basis' = \{E_{ij} + E_{ji} \in \basis \mid i < j\} \cup
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\{E_{ij} \in \basis \mid i = j\}$, dove $\basis$ è la
|
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base naturale di $M(m, n, \KK)$ (dunque $\dim \Sym(n, \KK) = \frac{n(n+1)}{2}$),
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|
\item le matrici $A$ di taglia $n$ tali che $A^\top = -A$ formano il
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sottospazio $\Lambda(n, \KK)$ di $M(n, \KK)$, detto sottospazio delle matrici
|
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antisimmetriche, la cui base naturale è data da
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$\basis' = \{E_{ij} - E_{ji} \in \basis \mid i < j\}$, dove $\basis$ è la
|
|
base naturale di $M(m, n, \KK)$ (dunque $\dim \Lambda(n, \KK) = \frac{n(n-1)}{2}$),
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\item poiché $\Sym(n, \KK) \cap \Lambda(n, \KK) = \zerovecset$ e
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$\dim \Sym(n, \KK) + \dim \Lambda(n, \KK) = \dim M(n, \KK)$,
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vale che $M(n, \KK) = \Sym(n, \KK) \oplus \Lambda(n, \KK)$,
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\item una base naturale di $\KK[x]$ è data da $\basis = \{x^n \mid
|
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n \in \NN \}$, mentre una di $\KK_t[x]$ è data da $\basis \cap
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\KK_t[x] = \{x^n \mid n \in \NN \land n \leq t\}$ (quindi
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$\dim \KK[x] = \infty$ e $\dim \KK_t[x] = t+1$),
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\item una base naturale di $\KK$ è $1_\KK = \{1_\KK\}$ (quindi
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$\dim \KK = 1$),
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\item un sottospazio di dimensione $1$ si definisce \textit{retta},
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uno di dimensione $2$ \textit{piano}, uno di dimensione $3$
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\textit{spazio}, e, infine, uno di dimensione $n-1$ un iperpiano,
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\item un iperpiano $\Pi$ è sempre rappresentabile da un'equazione cartesiana
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nelle coordinate della rappresentazione della base (infatti ogni
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iperpiano è il kernel di un funzionale $f \in \dual{V}$, e $M^\basis_{1_\KK}(f) \, [\vec{v}]_\basis = 0$ è l'equazione cartesiana; è sufficiente prendere una base di $\Pi$ e completarla
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a base di $V$ con un vettore $\vec{t}$, considerando infine
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$\Ker \dual{\vec{t}}$),
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\item un iperpiano $\Pi$, rappresentato da un'equazione cartesiana $\alpha_1 x_1 + \ldots + \alpha_n x_n = 0$, è esattamente il sottospazio ortogonale a $\Span(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)^\perp$ tramite il prodotto scalare standard,
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\item in generale, un sistema di equazioni omogenee è l'intersezione di più
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sottospazi ortogonali,
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\item se $\mathbb{F}$ è un'estensione di campo di $\KK$, allora vale $[V : \KK] = [V : \mathbb{F}] [\mathbb{F} : \KK]$ (\textit{teorema delle torri algebriche}).
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\end{itemize}
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\subsection{Applicazioni lineari, somme dirette, quozienti e
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prodotti diretti}
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Un'applicazione da $V$ in $W$ si dice applicazione lineare
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se:
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\begin{itemize}
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\item $f(\vec{v} + \vec{w}) = f(\vec{v}) + f(\vec{w})$,
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\item $f(\alpha\vec{v}) = \alpha f(\vec{v})$.
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|
\end{itemize}
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Si definisce $\mathcal{L}(V, W) \subseteq W^V$ come lo spazio delle
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applicazioni lineari da $V$ a $W$. Si definisce
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$\End(V)$ come lo spazio degli endomorfismi di $V$, ossia
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delle applicazioni lineari da $V$ in $V$, dette anche
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operatori. Un'applicazione lineare si dice isomorfismo
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se è bigettiva. La composizione di funzioni è associativa.
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Dato un sottospazio $A$ di $V$, si definisce lo spazio
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quoziente $V/A$ come l'insieme quoziente $V/{\sim}$ della relazione
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di equivalenza $\vec{a} \sim \vec{b} \iff a-b \in A$ dotato
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|
dell'usuale somma e prodotto esterno. Si scrive $[\vec{v}]_A$
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come $\vec{v} + A$ e vale che $A = \vec{0} + A$. In particolare
|
|
$\vec{v} + A = A \iff \vec{v} \in A$.
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|
Siano $f : V \to W$, $h : V \to W$, $g : W \to Z$ tre
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applicazioni lineari.
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$\basis_V$ e $\basis_W$ sono
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|
due basi rispettivamente di $V$ e $W$. In particolare
|
|
sia $\basis_V = \{\vec{v_1}, \ldots, \vec{v_n}\}$. Si
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|
ricorda che $\rg(f) = \dim \Im f$. Siano $e$ ed $e'$ le
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|
basi canoniche rispettivamente di $\KK^n$ e $\KK^m$.
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|
\begin{itemize}
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|
\item $f(\vec{0}_V) = \vec{0}_W$,
|
|
\item $\Ker f = f^{-1}(\vec{0}_W)$ è un sottospazio di $V$,
|
|
\item $\Im f = f(V)$ è un sottospazio di $W$,
|
|
\item $\Im f = \Span(f(\vec{v_1}), \ldots, f(\vec{v_n}))$,
|
|
\item $f$ è iniettiva $\iff \Ker f = \zerovecset$,
|
|
\item $V/\Ker f \cong \Im f$ (\textit{primo teorema d'isomorfismo}),
|
|
\item $\dim \Ker f + \dim \Im f = \dim V$ (\textit{teorema del rango}, o formula delle dimensioni,
|
|
valido se la dimensione di $V$ è finita),
|
|
\item $g \circ f$ è un'applicazione lineare da $V$ in $Z$,
|
|
\item la composizione di funzioni è associativa e distributiva
|
|
da ambo i lati,
|
|
\item $g \circ (\alpha f) = \alpha (g \circ f) = (\alpha g) \circ f$,
|
|
se $\alpha \in \KK$,
|
|
\item $\Ker f \subseteq \Ker (g \circ f)$,
|
|
\item $\Im (g \circ f) \subseteq \Im g$,
|
|
\item $\dim \Im (g \circ f) = \dim \Im \restr{g}{\Im f} =
|
|
\dim \Im f - \dim \Ker \restr{g}{\Im f} = \dim \Im f -
|
|
\dim (\Ker g \cap \Im f)$ (è sufficiente applicare la formula delle dimensioni sulla composizione),
|
|
\item $\dim \Im (g \circ f) \leq \min\{\dim \Im g, \dim \Im f\}$,
|
|
\item $\dim \Ker (g \circ f) \leq \dim \Ker g + \dim \Ker f$ (è
|
|
sufficiente applicare la formula delle dimensioni su
|
|
$\restr{(g \circ f)}{\Ker (g \circ f)}$),
|
|
\item $f$ iniettiva $\implies \dim V \leq \dim W$,
|
|
\item $f$ surgettiva $\implies \dim V \geq \dim W$,
|
|
\item $f$ isomorfismo $\implies \dim V = \dim W$,
|
|
\item $g \circ f$ iniettiva $\implies f$ iniettiva,
|
|
\item $g \circ f$ surgettiva $\implies g$ surgettiva,
|
|
\item $f$ surgettiva $\implies \rg(g \circ f) = \rg(g)$,
|
|
\item $g$ iniettiva $\implies \rg(g \circ f) = \rg(f)$,
|
|
\item $M^{\basis_V}_{\basis_W}(f) = \begin{pmatrix} \; [f(\vec{v_1})]_{\basis_W} \, \mid \, \cdots \, \mid \, [f(\vec{v_n})]_{\basis_W} \; \end{pmatrix}$ è la matrice
|
|
associata a $f$ sulle basi $\basis_V$, $\basis_W$,
|
|
\item $M^V_W(f + h) = M^V_W(f) + M^V_W(h)$,
|
|
\item $M^V_Z(g \circ f) = M^W_Z(g) M^V_W(f)$,
|
|
\item data $A \in M(m, n, \KK)$, sia $f_A : \KK^n \to \KK^m$ tale
|
|
che $f_A(\vec{x}) = A \vec{x}$, allora $M^{e}_{e'}(f_A) = A$,
|
|
\item $f$ è completamente determinata dai suoi valori in una
|
|
qualsiasi base di $V$ ($M^{\basis_V}_{\basis_W}$ è un isomorfismo
|
|
tra $\mathcal{L}(V, W)$ e $M(\dim W, \dim V, \mathbb{K})$),
|
|
\item $\dim \mathcal{L}(V, W) = \dim V \cdot \dim W$ (dall'isomorfismo
|
|
di sopra),
|
|
\item $[\,]^{-1}_{\basis_W} \circ M^{\basis_V}_{\basis_W}(f) \circ
|
|
{[\,]_{\basis_V}} = f$,
|
|
\item $[f(\vec{v})]_{\basis_W} = M^{\basis_V}_{\basis_W}(f) \cdot
|
|
[\vec{v}]_{\basis_V}$,
|
|
\item $\Im(f) = [\,]^{-1}_{\basis_W}\left(\Im M^{\basis_V}_{\basis_W}(f)\right)$
|
|
\item $\rg(f) = \rg\left(M^{\basis_V}_{\basis_W}(f)\right)$,
|
|
\item $\Ker(f) = [\,]^{-1}_{\basis_V}\left(\Ker M^{\basis_V}_{\basis_W}(f)\right)$,
|
|
\item $\dim \Ker(f) = \dim \Ker M^{\basis_V}_{\basis_W}(f)$.
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
Siano $\basis_V'$, $\basis_W'$ altre due basi rispettivamente
|
|
di $V$ e $W$. Allora vale il \textit{teorema del cambiamento
|
|
di base}:
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|
|
|
\[ M^{\basis_V'}_{\basis_W'}(f) = M^{\basis_W}_{\basis_W'}(id_W) \,
|
|
M^{\basis_V}_{\basis_W}(f) \, M^{\basis_V'}_{\basis_V}(id_V).\]
|
|
|
|
Siano $A$ e $B$ due sottospazi di $V$. $\basis_A$ e $\basis_B$ sono
|
|
due basi rispettivamente di $A$ e $B$.
|
|
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item $A+B = \{\vec{a}+\vec{b} \in V \mid \vec{a} \in A, \vec{b} \in
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|
B\}$ è un sottospazio,
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\item $\dim (A+B) = \dim A + \dim B - \dim (A \cap B)$
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(\textit{formula di Grassmann}),
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\item $A$ e $B$ sono in somma diretta $\iff A \cap B = \zerovecset \iff$ ogni elemento di $A+B$ si scrive in modo unico come somma di
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$\vec{a} \in A$ e $\vec{b} \in B \iff \dim (A+B) = \dim A + \dim B$
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(in tal caso si scrive $A+B = A\oplus B$),
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\item $\dim V/A = \dim V - \dim A$ (è sufficiente applicare il
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teorema del rango alla proiezione al quoziente),
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\item $\dim V \times W = \dim V + \dim W$ ($\basis_V \times \{\vec{0}_W\} \cup \{\vec{0}_V\} \times \basis_W$ è una base
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di $V \times W$).
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\end{itemize}
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Si definisce \textit{immersione} da $V$ in $V \times W$
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l'applicazione lineare $i_V$ tale che $i_V(\vec{v}) = (\vec{v}, \vec{0})$.
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Si definisce \textit{proiezione} da $V \times W$ in $V$
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l'applicazione lineare $p_V$ tale che $p_V(\vec{v}, \vec{w}) = \vec{v}$.
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Analogamente si può fare con gli altri spazi del prodotto cartesiano.
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Si dice che $B$ è un supplementare di $A$ se $V = A \oplus B$ (ossia $\iff
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\dim A + \dim B = \dim V \, \land \, A \cap B = \zerovecset$). Il supplementare
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non è per forza unico. Per trovare un supplementare di $A$ è sufficiente
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completare $\basis_A$ ad una base $\basis$ di $V$ e considerare
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$B := \Span(\basis \setminus \basis_A)$.
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\subsubsection{Somma diretta di più sottospazi}
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Si dice che i sottospazi $W_1$, ..., $W_k$ di $V$ sono in somma
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diretta, e si scrive $W_1 + \ldots + W_k = W_1 \oplus \ldots \oplus W_k$,
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se la rappresentazione di un vettore della somma di questi sottospazi
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è unica, ossia se esistono unici $\ww 1 \in W_1$, ..., $\ww k \in W_k$ tali
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per cui $\w \in W_1 + \ldots + W_k$ si scrive come $\w = \ww 1 + \ldots + \ww k$. \\
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In generale, sono equivalenti i seguenti fatti:
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\begin{enumerate}[(i)]
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\itemsep0em
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\item $W_1$, ..., $W_k$ sono in somma diretta,
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\item Se esistono $\ww 1 \in W_1$, ..., $\ww k \in W_k$ tali per cui
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$\ww 1 + \ldots + \ww k = \vec 0$, allora $\ww 1 = \cdots = \ww k = \vec 0$ (è sufficiente considerare due scritture alternative e poi farne la differenza per dimostrare un'implicazione),
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\item Se $\basis_{W_1}$, ..., $\basis_{W_k}$ sono basi di $W_1$, ..., $W_k$,
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allora $\bigcup_{i=1}^k \basis_{W_i}$ è base di $W_1 + \ldots + W_k$ (è sufficiente considerare l'indipendenza lineare per dimostrare un'implicazione),
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\item $\dim (W_1 + \ldots + W_k) = \dim W_1 + \ldots + \dim W_k$ (si dimostra facilmente che è equivalente a (iii), e quindi che lo è alle altre proposizioni),
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\item $W_i \cap (W_1 + \ldots + W_{i-1}) = \zerovecset$ $\forall 2 \leq i \leq k$ (è sufficiente spezzare la somma in $(W_1 + \ldots + W_{i-1}) + W_i$ e ricondursi al caso di due sottospazi, mostrando in particolare, per induzione, l'equivalenza con (iv), da cui seguono le altre equivalenze),
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\item $W_i \cap (W_1 + \ldots + W_{i-1} + \widehat{W_i} + W_{i+1} + W_k) = \zerovecset$ $\forall 1 \leq i \leq k$, ossia $W_i$, intersecato con la somma
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dei restanti sottospazi, è di dimensione nulla (è facile ricondursi alla proposizione (v) per induzione).
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\end{enumerate}
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\subsection{Proprietà generali delle matrici}
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Si dice che una matrice $A \in M(n, \KK)$ è singolare se $\det(A) = 0$,
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o equivalentemente se non è invertibile. Compatibilmente, si
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dice che una matrice $A \in M(n, \KK)$ è non singolare se $\det(A) \neq
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0$, ossia se $A$ è invertibile.
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Si definisce la matrice trasposta di
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$A \in M(m, n, \KK)$, detta $A^\top$, in modo
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tale che $A_{ij} = A^\top_{ji}$.
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\begin{itemize}
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\item $(AB)^\top = B^\top A^\top$,
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\item $(A+B)^\top = A^\top + B^\top$,
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\item $(\lambda A)^\top = \lambda A^\top$,
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\item $(A^\top)^\top = A$,
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\item se $A$ è invertibile, $(A^\top)^{-1} = (A^{-1})^\top$,
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\item $ \begin{pmatrix}
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A
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& \rvline & B \\
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\hline
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C & \rvline &
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D
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\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
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E
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& \rvline & F \\
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\hline
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G & \rvline &
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H
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\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
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AE+BG
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& \rvline & AF+BH \\
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\hline
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CE+DG & \rvline &
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CF+DH
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\end{pmatrix}$.
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\end{itemize}
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Siano $A \in M(m, n, \KK)$ e $B \in M(n, m, \KK)$.
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Si definisce $\GL(n, \KK)$ come il gruppo delle matrici
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di taglia $n$ invertibili sulla moltiplicazione matriciale. Si definisce
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triangolare superiore una matrice i cui elementi al di sotto
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della diagonale sono nulli, mentre si definisce triangolare
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inferiore una matrice i cui elementi nulli sono quelli al di sopra
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della diagonale.
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Si definiscono
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\[ Z(M(n, \KK)) = \left\{ A \in M(n, \KK) \mid AB=BA \, \forall B \in M(n, \KK) \right\}, \]
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ossia l'insieme delle matrici che commutano con tutte le altre matrici, e
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|
\[ Z_{\GL}(M(n, \KK)) = \left\{ A \in M(n, \KK) \mid AB=BA \, \forall B \in \GL(n, \KK) \right\}, \]
|
|
ovvero l'insieme delle matrici che commutano con tutte le matrici
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di $\GL(n, \KK)$.
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Si definisce $\tr \in M(m, \KK)^*$ come il funzionale che associa
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ad ogni matrice la somma degli elementi sulla sua diagonale.
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\begin{itemize}
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\item $\tr(A^\top) = \tr(A)$,
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\item $\tr(AB) = \tr(BA)$,
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\item $Z(M(n, \KK)) = \Span(I_n)$,
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\item $Z_{\GL}(M(n, \KK)) = \Span(I_n)$.
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\end{itemize}
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Sia $A \in M(n, \KK)$. Sia $C_A \in \End(M(n, \KK))$ definito in modo
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tale che $C_A(B) = AB - BA$. Allora $\Ker C_A = M(n, \KK)
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\iff A \in \Span(I_n)$. Siano $I$ un insieme di $n^2$ indici
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distinti, allora l'insieme
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\[ T = \left\{ A^i \mid i \in I \right\} \]
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è linearmente dipendente (è sufficiente notare che
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se così non fosse, se $A \notin \Span(I_n)$,
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tale $T$ sarebbe base di $M(n, \KK)$, ma
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così $\Ker C_A = M(n, \KK) \implies A \in \Span(I_n)$,
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\Lightning{}, e che se $A \in \Span(I_n)$, $T$
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è chiaramente linearmente dipendente).
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|
In generale esiste sempre un polinomio $p(X) \in \KK[x]$
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di grado $n$ tale per cui $p(A) = 0$, dove un tale polinomio
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è per esempio il polinomio caratteristico di $p$, ossia $p(\lambda)=
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|
\det(\lambda I_n - A)$ (\textit{teorema di
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Hamilton-Cayley}).
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Si elencano adesso i tipi principali di matrici:
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\begin{itemize}
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\item $A$ è simmetrica $\defiff A^\top = A$,
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\item $A$ è antisimmetrica $\defiff A^\top = -A$,
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\item $A$ è hermitiana $\defiff A^* := \left(\overline{A\,}\right)^\top = A$,
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\item $A$ è ortogonale ($A \in O(n)$ o $O_n$) $\defiff AA^\top = A^\top A = I_n$,
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\item $A$ è unitaria ($A \in U(n)$ o $U_n$) $\defiff AA^* = A^*A = I_n$.
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\end{itemize}
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\subsection{Rango di una matrice}
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Si definisce rango di una matrice $A$ il numero di colonne linearmente
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indipendenti di $A$. Siano $A$, $B \in M(m, n, \KK)$.
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\begin{itemize}
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|
\item $\rg(A) = \rg(A^\top)$ (i.e.~il rango è lo stesso se calcolato
|
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sulle righe invece che sulle colonne),
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\item $\rg(A) \leq \min\{m, n\}$ (come conseguenza dell'affermazione
|
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precedente),
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\item $\rg(A+B) \leq \rg(A) + \rg(B) \impliedby \Im (A+B) \subseteq
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\Im(A) + \Im(B)$,
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\item $\rg(A+B) = \rg(A) + \rg(B) \implies \Im(A+B) = \Im(A) \oplus \Im(B)$ (è sufficiente applicare la formula di Grassmann),
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|
\item $\rg(A)$ è il minimo numero di matrici di rango uno che
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sommate restituiscono $A$ (è sufficiente usare la proposizione
|
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precedente per dimostrare che devono essere almeno $\rg(A)$),
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\item $\rg(A)=1 \implies \exists B \in M(m, 1, \KK)$, $C \in M(1, n, \KK) \mid A=BC$ (infatti $A$ può scriversi come $\begin{pmatrix}\alpha_1 A^i & \cdots & \alpha_n A^i \end{pmatrix}$ per un certo $i \leq n$ tale che $A^i \neq \vec{0}$).
|
|
\end{itemize}
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|
Siano $A \in M(m, n, \KK)$, $B \in M(n, k, \KK)$ e $C \in M(k, t, \KK)$.
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\begin{itemize}
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|
\item $\rg(AB) \geq \rg(A) + \rg(B) - n$ (\textit{disuguaglianza
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di Sylvester} -- è sufficiente
|
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usare la formula delle dimensioni ristretta alla composizione
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$f_A \circ f_B$),
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\item $\rg(ABC) \geq \rg(AB) + \rg(BC) - \rg(B)$ (\textit{disuguaglianza di Frobenius}, di cui la proposizione
|
|
precedente è un caso particolare con $B = I_n$ e $k=n$),
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|
\item $\rg(AB) = \rg(B) \impliedby \Ker A = \zerovecset$ (è
|
|
sufficiente usare la formula delle dimensioni ristretta
|
|
alla composizione $f_A \circ f_B$),
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|
\item $\rg(AB) = \rg(A) \impliedby f_B$ surgettiva (come sopra).
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
Sia $A \in M(n, \KK)$.
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|
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\begin{itemize}
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\item se $A$ è antisimmetrica e il campo su cui si fonda
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lo spazio vettoriale non ha caratteristica $2$, allora
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|
$\rg(A)$ è pari,
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|
\item $\rg(A) = n \iff \dim \Ker A = 0 \iff \det(A) \neq 0 \iff A$ è invertibile,
|
|
\end{itemize}
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\subsection{Sistemi lineari, algoritmo di eliminazione di Gauss ed
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|
SD-equivalenza}
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Un sistema lineare di $m$ equazioni in $n$ variabili può essere
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rappresentato nella forma $A\vec{x} = B$, dove $A \in M(m, n, \KK)$,
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$\vec{x} \in \KK^n$ e $B \in \KK^m$. Un sistema lineare si
|
|
dice omogeneo se $B = \vec{0}$. In tal caso l'insieme delle soluzioni del
|
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sistema coincide con $\Ker A = \Ker f_A$, dove $f_A : \KK^n \to \KK^m$ è
|
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l'applicazione lineare indotta dalla matrice $A$. Le soluzioni
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di un sistema lineare sono raccolte nel sottospazio affine
|
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$\vec{s} + \Ker A$, dove $\vec{s}$ è una qualsiasi soluzione
|
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del sistema completo.
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\begin{itemize}
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\item $A\vec{x} = B$ ammette soluzione se e solo se
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|
$B \in \Span(A^1, \ldots, A^n) \iff \Span(A^1, \ldots, A^n, B) =
|
|
\Span(A^1, \ldots, A^n) \iff \dim \Span(A^1, \ldots, A^n, B) =
|
|
\dim \Span(A^1, \ldots, A^n) \iff
|
|
\dim \Im (A \mid B) = \dim \Im A \iff \rg (A \mid B) = \rg (A)$
|
|
(\textit{teorema di Rouché-Capelli}),
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\item Data un'applicazione lineare $f : \KK^n \to \KK^m$ determinata
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dalla matrice $M$, il sistema di equazioni cartesiane che rappresenta
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$\Im f$ si ottiene imponendo la validità del teorema di Rouché-Capelli
|
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sul vettore $\vec x = (x_1, \ldots, x_m)$, ossia imponendo $\rg(M) = \rg(M \mid \vec x)$,
|
|
\item $A\vec{x} = B$, se la ammette, ha un'unica soluzione
|
|
se e solo se $\Ker A = \zerovecset \iff \rg A = n$.
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|
\end{itemize}
|
|
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Si definiscono tre operazioni sulle righe di una matrice $A$:
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\begin{enumerate}
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\item l'operazione di scambio di riga,
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|
\item l'operazione di moltiplicazione di una riga
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per uno scalare non nullo,
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|
\item la somma di un multiplo non nullo di una riga
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ad un'altra riga distinta.
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\end{enumerate}
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A queste operazioni è associato il prodotto a sinistra per delle particolari matrici.
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|
In particolare, l'operazione di scambio della riga $i$-esima con quella $j$-esima corrisponde alla moltiplicazione a sinistra per la matrice $S_{i,j}$, detta matrice
|
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elementare di permutazione, dove:
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|
\[ S_{i,j}=I_n-E_{i,i}-E_{j,j}+E_{i,j}+E_{j,i}. \]
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|
|
|
In particolare, la stessa matrice $S_{i,j}$ si ottiene scambiando la riga $i$-esima e la $j$-esima. Per esempio, scambiare due righe in una matrice $2 \times 2$ corrisponde a
|
|
moltiplicare a sinistra per $S_{1,2}$, dove:
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\[S_{1,2}=\begin{pmatrix}
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0 & 1 \\
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1 & 0 \\
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\end{pmatrix}\]
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|
All'operazione di moltiplicazione della riga $i$-esima per uno scalare $\lambda \neq 0$ corrisponde invece la matrice $M_{i, \lambda}$, detta elementare di dilatazione, dove:
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\[ M_{i,\lambda} = \Matrix{I_{i-1} & \rvline & 0 & \rvline & 0 \\ \hline 0 & \rvline & \lambda & \rvline & 0 \\ \hline 0 & \rvline & 0 & \rvline & I_{n-i} }. \]
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|
|
|
All'operazione di somma della riga $j$-esima moltiplicata per $\lambda \neq 0$ alla riga $i$-esima corrisponde invece la matrice $M_{i,j,\lambda}$, detta elementare di trasvezione (o di tosatura, dall'inglese \textit{shear matrix}), dove:
|
|
\[M_{i,j,\lambda}=I_n+\lambda E_{i,j}.\]
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|
Se $\lambda \neq 0$, tutte queste matrici sono invertibili ed in particolare valgono le seguente relazioni:
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\begin{itemize}
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\item $S_{i,j}^{-1}=S_{i,j}$, da cui si osserva che l'inversa di una matrice elementare di permutazione è ancora una matrice dello stesso tipo),
|
|
\item $M_{i,\lambda}^{-1}=M_{i,\frac{1}{\lambda}}$, come sopra,
|
|
\item $M_{i,j,\lambda}^{-1}=M_{i,j,-\lambda}$, come sopra,
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|
\item $M_{i,\lambda} = M_{i, i, \lambda-1}$,
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\item le matrici elementari generano il gruppo delle matrici invertibili $\GL(n, \KK)$, ossia ogni matrice
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invertibile si scrive come prodotto di matrici elementari (è sufficiente
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applicare l'algoritmo di eliminazione di Gauss per righe su $A \in \GL(n, \KK)$ e
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|
osservare che ne deve risultare obbligatoriamente una matrice diagonale che,
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|
normalizzata sugli elementi, restituisce esattamente $I_n$; allora poiché applicare l'algoritmo
|
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equivale a moltiplicare a sinistra per delle matrici elementari $\mathcal{E}_1$, ..., $\mathcal{E}_k$, si verifica che $\mathcal{E}_1 \cdots \mathcal{E}_k A = I_n \implies A = \mathcal{E}_k \inv \cdots \mathcal{E}_1 \inv$, dove si
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|
conclude la dimostrazione osservando che l'inversa di una matrice elementare
|
|
è ancora una matrice elementare).
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\end{itemize}
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Queste operazioni non variano né $\Ker A$ né $\rg (A)$. Permettendo di variare $\Ker A$ si possono effettuare le stesse medesime operazioni
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sulle colonne (lasciando però
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invariato $\Im A$, e quindi $\rg (A)$): tali operazioni corrispondono a moltiplicare a destra per una matrice invertibile, analogamente a come accade per le righe. \\
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|
|
|
Le matrici per cui si moltiplica a destra per operare sulle colonne sono esattamente le stesse matrici impiegate
|
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per le operazioni di riga, sebbene trasposte (e quindi sono ancora matrici elementari). In particolare le matrici elementari di permutazione (per scambiare le righe) e di dilatazione (per moltiplicare una riga per uno scalare non nullo) coincidono. Pertanto, se $A$ è una matrice simmetrica (i.e.~se $A \in \Sym(n, \KK)$), operare mediante le stesse
|
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operazioni sulle righe e sulle colonne permette di individuare matrici congruenti
|
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ad $A$.
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L'algoritmo di eliminazione di Gauss
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procede nel seguente modo:
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\begin{enumerate}
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\item se $A$ ha una riga, l'algoritmo termina;
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\item altrimenti si prenda la prima riga di $A$ con il primo elemento
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non nullo e la si scambi con la prima riga di $A$ (in caso
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non esista, si proceda all'ultimo passo),
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|
\item per ogni riga di $A$ con primo elemento non nullo,
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esclusa la prima, si sottragga un multiplo della prima riga in modo
|
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tale che la riga risultante abbia il primo elemento nullo,
|
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\item si ripeta l'algoritmo considerando come matrice $A$ la
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matrice risultante dall'algoritmo senza la prima riga e la
|
|
prima colonna (in caso tale matrice non possa esistere,
|
|
l'algoritmo termina).
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\end{enumerate}
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Si definiscono \textit{pivot} di una matrice l'insieme dei primi
|
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elementi non nulli di ogni riga della matrice.
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|
Il rango della matrice iniziale $A$ è pari al numero di \textit{pivot}
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della matrice risultante dall'algoritmo di eliminazione di Gauss.
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Una matrice che processata dall'algoritmo di eliminazione di Gauss
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restituisce sé stessa è detta matrice a scala.
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Agendo solo attraverso
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operazioni per riga, l'algoritmo di eliminazione di Gauss non
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modifica $\Ker A$ (si può tuttavia integrare l'algoritmo con le
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operazioni per colonna, perdendo quest'ultimo beneficio).
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Agendo
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su una matrice a scala con operazioni per riga considerando
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la matrice riflessa (ossia dove l'elemento $(1, 1)$ e $(m, n)$ sono
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scambiati), si può ottenere una matrice a scala ridotta,
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ossia un matrice dove tutti i pivot sono $1$ e dove tutti
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gli elementi sulle colonne dei pivot, eccetto i pivot stessi,
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sono nulli. % TODO: controllare e sistemare
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Si definisce:
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\[I^{m \times n}_r =
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\begin{pmatrix}
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I_r
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& \rvline & \bigzero \\
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\hline
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\bigzero & \rvline &
|
|
\bigzero
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|
\end{pmatrix} \in M(m, n, \KK). \]
|
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Per ogni applicazione lineare $f : V \to W$, con $\dim V = n$ e
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$\dim W = m$ esistono due basi $\basis_V$, $\basis_W$ rispettivamente
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di $V$ e $W$ tale che $M^{\basis_V}_{\basis_W}(f) = I^{m \times n}_r$,
|
|
dove $r=\rg(f)$ (è sufficiente completare con $I$ a base di $V$ una base
|
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di $\Ker f$ e poi prendere come base di $W$ il completamento di $f(I)$
|
|
su una base di $W$).
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|
|
Si definisce SD-equivalenza la relazione d'equivalenza su
|
|
$M(m, n, \KK)$ indotta dalla relazione $A \sim_{SD} B \iff \exists P \in
|
|
\GL(m, \KK)$, $Q \in \GL(n, \KK) \mid A=PBQ$. L'invariante completo
|
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della SD-equivalenza è il rango: $\rg(A) = \rg(B) \iff A \sim_{SD} B$
|
|
(infatti $\rg(A) = r \iff A \sim_{SD} I^{m \times n}_r$ -- è sufficiente
|
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applicare il cambio di base e sfruttare il fatto che esistono
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sicuramente due basi per cui $f_A$ ha $I^{m \times n}_r$ come
|
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matrice associata).
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|
Poiché $I^{m \times n}_r$ ha sempre rango $r$, l'insieme
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quoziente della SD-equivalenza su $M(m, n, \KK)$ è il seguente:
|
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\[ M(m, n, \KK)/{\sim_{SD}} = \left\{[\vec{0}], \left[I^{m \times n}_1\right], \ldots, \left[I^{m \times n}_{\min\{m, n\}}\right] \right\}, \]
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|
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|
contenente esattamente $\min\{m, n\}$ elementi. L'unico elemento
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di $[\vec{0}]$ è $\vec{0}$ stesso.
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\subsubsection{La regola di Cramer}
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Qualora $m=n$ e $A$ fosse invertibile (i.e. $\det(A) \neq 0$),
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per calcolare il valore di $\vec{x}$ si può applicare
|
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la regola di Cramer.
|
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Si definisce:
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\[ A_i^* = \begin{pmatrix}
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|
A^1 & \cdots & A^i \to B & \cdots & A^n
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|
\end{pmatrix}, \]
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dove si sostituisce alla $i$-esima colonna di $A$ il vettore $B$. Allora
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vale la seguente relazione:
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\[ \vec{x} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix}
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\det(A_1^*) \\ \vdots \\ \det(A_n^*)
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\end{pmatrix}. \]
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\subsection{L'inverso (generalizzato e non) di una matrice}
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Si definisce matrice dei cofattori di una matrice $A \in M(n, \KK)$ la
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seguente matrice:
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\[ \Cof A = \begin{pmatrix}
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\Cof_{1,1}(A) & \ldots & \Cof_{1,n}(A) \\
|
|
\vdots & \ddots & \vdots \\
|
|
\Cof_{n,1}(A) & \ldots & \Cof_{n,n}(A),
|
|
\end{pmatrix}, \]
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dove, detta $A_{i,j}$ il minore di $A$ ottenuto eliminando
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la $i$-esima riga e la $j$-esima colonna, si definisce il cofattore (o
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complemento algebrico) nel seguente modo:
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\[ \Cof_{i,j}(A) = (-1)^{i+j} \det( A_{i, j}). \]
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Si definisce inoltre l'aggiunta classica:
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\[ \adj(A) = (\Cof A)^\top. \]
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Allora, se $A$ ammette un inverso (i.e. se $\det(A) \neq 0$),
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vale la seguente relazione:
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\[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \adj(A). \]
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\vskip 0.05in
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Quindi, per esempio, $A^{-1}$ è a coefficienti
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interi $\iff \det(A) = \pm 1$.
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Siano $A$, $B \in M(n, \KK)$.
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\begin{itemize}
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\item $\adj(AB) = \adj(B)\adj(A)$,
|
|
\item $\adj(A^\top) = \adj(A)^\top$.
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\end{itemize}
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Si definisce inverso generalizzato di una matrice $A \in M(m, n, \KK)$
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una matrice $X \in M(n, m, \KK) \mid AXA=A$. Ogni matrice ammette
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un inverso generalizzato (è sufficiente considerare gli inversi
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generalizzati di $I^{m \times n}_r$ e la SD-equivalenza di $A$
|
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con $I^{m \times n}_r$, dove $\rg(A)=r$). Se $m=n$ ed $A$ è invertibile, allora
|
|
$A^{-1}$ è l'unico inverso generalizzato di $A$. Gli inversi
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generalizzati di $I^{m \times n}_r$ sono della forma:
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\[X =
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\begin{pmatrix}
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I_r
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& \rvline & B \\
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\hline
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C & \rvline &
|
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D
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\end{pmatrix} \in M(m, n, \KK). \]
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\subsection{Endomorfismi e similitudine}
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Si definisce la similitudine tra matrici su $M(n, \KK)$ come la relazione
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di equivalenza determinata da $A \sim B \iff \exists P \in \GL(n, \KK)
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\mid A = PBP^{-1}$. $A \sim B \implies \rg(A)=\rg(B)$, $\tr(A)=\tr(B)$,
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|
$\det(A)=\det(B)$, $P_\lambda(A) = P_\lambda(B)$ (invarianti \textit{non completi} della similitudine).
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|
Vale inoltre che $A \sim B \iff A$ e $B$ hanno la stessa forma
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canonica di Jordan, a meno di permutazioni dei blocchi di Jordan
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(invariante \textit{completo} della similitudine). La matrice
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identità è l'unica matrice identica a sé stessa.
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Sia $p \in \End(V)$. Si dice che un endomorfismo è un automorfismo
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se è un isomorfismo. Gli automorfismi formano un sottospazio vettoriale
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di $\End(V)$ denotato con $\Aut(V)$ o $\GL(V)$. Siano $\basis$, $\basis'$ due qualsiasi
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basi di $V$.
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\begin{itemize}
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\item $p$ automorfismo $\iff p$ iniettivo $\iff p$ surgettivo (è
|
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sufficiente applicare la formula delle dimensioni),
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\item $M^\basis_{\basis'}(id_V) M^{\basis'}_\basis(id_V)
|
|
= I_n$ (dunque entrambe le matrici sono invertibili e sono
|
|
l'una l'inverso dell'altra),
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|
\item se $p$ è un automorfismo, $M^\basis_{\basis'}(p^{-1}) =
|
|
M^{\basis'}_\basis(p)^{-1}$,
|
|
\item $M^\basis_{\basis}(p) = \underbrace{M^{\basis'}_\basis (id_V)}_{P} \,
|
|
M^{\basis'}_{\basis'}(p) \,
|
|
\underbrace{M^{\basis}_{\basis'} (id_V)}_{P^{-1}}$ (ossia
|
|
$M^\basis_{\basis}(p) \sim M^{\basis'}_{\basis'}(p)$).
|
|
\end{itemize}
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|
|
|
$M^\basis_{\basis'}(id_V) M^{\basis'}_\basis(id_V)
|
|
= I_n$. Dunque entrambe le matrici sono invertibili. Inoltre
|
|
$M^\basis_\basis(id_V) = I_n$.
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|
Si definisce un analogo della similitudine anche per gli endomorfismi:
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due endomorfismi $f$, $g \in \End(V)$ si dicono coniugati se e solo se $\exists
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|
h \in \GL(V) \mid f = h \, g \, h\inv$. Il coniugio induce in particolare
|
|
un'altra relazione di equivalenza. Due endomorfismi $f$ e $g$ sono coniugati
|
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se e solo se le loro matrici associate nella stessa base $\basis$ sono simili.
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\subsubsection{Duale, biduale e annullatore}
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Si definisce duale di uno spazio vettoriale $V$ lo
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spazio $\dual{V} = \mathcal{L}(V, \KK)$, i cui elementi
|
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sono detti funzionali. Analogamente
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il biduale è il duale del duale di $V$: $\bidual{V} = \dual{(\dual{V})} = \mathcal{L}(\dual{V}, \KK)$.
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Sia data una base $\basis = \{\vec{v_1}, \ldots, \vec{v_n}\}$ di
|
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uno spazio vettoriale $V$ di dimensione $n$. Allora $\dim \dual{V}
|
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= \dim \mathcal{L}(V, \KK) = \dim V \cdot \dim \KK = \dim V$. Si definisce
|
|
il funzionale $\dual{\vec{v_i}}$ come l'applicazione lineare
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univocamente determinata dalla relazione:
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\[ \dual{\vec{v_i}}(\vec{v_j}) = \delta_{ij}. \]
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\vskip 0.05in
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Sia $\basis^* = \{\vec{v_1}^*, \ldots, \vec{v_n}^*\}$. Allora
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$\basis^*$ è una base di $\dual{V}$. Poiché $V$ e $\dual{V}$
|
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hanno la stesso dimensione, tali spazi sono isomorfi, sebbene
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non canonicamente. Ciononostante, $V$ e $\bidual{V}$ sono
|
|
canonicamente isomorfi tramite l'isomorfismo:
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\[ \bidual{\varphi} : V \to \bidual{V}, \; \vec{v} \mapsto \restr{\val}{\dual{V}}, \]
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che associa ad ogni vettore $\vec{v}$ la funzione
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di valutazione in una funzionale in $\vec{v}$, ossia:
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\[ \restr{\val}{\dual{V}} : \dual{V} \to \KK, \; f \mapsto f(\vec{v}). \]
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Sia $U \subseteq V$ un sottospazio di $V$.
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Si definisce il sottospazio di $\mathcal{L}(V, W)$:
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\[ \Ann_{\mathcal{L}(V, W)}(U) = \left\{ f \in \mathcal{L}(V, W) \mid f(U) = \zerovecset \right\}. \]
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|
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|
Se $V$ è a dimensione finita, la dimensione di
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|
$\Ann_{\mathcal{L}(V, W)}(U)$ è pari a $(\dim V - \dim U) \cdot \dim W$ (è sufficiente
|
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prendere una base di $U$, completarla a base di $V$ e
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|
notare che $f(U) = \zerovecset \iff$ ogni valutazione
|
|
in $f$ degli elementi della base di $U$ è nullo $\iff$ la matrice
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associata di $f$ ha tutte colonne nulle in corrispondenza degli
|
|
elementi della base di $U$).
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Si scrive semplicemente $\Ann(U)$ quando $W=\KK$ (ossia
|
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quando le funzioni sono funzionali di $V$). In tal
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|
caso $\dim \Ann(U) = \dim V - \dim U$.
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\begin{itemize}
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|
\item $\bidual{\varphi}(U) \subseteq \Ann(\Ann(U))$,
|
|
\item se $V$ è a dimensione finita, $\bidual{\varphi}(U) = \bidual{U} = \Ann(\Ann(U))$ (è sufficiente
|
|
applicare la formula delle dimensioni $\restr{\bidual{\varphi}}{U}$ e notare l'uguaglianza
|
|
tra le due dimensioni),
|
|
\item se $V$ è a dimensione finita e $W$ è un altro
|
|
sottospazio di $V$,
|
|
$U = W \iff \Ann(U) = \Ann(W)$ (è sufficiente
|
|
considerare $\Ann(\Ann(U)) = \Ann(\Ann(W))$ e
|
|
applicare la proposizione precedente, ricordandosi
|
|
che $\bidual{\varphi}$ è un isomorfismo, ed è
|
|
dunque iniettivo).
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
Si definisce l'applicazione trasposta $^\top$ da $\mathcal{L}(V, W)$ a
|
|
$\mathcal{L}(\dual{W}, \dual{V})$ in modo tale che $f^\top(g)
|
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= g \circ f \in \dual{V}$. Siano $f$, $g \in \mathcal{L}(V,W)$ e
|
|
sia $h \in \mathcal{L}(W,Z)$.
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\begin{itemize}
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|
\item $(f+g)^\top = f^\top + g^\top$,
|
|
\item $(\lambda f)^\top = \lambda f^\top$,
|
|
\item se $f$ è invertibile, $(f^{-1})^\top = (f^\top)^{-1}$,
|
|
\item $(h \circ f)^\top = f^\top \circ h^\top$.
|
|
\end{itemize}
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|
|
|
Siano $\basis_V$, $\basis_W$ due basi rispettivamente di $V$ e
|
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di $W$. Allora vale la seguente relazione:
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\[ M^{\basis_W^*}_{\basis_V^*}(f^\top) = M^{\basis_V}_{\basis_W}(f)^\top. \]
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\subsection{Applicazioni multilineari}
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Sia $f : V_1 \times \ldots \times V_n \to W$ un'applicazione, dove
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$V_i$ è uno spazio vettoriale $\forall i \leq n$, così come $W$. Tale
|
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applicazione si dice $n$-lineare ed appartiene allo spazio
|
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$\Mult(V_1 \times \ldots \times V_n, W)$, se è lineare in ogni sua coordinata, ossia se:
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\begin{itemize}
|
|
\item $f(x_1, \ldots, x_i + y_i, \ldots, x_n) =
|
|
f(x_1, \ldots, x_i, \ldots, x_n) + f(x_1, \ldots, y_i, \ldots, x_n)$,
|
|
\item $f(x_1, \ldots, \alpha x_i, \ldots, x_n) = \alpha f(x_1, \ldots, x_i, \ldots, x_n)$.
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
Sia $W=\KK$, e siano tutti gli spazi $V_i$ fondati su tale campo: allora
|
|
$\Mult(V_1 \times \ldots \times V_n, \KK)$ si scrive anche come $V_1^* \otimes \ldots \otimes V_n^*$, e tale spazio
|
|
è detto prodotto tensoriale tra $V_1$, ..., $V_n$.
|
|
Sia $V_i$ di dimensione finita $\forall i \leq n$. Siano $\basis_{V_i} = \left\{ \vec{v^{(i)}_1}, \ldots, \vec{v^{(i)}_{k_i}} \right\}$ base
|
|
di $V_i$, dove $k_i = \dim V_i$.
|
|
Si definisce l'applicazione $n$-lineare $\dual{\vec{v^{(1)}_{j_1}}}
|
|
\otimes \cdots \otimes \dual{\vec{v^{(n)}_{j_n}}}\in \Mult(V_1 \times \ldots
|
|
\times V_n, \KK)$ univocamente determinata dalla seguente relazione:
|
|
\[ \dual{\vec{v^{(1)}_{j_1}}} \otimes \cdots \otimes \dual{\vec{v^{(n)}_{j_n}}}(\vec{w_1}, \ldots, \vec{w_n}) = \dual{\vec{v^{(1)}_{j_1}}}(\vec{w_1}) \cdots \dual{\vec{v^{(n)}_{j_n}}}(\vec{w_n}). \]
|
|
|
|
Si definisce l'insieme $\basis_{\otimes}$ nel seguente modo:
|
|
\[ \basis_{\otimes} = \left\{ \dual{\vec{v^{(1)}_{j_1}}} \otimes \cdots \otimes \dual{\vec{v^{(n)}_{j_n}}} \mid 1 \leq j_1 \leq k_1, \, \ldots, \, 1 \leq j_n \leq k_n \right\}. \]
|
|
|
|
Poiché ogni applicazione $n$-lineare è univocamente determinata
|
|
dai valori che assume ogni combinazione degli elementi delle basi
|
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degli spazi $V_i$, vi è un isomorfismo tra $\Mult(V_1 \times \ldots
|
|
\times V_n, \KK)$ e $\KK^{\basis_{V_1} \times \cdots \times \basis_{V_n}}$, che ha dimensione $\prod_{i=1}^n k_i = k$. Pertanto
|
|
anche $\dim \Mult(V_1 \times \ldots \times V_n, \KK) = k$.
|
|
|
|
Poiché $\basis_{\otimes}$ genera $\Mult(V_1 \times \ldots
|
|
\times V_n, \KK)$ e i suoi elementi sono tanti quanto è la
|
|
dimensione dello spazio, tale insieme è una base di $\Mult(V_1 \times
|
|
\ldots \times V_n, \KK)$.
|
|
|
|
Se $V_i = V_1 = V$ $\forall i \leq n$, si dice che $\Mult(V^n, \KK)$
|
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è lo spazio delle forme $n$-lineari di $V$.
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\subsubsection{Applicazioni multilineari simmetriche}
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Sia $V$ uno spazio di dimensione $n$. Una
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forma $k$-lineare $f$ si dice simmetrica
|
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ed appartiene allo spazio $\Sym^k(V)$ se:
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\[ f(\vec{x_1}, \ldots, \vec{x_k}) = f(\vec{x_{\sigma(1)}}, \ldots, \vec{x_{\sigma(k)}}), \quad \forall \sigma \in S_k. \]
|
|
|
|
Poiché ogni applicazione $n$-lineare simmetrica è univocamente
|
|
determinata dai valori che assume negli elementi della base
|
|
disposti in modo non decrescente, $\dim \Sym^k(V) = \binom{n+k-1}{k}$.
|
|
|
|
Sia $\basis = \{\vec{v_1}, \ldots, \vec{v_n}\}$ una base
|
|
di $V$. Dato un insieme di indici non decrescente $I$,
|
|
si definisce il prodotto simmetrico (o \textit{prodotto vee})
|
|
$\dual{\vec{v_{i_1}}} \vee \cdots \vee \dual{\vec{v_{i_k}}}$
|
|
tra elementi della base come la forma $k$-lineare simmetrica
|
|
determinata dalla seguente relazione:
|
|
\[ \dual{\vec{v_{i_1}}} \vee \cdots \vee \dual{\vec{v_{i_k}}} = \sum_{\sigma \in S_k} \dual{\vec{v_{i_{\sigma(1)}}}} \otimes \cdots \otimes \dual{\vec{v_{i_{\sigma(k)}}}}. \]
|
|
|
|
Si definisce l'insieme:
|
|
\[\basis_{\Sym} = \left\{ \dual{\vec{v_{i_1}}} \vee \cdots \vee \dual{\vec{v_{i_k}}} \mid 1 \leq i_1 \leq \cdots \leq i_k \leq n \right\}. \]
|
|
|
|
L'insieme $\basis_{\Sym}$ è sia generatore che linearmente
|
|
indipendente su $\Sym^k(V)$, ed è dunque base. Allora
|
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$\dim \Sym^k(V) = \binom{n+k-1}{k}$.
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\subsubsection{Applicazioni multilineari alternanti}
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Sia $V$ uno spazio di dimensione $n$. Una forma
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$k$-lineare $f$ si dice alternante (o antisimmetrica)
|
|
ed appartiene allo spazio $\Lambda^k(V)$ (talvolta scritto
|
|
come $\operatorname{Alt}^k(V)$) se:
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\[ f(x_1, \ldots, x_k) = 0 \impliedby \exists \, i, j \leq k \mid x_i = x_j. \]
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|
\vskip 0.05in
|
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|
Questo implica che:
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\[ f(x_1, \ldots, x_k) = \sgn(\sigma) f(x_{\sigma(1)}, \ldots, x_{\sigma(n)}), \quad \forall \sigma \in S_k \]
|
|
|
|
Se $k > n$, un argomento della base di $V$ si ripete sempre nel
|
|
computo $f$ negli elementi della base, e quindi ogni alternante è
|
|
pari a $\vec{0}$, ossia $\dim \Lambda^k(V) = 0$.
|
|
|
|
Sia $\basis = \{\vec{v_1}, \ldots, \vec{v_n}\}$ una base
|
|
di $V$. Dato un insieme di indici crescente $I$,
|
|
si definisce il prodotto esterno (o \textit{prodotto wedge})
|
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$\dual{\vec{v_{i_1}}} \wedge \cdots \wedge \dual{\vec{v_{i_k}}}$
|
|
tra elementi della base come la forma $k$-lineare alternante
|
|
determinata dalla relazione:
|
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\[ \dual{\vec{v_{i_1}}} \wedge \cdots \wedge \dual{\vec{v_{i_k}}} = \sum_{\sigma \in S_k} \sgn(\sigma) \, \dual{\vec{v_{i_{\sigma(1)}}}} \otimes \cdots \otimes \dual{\vec{v_{i_{\sigma(k)}}}}. \]
|
|
|
|
Si definisce l'insieme:
|
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\[\basis_{\Lambda} = \left\{ \dual{\vec{v_{i_1}}} \wedge \cdots \wedge \dual{\vec{v_{i_k}}} \mid 1 \leq i_1 < \cdots < i_k \leq n \right\}. \]
|
|
|
|
L'insieme $\basis_{\Lambda}$ è sia generatore che linearmente
|
|
indipendente su $\Lambda^k(V)$, ed è dunque base. Allora
|
|
$\dim \Lambda^k(V) = \binom{n}{k}$. Riassumendo si può scrivere:
|
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\[\dim \Lambda^k(V) = \begin{cases} 0 & \text{se } k > n\,, \\ \binom{n}{k} & \text{altrimenti}. \end{cases}\]
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Quindi è quasi sempre vero che:
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\[ \underbrace{\dim \Sym^k(V)}_{= \, \binom{n+k-1}{k}} + \underbrace{\dim \Lambda^k(V)}_{\leq \, \binom{n}{k}} < \underbrace{\dim \Mult(V^k, \KK)}_{=\,n^k}, \]
|
|
|
|
e dunque che $\Sym^k(V) + \Lambda^k(V) \neq \Mult(V^k, \KK)$.
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\subsection{Determinante di una matrice}
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Si definisce il determinante $\det$ di una matrice di taglia
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$n \times n$ come l'unica forma $n$-lineare alternante di $(\KK^n)^n$
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|
tale che $\det(\vec{e_1}, \ldots, \vec{e_n}) = 1$ (infatti
|
|
$\dim \Lambda^n (V) = \binom{n}{n} = 1$, e quindi ogni forma
|
|
alternante è multipla delle altre, eccetto per lo zero).
|
|
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Equivalentemente $\det = \dual{\vec{e_1}} \, \wedge \cdots \wedge \, \dual{\vec{e_n}}$.
|
|
|
|
Siano $A$, $B \in M(n, \KK)$. Si scrive
|
|
$\det(A)$ per indicare $\det(A_1, \ldots, A_n)$. Vale pertanto la
|
|
seguente relazione:
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\[ \det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) \, a_{1\sigma(1)} \cdots a_{n\sigma(n)}. \]
|
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\begin{itemize}
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|
\item $\det(I_n) = 1$,
|
|
\item $\det \begin{pmatrix}
|
|
a & b \\ c & d
|
|
\end{pmatrix} = ad-bc$,
|
|
\item $\det \begin{pmatrix}
|
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a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i
|
|
\end{pmatrix} = a(ei-fh) - b(di-fg) + c(dh-eg)$,
|
|
\item $\det(A) \neq 0 \iff A$ invertibile (ossia non singolare),
|
|
\item $\det(\lambda A) = \lambda^n A$,
|
|
\item $\det(A) = \det(A^\top)$ (è sufficiente applicare la definizione
|
|
di $\det$ e manipolare algebricamente il risultato per evidenziare
|
|
l'uguaglianza),
|
|
\item se $A$ è antisimmetrica, $n$ è dispari e $\Char \KK \neq 2$,
|
|
$\det(A) = \det(-A^\top) = (-1)^n \det(A^\top) = (-1)^n \det(A) = -\det(A) \implies \det(A) = 0$ (quindi ogni matrice antisimmetrica di taglia
|
|
dispari non è invertibile),
|
|
\item $\det(AB) = \det(A)\det(B)$ (\textit{teorema di Binet} -- è
|
|
sufficiente considerare la forma $\frac{\det(AB)}{\det(B)}$ in
|
|
funzione delle righe di $A$ e determinare che tale forma
|
|
è alternante e che vale $1$ nell'identità, e che, per l'unicità
|
|
del determinante, deve obbligatoriamente essere pari a
|
|
$\det(A)$),
|
|
\item se $A$ è invertibile, $\det(A^{-1}) = \det(A)^{-1}$,
|
|
\item $\det \begin{pmatrix}
|
|
\lambda_{1} & & \\
|
|
& \ddots & \\
|
|
& & \lambda_{n}
|
|
\end{pmatrix} = \det(\lambda_1 \vec{e_1}, \ldots, \lambda_n \vec{e_n}) = \prod_{i=1}^n \lambda_i$,
|
|
\item se $A$ è triangolare superiore (o inferiore), allora $\det(A)$ è
|
|
il prodotto degli elementi sulla sua diagonale principale,
|
|
\item $\det(A_1, \ldots, A_n) = \sgn(\sigma) \det(A_{\sigma(1)}, \ldots, A_{\sigma(n)})$, $\forall \sigma \in S_n$ (infatti $\det$ è alternante),
|
|
\item \setlength{\extrarowheight}{1.3pt}$\det \begin{pmatrix}
|
|
A
|
|
& \rvline & B \\
|
|
\hline
|
|
C & \rvline &
|
|
D
|
|
\end{pmatrix} = \det(AD-BC)$, se $C$ e $D$ commutano e $D$ è invertibile,
|
|
\item $\det \begin{pmatrix}
|
|
A
|
|
& \rvline & B \\
|
|
\hline
|
|
0 & \rvline &
|
|
C
|
|
\end{pmatrix} = \det(A)\det(C)$\setlength{\extrarowheight}{0pt},
|
|
\item se $A$ è nilpotente (ossia se $\exists k \mid A^k = 0$),
|
|
$\det(A) = 0$,
|
|
\item se $A$ è idempotente (ossia se $A^2 = A$), allora
|
|
$\det(A) = 1$ o $\det(A) = 0$,
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\item se $A$ è ortogonale (ossia se $AA^\top = I_n$), allora
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$\det(A) = \pm 1$,
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\item se $A$ è un'involuzione (ossia se $A^2 = I_n$), allora
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$\det(A) = \pm 1$,
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\item se ogni minore di taglia $k$ di $A$ ha determinante nullo,
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allora tutti i minori di $A$ taglia maggiore o uguale a $k$ hanno
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determinante nullo (è una diretta applicazione dello sviluppo di Laplace).
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\end{itemize}
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Le operazioni del terzo tipo dell'algoritmo di eliminazione
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di Gauss (ossia l'aggiunta a una riga di un multiplo di un'altra
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riga -- a patto che le due righe siano distinte) non alterano il
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determinante della matrice iniziale, mentre lo scambio di righe
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ne inverte il segno (corrisponde a una trasposizione di $S_n$).
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L'operazione del secondo tipo (la moltiplicazione di una riga
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per uno scalare) altera il determinante moltiplicandolo per
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tale scalare.
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Inoltre, se $D$ è invertibile, vale la decomposizione di Schur:
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\setlength{\extrarowheight}{1.3pt}
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\begin{gather*}
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\begin{pmatrix}
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A
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& \rvline & B \\
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\hline
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C & \rvline &
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D
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\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
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I_k
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& \rvline & BD^{-1} \\
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\hline
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0 & \rvline &
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|
I_k
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|
\end{pmatrix}
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\begin{pmatrix}
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A-BD^{-1}C
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& \rvline & 0 \\
|
|
\hline
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|
0 & \rvline &
|
|
D
|
|
\end{pmatrix} \\
|
|
\begin{pmatrix}
|
|
I_k
|
|
& \rvline & 0 \\
|
|
\hline
|
|
D^{-1}C & \rvline &
|
|
I_k
|
|
\end{pmatrix},
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|
\end{gather*}
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\setlength{\extrarowheight}{0pt}
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dove $k \times k$ è la taglia di $A$. Pertanto vale
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la seguente relazione, sempre se $D$ è invertibile:
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\[ \det \begin{pmatrix}
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A
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& \rvline & B \\
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\hline
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C & \rvline &
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|
D
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\end{pmatrix} = \det(A-BD^{-1}C)\det(D). \]
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È possibile computare il determinante di $A$, scelta la riga $i$, mediante lo
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sviluppo di Laplace:
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\[ \det(A) = \sum_{j=1}^n a_{ij} \Cof_{i,j}(A) = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} \det(A_{i,j}). \]
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Si definisce matrice di Vandermonde una matrice $A \in M(n, \KK)$ della
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forma:
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\[ A = \begin{pmatrix}
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1 & x_1 & x_1^2 & \dots & x_1^{n-1}\\
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1 & x_2 & x_2^2 & \dots & x_2^{n-1}\\
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|
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\
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1 & x_n & x_n^2 & \dots & x_n^{n-1}.
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\end{pmatrix} \]
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Vale allora che:
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\[ \det(A) = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i), \]
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verificabile notando che $\det(A)$ è di grado $\frac{n(n-1)}{2}$ e
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che ponendo $x_i = x_j$ per una coppia $(i, j)$, tale matrice
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ha due righe uguali, e quindi determinante nullo $\implies (x_j - x_i) \mid \det(A) \overbrace{\implies}^{\text{UFD}} \det(A) = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i) $.
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Pertanto una matrice di Vandermonde è invertibile se e solo se la sua
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seconda colonna contiene tutti scalari distinti nelle coordinate. Tale
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matrice risulta utile nello studio dell'interpolazione di Lagrange
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(ossia nella dimostrazione dell'unicità del polinomio di $n-1$ grado
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tale che $p(\alpha_i) = \beta_i$ per $i$ coppie ($\alpha_i$, $\beta_i$) con
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$\alpha_i$ tutti distinti).
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\subsubsection{Rango tramite il determinante degli orlati}
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Si dicono \textit{sottomatrici} della matrice $A \in M(m, n, \KK)$ tutte
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le matrici contenute in $A$, ossia le matrici $B$ che sono ottenibili da $A$
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mantenendo solo alcune sue righe e colonne. In generale, si scrive $A^{j_1, \ldots, j_s}_{i_1, \ldots, i_t}$ per indicare la sottomatrice ottenuta
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da $A$ mantenendo le colonne di indice $j_1$, ..., $j_s$ e le righe di
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indice $i_1$, ..., $i_t$. Quando è omesso l'indice delle colonne o l'indice
|
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delle righe, si sottintende di aver mantenuto o tutte le colonne o tutte le righe
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(e.g.~$A_{1,2}$ è la sottomatrice di $A$ ottenuta mantenendo tutte le colonne e
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|
le prime due righe). Si dice che $M$ è \textit{minore} di $A$ una sua sottomatrice quadrata. Si chiamano \textit{orlati} di un minore $M$ di taglia $k$ i minori di taglia $k+1$ di $A$ aventi $M$ come minore.
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\begin{itemize}
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\item se $B$ è una sottomatrice di $A$, allora $\rg(B) \leq \rg(A)$ (è sufficiente prendere un numero massimo di colonne linearmente indipendenti
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di $B$ e mostrare che le relative colonne in $A$ sono ancora linearmente indipendenti),
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\item $\rg(A) = \max\{\rg(B) \mid B \text{ sottomatrice di }\! A\}$ (è sufficiente utilizzare il precedente risultato; infatti $A$ è una sottomatrice di $A$),
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\item $\rg(A) = \max\{\rg(B) \mid B \text{ minore invertibile di }\! A\} = \max\{n \mid \text{esiste un minore di $A$ di taglia $n$ invertibile} \}$ (è sufficiente utilizzare la prima disuguaglianza e considerare un minore di $A$ composto dalle righe e le colonne linearmente indipendenti di $A$, che sono
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dello stesso numero, dal momento che il rango per righe è uguale al rango per colonne),
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|
\item $\rg(A)$ è il più piccolo naturale $n$ tale per cui, per ogni minore
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$M$ di $A$ di taglia maggiore di $n$, $\det(M) = 0$ (ossia $M$ è singolare; segue direttamente dal precedente risultato),
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|
\item $\rg(A)$ è il più piccolo naturale $n$ tale per cui, per ogni minore
|
|
$M$ di $A$ di taglia $n+1$, $\det(M) = 0$ (ossia $M$ è singolare; segue dal precedente risultato a cui si combina lo sviluppo di Laplace del determinante -- se ogni minore di taglia $k$ ha determinante nullo, anche tutti i minori di
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taglia maggiore di $k$ hanno determinante nullo).
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\item esiste un minore $M$ di taglia $k$ di $A$ con $\det(M) \neq 0$ $\implies \rg(A) \geq k$ (deriva direttamente dall'ultimo risultato sul rango),
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\item per ogni minore $M$ di taglia $k$ di $A$ vale che $\det(M) = 0$
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|
$\implies \rg(A) < k$ (come sopra).
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\end{itemize}
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Si può facilitare lo studio del rango tramite il teorema di Kronecker (o degli orlati): $\rg(A)$ è il più piccolo naturale $n$ tale per cui esista un minore
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$M$ di taglia $k$ con $\det(M) \neq 0$ e per cui ogni suo orlato $O$ è tale
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per cui $\det(O) = 0$.
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Sia infatti, senza perdità di generalità, $M = A^{1,\ldots, k}_{1,\ldots,k}$ tale minore (altrimenti è sufficiente considerare una permutazione delle righe e
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delle colonne per ricadere in questo caso; tale permutazione è ammessa dall'algoritmo di Gauss). Si mostra che $A^j \in \Span(A^1, \ldots, A^k)$ $\forall j > k$. Si consideri ogni orlato $M_j$ di $M$ ottenuto scegliendo
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la $j$-esima colonna di $A$: per ipotesi $\det(M_j) = 0$, ed il rango è almeno
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$k$. Quindi $\rg(M_j) = k$; poiché le prime $k$ righe sono linearmente indipendenti, l'ultima riga aggiunta deve certamente appartenere al loro
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sottospazio generato. Quindi ogni riga di $A^{1,\ldots, k, j}$ appartiene
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al sottospazio $\Span(A_1, \ldots, A_k)$, da cui si deduce che $\rg(A^{1,\ldots, k, j}) = k$, e quindi che $\rg(A^{1,\ldots,k,j}) = k \implies A^j \in \Span(A^1, \ldots, A^k) \implies \rg(A) = k$.
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\subsection{Autovalori, diagonalizzabilità e triangolabilità}
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Sia $f \in \End(V)$. Si dice che $\lambda \in \KK$ è un autovalore
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di $f$ se e solo se $\exists \vec{v} \neq \vec{0}$, $\vec{v} \in V$
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tale che $f(\vec{v}) = \lambda \vec{v}$, e in tal caso si dice
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che $\vec{v}$ è un autovettore relativo a $\lambda$. Un autovalore
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è tale se esiste una soluzione non nulla a $(f - \lambda \Idv) \vec{v} = \vec{0}$, ossia se e solo se:
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\[\det(f - \lambda \Idv) = 0. \]
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Questa relazione è ben definita dacché il determinante è invariante
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per qualsiasi cambio di base applicato ad una matrice associata
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di $f$. Si definisce allora $p_f(\lambda) = \det(f - \lambda \Idv)$,
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detto polinomio caratteristico di $f$, ancora invariante per
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matrici associate a $f$. Si denota inoltre con
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spettro di $f$ l'insieme $\Sp(f)$ degli autovalori di $f$ e con
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$V_\lambda = \Ker(f - \lambda \Idv)$ lo spazio degli autovettori
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relativo a $\lambda$, detto autospazio di $\lambda$.
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Si definisce la molteplicità algebrica $\mu_{a,f}(\lambda)$ di un autovalore
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$\lambda$ come la molteplicità che assume come radice del polinomio
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$p_f(\lambda)$. Si definisce la molteplicità geometrica
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$\mu_{g,f}(\lambda)$ di un autovalore $\lambda$ come la dimensione
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del suo autospazio $V_\lambda$. Quando è noto l'endomorfismo
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che si sta considerando si omette la dicitura $f$ nel pedice delle
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molteplicità.
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\begin{itemize}
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\item $p_f(\lambda)$ ha sempre grado $n = \dim V$,
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\item $p_f(\lambda)$ è sempre monico a meno del segno,
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\item il coefficiente di $\lambda^n$ è sempre $(-1)^n$,
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\item il coefficiente di $\lambda^{n-1}$ è $(-1)^{n+1} \tr(f)$,
|
|
\item il termine noto di $p_f(\lambda)$ è $\det(f - 0 \cdot \Idv) = \det(f)$,
|
|
\item il termine noto di $p_f(\lambda)$ è $\det(f - 0 \cdot \Idv) = \det(f)$,
|
|
\item $p_f(\lambda)=\sum_{i=0}^{n}(-\lambda)^i(\sum\det(M_{n-i}))$ dove i $M_j$ sono i minori principali di taglia $j$, % TODO: sistemare e aggiungere spiegazione
|
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\item poiché $p_f(\lambda)$ appartiene all'anello euclideo $\KK[\lambda]$, che è dunque un UFD, esso ammette al più
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$n$ radici,
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\item $\Sp(f)$ ha al più $n$ elementi, ossia esistono al massimo
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$n$ autovalori (dalla precedente considerazione),
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\item se $\KK = \CC$ e $\charpoly{f} \in \RR[\lambda]$, $\lambda \in
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\Sp(f) \iff \overline{\lambda} \in \Sp(f)$ (infatti $\lambda$ è
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|
soluzione di $\charpoly{f}$, e quindi anche $\overline{\lambda}$
|
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deve esserne radice, dacché i coefficienti di $\charpoly{f}$ sono
|
|
in $\RR$),
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\item se $\KK$ è un campo algebricamente chiuso, $p_f(\lambda)$
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ammette sempre almeno un autovalore distinto (o esattamente
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$n$ se contati con molteplicità),
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\item $0 \in \Sp(f) \iff \dim \Ker f > 0 \iff \rg f < 0 \iff \det(f) = 0$,
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|
\item autovettori relativi ad autovalori distinti sono sempre
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linearmente indipendenti,
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\item dati $\lambda_1$, ..., $\lambda_k$ autovalori di $f$,
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gli spazi $V_{\lambda_1}$, ..., $V_{\lambda_k}$ sono sempre
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in somma diretta,
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\item $\sum_{i=1}^k \mu_a(\lambda_i)$ corrisponde al numero
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di fattori lineari di $p_f(\lambda)$,
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\item $\sum_{i=1}^k \mu_a(\lambda_i) = n \iff$ $p_f(\lambda)$
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è completamente fattorizzabile in $\KK[\lambda]$,
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\item vale sempre la disuguaglianza $n \geq \mu_a(\lambda) \geq
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\mu_g(\lambda) \geq 1$ (è sufficiente considerare una
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base di $V_\lambda$ estesa a base di $V$ e calcolarne il
|
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polinomio caratteristico sfruttando i blocchi della matrice
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associata, notando che $\mu_g(\lambda)$ deve forzatamente essere
|
|
minore di $\mu_a(\lambda)$),
|
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\item vale sempre la disuguaglianza $n \geq \sum_{i=1}^k \mu_a(\lambda_i) \geq \sum_{i=1}^k \mu_g(\lambda_i)$,
|
|
\item se $W \subseteq V$ è un sottospazio $f$-invariante,
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allora $\charpolyrestr{f}{W} \mid p_f(\lambda)$\footnote{Quando si lavora
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su degli endomorfismi, la notazione $\restr{f}{W}$ è impiegata per
|
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considerare $f$ ristretta a $W$ sia sul dominio che sul codominio.} (è sufficiente
|
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prendere una base di $W$ ed estenderla a base di $V$, considerando
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poi la matrice associata in tale base, che è a blocchi),
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\item se $W \subseteq V$ è un sottospazio $f$-invariante,
|
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ed estesa una base $\basis_W$ di $W$ ad una $\basis$ di $V$,
|
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detto $U = \Span(\basis \setminus \basis_W)$ il supplementare di $W$ che si ottiene da tale base $\basis$, vale
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che $\charpoly{f} = \charpolyrestr{f}{W} \cdot \charpoly{\hat{f}}$,
|
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dove $\hat{f} : V/W \to V/W$ è tale che $\hat{f}(\vec{u} + W) = f(\vec{u}) + W$ (come prima, è sufficiente considerare una matrice
|
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a blocchi),
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|
\item se $V = W \oplus U$, dove sia $W$ che $U$ sono $f$-invarianti,
|
|
allora $\charpoly{f} = \charpolyrestr{f}{W} \cdot \charpolyrestr{f}{U}$ (la matrice associata in un'unione di basi
|
|
di $W$ e $U$ è infatti diagonale a blocchi),
|
|
\item se sia $W$ che $U$ sono $f$-invarianti, allora $f$ è diagonalizzabile
|
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se e solo se sia $\restr{f}{W}$ che $\restr{f}{U}$ lo sono,
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\item se $f$ è nilpotente, $p_f(\lambda) = \lambda^n$ (è sufficiente considerare
|
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un eventuale altro autovalore diverso da zero e mostrare che se tale
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autovalore esistesse, $f$ non sarebbe nilpotente),
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\item un endomorfismo è nilpotente se e solo se $f^n = 0$ (discende direttamente dal teorema di Hamilton-Cayley e dalla forma di $p_f$),
|
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\end{itemize}
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Si dice che $f$ è diagonalizzabile se $V$ ammette una base per cui
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la matrice associata di $f$ è diagonale, o equivalentemente se,
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dati $\lambda_1$, ..., $\lambda_k$ autovalori di $f$, si verifica
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che:
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\[ V = V_{\lambda_1} \oplus \cdots \oplus V_{\lambda_k}. \]
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Ancora in modo equivalente si può dire che $f$ è diagonalizzabile
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se e solo se:
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\[ \begin{cases} \sum_{i=1}^k \mu_a(\lambda_i) = n, \\ \mu_g(\lambda_i) = \mu_a(\lambda_i) \; \forall 1 \leq i \leq k, \end{cases} \]
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ossia se il polinomio caratteristico è completamente fattorizzabile
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in $\KK[\lambda]$ (se non lo fosse, la somma diretta
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$V_{\lambda_1} \oplus \cdots \oplus V_{\lambda_k}$ avrebbe
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forzatamente dimensione minore di $V$, ed esisterebbero altri
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autovalori in un qualsiasi campo di spezzamento di $p_f(\lambda)$) e se $\sum_{i=1}^k \mu_g(\lambda_i) = n$. Tale condizione, in un
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|
campo algebricamente chiuso, si riduce a $\mu_g(\lambda_i) = \mu_a(\lambda_i)$, $\forall 1 \leq i \leq k$.
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Considerando la forma canonica di Jordan di $f$, si osserva anche
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che $f$ è diagonalizzabile se e solo se per ogni autovalore la
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massima taglia di un blocco di Jordan è esattamente $1$, ossia
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se il polinomio minimo di $f$ è un prodotto di fattori lineari
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distinti (i.e.~se $\varphi_f(t) = \prod_i (t-\lambda_i)$). Si può fare la stessa considerazione guardando al
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teorema di decomposizione primaria (gli indici di Fitting del
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|
sottospazio generalizzato sono esattamente le moltiplicità algebriche
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degli autovalori nel polinomio minimo).
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Data $f$ diagonalizzabile, la matrice diagonale $J$ a cui $f$ è
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associata è, dati gli autovalori $\lambda_1$, ..., $\lambda_k$,
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una matrice diagonale dove $\lambda_i$ compare sulla diagonale
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esattamente $\mu_g(\lambda_i)$ volte.
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Data $A \in M(n, \KK)$, $A$ è diagonalizzabile se e solo se $f_A$,
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l'applicazione indotta dalla matrice $A$, è diagonalizzabile,
|
|
ossia se $A$ è simile ad una matrice diagonale $J$, computabile
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come prima. Si scrive in particolare $p_A(\lambda)$ per indicare
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$p_{f_A}(\lambda)$.
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Una matrice $P \in \GL(M(n, \KK))$
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tale che $A = P J P\inv$, è tale che $AP = PJ$: presa la $i$-esima
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colonna, allora, $AP^{(i)} = PJ^{(i)} = P^{(i)}$; ossia è sufficiente
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costruire una matrice $P$ dove l'$i$-esima colonna è un autovettore
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relativo all'autovalore presente in $J_{ii}$ linearmente indipendente
|
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con gli altri autovettori presenti in $P$ relativi allo stesso
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autovalore (esattamente nello stesso modo in cui si costruisce in
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generale tale $P$ con la forma canonica di Jordan).
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Se $A$ e $B$ sono diagonalizzabili, allora $A \sim B \iff p_A(\lambda) =
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p_B(\lambda)$ (infatti due matrici diagonali hanno lo stesso polinomio
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caratteristico se e solo se compaiono gli stessi identici autovalori).
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Se $f$ è diagonalizzabile, allora ogni spazio $W$ $f$-invariante di
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$V$ è tale che:
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\[ W = (W \cap V_{\lambda_1}) \oplus \cdots \oplus (W \cap V_{\lambda_k}), \]
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|
|
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dove $\lambda_1$, ..., $\lambda_k$ sono gli autovalori distinti di
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|
$f$, e dunque $\restr{f}{W}$ è sempre diagonalizzabile, se $f$ lo è. In generale, dato un sottospazio $W$ di $V$ che
|
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è $f$-invariante, si può facilmente costruire un suo
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|
supplementare $f$-invariante. È infatti sufficiente
|
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prendere una base di $W$ ed estenderla a base di $V$
|
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completandola tramite una base di autovettori di $V$.
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|
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Se $f$ è diagonalizzabile, anche $f^k$ lo è, per ogni $k \in \NN$. Se
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ogni vettore di $V$ è un autovettore di $f$, allora $f = \lambda \Id$,
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con $\lambda \in \KK$ (è sufficiente considerare l'eventuale esistenza di più
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autospazi e due vettori $\v$ e $\w$ di due autospazi distinti e considerare
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le due scritture possibili di $f(\v + \w)$).
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Si dice infine che $f$ è triangolabile (o triangolarizzabile) se $V$
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ammette una base per cui la matrice associata di $f$ è triangolare superiore
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(o inferiore, dal momento che è sufficiente riordinare dal basso la base
|
|
per ottenere una matrice associata triangolare superiore). Vale in particolare
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che $f$ è triangolabile se e soltanto se $p_f(\lambda)$ è completamente
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riducibile in fattori lineari in $\KK$ (dunque, nel caso di $\KK$ algebricamente
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chiuso, $f$ è sempre triangolabile). Infatti, se $f$ è triangolabile, il polinomio
|
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caratteristico ha come radici esattamente gli elementi sulla diagonale della
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matrice associata di $f$ nella base $\basis$ in cui tale matrice è triangolare
|
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superiore (e dunque $p_f(\lambda)$ è riducibile in fattori lineari). Se invece $p_f(\lambda)$ è riducibile in fattori lineari, si può applicare il seguente
|
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algoritmo (su cui si fonda induttivamente la dimostrazione della proposizione):
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\begin{enumerate}
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\itemsep 0pt
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\item Si calcolino le basi degli autospazi di $f$,
|
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\item Si estenda l'unione $\basis_A$ di queste basi a una base $\basis$ di $V$,
|
|
\item Si consideri la matrice associata di $f$ nella base $\basis$, della forma: \setlength{\extrarowheight}{1.3pt}
|
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\[M_\basis(f) = \begin{pmatrix}
|
|
A
|
|
& \rvline & B \\
|
|
\hline
|
|
0 & \rvline &
|
|
C
|
|
\end{pmatrix}, \]\setlength{\extrarowheight}{0pt}dove $A$ è una matrice diagonale contenente gli autovalori di $\Sp(f)$,
|
|
\item Se $M_\basis(f)$ è triangolare superiore, l'algoritmo termina. Altrimenti si ripeta l'algoritmo su $C$ (ossia sull'endomorfismo $p_W \circ \restr{f}{W} \in \End(W)$, dove $W$ è il sottospazio generato dai vettori aggiunti alla base $\basis_A$ per costruire la base $\basis$).
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
Inoltre, se $W$ è un sottospazio $f$-invariante di $V$,
|
|
e $f$ è triangolabile, anche $\restr{f}{W}$ lo è (infatti,
|
|
in tal caso, il polinomio caratteristico di $f$ si riduce
|
|
in fattori lineari).
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\subsubsection{Diagonalizzabilità e triangolabilità simultanea}
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Due endomorfismi $f$, $g \in \End(V)$ diagonalizzabili si dicono simultaneamente diagonalizzabili se esiste una base $\basis$ di $V$
|
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tale per cui sia la matrice associata di $f$ in $\basis$ che quella
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|
di $g$ sono diagonali. Vale in particolare che $f$ e $g$ sono
|
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simultaneamente diagonalizzabili se e solo se $f \circ g = g \circ f$.
|
|
Per trovare tale base è sufficiente, dati $\lambda_1$, ...,
|
|
$\lambda_k$ autovalori di $f$, considerare $\restr{g}{V_{\lambda_i}}$
|
|
$\forall 1 \leq i \leq k$ ($V_{\lambda_i}$ è infatti $g$-invariante,
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dacché, per $\vec{v} \in V_{\lambda_i}$, $f(g(\vec{v})) =
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g(f(\vec{v})) = g(\lambda_i \vec{v}) = \lambda_i g(\vec{v}) \implies
|
|
g(\vec{v}) \in V_{\lambda_i}$), che, essendo una restrizione di
|
|
un endomorfismo diagonalizzabile su un sottospazio invariante, è diagonalizzabile: presa allora
|
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una base di autovettori di $\restr{g}{V_{\lambda_i}}$, questi sono
|
|
anche base di autovettori di $V_{\lambda_i}$; unendo tutti questi
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autovettori in un'unica base $\basis$ di $V$, si otterrà dunque
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che una base in cui le matrici associate di $f$ e $g$ sono diagonali.
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Analogamente due endomorfismi $f$, $g \in \End(V)$ triangolabili si dicono
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simultaneamente triangolabili se esiste una base $\basis$
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in cui $M_\basis(f)$ e $M_\basis(g)$ sono due matrici
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triangolari superiori. Non è generalmente vero che
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due endomorfismi simultaneamente triangolabili
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commutano; è tuttavia vero il viceversa. Se infatti $f$
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e $g$ sono due endomorfismi triangolabili tali che $f \circ g = g \circ f$, allora si può riapplicare, con le dovute modifiche, il precedente algoritmo di triangolarizzazione (anche questa volta dimostrabile per induzione):
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\begin{enumerate}
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\itemsep 0pt
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\item Si calcolino le basi degli autospazi di $f$ e si consideri $\restr{f}{U}$, dove $U = \eigsp 1 \oplus \cdots \oplus \eigsp k$,
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\item Si cerchi una base $\basis_U$ in cui $\restr{f}{U}$ e $\restr{g}{U}$ sono simultaneamente diagonalizzabili (osservando che $g$ è $U$-invariante),
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\item Si estenda tale base $\basis_U$ ad una base $\basis$ di $V$ e si chiami $W$ il sottospazio $\Span(\basis_W)$, dove $\basis_W := \basis \setminus \basis_U$,
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\item Si considerino la matrice associata di $f$ e di $g$ nella base $\basis$, della forma: \setlength{\extrarowheight}{1.3pt}
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\begin{gather*}
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M_\basis(f) = \begin{pmatrix}
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A
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& \rvline & B \\
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\hline
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0 & \rvline &
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C
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\end{pmatrix}, \\
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M_\basis(g) = \begin{pmatrix}
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|
A'
|
|
& \rvline & B' \\
|
|
\hline
|
|
0 & \rvline &
|
|
C'
|
|
\end{pmatrix},
|
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\end{gather*}
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\setlength{\extrarowheight}{0pt}dove $A$ e $A'$ sono matrici diagonali contenente gli autovalori dei rispettivi endomorfismi,
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|
\item Se le due matrici sono triangolari superiori, l'algoritmo termina. Altrimenti si ripeta l'algoritmo su $C$ e $C'$ (ossia sugli endomorfismi $p_W \circ \restr{f}{W}$, $p_W \circ \restr{g}{W} \in \End(W)$, i
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|
quali commutano, dal momento che vale l'identità $C C' = C' C$, dedotta moltiplicando le due matrici associate di sopra).
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\end{enumerate}
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\subsubsection{Polinomio minimo}
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Sia $f \in \End(V)$. Si può allora definire l'applicazione $\sigma_f : \KK[x] \to \End(V)$
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tale per cui $\sigma_f(p) = p(f)$, dove per $p(f)$ s'intende
|
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la riscrittura di $p$ a cui si sostituisce all'usuale
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somma e all'usuale prodotto, la somma di applicazioni
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e la composizione (intendendo, in particolare, i termini
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noti come multipli dell'identità $f^0 := \Idv$). In particolare $\sigma_f$ è un omomorfismo di anelli,
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|
ed è dunque anche un'applicazione lineare. $\sigma_f$ non
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è mai iniettiva, ed esiste dunque sempre un polinomio $p$
|
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tale per cui $\sigma_f(p) = 0$, l'applicazione nulla (è
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sufficiente prendere $n^2+1$ potenze di $f$ e osservare
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che devono essere linearmente indipendenti). Poiché
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$\KK[x]$ è un PID, $\Ker \sigma_f$ è un ideale principale,
|
|
e quindi esiste un polinomio monico $\varphi_f$, detto
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polinomio minimo di $f$, tale per cui
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$\Ker \sigma_f = (\varphi_f)$.
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\begin{itemize}
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\item $\varphi_f \mid p_f$ (teorema di Hamilton-Cayley),
|
|
\item $\deg \varphi_f = d$ se e solo se $\Idv$, $f$, ...,
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$f^{d-1}$ sono linearmente indipendenti e $f^d \in \Span(\Idv, f, \ldots, f^{d-1})$,
|
|
\item $\dim \KK[f] = \deg \varphi_f$ (infatti, per
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il primo teorema di omomorfismo $\KK[f] \cong \KK[x]\quot(\varphi_f)$, da cui si ricava
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facilmente la dimensione dello spazio),
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\item $\Idv$, $f$, ..., $f^{d-1}$ formano una base
|
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di $\KK[f]$ (per i precedenti risultati), se $d = \deg \varphi_f$,
|
|
\item $\varphi_f$ e $p_f$ condividono gli stessi fattori
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primi (se infatti non comparisse un autovalore come radice di $\varphi_f$, $\varphi_f(f)$ non sarebbe nullo),
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|
\item gli esponenti dei fattori lineari di $\varphi_f$
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sono esattamente gli indici di Fitting degli autospazi
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generalizzati di $f$,
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\item gli autovalori hanno moltiplicità algebrica $1$ in $\varphi_f$ se e solo se $f$ è diagonalizzabile (è sufficiente utilizzare il precedente risultato, o considerare la forma canonica di Jordan),
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|
\item se $f$ è nilpotente, $\varphi_f(t) = t^k$, dove $k$ è l'indice di Fitting
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|
di $\Ker f$ (discende direttamente dalla forma di $p_f$ se $f$ è nilpotente),
|
|
\item se $p \in \KK[x]$ è tale per cui $p = p_1 \cdots p_k$ con $p_1$, ..., $p_k \in \KK[x]$ coprimi, allora $\Ker p(f) = \Ker p_1(f) \oplus \cdots \oplus \Ker p_k(f)$ (teorema di decomposizione primaria; si dimostra facilmente attraverso il teorema di Bezout),
|
|
\item $V = \gensp 1 \oplus \cdots \oplus \gensp k$, se $\lambda_1$, ..., $\lambda_k$ sono tutti gli autovalori di $f$ (deriva direttamente dal teorema
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|
di Hamilton-Cayley e dal teorema di decomposizione primaria, o, alternativamente,
|
|
dalla decomposizione di Fitting).
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|
\end{itemize}
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|
Sia $\v \in V$. Si definisce allora l'applicazione
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$\val_{f, \v} : \KK[x] \to V$ in modo tale
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|
che $\val_{f, \v}(p) = p(f)(\v)$. Come prima,
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|
$\val_{f,\v}$ è un'applicazione lineare. Si osserva
|
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ancora che $\Ker \val_{f, \v}$ è un'ideale,
|
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e quindi che esiste un polinomio $\varphi_{f, \v}$
|
|
tale per cui $\Ker \val_{f, \v} = (\varphi_{f, \v})$.
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|
Tale polinomio viene denotato come polinomio minimo
|
|
relativo al vettore $\v$. Si definisce in particolare
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$\KK[f](\v) := \Im \val_{f, \v}$.
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\begin{itemize}
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\item $\varphi_{f, \v} \mid \varphi_f$ (infatti $\varphi_f(f)=0$, e dunque $\varphi_f(f)$ annulla $\v$),
|
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\item $\deg \varphi_{f, \v} = d$ se e solo se $\v$, $f(\v)$, ..., $f^{d-1}(\v)$ sono linearmente indipendenti
|
|
e $f^d(\v) \in \Span(\v, \ldots, f^{d-1}(\v))$,
|
|
\item $\dim \KK[f](\v) = \deg \varphi_{f, \v}$ (si dimostra allo stesso modo in cui si è dimostrata la proposizione analoga per $\varphi_f$),
|
|
\item $\v$, ..., $f^{d-1}(\v)$ formano una base
|
|
di $\KK[f](\v)$, se $d = \deg \varphi_{f, \v}$.
|
|
\item se $\vv 1$, ..., $\vv k$ sono generatori
|
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di $V$, allora $\varphi_f = \mcm(\varphi_{f, \vv 1}, \ldots, \varphi_{f, \vv k})$ (è sufficiente mostrare
|
|
che $\varphi_f$ annulla una base e che il grado è minimale).
|
|
\item se $\v$, ..., $f^{k}(\v)$ sono linearmente indipendenti per qualche $\v \in V$, allora $\deg \varphi_f \geq \varphi_{f, \v} \geq k + 1$.
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|
\item esiste sempre un vettore $\v$ tale per cui
|
|
$\varphi_f = \varphi_{f, \v}$ (se $\KK$ è infinito).
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|
\item $p(f)$ è invertibile $\iff \Ker p(f) = \zerovecset$ $\iff \MCD(\varphi_f, p) \in \KK^*$, se $p \in \KK[x]$ (è sufficiente
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|
applicare il teorema di Bezout).
|
|
\end{itemize}
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|
Un vettore $\v$ si dice ciclico rispetto a $f$ se
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gli $n$ vettori $\v$, ..., $f^{n-1}(\v)$ formano
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una base di $V$, in tal caso detta base ciclica
|
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di $V$.
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|
Se $\KK$ è infinito, $V$ ammette una base ciclica se e solo se $p_f = \pm \varphi_f$ (infatti esiste sempre un vettore $\v$ tale per cui $\varphi_f = \varphi_{f, \v}$). In
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una base ciclica $\basis$ la matrice associata si
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|
scrive nel seguente modo:
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\[ M_\basis(f) = \Matrix{1 & & & -a_0 \\ & \ddots & & \vdots \\ & & 1 & -a_{n-1}}, \]
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dove $\varphi_f(x) = x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_0$.
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|
Tale matrice viene detta matrice compagna del polinomio
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$p := \varphi_f$ (e dunque ogni polinomio monico è in particolare
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il polinomio minimo di un qualche endomorfismo; analogamente
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ogni polinomio monico è, a meno del segno, un polinomio
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caratteristico).
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\subsection{La forma canonica di Jordan}
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Si definisce blocco di Jordan di taglia $k$ relativo
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all'autovalore $\lambda$ la seguente matrice:
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\[J_{\lambda, k} :=\begin{pmatrix}
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\lambda&1&0&\cdots&0 \\
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0&\ddots&\ddots&&\vdots \\
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\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&0\\
|
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\vdots&&\ddots&\ddots&1 \\
|
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0&\cdots&\cdots&0&\lambda
|
|
\end{pmatrix},\]
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|
ossia la matrice che ha solo $\lambda$ sulla diagonale, $1$ sulla
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sopradiagonale e $0$ nelle altre posizioni. Si può
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sempre restringere un blocco di Jordan a un blocco nilpotente
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considerando $J = J_{\lambda, k} - \lambda I_k$. Tale blocco
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ha come polinomio minimo $\varphi_J(t) = t^k$, e dunque
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$\varphi_{J_{\lambda, k}}(t) = (t-\lambda)^k$. Allo stesso
|
|
modo si calcola $p_{J_{\lambda, k}}(t) = (t-\lambda)^k$. Si osserva dunque
|
|
che $\mu_{a, J_{\lambda, k}}(\lambda) = \mu_{a, J}(0)$.
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|
Poiché il polinomio caratteristico ed il polinomio minimo coincidono a meno
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del segno, esiste sempre una base ciclica per la quale $J_{\lambda, k}$
|
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si scrive come matrice compagna di $\varphi_{J_{\lambda, k}}$.
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|
Si definisce forma canonica di Jordan di un endomorfismo $f$
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una sua matrice associata in una base $\basis$ tale per cui:
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\[M_\basis(f) = \begin{pmatrix}
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J_1 & & 0 \\
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& \ddots & \\
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0 & & J_s \end{pmatrix}, \]
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dove $J_1$, ..., $J_s$ sono blocchi di Jordan. La forma canonica
|
|
di Jordan esiste sempre ed è unica a meno di permutazione dei blocchi,
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se tutti gli autovalori di $f$ sono in $\KK$ (teorema di Jordan; se
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gli autovalori di $f$ non sono tutti in $\KK$, si può sempre considerare
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un'estensione di campo in cui esistono).
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Si definisce autospazio generalizzato relativo all'autovalore $\lambda$ di
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$f \in \End(V)$ lo spazio:
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\[ \Gensp = \Ker (f - \lambda \Idv)^n. \]
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Una definizione alternativa, ma equivalente di $\Gensp$ è la seguente:
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\[ \Gensp = \{ \v \in V \mid \exists k \in \NN \mid (f-\lambda \Idv)^k = \vec 0 \}, \]
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ossia $\Gensp$ è lo spazio dei vettori $\v \in V$ tali per cui, applicando ripetutamente $f-\lambda \Idv$, si ottiene un autovettore relativo a $\lambda$ (per
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dimostrare l'equivalenza delle due dimostrazioni è sufficiente considerare la
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|
decomposizione di Fitting). In generale, dalla catena della decomposizione
|
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di Fitting, si deduce in realtà che:
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\[ \Gensp = \Ker (f - \lambda \Idv)^q \; \forall q \geq k, \]
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dove $k$ è la molteplicità algebrica di $\lambda$ in $\varphi_f$ (in particolare
|
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si ottiene sempre l'autospazio generalizzato sostituendo $\mu_a(\lambda)$ a $q$,
|
|
dacché $\mu_a(\lambda) \geq k$).
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In generale vale che:
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\[ V = \gensp 1 \oplus \cdots \oplus \gensp k, \]
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se $\lambda_1$, ..., $\lambda_k$ sono tutti gli autovalori di $f$ (vd.~polinomio minimo). Inoltre, $\restr{f}{\Gensp}$ ammette come autovalore soltanto $\lambda$
|
|
(pertanto $\dim \Gensp = \mu_{a, f}(\lambda)$, confrontando i polinomi caratteristici). Si osserva inoltre che $\Gensp$ è sempre $f$-invariante. Infatti ogni $f$ induce due catene di inclusione:
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\begin{gather*}
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\Ker f^0 = \zerovecset \subsetneqq \Ker f^1 \subsetneqq \cdots \subsetneqq \Ker f^k = \Ker f^{k+1} = \cdots, \\
|
|
\Im f^0 = V \supsetneqq \Im f^1 \supsetneqq \cdots \supsetneqq \Im f^k = \Im f^{k+1} = \cdots,
|
|
\end{gather*}
|
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|
|
dove $k$ è detto indice di Fitting di $f$. Vale in particolare la decomposizione di Fitting:
|
|
\[ V = \Ker f^k \oplus \Im f^k, \]
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|
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dove $\restr{f}{\Ker f^k}$ è nilpotente (e dunque ammette solo $0$ come autovalore;
|
|
infatti $(\restr{f}{\Ker f^k})^k = \restr{f^k}{\Ker f^k} = 0$),
|
|
mentre $\restr{f}{\Im f^k}$ è invertibile (e dunque non ammette $0$ come autovalore;
|
|
infatti tale endomorfismo mantiene le dimensioni delle immagini).
|
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|
\begin{itemize}
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\itemsep 0pt
|
|
\item esiste sempre almeno un blocco di Jordan relativo a $\lambda$ di ordine $k$,
|
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dove $k$ è la molteplicità algebrica di $\lambda$ in $\varphi_f$,
|
|
\item la successione di $\Ker (f-\lambda \Idv)^t - \Ker (f - \lambda \Idv)^{t-1}$
|
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all'aumentare di $t$ è decrescente ed è definitivamente $0$,
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|
\item il numero di blocchi di Jordan di taglia maggiore o uguale a $t$ relativi
|
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a $\lambda$ è esattamente $\Ker (f-\lambda \Idv)^t - \Ker (f - \lambda \Idv)^{t-1}$,
|
|
\item il numero di blocchi di Jordan di taglia $t$ relativi a $\lambda$
|
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è esattamente:
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\begin{gather*}
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2 \dim \Ker (f-\lambda \Idv)^t - \dim \Ker (f-\lambda \Idv)^{t+1} \\ - \dim \Ker (f-\lambda \Idv)^{t-1},
|
|
\end{gather*}
|
|
riscrivibile anche come:
|
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\begin{gather*}
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\rg (f-\lambda \Idv)^{t+1} + \rg (f-\lambda \Idv)^{t-1} - \\
|
|
2 \rg (f-\lambda \Idv),
|
|
\end{gather*}
|
|
(da queste due identità risulta evidente l'unicità della forma canonica di Jordan),
|
|
\item esistono esattamente $\mu_g(\lambda) = \dim \Ker (f - \lambda \Idv)$ blocchi
|
|
relativi all'autovalore $\lambda$,
|
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\item $\mu_g(\lambda) = 1$ $\forall \lambda \in \Sp(f)$ implica
|
|
che vi sia un solo blocco relativo ad ogni $\lambda \in \Sp(f)$; dal
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|
momento che ne deve esiste uno di ordine massimo, tale blocco ha taglia
|
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$k$, dove $k$ è la molteplicità algebrica di $\lambda$ in $\varphi_f$,
|
|
\item $\mu_g(\lambda) = 1$ $\forall \lambda \in \Sp(f)$ implica che
|
|
$p_f = \pm \varphi_f$ (e dunque che $f$ ammette una base ciclica; segue
|
|
direttamente dal precedente risultato),
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|
\item una base di $\Ker (f - \lambda \Idv)^t$ è data dai primi $t$ vettori
|
|
di ogni blocco relativo a $\lambda$,
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\item due matrici $A$, $B$ sono simili se e solo se condividono la stessa
|
|
forma canonica di Jordan (a meno di permutazione di blocchi; dunque la
|
|
forma canonica di Jordan è un invariante completto della similitudine),
|
|
\item Se $\KK=\CC$, vale l'identità:
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|
\[ \conj{\Ker (f - \lambda \Idv)^k} = \Ker (f - \conj{\lambda} \Idv)^k, \]
|
|
|
|
da cui è possibile ottenere una base dell'autospazio generalizzato relativo
|
|
a $\conj{\lambda}$ coniugando una base dell'autospazio generalizzato relativo
|
|
a $\lambda$ (in particolare i due spazi hanno la stessa dimensione),
|
|
\item Se $\KK=\CC$, la forma canonica di Jordan contiene tanti blocchi di taglia $t$
|
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relativi a $\lambda$ quanti ve ne sono di relativi a $\conj{\lambda}$,
|
|
\item Esistono e sono unici i due endomorfismi $\mu$, $\delta \in \End(V)$
|
|
tale che $\mu$ sia diagonalizzabile, $\delta$ sia nilpotente e che
|
|
$f = \mu + \delta$ (se esiste la forma canonica di Jordan),
|
|
\item Se $\forall \lambda \in \Sp(f)$, $\mu_g(\lambda) = 1$, allora
|
|
esiste un numero finito di sottospazi invarianti e sono tutte le possibili
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somme dirette dei sottospazi degli autospazi generalizzati, %TODO: migliorare
|
|
\item Se $\KK$ è infinito ed esiste $\lambda \in \Sp(f)$ tale per cui
|
|
$\mu_g(\lambda) > 1$, allora esiste un numero infinito di sottospazi invarianti
|
|
per ogni dimensione, da $1$ a $\dim V -1$. %TODO: migliorare + sono esattamente $\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}=2^n
|
|
\end{itemize}
|
|
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|
\subsubsection{Calcolo di una base di Jordan}
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Si dice base di Jordan una qualsiasi base $\basis$ tale per cui
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|
$M_\basis(f)$ è una forma canonica di Jordan, se $f \in \End(V)$.
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Per calcolare una base di Jordan si può seguire il seguente
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algoritmo:
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\begin{enumerate}
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\item Si calcoli il polinomio caratteristico $p_f$ di $f$ e se
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ne estragga lo spettro $\Sp(f)$,
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|
\item Si consideri una base $\basis$ di $V$ e si ponga
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$A := M_\basis(f)$,
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|
\item Si consideri ogni autovalore $\lambda \in \Sp(f)$:
|
|
\begin{enumerate}[a.]
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\item Si consideri $B := A - \lambda I_n$. Si calcoli
|
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il rango di $B$ per ricavare $\mu_g(\lambda)$, indicante
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il numero di blocchi relativi a $\lambda$,
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\item Se possibile, si facciano considerazioni riguardo
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a come deve essere la forma canonica di Jordan. Altrimenti
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si calcoli il numero di blocchi tramite la formula
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presentata precedentemente,
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\item Si calcolino le matrici della forma $B^i$ con $2 \leq i \leq k-1$,
|
|
dove $k$ è la taglia del blocco più grande,
|
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\item Si calcolino le basi dei sottospazi $U_i$ tali per cui:
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\begin{flalign*}
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&\Ker B^k = \Ker B^{k-1} \oplus U_1, \\
|
|
&\Ker B^{k-1} = \Ker B^{k-2} \oplus B(U_1) \oplus U_2, \\
|
|
&\,\vdots \\
|
|
&\Ker B = B^{k-1}(U_1) \oplus B^{k-2}(U_2) \oplus \cdots \oplus U_k;
|
|
\end{flalign*}
|
|
\item Si scelgano da queste basi i vettori che generano ogni blocco
|
|
relativo a $\lambda$ (in particolare ogni vettore di base di $U_i$ genera
|
|
un blocco di taglia $k-1+i$),
|
|
\item Per ogni blocco, generato dal vettore $\v$, si costruisca una base ordinata nel seguente modo:
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\[ \basis' = \{B^{t-1} \v ,\ldots , B \v, \v\}, \]
|
|
dove $t$ è l'indice minimo per cui $B^t \v = 0$;
|
|
\end{enumerate}
|
|
\item Si uniscano ordinatamente a catena le basi ottenute in una base $\basis_J$. La base $[]_\basis\inv \basis_J$ è allora base di Jordan. In particolare, se
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|
$P = \Matrix{\v_1 \cdots \v_n}$, dove $\basis_J= \{\v_1, \ldots, \v_n\}$, vale
|
|
che $J = P\inv A P$ è esattamente la forma canonica di Jordan individuata
|
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da tale base.
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|
\end{enumerate}
|
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|
Se $f$ è nilpotente, l'algoritmo può essere velocizzato notevolmente considerando
|
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solamente $B := A$. Se $f$ ha un solo autovalore $\lambda$ e ammette una base ciclica (ossia esiste un solo blocco di Jordan), considerando $B := A - \lambda I_n$,
|
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quasi ogni vettore è un vettore ciclico (è pertanto consigliato cercare un vettore
|
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in modo casuale, piuttosto che estendere tutte le basi dei kernel).
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\subsubsection{La forma canonica di Jordan reale}
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Sia $A \in M(n, \RR)$. Allora
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la forma canonica di Jordan reale è una variante reale della forma canonica di
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Jordan che esiste sempre (infatti gli autovalori di $A$ non sono forzatamente
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in $\RR$, e potrebbero dunque essere in $\CC \setminus \RR$). La forma canonica di
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Jordan reale si costruisce a partire da una forma canonica di Jordan $J$
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e una sua base di Jordan $\basis$ associata. Tale forma canonica
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si costruisce mediante il seguente algoritmo:
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\begin{enumerate}
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\item Si scelga un autovalore $z$, se non si è già considerato il
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|
suo coniugato $\conj z$:
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\begin{enumerate}[a.]
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\item Si prenda la base $\basis_z = \{\vv 1, \ldots, \vv k, \conj{\vv 1}, \ldots, \conj{\vv k}\}$ che
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|
genera i blocchi di $z$ e $\conj z$ e si consideri la nuova
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base $\basis_z' = \{ \Re(\vv 1), \imm(\vv 1), \ldots, \Re(\vv k), \imm(\vv 1k) \}$,
|
|
\item In tale base la forma canonica di Jordan varia eliminando i blocchi
|
|
di $\conj z$, sostituendo all'autovalore $z = a + bi$ il seguente blocco:
|
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\[ \Matrix{
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a & -b \\ b & a
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}, \]
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ed ingrandendo gli eventuali $1$ mediante l'identità $I_2$ (tale processo prende
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il nome di complessificazione).
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\end{enumerate}
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\item La matrice ottenuta dopo aver considerato tutti gli eventuali autovalori complessi è una forma canonica di Jordan reale, e la base ottenuta mediante
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tutti i processi di complessificazione è una base di Jordan reale.
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\end{enumerate}
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\subsection{Prodotto scalare e congruenza}
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Si consideri una mappa $\varphi : V \times V \to \KK$. Si dice che
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$\varphi$ è un prodotto scalare (e quindi che $\varphi \in \PS(V)$, lo spazio dei prodotti scalari) se è una forma bilineare simmetrica.
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In particolare vale la seguente identità:
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\[ \varphi\left( \sum_{i=1}^s a_i \vv i, \sum_{j=1}^t b_j \ww j \right) =
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\sum_{i=1}^s \sum_{j=1}^t a_i b_j \varphi(\vv i, \ww j). \]
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Se $\basis = \{ \vv 1, \ldots ,\vv n \}$ è una base di $V$, si definisce $M_\basis(\varphi) = (\varphi(\vv i, \vv j))_{i,j=1\mbox{--}n}$ come la matrice associata al prodotto scalare $\varphi$. In particolare,
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se $a_\varphi : V \to V^*$ è la mappa lineare che associa a $\v$ il funzionale $\varphi(\v, \cdot) \in V^*$
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tale che $\varphi(\v, \cdot)(\w) = \varphi(\v, \w)$. Si scrive $(V, \varphi)$ per indicare uno
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spazio vettoriale $V$ dotato del prodotto scalare $\varphi$.
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Si definisce prodotto scalare \textit{standard} il prodotto $\varphi$ tale che
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$\varphi(\v, \w) = [\v]_\basis^\top [\w]_\basis$.
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Si dice che due vettori $\v$, $\w \in V$ sono ortogonali tra loro, scritto come $\v \perp \w$, se
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$\varphi(\v, \w) = 0$. Dato $W$ sottospazio di $V$, si definisce $W^\perp$ come il sottospazio di $V$ dei vettori ortogonali a tutti i vettori di $W$. Si dice che $\varphi$ è non degenere se $V^\perp = \zerovecset$.
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Si scrive in particolare che $V^\perp = \Rad(\varphi)$.
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Si dice che $V = U \oplus^\perp W$ (ossia che $U$ e $W$ sono in somma diretta ortogonale) se $V = U \oplus W$ e $U \subseteq W^\perp$. Sia $i : W \to V$ tale che $\w \mapsto \w$. Si scrive $\restr{\varphi}{W}$ intendendo $\restr{\varphi}{W \times W}$.
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Ad ogni prodotto scalare si può associare una forma quadratica (e viceversa) $q : V \to \KK$ tale che
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$q(\v) = \varphi(\v, \v)$. Un vettore $\v \in V$ si dice isotropo se $q(\v) = 0$ (altrimenti si dice
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anisotropo). Si definisce il cono isotropo $\CI(\varphi)$ come l'insieme dei vettori isotropi di $V$.
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Se $\KK = \RR$, si dice che $\varphi$ è semidefinito positivo ($\varphi \geq 0$) se $q(\v) \geq 0$ $\forall \v \in V$, e che è semidefinito negativo ($\varphi \leq 0$) se $q(\v) \leq 0$ $\forall \v \in V$. Si dice
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che $\varphi$ è definito positivo ($\varphi > 0$) se $\varphi \geq 0$ e se $q(\v) = 0 \iff \v = \vec 0$,
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e che è definito negativo ($\varphi < 0$) se $\varphi \leq 0$ e se $q(\v) = 0 \iff \v = \vec 0$.
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Si dice che $\varphi$ è definito se è definito positivo o definito negativo. Analogamente $\varphi$
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è semidefinito se è semidefinito positivo o semidefinito negativo.
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Si scrive $\v^\perp$ per indicare tutti i vettori ortogonali a $\v$ (e quindi
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$\v^\perp = \Span(\v)^\perp$). Si definisce $\iota : W \to V$ come l'applicazione
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tale per cui $\iota(\w) = \w$. Si scrive $\restr{\varphi}{U}$ con $U$ sottospazio
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di $V$ per indicare il prodotto scalare $\restr{\varphi}{U \times U}$.
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Sia ora $V$ di dimensione finita.
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\begin{itemize}
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\item $M_\basis(\varphi)$ è simmetrica,
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\item $\varphi(\v, \w) = [\v]_\basis^\top M_\basis(\varphi) [\w]_\basis$,
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\item $M_\basis(\varphi) = M^\basis_{\basis^*}(a_\varphi)$,
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\item $\Ker a_\varphi = V^\perp$,
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\item $\varphi$ è non degenere se e solo se $M_\basis(\varphi)$ è invertibile,
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\item $W^\perp = \Ker i^\top \circ a_\varphi$,
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\item $a_\varphi(W^\perp) = \Ann(W) \cap \Im a_\varphi$,
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\item $\dim W + \dim W^\perp = \dim V + \dim (W \cap V^\perp)$ (da sopra),
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\item $V = W \oplus^\perp W^\perp$ se e solo se $\restr{\varphi}{W}$ è non degenere ($\iff W \cap W^\perp = \Rad(\restr{\varphi}{W}) = \zerovecset$),
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\item $V = W + W^\perp$ se e solo se $\Rad(\restr{\varphi}{W}) \subseteq \Rad(\varphi)$,
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\item se $V = U \oplus^\perp W$, allora $\Rad(\varphi) = \Rad(\restr{\varphi}{U}) \oplus \Rad(\restr{\varphi}{W})$,
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\item $V = \Span(\w) \oplus^\perp \Span(\w)^\perp \iff q(\w) \neq 0 \iff \w \notin \CI(\varphi)$,
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\item $\Span(\w) \subseteq \Span(\w)^\perp \iff \w \in \CI(\varphi)$,
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\item $(W^\perp)^\perp = W^\dperp = W + \Rad(\varphi) = W + V^\perp$,
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\item $\v \in V^\perp \iff \Span(\v)^\perp = V$,
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\item $W^\perp = (\Span(W))^\perp$,
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\item $W^\perp = \bigcap_{\w \in U} \w^\perp$,
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\item se $\ww 1$, ..., $\ww k$ generano $W$, allora $W^\perp = \bigcap_{i = 1}^k \ww i ^\perp$,
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\item $W^\perp = \alpha_\varphi\inv(\Ann(W))$,
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\item $\alpha_\varphi(W^\perp) = \Ann(W) \cap \Im \alpha_\varphi$,
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\item $V \subseteq W \implies W^\perp \subseteq V^\perp$,
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\item $(U + W)^\perp = U^\perp \cap W^\perp$,
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\item $((W^\perp)^\perp)^\perp = (W + V^\perp)^\perp = W^\perp \cap (V^\perp)^\perp = W^\perp \cap V = W^\perp$,
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\item $(U \cap W)^\perp \supseteq U^\perp + W^\perp$,
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\item $(U \cap W)^\perp = U^\perp + W^\perp$, se $\varphi$ è non degenere,
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\item $\varphi$ è definito $\iff$ $\CI(\varphi) = \zerovecset$,
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\item $\varphi$ è (semi)definito $\implies$ ogni sua restrizione è (semi)definita,
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\item $\varphi$ è semidefinito $\iff$ $\CI(\varphi) = V^\perp = \Rad(\varphi)$ (considera l'esistenza
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di due vettori $\v$, $\w \in V$ con forme quadratiche discordi, osserva che sono linearmente indipendenti
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e trova un $\lambda \in \KK$ tale per cui $\v + \lambda \w$ crea un assurdo),
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\item $\Im(\alpha_\varphi) \subseteq \Ann(V^\perp)$ (se $V$ è di dimensione infinita),
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\item $\Im(\alpha_\varphi) = \Ann(V^\perp)$ (se $V$ è di dimensione finita),
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\item $\Rad(\restr{\varphi}{U}) = U^\perp \cap U$,
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\item $\CI(\restr{\varphi}{U}) = \CI(\varphi) \cap U$,
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\end{itemize}
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Se $U$ è un sottospazio di $V$, $\varphi$ induce un prodotto scalare $\hat \varphi : V/U \times V/U \to \KK$ tale che $\hat \varphi([\vv 1]_U, [\vv 2]_U) = \varphi(\vv 1, \vv 2)$ se e solo se $U \subseteq V^\perp$. In particolare, se $U = V^\perp$,
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$\hat \varphi$ è anche non degenere.
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Due esempi classici di prodotto scalare sono $\varphi(A, B) = \tr(AB)$ e
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$\psi(A, B) = \tr(AB^\top)$, entrambi su $M(n, \KK)$. I due prodotti sono
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entrambi non degeneri, e vale che:
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\begin{itemize}
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\item $\restr{\varphi}{\Sym(n, \KK)} = \restr{\psi}{\Sym(n, \KK)}$,
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\item $\restr{\varphi}{\Lambda(n, \KK)} = -\restr{\psi}{\Lambda(n, \KK)}$,
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\item se $\Char \KK \neq 2$, $V = \Sym(n, \KK) \oplus^\perp \Lambda(n, \KK)$,
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per ambo i prodotti scalari.
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\end{itemize}
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Se $\basis'$ è un'altra base di $V$, vale il seguente \textit{teorema di cambiamento di base}:
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\[ M_{\basis'}(\varphi) = M_{\basis}^{\basis'}(\Idv)^\top \, M_\basis(\varphi) \, M_{\basis}^{\basis'}(\Idv). \]
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Si definisce relazione di congruenza la relazione di equivalenza $\cong$ (o $\equiv$) definita
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su $\Sym(n, \KK)$ nel seguente modo:
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\[ A \cong B \iff \exists P \in \GL(n, \KK) \mid A = P^\top B P. \]
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\begin{itemize}
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\item $A \cong B \implies \rg(A) = \rg(B)$ (il rango è invariante per congruenza; e dunque si può
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definire $\rg(\varphi)$ come il rango di una qualsiasi matrice associata a $\varphi$),
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\item $A \cong B \implies \det(A) \det(B) \geq 0$ (in $\KK = \RR$ il segno del determinante è invariante per congruenza),
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\item Due matrici associate a $\varphi$ in basi diverse sono congruenti per la formula
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di cambiamento di base.
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\end{itemize}
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Si definiscono i seguenti tre indici per $\KK = \RR$:
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\begin{itemize}
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\item $\iota_+ = \max\{ \dim W \mid W \subseteq V \E \restr{\varphi}{W} > 0 \}$,
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\item $\iota_- = \max\{ \dim W \mid W \subseteq V \E \restr{\varphi}{W} < 0 \}$,
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\item $\iota_0 = \dim V^\perp$,
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\end{itemize}
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e si definisce segnatura di $\varphi$ la terna $\sigma = (\iota_+, \iota_-, \iota_0)$.
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Si dice che una base $\basis$ di $V$ è ortogonale se i suoi vettori sono a due a due ortogonali (e
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quindi la matrice associata in tale base è diagonale). Se $\Char \KK \neq 2$, valgono i seguenti risultati:
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\begin{itemize}
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\item $\varphi(\v, \w) = \frac{q(\v + \w) - q(\v) - q(\w)}{2}$ (formula di polarizzazione; $\varphi$ è
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completamente determinata dalla sua forma quadratica),
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\item Esiste sempre una base ortogonale $\basis$ di $V$ (teorema di Lagrange; è sufficiente considerare
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l'esistenza di un vettore anisotropo $\w \in V$ ed osservare che $V = W \oplus^\perp W^\perp$, dove $W = \Span(\w)$, concludendo per induzione; o in caso di non esistenza di tale $\w$, concludere per il
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risultato precedente),
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\item (se $\KK = \CC$) Esiste sempre una base ortogonale $\basis$ di $V$ tale che:
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\[ M_\basis(\varphi) = \Matrix{I_r & \rvline & 0 \\ \hline 0 & \rvline & 0\,}, \]
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\vskip 0.05in
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dove $r = \rg(\varphi)$ (teorema di Sylvester, caso complesso; si consideri una base ortogonale e se
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ne normalizzino i vettori anisotropi),
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\item Due matrici simmetriche con stesso rango allora non solo sono SD-equivalenti, ma sono
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anche congruenti,
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\item (se $\KK = \RR$) Esiste sempre una base ortogonale $\basis$ di $V$ tale che:
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\[ M_\basis(\varphi) = \Matrix{I_{\iota_+} & \rvline & 0 & \rvline & 0 \\ \hline 0 & \rvline & -I_{\iota_-} & \rvline & 0 \\ \hline 0 & \rvline & 0 & \rvline & 0\cdot I_{\iota_0} }. \]
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\vskip 0.05in
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Inoltre $\sigma$ è un invariante completo per la congruenza, e vale che, su una qualsiasi base ortogonale $\basis'$ di $V$, $\iota_+$ è esattamente il numero
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di vettori anisotropi di base con forma quadratica positiva, che $\iota_-$ è il numero di vettori con forma
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negativa e che $\iota_0$ è il numero di vettori isotropi (teorema di Sylvester, caso reale; si consideri
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una base ortogonale e se ne normalizzino i vettori anisotropi, facendo infine eventuali considerazioni
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dimensionali per dimostrare la seconda parte dell'enunciato),
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\item $\varphi > 0 \iff \sigma = (n, 0, 0)$,
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\item $\varphi < 0 \iff \sigma = (0, n, 0)$,
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\item $\varphi \geq 0 \iff \sigma = (n - k, 0, k)$,
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\item $\varphi \leq 0 \iff \sigma = (0, n - k, k)$,
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con $0 \leq k \leq n$ tale che $k = \dim V^\perp$,
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\item I vettori isotropi di una base ortogonale sono una base di $V^\perp$,
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\item $\rg(\varphi) = \iota_+ + \iota_-$,
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\item $n = \iota_+ + \iota_- + \iota_0$,
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\item Se $W$ è un sottospazio di $V$, $\iota_+(\varphi) \geq \iota_+(\restr{\varphi}{W})$ e
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$\iota_-(\varphi) \geq \iota_-(\restr{\varphi}{W})$,
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\item Se $V = U \oplus^\perp W$, $\sigma(\varphi) = \sigma(\restr{\varphi}{U}) + \sigma(\restr{\varphi}{W})$,
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\item Se $\KK = \RR$ e $A = M_\basis(\varphi)$, allora:
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\[ \sigma = \textstyle \left( \sum_{\substack{\lambda \in \Sp(\varphi) \\ \lambda > 0}} \mu_a(\lambda), \; \sum_{\substack{\lambda \in \Sp(A) \\ \lambda < 0}} \mu_a(\lambda), \; \mu_0(\lambda) \right), \]
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come conseguenza del teorema spettrale reale.
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\end{itemize}
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Si chiama matrice di Sylvester una matrice della forma vista nell'enunciato del teorema di Sylvester
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reale, e si dice che una base $\basis$ è una base di Sylvester se la matrice ad essa associata è di
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Sylvester. Per il teorema di Sylvester, tale base esiste sempre, e la matrice di Sylvester è unica per
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ogni prodotto scalare $\varphi$.
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Se $M \in \Sym(2, \RR)$, $\det(M) < 0 \iff \sigma(M) = (1, 1, 0)$ (e dunque
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se e solo se $M$ rappresenta un piano iperbolico). Al contrario $\det(M) > 0$
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se e solo se $M$ è definita (e in tal caso è definita positiva se il suo
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primo elemento è positivo, e negativa se è negativo). Se $\KK=\RR$, $q(\v) > 0$ e $q(\w) < 0$,
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allora $\v$ e $\w$ sono linearmente indipendenti; in particolare $\Span(\v, \w)$ è
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un piano iperbolico ed esistono $\lambda_1$, $\lambda_2 \in \RR$ tali per
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cui $\lambda_1 \v + \lambda_2 \w$ è isotropo.
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\subsection{Prodotto hermitiano}
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Sia $V$ un $\CC$-spazio. Allora una mappa $\varphi : V \times V \to \CC$ si
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dice prodotto hermitiano (e quindi si dice che $\varphi \in \PH(V)$, l'$\RR$-spazio dei
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prodotti hermitiani\footnote{Infatti, se $\lambda \in \CC \setminus \RR$ e $\varphi \in \PH(V)$, $\lambda \varphi$ \underline{non} è un prodotto hermitiano, mancando della proprietà del coniugio.}) se è una forma sesquilineare, ossia se è antilineare
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nel primo argomento ed è lineare nel secondo\footnote{In realtà questa convenzione è spesso e volentieri implementata nelle ricerche di Fisica, mentre in Matematica si tende in realtà a mettere l'antilinearità nel secondo argomento. Il corso ha comunque implementato la prima delle due convenzioni, e così si è riportato in queste schede la convenzione scelta.}, e se il coniugio applicato a $\varphi$ ne inverte gli argomenti. In particolare $\varphi$ è un prodotto hermitiano se:
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\begin{enumerate}[(i)]
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\item $\varphi(\v, \lambda \U + \w) = \lambda \varphi(\v, \U) + \varphi(\v, \w)$,
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$\forall \v$, $\U$, $\w \in V$, $\lambda \in \KK$,
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\item $\conj{\varphi(\v, \w)} = \varphi(\w, \v)$.
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\end{enumerate}
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Un prodotto hermitiano $\varphi$ si comporta pressoché come un prodotto
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scalare su $\RR$ (le definizioni principali sono infatti le medesime). Se $\basis$ è una base di $V$, la matrice associata $M_\basis(\varphi)$ è definita in
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modo tale che $M_\basis(\varphi)_{ij} = \varphi(\vv i, \vv j)$. Infatti tale prodotto soddisfa le seguenti proprietà:
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\begin{itemize}
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\item $\varphi(\lambda \v + \w, \U) = \conj{\lambda} \varphi(\v, \U) + \varphi(\w, \U)$, $\forall \v$, $\w$, $\U \in V$, $\lambda \in \CC$,
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\item $V^\perp = []_\basis \inv (\Ker M_\basis(\varphi))$,
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\item $\varphi$ è non degenere se e solo se $\Ker M_\basis(\varphi) = \zerovecset$,
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\item $\dim W + \dim W^\perp = \dim V + \dim (W \cap V^\perp)$ (formula delle dimensioni),
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\item $\varphi(\v, \w) = [\v]_\basis^* M_\basis(\varphi) [\w]_\basis$,
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\item $M_{\basis'}(\varphi) = \left(M_\basis^{\basis'}(\Idv)\right)^* M_\basis(\varphi) \, M_\basis^{\basis'}(\Idv)$ (formula del cambiamento di base),
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\item si può definire una relazione di equivalenza analoga alla congruenza: $A \sim_* B \defiff \exists M \in \GL(n, \CC) \mid A = M^* B M$,
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\item $\varphi$ è completamente determinato dalla sua forma quadratica $q$ secondo le seguenti due formule di polarizzazione:
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\begin{itemize}
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\item $q(\v + \w) - q(\v) - q(\w) = 2 \Re(\varphi(\v, \w))$,
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\item $q(\v + i \w) - q(\v) - q(\w) = 2 i \imm(\varphi(\v, \w))$,
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\end{itemize}
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\item esiste sempre una base ortogonale per $\varphi$ (\textit{teorema di Lagrange}),
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\item vale il teorema di Sylvester reale e la segnatura in senso hermitiano è un invariante per la relazione $\sim_*$,
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\item $\varphi > 0 \iff \sigma(\varphi) = (n, 0, 0)$,
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\item $\varphi < 0 \iff \sigma(\varphi) = (0, n, 0)$,
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\item $\varphi \geq 0 \iff \sigma(\varphi) = (n-k, 0, k)$, dove $k = \dim V^\perp = \dim \Ker M_\basis(\varphi)$,
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\item $\varphi \leq 0 \iff \sigma(\varphi) = (0, n-k, k)$, dove $k = \dim V^\perp = \dim \Ker M_\basis(\varphi)$.
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\end{itemize}
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Esiste un unico modo per complessificare un prodotto scalare $\varphi$, ossia
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esiste un unico prodotto hermitiano $\varphi_\CC$ tale per cui $\varphi_\CC(\v, \w) = \varphi(\v, \w)$ se $\v$, $\w$ sono vettori della parte reale dello spazio complessificato. In particolare $\varphi_\CC$ è determinato dalla seguente
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formula:
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\begin{multline*}
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\varphi_\CC(\vv 1 + i \vv 2, \ww 1 + i \ww 2) = \varphi(\vv 1, \ww 1) + \varphi(\vv 2, \ww 2) \\ + i (\varphi(\vv 1, \ww 2) - \varphi(\vv 2, \ww 1)).
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\end{multline*}
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\subsubsection{Funzionali rappresentabili}
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Un funzionale $f \in \dual V$ si dice rappresentabile tramite $\varphi$ se
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$f \in \Im \alpha_\varphi$, ossia se $\exists \v \in V \mid f = \varphi(\v, \cdot)$.
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Dal momento che $\Im(\alpha_\varphi) = \Ann(V^\perp)$ (l'inclusione verso destra è facile da dimostrare e l'uguaglianza è data dall'uguaglianza dimensione), $f$ è rappresentabile
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se e solo se $V^\perp \subseteq \Ker f$.
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Se $\varphi$ è non degenere, ogni funzionale $f$ è rappresentabile in modo unico (\textit{teorema
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di rappresentazione di Riesz}; infatti $\alpha_\varphi$ sarebbe in tal caso
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un isomorfismo). In particolare, se $\varphi$ è un prodotto scalare, tale
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vettore $\v$, data una base ortogonale $\basis = \{ \vv 1, \ldots, \vv n\}$, è
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determinato nel seguente modo:
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\[ \v = \sum_{i=1}^n \frac{f(\vv i)}{\varphi(\vv i, \vv i)} \, \vv i. \]
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Se invece $\varphi$ è un prodotto hermitiano, tale vettore $\v$ si determina
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nel seguente altro modo:
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\[ \v = \sum_{i=1}^n \conj{\left(\frac{f(\vv i)}{\varphi(\vv i, \vv i)}\right)} \, \vv i. \]
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In generale, $f$ è rappresentabile se e solo se, scelta una base $\basis$ di
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$V$, il sistema $M_\basis(\varphi) \x = [f]_{\dual \basis}$ è risolvibile.
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Se $W$ è un supplementare di $V^\perp$, e dunque $V = W \oplus V^\perp$, allora
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$\restr{\varphi}{W}$ è non degenere, e dunque $\restr{\alpha_{\varphi}}{W} : W \to \Im \alpha_\varphi$ è
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un isomorfismo da $W$ a $\Im \alpha_\varphi$ (quindi se $f$ è rappresentabile,
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lo è tramite un unico vettore di $W$).
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In particolare, se $\v$ rappresenta $f$, allora $\Ker f = \v^\perp$; da cui
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segue che $(\Ker f)^\perp = \v^\dperp = \Span(\v) + V^\perp$. Se $f$ non è
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l'applicazione nulla, $\vec v \notin V^\perp$, e quindi $\Span(\v) \cap V^\perp = \zerovecset \implies (\Ker f)^\perp = \Span(\v) \oplus^\perp V^\perp$. Quindi,
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per computare un vettore $\vv 0$ che rappresenti $f$ è sufficiente prendere
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un supplementare $\Span(\U)$ di $V^\perp$ in $(\Ker f)^\perp$ (infatti l'aggiunta
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di un vettore di $V^\perp$ non varierebbe l'immagine secondo $\alpha_\varphi$) e
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computare $\lambda \in \KK \mid \vv 0 = \lambda \U$ nel seguente
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modo:
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\[ \lambda = \frac{\varphi(\lambda \U, \w)}{\varphi(\U, \w)} = \frac{f(\w)}{\varphi(\U, \w)}, \]
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dove $\w \notin \Ker f$.
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\subsubsection{Algoritmo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt}
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Data una base $\basis$ di $V$, se $\abs{\CI(\varphi) \cap \basis} \leq 1$ (ossia se ogni vettore di
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$\basis$ è anisotropo o al più vi è un vettore isotropo, posto in fondo come $\vv n$), si può
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trovare una base ortogonale $\basis' = \{ \vv 1', \ldots, \vv n' \}$ a partire da $\basis$ tale che ne mantenga la stessa bandiera, ossia tale che:
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\[ \Span(\vv 1', \ldots, \vv i') = \Span(\vv 1, \ldots, \vv i) \forall 1 \leq i \leq n. \]
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Si definisce $C(\w, \v) = \frac{\varphi(\v, \w)}{\varphi(\w, \w)}$ come il coefficiente di Fourier
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di $\v$ rispetto a $\w$. L'algoritmo allora funziona nel seguente modo:
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\begin{enumerate}
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\item Si prenda in considerazione $\vv 1$ e si sottragga ad ogni altro vettore $\vv i$ della base il
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vettore $C(\vv 1, \vv i) \, \vv 1$,
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\item Si ripeta il processo considerando come $\basis$ tutti i vettori di $\basis$ con $\vv 1$ escluso,
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o si termini l'algoritmo una volta che è rimasto un solo vettore.
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\end{enumerate}
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\subsubsection{Metodo di Jacobi per il calcolo della segnatura}
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Sia $A = M_\basis(\varphi)$ una matrice associata a $\varphi$ nella base $\basis$.
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Sia $d_0 := 1$. Se $d_i = \det(A_{1, \ldots, i}^{1, \ldots, i})$ (è possibile anche
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prendere un'altra sequenza di minori, a patto che essi siano principali e che siano
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crescenti per inclusione) è diverso da zero
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per ogni $1 \leq i \leq n-1$, allora $\iota_+$ è il numero di permanenze di segno
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di $d_i$ (zero escluso), $\iota_-$ è il numero di variazioni di segno (zero escluso), e $\iota_0$ è $1$ se
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$d_n = 0$ o $0$ altrimenti.
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In generale, se $W$ è un sottospazio di $W'$, $W$ ha codimensione $1$ rispetto a $W'$ e $\det(M_{\basis_W}(\restr{\varphi}{W})) \neq 0$ per una base $\basis_W$ di $W$, allora la segnatura
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di $\restr{\varphi}{W'}$ è la stessa di $\restr{\varphi}{W}$, dove si aggiunge
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$1$ a $\iota_+$, se i determinanti $\det(M_{\basis_W}(\restr{\varphi}{W}))$ e $\det(M_{\basis_{W'}}(\restr{\varphi}{W}))$ (dove $\basis_{W'}$ è una base di $W'$) concordano di segno, $1$ a $\iota_-$, se
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sono discordi, o $1$ a $\iota_0$ se l'ultimo di questi due determinanti è nullo.
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Dal metodo di Jacobi si deduce il criterio di definitezza di Sylvester: $A$ è
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definita positiva se e solo se $d_i > 0$ $\forall 1 \leq i \leq n$; $A$ è
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definita negativa se e solo se $(-1)^i d_i > 0$ $\forall 1 \leq i \leq n$.
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\subsubsection{Sottospazi isotropi e indice di Witt}
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Si dice che un sottospazio $W$ di $V$ è isotropo se $\restr{\varphi}{W} = 0$, o
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equivalentemente se $W \subseteq W^\perp$ (i.e.~se $W \cap W^\perp = W$, e quindi
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se $\Rad(\restr{\varphi}{W}) = W$). Si definisce allora l'indice di Witt $W(\varphi)$ come
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la dimensione massima di un sottospazio isotropo di $V$.
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\begin{itemize}
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\item $V^\perp$ è un sottospazio isotropo,
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\item Se $W$ è isotropo, allora $\dim W \leq \lfloor \frac{\dim V + \dim \Rad(\varphi)}{2} \rfloor$,
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\item Se $W$ è isotropo e $\varphi$ è non degenere, allora $\dim W \leq \lfloor \frac{1}{2} \dim V \rfloor$,
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\item Se $\KK = \RR$, allora $W(\varphi) = \min\{ i_+, i_- \} + i_0$ (è sufficiente considerare
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una base di Sylvester e costruire un nuovo insieme linearmente indipendente $\basis_W$ i cui i vettori sono o isotropi o della forma $\vv i - \ww i$, dove $q(\vv i) = 1$ e $q(\ww i) = 1$, mostrando che $W = \Span(\basis_W)$ è isotropo, concludendo con discussioni dimensionali),
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\item Se $\KK = \CC$, allora $W(\varphi) = \lfloor \frac{\dim V + \dim V^\perp}{2} \rfloor$ (è sufficiente considerare una base di Sylvester per $\varphi$, costruire un nuovo insieme linearmente indipendente $\basis_W$ prendendo quante più coppie $(\vv i, \vv j)$ possibili di vettori della base non isotropi poi associate al vettore $\vv i + i \vv j$, mostrando infine che $W = \Span(\basis_W)$ è isotropo e che è sicuramente massimale perché realizza la dimensione massima possibile secondo le precedenti proposizioni),
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\item Se $\KK=\RR$ e $\varphi$ è definito, allora $W(\varphi) = 0$,
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\item Se $\KK=\RR$ e $\varphi$ è semidefinito, allora $W(\varphi) = i_0$ (e $W = V^\perp$ è un sottospazio
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isotropo di tale dimensione).
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\end{itemize}
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\subsubsection{Isometrie tra spazi vettoriali}
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Due spazi vettoriali $(V, \varphi)$ e $(W, \psi)$ su $\KK$ si dicono isometrici tra loro se
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esiste un isomorfismo $f : V \to W$ tale che $\varphi(\vv 1, \vv 2) = \psi(f(\vv 1), f(\vv 2))$.
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Se $f$ è un isomorfismo tra $V$ e $W$, sono equivalenti le seguenti affermazioni:
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\begin{enumerate}[(i)]
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\item $(V, \varphi)$ e $(W, \psi)$ sono isometrici tra loro tramite $f$,
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\item $\forall \basis$ base di $V$, $M_\basis(\varphi) = M_{f(\basis)}(\psi)$,
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\item $\exists \basis$ base di $V$, $M_\basis(\varphi) = M_{f(\basis)}(\psi)$.
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\end{enumerate}
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Inoltre, $V$ e $W$ sono isometrici se e solo se hanno la stessa dimensione e le matrici associate
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a $\varphi$ e $\psi$ in due basi di $V$ e di $W$ sono congruenti (infatti, in tal caso, esistono due
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basi di $V$ e di $W$ che condividono la stessa matrice associata, ed è possibile associare ad uno
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ad uno gli elementi di queste basi).
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Pertanto, se $\basis_V$ e $\basis_W$ sono due basi di $V$ e di $W$, $\KK = \RR$ e $M_{\basis_V}(\varphi)$ e $M_{\basis_W}(\psi)$ condividono la stessa segnatura, allora $V$ e $W$ sono
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isometrici tra loro (come conseguenza del teorema di Sylvester reale).
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Analogamente, se $\KK = \CC$ e $M_{\basis_V}(\varphi)$ e $M_{\basis_W}(\psi)$ condividono lo stesso
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rango, allora $V$ e $W$ sono isometrici tra loro (come conseguenza stavolta del teorema di Sylvester
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complesso).
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\subsection{Trasposta e aggiunta di un'applicazione}
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Sia $(V, \varphi)$ uno spazio dotato di un prodotto $\varphi$ non degenere. Allora si definisce $f^* \in \End(V)$ (talvolta indicato come $f^\top$ se $\varphi$ non è hermitiano, quando è chiaro che non ci stia riferendo alla trasposizione dell'operatore $f$)
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come l'unico operatore tale per cui $\varphi(f^*(\v), \w) = \varphi(\v, f(\w))$.
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In particolare, se $\varphi$ non è hermitiano, tale operatore soddisfa la seguente relazione:
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\[ \alpha_\varphi \circ f^* = f^\top \circ \alpha_\varphi, \]
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dove con $f^\top$ si indica l'applicazione trasposta di $f$. Scelta allora una
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base $\basis$ di $V$, sempre se $\varphi$ non è hermitiano, si può scrivere in relazione a $M_\basis(f)$ la
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matrice associata a $f^*$:
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\[ M_\basis(f^*) = M_\basis(\varphi)\inv M_\basis(f)^\top M_\basis(\varphi). \]
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Se invece $\varphi$ è hermitiano, vale la seguente relazione:
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\[ M_\basis(f^*) = M_\basis(\varphi)\inv M_\basis(f)^* M_\basis(\varphi). \]
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Se $\varphi$ è un prodotto scalare, $f^* = f^\top$ si chiama \textit{trasposto}
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di $f$, mentre se $\varphi$ è hermitiano $f^*$ si dice \textit{aggiunto} di $f$.
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D'ora in poi si intenderà con $f^\top$ il trasposto di $f$ (con $\varphi$ scalare) e con $f^*$ l'aggiunto di $f$ (con $\varphi$ hermitiano).
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\begin{itemize}
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\item $(f^\top)^\top = f$,
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\item $(f^*)^* = f$,
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\item $(\lambda f)^\top = \lambda f^\top$,
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\item $(\lambda f)^* = \conj{\lambda} f^*$,
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\item $(f + g)^\top = f^\top + g^\top$,
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\item $(f + g)^* = f^* + g^*$,
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\item se $f$ è invertibile, $(f^\top)\inv = (f\inv)^\top$ (è sufficiente mostrare che $\varphi((f^\top \circ (f\inv)^\top)(\v), \w) = \varphi(\v, \w)$ e dedurre,
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sottraendo i due membri, che deve valere $f^\top \circ (f\inv)^\top = \Idv$),
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\item se $f$ è invertibile, $(f^*)\inv = (f\inv)^*$ (come sopra),
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\item $\Ker f^\top = (\Im f)^\perp$,
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\item $\Ker f^* = (\Im f)^\perp$,
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\item $\Im f^\top = (\Ker f)^\perp$,
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\item $\Im f^* = (\Ker f)^\perp$,
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\item se $W$ è un sottospazio di $V$, allora $W$ è $f$-invariante se e solo
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se $W^\perp$ è $f^*$-invariante,
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\item l'operatore $\top \in \End(\End(V))$ è sempre diagonalizzabili
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e ha spettro $\{\pm 1\}$, dal momento che il suo polinomio minimo è $x^2-1$ (infatti $(f^\top)^\top = f$ e gli autospazi relativi a $1$ e $-1$ sono entrambi diversi da $\zerovecset$),
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\item l'autospazio $V_1$ di $\top$ raccoglie gli operatori simmetrici, mentre
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$V_{-1}$ raccoglie gli operatori antisimmetrici.
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\end{itemize}
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\subsection{Spazi euclidei reali e complessi}
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Si dice che $(V, \varphi)$ è uno spazio euclideo reale se $V$ è un $\RR$-spazio e se
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$\varphi$ è un prodotto scalare definito positivo. Si dice che $(V_\CC, \varphi_\CC)$ è uno spazio euclideo complesso se $V_\CC$ è un $\CC$-spazio e se $\varphi_\CC$ è un
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prodotto hermitiano definito positivo.
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Questi due tipi di spazi hanno in comune alcune proprietà particolari. Si definisce
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innanzitutto la norma euclidea per uno spazio euclideo $(V, \varphi)$ come:
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\[ \norm{\v} = \sqrt{q(\v)} = \sqrt{\varphi(\v, \v)}. \]
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Tale norma soddisfa alcune proprietà:
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\begin{itemize}
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\item $\norm{\lambda \v} = \abs{\lambda} \norm{\v}$,
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\item $\norm{\v} \norm{\w} \geq \abs{\varphi(\v, \w)}$ (disuguaglianza di Cauchy-Schwarz),
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\item $\norm{\v + \w} \leq \norm{\v} + \norm{\w}$ (disuguaglianza triangolare).
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\end{itemize}
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Su questi due spazi possono essere definiti due particolare operatori: la
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proiezione ortogonale e l'inversione ortogonale.
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Si definisce proiezione ortogonale su un sottospazio $W \neq \zerovecset$ l'operatore $\pr_W \in \End(V)$ tale
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che $\pr_W(\v) = \w$, dove $\v = \w + \w^\perp$, con $\w \in W$ e $\w^\perp \in W^\perp$. Tale decomposizione è ben definita e unica dacché $V = W \oplus^\perp W^\perp$ (infatti $\varphi$ è definita positiva). Una proiezione ortogonale
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soddisfa la relazione $\pr_W^2 = \pr_W$, da cui si ricava che $\varphi_{\pr_W} \mid x(x-1)$ (implicandone la diagonalizzabilità). Infatti $V_1 = \Ker(\pr_W - \Idv) = W$ e $V_0 = \Ker(\pr_W) = W^\perp$ (per cui $\varphi_{\pr_W}(x) = x(x-1)$). La
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proiezione ortogonale è un operatore simmetrico (se lo spazio è euclideo reale)
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o hermitiano (se lo spazio è euclideo complesso); infatti vale che
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$\varphi(\pr_W(\v), \w) = \varphi(\pr_W(\v), \pr_W(\w) + \pr_{W^\perp}(\w)) =
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\varphi(\pr_W(\v), \pr_W(\w)) = \varphi(\pr_W(\v) + \pr_{W^\perp}(\v), \pr_W(\w)) =
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\varphi(\v, \pr_W(\w))$.
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Si definisce inversione ortogonale su un sottospazio $W \neq \zerovecset$ l'operatore $\rho_W \in \End(V)$ tale
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che $\rho_W(\v) = \w - \w^\perp$, dove $\v = \w + \w^\perp$, con $\w \in W$ e $\w^\perp \in W^\perp$. Come prima, tale decomposizione è unica e ben definita. Un'inversione ortogonale
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soddisfa la relazione $\rho_W^2 = \Idv$, da cui si ricava che $\varphi_{\rho_W} \mid (x+1)(x-1)$ (implicandone la diagonalizzabilità). Infatti $V_1 = \Ker(\rho_W - \Idv) = W$ e $V_{-1} = \Ker(\rho_W + \Idv) = W^\perp$ (per cui $\varphi_{\rho_W}(x) = (x+1)(x-1)$). Se $\dim W = \dim V - 1$, allora si dice che l'inversione ortogonale
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è una riflessione ortogonale. L'inversione ortogonale è sempre un operatore
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ortogonale (se lo spazio è euclideo reale) o unitario (se lo spazio è euclideo
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complesso); infatti vale che $\varphi(\v, \w) = \varphi(\pr_W(\v) + \pr_{W^\perp}(\v), \pr_W(\w) + \pr_{W^\perp}(\w)) = \varphi(\pr_W(\v), \pr_W(\w)) + \varphi(\pr_{W^\perp}(\v), \pr_{W^\perp}(\w)) = \varphi(\pr_W(\v), \pr_W(\w)) + \varphi(-\pr_{W^\perp}(\v), -\pr_{W^\perp}(\w)) = \varphi(\pr_W(\v) - \pr_{W^\perp}(\v), \pr_W(\w) - \pr_{W^\perp}(\w)) = \varphi(\rho_W(\v), \rho_W(\w))$.
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\subsection{Teorema spettrale reale e complesso}
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Se $f$ è simmetrico o hermitiano, esiste sempre una base ortonormale di autovettori
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per $f$. $f$ è normale se e solo se è diagonalizzabile. Esiste sempre $S \in \Sym(n, \RR)$ tale per cui $S^2 = A$, con $A \in \Sym(n, \RR)$. Se $S$ è definita positiva,
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tale $S$ è unica. Se $A \in \GL(n, \RR)$, esistono e sono unici $P \in O(n)$,
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$S \in \Sym(n, \RR)$ tali per cui $A = PS$ (in particolare $S = \sqrt{A A^\top}$).
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Se $\varphi$ è definito positivo e $\psi$ è un altro prodotto scalare, allora
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i due prodotti sono simultaneamente ortogonalizzabili. È sufficiente prendere
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una base $\basis$ ortonormale di $\varphi$, e trovare la base ortonormale $\basis'$ di autovettori
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che rende $M_\basis(\psi)$ diagonale. In tale base $\basis'$, $M_{\basis'}(\varphi)$
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è l'identità e $M_\basis(\psi)$ è diagonale: dunque la base è ortogonale per ambo
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i prodotti scalari.
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\subsection{Azioni di gruppo}
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Sia $G$ un gruppo e $X$ un insieme. Un'azione sinistra\footnote{Un'azione sinistra induce sempre anche un'azione destra, ponendo $x \cdot g=g^{-1} \cdot x$.} di $G$ su $X$ a sinistra un'applicazione $\cdot : G \times X \rightarrow X$, per la quale si pone $g \cdot x := \cdot(g, x)$, tale che:
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\begin{enumerate}[(i)]
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\item $e \cdot x=x$, $\forall x \in X$, dove $e$ è l'identità di $G$,
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\item $g \cdot (h \cdot x)=(gh) \cdot x$, $\forall g, h \in G$, $\forall x \in X$.
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\end{enumerate}
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Si definisce l'applicazione $f_g:X\rightarrow X$ indotta dalla relazione $f_g(x)=g \cdot x$; tale applicazione è bigettiva. Se $\cdot$ è un'azione sinistra di $G$ su $X$, si dice che $G$ opera a sinistra su $X$ e che $X$ è un $G$-insieme. \\
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\vskip 0.05in
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Si definisce \textit{stabilizzatore} di $x \in X$ il sottogruppo di $G$ $\Stab_G(x)$
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tale che:
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\[ \Stab_G(x)= \{g\in G \mid g \cdot x=x\}, \]
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dove si scrive $\Stab(x)$ per indicare $\Stab_G(x)$ qualora non fosse ambigua
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l'azione a cui ci si riferisce. \\
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Si può costruire un omomorfismo $\tau : G \rightarrow S_X$, dove $(S_x, \circ)$ è il gruppo delle bigezioni di $X$, dove $\tau(g) = f_g$. Si dice che l'azione di $G$ su $X$ è \textit{fedele} se l'omomorfismo $g \rightarrow f_g$ è iniettivo, ossia
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se e solo se:
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\[ f_g = \IdV{X} \implies g = e, \]
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ossia se e solo se:
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\[ \bigcap_{x \in X} \Stab(x) = \{e\}. \]
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Per esempio, $S_X$ opera fedelmente su $X$ tramite l'azione indotta dalla relazione $g \cdot x=g(x)$ (ed è in realtà anche un'azione transitiva). $G$ stesso opera su $G$
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tramite l'azione banale indotta dalla relazione $g \cdot g'=gg'$.
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Si definisce su $X$ la relazione $x \sim_G y \iff \exists g \in G$ t.c.~$y=g \cdot x$.
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La relazione $\sim_G$ è una relazione d'equivalenza: due elementi equivalenti tramite $\sim_G$ si dicono coniugati tramite $G$. Le classi di equivalenza si dicono orbite di $G$. In particolare si definisce $\Orb(x) = O_x$, con $x \in X$, come $[x]_{\sim_G}$,
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ossia come la classe di equivalenza di $x$ rispetto a $\sim_G$.
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Si presentano alcuni esempi di orbite:
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\begin{enumerate}
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\item $\GL(n,\KK)$ opera su $M(n,\KK)$ tramite la similitudine e le orbite sono le classi di matrici simili, rappresentate dalle forme canoniche di Jordan,
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\item $\GL(n,\KK)$ opera su $\Sym(n,\KK)$ tramite la congruenza e le orbite sono le classi di matrici congruenti, rappresentate in $\RR$ dalle matrici diagonali con $1$, $-1$ e $0$ come elementi, e in $\CC$ dalle stesse matrici rappresentanti delle classi
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di equivalenza della SD-equivalenza, ossia le matrici del tipo $I_r^{m \times n}$,
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\item $O_n$ agisce naturalmente su $\RR^n$ e l'orbita di $\vec x \in \RR^n$ è la sfera di raggio $\norm{\vec x}$ secondo il prodotto scalare standard di $\RR^n$.
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\end{enumerate}
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Vale il teorema di orbita-stabilizzatore: l'applicazione $f:G/\Stab_G(x) \rightarrow \Orb(x)$ tale che $g \Stab_G(x) \mapsto g \cdot x$ è una bigezione tra
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$G/\Stab_G(x)$ e $\Orb(x)$ (tale teorema è un analogo del primo teorema di
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omomorfismo per i gruppi). Se $G$ è finito, vale allora che $\abs{G} = \abs{\Stab_G(x)} \cdot \abs{\Orb(x)}$.
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Si dice che $G$ opera \textit{liberamente} su $X$ se $\forall x \in X$ l'applicazione
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da $G$ in $X$ tale che $g \mapsto g \cdot x$ è iniettiva, ossia se e solo se $\Stab_G(x)=\{e\}$, $\forall x \in X$. Se $G$ opera liberamente su $X$,
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$G$ opera anche fedelmente su $X$.
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Si dice che $G$ opera \textit{transitivamente }su $X$ se $x \sim_G y$, $\forall x,y \in X$, cioè se esiste un'unica orbita, che coincide dunque con $G$. In tal caso
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si dice che $X$ è \textit{omogeneo} per l'azione di $G$, oppure che
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$X$ è $G$-omogeneo.
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Si presentano alcuni esempi di azioni transitive:
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\begin{enumerate}
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\item $O_n$ opera transitivamente sulla sfera $n$-dimensionale di $\RR^n$,
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\item Sia $\Gr_k(\RR^n)=\{W \text{ sottospazio di } \RR^n | \dim W=k\}$ la Grassmanniana di ordine $k$ su $\RR^n$. Allora $O_n$ opera transitivamente su $\Gr_k(\RR^n)$.
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\end{enumerate}
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Si dice che $G$ opera in maniera \textit{semplicemente transitiva} su $X$ se opera transitivamente e liberamente su $X$; in tal caso si dice che $X$ è un insieme $G$-omogeneo principale. Equivalentemente $G$ opera in maniera semplicemente transitiva se $\exists x\in X$ t.c.~$g\rightarrow g \cdot x$ è una bigezione.
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Se $X$ è un insieme $G$-omogeneo e $G$ è abeliano, allora $G$ agisce fedelmente su $X$ $\iff$ $X$ è $G$-insieme omogeneo principale (per dimostrare l'implicazione a destra è sufficiente mostrare che, se $x \in X$, $g \in \Stab(x) \implies f_g = \IdV{X}$, da cui si conclude
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che $g = e$ per la fedeltà dell'azione).
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\subsection{Proprietà generali di uno spazio affine}
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Si dice spazio affine $E$ un qualunque insieme $V$-omogeneo principale, dove
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$V$ è uno spazio vettoriale, inteso in tal senso come il gruppo abeliano
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$(V, +)$. Si scrive in tal caso l'azione $\v \cdot P$ come $P + \v$. Equivalentemente $E$ è uno spazio affine se $\forall P$, $Q \in E$, $\exists! \, \v\in V$ t.c. $P + \v = Q$. In particolar modo, ci si riferisce a $\v \mid P + \v = Q$ come $Q - P$ o
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$\overrightarrow{PQ}$.
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Valgono le seguenti proprietà generali:
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\begin{itemize}
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\item fissato $\v \in V$, l'applicazione da $E$ in $E$ tale che $P \mapsto P+\v$ è una bigezione,
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\item fissato $O \in E$, l'applicazione da $V$ in $E$ tale che $\v \mapsto O+\v$ è una bigezione,
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\item fissato $O \in E$, l'applicazione da $E$ in $V$ tale che $P \mapsto P-O$ è una bigezione ed è l'inversa della bigezione presentata nello scorso punto.
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\end{itemize}
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Siano $P_1$, ..., $P_k \in E$ e $\lambda_1$, ..., $\lambda_k \in \KK$. Siano inoltre
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$O$, $O' \in E$. Allora se si pone $P=O+\sum_{i=1}^{k}\lambda_i (P_i-O)$ e $P'=O'+\sum_{i=1}^{k}\lambda_i (P_i-O')$, vale che:
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\[P=P'\iff\sum_{i=1}^{k}\lambda_i=1\]
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Pertanto un punto $P\in E$ si dice \textit{combinazione affine} dei punti $P_1$, ..., $P_k$ se $\exists \lambda_1$, ..., $\lambda_k \in \KK$ tali che $\sum_{i=1}^{k}\lambda_i=1$ e che $\forall O \in E$,
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$P=O+\sum_{i=1}^{k}\lambda_i (P_i-O)$. Si scrive in tal caso $P=\sum_{i=1}^{k}\lambda_i P_i$ (la notazione è ben definita dal momento che
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non dipende da $O$ per l'asserzione precedente).
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Un sottoinsieme $D\subseteq E$ si dice \textit{sottospazio affine} se è chiuso per combinazioni affini. Il sottospazio affine $D \subseteq E$ generato da un sottoinsieme $S \subseteq E$ è l'insieme delle combinazioni affini (finite) dei punti di $S$;
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si denota tale sottospazio affine $D$ come $\Aff(S)$. Vale inoltre che $\Aff(S)$ è il
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più piccolo sottospazio affine contenente $S$.
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Partendo da $V$ spazio vettoriale su $\KK$ possiamo associare uno spazio affine $E=V$ con azione $\v \cdot \w=\v+\w=\w+\v$.
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In questo caso una combinazione affine diventa un caso particolare di combinazione lineare.
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Chiamiamo lo spazio affine associato in questo modo a $V=\KK^n$ $\mathcal{A}_n(\KK)$ %A maiuscola corsiva?
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Se $E$ è affine su $V$ di dimensione $n$ su $\KK$ allora ogni scelta di un punto $O\in E$ e di una base $\mathcal{B}$ di $V$ induce la bigezione naturale
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$\varphi_{O,\mathcal{B}}:E\rightarrow \mathcal{A}_n(\KK)$ tale che $\varphi_{O,\mathcal{B}}(O+\v)=[\v]_\basis$
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Un sottoinsieme $D\subseteq E$ è un sottospazio affine $\iff \forall P_0 \in D$
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$D_0=\{P-P_0 \mid P\in D\}\subseteq V$ è un sottospazio vettoriale di $V$.
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Segue che $D=P_0+D_0$ ossia che $D$ è il traslato di $D_0$ per $P_0-O$ %O ??
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Chiamiamo $D_0$ \textit{direzione} del sottospazio affine $D$.
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Inoltre $D_0$ è unico e possiamo scriverlo anche come $D_0=\{Q-P\mid P,Q\in D\}$.
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In generale i sottospazi affini corrispondo ai traslati di sottospazi vettoriali di $V$
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Chiamiamo \textit{dimensione} di un sottospazio affine $D$ la dimensione dello spazio vettoriale $D_0$. In particolare dim$E$=dim$V$.
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Quindi così come per gli spazi vettoriali i sottospazi affini di dimensione 0 sono i punti di $E$, quelli di dimensione 1 sono le rette di $E$, quelli di dimensione 2 sono i piani di $E$ e quelli di codimensione 1 sono gli iperpiani affini.
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Due sottospazi affini con la stessa direzione si diranno paralleli, coincidono o hanno intersezione vuota e si ottengono l'uno dall'altro mediante traslazione.
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Diciamo che i punti $P_1,\ldots,P_k\in E$ sono \textit{affinemente indipendenti} se l'espressione $P=\sum_{i=1}^{k}\lambda_i P_i\in \Aff(\{P_1,\ldots,P_k\})$ è unica.
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Un sottoinsieme $S\subseteq E$ si dice affinemente indipendente se ogni suo sottoinsieme finito è affinemente indipendente.
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$P_1,\ldots,P_k$ sono affinemente indipendenti se e solo se $\forall i=1,\ldots,k$ i vettori $P_j-P_i$ con $j\neq i$ sono linearmente indipendenti $\iff \forall i$ $P_i\notin \Aff(\{P_1,\ldots,\hat{P}_i,\ldots,P_k\})$ %?
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Sia $E=\mathcal{A}_n(\KK)$ allora $\w_1,\ldots,\w_n \in E$ sono affinemente indipendenti se e solo se i vettori $\hat{\w}_1,\ldots,\hat{\w}_n$ con $\hat{w_i}=\begin{pmatrix}
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\w_i \\ 1
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\end{pmatrix} \in \KK^{n+1}$ sono linearmente indipendenti.
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Segue che ci sono al massimo $n+1$ vettori affinemente indipendenti.
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Se scegliamo $n+1$ punti $P_0,\ldots,P_n\in E$ $\Aff(\{P_0,\ldots,P_n\}=E$.
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Dunque per ogni punto $P \in E$ $P=\sum_{i=0}^{n}\lambda_i P_i$ con $\sum_{i=0}^{n}\lambda_i=1$.
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Chiamiamo i $\lambda_i$ le \textit{coordinate affini} del punto $P$ sul riferimento affine $P_0,\ldots,P_n$
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Diciamo che $P=\sum_{i=1}^{k}\lambda_i P_i$ è una \textit{combinazione convessa} di $P_1,\ldots,P_k$ se $\sum_{i=0}^{n}\lambda_i=1$ e $\lambda_i\ge0$ $\forall i$
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Diremo che l'\textit{inviluppo convesso} $IC(S)$ di un insieme $S\subseteq E$ è l'insieme delle combinazioni convesse finite di $S$.
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$\forall S\subseteq E$, $IC(S)$ è convesso.
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Chiamiamo \textit{baricentro geometrico} di $P_1,\ldots,P_n\in E$ come $G=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}P_i$
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Se $A\subseteq E$ è finito, chiamiamo $G_A$ il baricentro geometrico dei punti di $A$.
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Allora se $A=B\sqcup C$ $(A=B\cup C \wedge B\cap C= \emptyset )$
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$$G_A= \frac{|B|}{|A|}G_B+\frac{|C|}{|A|}G_C$$
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\subsection{Applicazioni affini e affinità}
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Siano $E$ spazio affine su $V$, $E'$ spazio affine su $V'$ sullo stesso campo $\KK$.
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Un'applicazione $f:E\rightarrow E'$ si dice \textit{applicazione affine} se conserva le combinazioni affini.
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Sia $f:E \rightarrow E'$ un'applicazione affine. Allore esiste ed è unica l'applicazione lineare $g:V\rightarrow V'$ tale che $f(O+\v)=f(O)+g(\v)$ per ogni scelta di $O\in E$ e $\v\in V$.
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Viceversa se $g:V\rightarrow V'$ è lineare, si trova $f:E\rightarrow E'$ affine per ogni scelta di punti $O\in E$, $O'\in E'$ $f(P)=O'+g(P-O)$
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Nel caso $E=\mathcal{A}_n(\KK)$, $E'=\mathcal{A}_m(\KK)$ si trova $f(\x)=f(\Vec{0})+g(\x)=A\x+\Vec{b}$ con $A\in M(m,n,\KK)$ e $\Vec{b} \in A_m(\KK)$
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Sia $E''$ un altro spazio affine associato a $V''$ e $f':E'\rightarrow E''$ è affine con applicazione lineare associata $g':V' \rightarrow V''$, allora $f'\circ f:E\rightarrow E''$ è affine e vale $f'(f(O+\v)=f'(f(O))+g'(g(\v))$ e l'applicazione lineare associata a $f'\circ f$ è $g'\circ g$
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Diremo che $f:E\rightarrow E$ è un'\textit{affinità} di $E$ se $f$ è un'applicazione affine bigettiva.
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$f$ affinità di $E$ implica che l'applicazione lineare associata $g:V\rightarrow V$ sia invertibile.
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Chiamiamo il gruppo affine di $E$ $A(E)$ il gruppo delle affinità di $E$.
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L'applicazione $\pi:A(E)\rightarrow GL(V) : f\mapsto g$ è un omomorfismo surgettivo. Il nucleo è dato dalle traslazioni le quali formano un sottogruppo normale.
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$f:E\rightarrow E$ affinità manda $x$ in $A\x+\vec{b}$ e dato che f bigettiva $A\in GL_n(\KK)$. Segue che $f^{-1}:\x\mapsto A^{-1}\x-A^{-1}\Vec{b}$
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$\iota:\KK^n=\mathcal{A}_n(\KK)\rightarrow\mathcal{A}_{n+1}(\KK)=\KK^{n+1}$, $\x\mapsto \hat{\x}=\begin{pmatrix}
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\x \\ 1
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\end{pmatrix}$
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è un isomorfismo affine tra $\mathcal{A}_n(\KK)$ e l'iperpiano $H_{n+1}=\{\x\in \mathcal{A}_{n+1}(\KK)\mid x_{n+1}=1\}\subset \mathcal{A}_{n+1}(\KK)$
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Sia $f$ un'affinità di $\mathcal{A}_n(\KK)$ data da $f(\x)=A\x+\Vec{b}$.
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Allora tramite $\iota$ abbiamo l'affinità di $H_{n+1}$ $f'(\hat{\x})=\hat{f(\x)}=\begin{pmatrix}
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f(\x) \\ 1
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\end{pmatrix}$
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e ci associamo l'applicazione lineare invertibile $\hat{f}:\KK^{n+1}\rightarrow \KK^{n+1}$ data dalla matrice $\hat{A}=\Matrix{A & \vec b \\ 0 & 1}$
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Le matrici di questa forma formano un sottogruppo di $GL_{n+1}(\KK)$ isomorfo ad $A_n(\KK)$ che corrisponde agli endomorfismi che preservano $H_{n+1}$ %?
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$f$ automorfismo di $\KK^n$, $E\subseteq \KK^n$ sottospazio affine, se $f(E)\subseteq E$ allora $f|_E:E\rightarrow E$ è affine.
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Sia $E$ spazio affine di dimensione $n$.
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\begin{enumerate}
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\item Se $f\in A(E)$ e $P_0,\ldots P_n$ sono affinemente indipendenti allora $f(P_0),\ldots,f(P_n)$ sono affinemente indipendenti.
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\item Se $P_0,\ldots P_n$ sono affinemente indipendenti e $Q_0,\ldots P_n$ sono affinemente indipendenti esiste ed è unica l'affinità $f:E \rightarrow E$ tale che $f(P_i)=Q_i \forall i=1,\ldots,n$
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\item $f\in A(E)$, $D\subseteq E$ sottospazio affine $\implies f(D)$ è sottospazio affine della stessa dimensione
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\end{enumerate}
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$A_n(\KK)$ dipende da $n^2+n=n(n+1)$ parametri.
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Dato $D$ sottospazio affine di dimensione $k$ di $\mathcal{A}_n(\KK)$, $\{f\in A_n(\KK)\mid f(D)=D\}$ è un sottogruppo di $A_n(\KK)$ che dipende da $(n+1)k+(n-k)n$ parametri.
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\subsection{Spazio proiettivo}
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Chiamiamo l'insieme dei sottospazi di dimensione 1 in $\KK^{n+1}$ \textit{spazio proiettivo} (associato a $\KK^{n+1})$ e lo denotiamo con $\PP(\KK^{n+1})=\PP^n(\KK)$
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Ogni punto $\begin{pmatrix}
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\x \\ 1
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\end{pmatrix}\in H_{n+1}$ individua un unico sottospazio $l=Span(\begin{pmatrix}
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\x \\ 1
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\end{pmatrix})\in \KK^{n+1}$ di dimensione 1.
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La differenza $\PP^n(\KK)\setminus \mathcal{A}_n(\KK)$ corrisponde ai sottogruppi $l\in \KK^{n+1}$ tali che $l\subset\{\x\in \mathcal{A}_{n+1}(\KK)\mid x_{n+1}=0\}\cong \KK^n$, cioè corrisponde a un $\PP(\KK^n)=\PP^{n-1}(\KK)$ %??
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Tali rette si dicono \textit{punti all'infinito} di $\mathcal{A}_n(\KK)$, intituivamente un punto all'infinito è il limite di un punto $P\in \mathcal{A}_n(\KK)$ che si allontana verso l'infinito di direzione $l$ %??
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Si può ricoprire $\PP^n(\KK)$ con gli iperpiani $H_i=\{\x\in \mathcal{A}_{n+1}(\KK)\mid x_{i}=1\}$.
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Ogni 1-sottospazio $l\in \KK^{n+1}$ interseca almeno uno degli $H_i$ in un punto.
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\subsection{Complementi sugli spazi affini}
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Alcuni esempi visti a lezione: %da tenere ?
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\begin{itemize}
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\item $A_1(\KK)$ agisce transitivamente su $\mathcal{A}_1(\KK)$. Non agisce liberamente se $x_0\in\mathcal{A}_1(\KK)$
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$Stab(x_0)=\{f\mid f(x_0)=x_0\}\cong GL_1(\KK)$
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\item $|Fix(f)|=|\{x\in \mathcal{A}_1(\KK)\mid f(x)=x\}|\geq1$.
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$|Fix(f)|=0\iff f$ è una traslazione
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\item $\mathcal{A}_1(\KK)$ agisce in maniera semplicemente transitiva sulle coppie di punti $(P_1,P_2), P_1\neq P_2$
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\item Siano $P_1,P_2,P_3$, $Q_1,Q_2,Q_3$ due terne di punti distinti, allora esiste ed è unica $f\in \mathcal{A}_1(\KK)$ tale che $f(P_i)=Q_i \forall i=1,2,3 \iff \lambda(P_1,P_2,P_3)=\lambda(Q_1,Q_2,Q_3)$ dove $\lambda(P_1,P_2,P_3)$ è definito dal \textit{rapporto semplice} $P_3-P_1=\lambda(P_2-P_1)$ ($\iff P_3=(1-\lambda)P_1+\lambda P_2$)
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%vari esempi di posizione tra rette e numero di parametri di dipendenza. da inserire (?)
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\item $A,B$ sottospazi affini $\implies D\cap D'=\emptyset$ oppure $D\cap D'$ è un sottospazio affine.
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\item se $A \cap B \neq \emptyset$, vale la formula di Grassmann,
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\item se $A \cap B = \emptyset$, $\dim (A + B) = \dim A + \dim B - \dim (A_0 \cap B_0) + 1$,
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\item ogni affinità $f(\x) = M \x + \vec t$ può scriversi in forma matriciale
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come:
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\[ \Matrix{M & \vec t \\ 0 & 1}. \]
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\end{itemize}
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\subsection{Coniche} %problema di notazione, come fare A maiuscola corsiva da sostituire a \matchal{A} (?)
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Una conica in $\mathcal{A}_2(\KK)$ è il luogo delle soluzioni di un polinomio di secondo grado $p(x,y)=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f$.
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(Notare che il polinomio può non avere soluzioni ed è invariante per la moltiplicazione per uno scalare diverso da 0).
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Più in generale chiamiamo \textit{quadrica} in $\mathcal{A}_n(\KK)$ il luogo degli zeri di un polinomio di secondo grado in n variabili $p(x_1,\ldots,x_n)$
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\[p(\x)=\x^\top\AA\x+2\Vec{b}^\top\x+c\]
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dove $\AA$ è la matrice dei coefficienti dei fattori di grado 2, $\Vec{b}$ è il vettore dei coefficienti dei fattori lineari e $c$ è il termine noto del polinomio.
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Definiamo inoltre la matrice $\MM(p)=\begin{pmatrix}
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\AA(p) & \mathcal{L}(p) \\
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\mathcal{L}(p)^\top & c
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\end{pmatrix}$
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Nel caso di una conica determinata dal polinomio $p(x,y)=a_{1,1}x^2+a_{1,2}xy+a_{2,2}y^2+a_{1,3}x+a_{2,3}y+a_{3,3}$ abbiamo che:
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$\AA(p)=\begin{pmatrix}
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a_{1,1} & \frac{a_{1,2}}{2} \\
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\frac{a_{1,2}}{2} & a_{2,2}
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|
\end{pmatrix}$
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|
$\Vec{b}=\mathcal{L}(p)=\begin{pmatrix}
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\frac{a_{1,3}}{2} \\
|
|
\frac{a_{2,3}}{2}
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|
\end{pmatrix}$
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$c=a_{3,3}$
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$\MM(p)=\begin{pmatrix}
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a_{1,1} & \frac{a_{1,2}}{2} & \frac{a_{1,3}}{2} \\
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|
\frac{a_{1,2}}{2} & a_{2,2} & \frac{a_{2,3}}{2} \\
|
|
\frac{a_{1,3}}{2} & \frac{a_{2,3}}{2} & a_{3,3,} \\
|
|
\end{pmatrix}$
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Sia $f\in A_n(\KK)$, $f(\x')=M\x'+\Vec{t}$, $M\in GL_n(\KK), t\in \KK^n$.
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ponendo $\x=M\x'+\Vec{t}$ troviamo:
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\[p'(\x')=\x'^{\top} A'\x'+2\Vec{b'}^\top\x'+c'\]
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con $\AA'=M^\top \AA M$, $\Vec{b}'=M^\top(\AA\Vec{t}+\Vec{b})$, $c'=p(\Vec{t})$.
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La matrice $\MM(p \circ f)$, varia nel seguente
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modo:
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\begin{gather*}
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\tiny
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\MM(p \circ f) = {\hat M}^\top \MM(p) \hat M = \\ \Matrix{M^\top \AA(p) M & \rvline & M^\top(\AA(p) \vec t + \Ll(p)) \, \\ \hline \, \left(M^\top(\AA(p) \vec t + \Ll(p))\right)^\top & \rvline & p(\vec t)},
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|
\end{gather*}
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Sia $C=\{\x\in \mathcal{A}_n(\KK) \mid p(\x)=0\}$.
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$C$ si dice \textit{a centro} se $\exists \x_0\in \mathcal{A}_n(\KK)$ t.c. $p(\x_0+\x)=p(x_0-\x) \forall \x \in \KK^n$
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Si dirà che $\x_0$ è un centro di simmetria.
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Alternativamente $C$ è a centro $\x_0 \iff \MM(p \circ f)=\begin{pmatrix}
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\AA & 0 \\
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0 & c
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\end{pmatrix}$
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Oppure ancora una conica è a centro se e solo se è risolvibile il sistema $\AA(p) \vec t + \Ll(p) = \vec 0$.
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I centri della quadriche (quando ci sono) formano un sottospazio affine di dimensione $n-rg(\AA)$
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Diremo che la conica $C$ è \textit{non degenere} quando $rg(\MM(p))=3$
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\subsection{Classificazione delle coniche}
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Classificazione \textit{affine}: si trova una forma canonica nelle orbite del gruppo affine $A_n(\KK)$.
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Se $V$ è euclideo su $\RR$, si può introdurre la distanza $d(P,Q)=\norm{Q-P}$.
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Le isometrie di $E$ sono quelle affinità che preservano la distanza e formano il gruppo $ISO(E)$.
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Classificazione \textit{isometrica}: Si trovano forme canoniche nelle orbite rispetto a $ISO(E)$ %???
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Sia $\KK=\CC$. Allora ogni conica è affinemente equivalente ad
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un'equazione canonica della seguente tabella, unicamente
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determinata dagli invarianti $\rg(\MM(p))$ e $\rg(\AA(p))$.
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\begin{center}
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\tiny
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\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|}
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\hline
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& $\rg(\MM(p))$ & $\rg(\AA(p))$ & Eq.~canonica & A centro \\ \hline
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$\mathcal{C}_1$ & 3 & 2 & $x^2+y^2=1$ & Sì \\ \hline
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|
$\mathcal{C}_2$ & 3 & 1 & $x^2=y$ & No \\ \hline
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|
$\mathcal{C}_3$ & 2 & 2 & $x^2+y^2=0$ & Sì \\ \hline
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|
$\mathcal{C}_4$ & 2 & 1 & $x^2=1$ & Sì \\ \hline
|
|
$\mathcal{C}_5$ & 1 & 1 & $x^2=0$ & Sì \\ \hline
|
|
\end{tabular}
|
|
\end{center}
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|
Sia $\KK=\RR$. Allora ogni conica è affinemente equivalente ad
|
|
un'equazione canonica della seguente tabella, unicamente
|
|
determinata dagli invarianti $\rg(\MM(p))$, $\rg(\AA(p))$,
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|
$S(\MM(p)) := \abs{\iota_+(\MM(p)) - \iota_-(\MM(p))}$ e
|
|
$S(\AA(p)) := \abs{\iota_+(\AA(p)) - \iota_-(\AA(p))}$. \\[0.1in]
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|
|
|
\begin{center}
|
|
\tiny
|
|
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|}
|
|
\hline
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|
& $\rg(\MM(p))$ & $\rg(\AA(p))$ & $S(\MM(p))$ & $S(\AA(p))$ & Eq.~canonica \\ \hline
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$\mathcal{C}_1$ & 3 & 2 & 1 & 2 & $x^2+y^2-1=0$ \\ \hline
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|
$\mathcal{C}_2$ & 3 & 2 & 1 & 0 & $x^2-y^2-1=0$ \\ \hline
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|
$\mathcal{C}_3$ & 3 & 1 & 1 & 1 & $x^2-y=0$ \\ \hline
|
|
$\mathcal{C}_4$ & 2 & 2 & 0 & 0 & $x^2-y^2=0$ \\ \hline
|
|
$\mathcal{C}_5$ & 2 & 1 & 0 & 1 & $x^2-1=0$ \\ \hline
|
|
$\mathcal{C}_6$ & 1 & 1 & 1 & 1 & $x^2=0$ \\ \hline
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|
$\mathcal{C}_7$ & 3 & 2 & 3 & 2 & $x^2+y^2+1=0$ \\ \hline
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|
$\mathcal{C}_8$ & 2 & 2 & 2 & 2 & $x^2+y^2=0$ \\ \hline
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|
$\mathcal{C}_9$ & 2 & 1 & 2 & 1 & $x^2+1=0$ \\ \hline
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|
\end{tabular}
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|
\end{center}
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\vfill
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|
\hrule
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|
~\\
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|
Gabriel Antonio Videtta, \url{https://poisson.phc.dm.unipi.it/~videtta/}
|
|
\end{multicols}
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|
\end{document}
|