mirror of https://github.com/hearot/notes
You cannot select more than 25 topics
Topics must start with a letter or number, can include dashes ('-') and can be up to 35 characters long.
248 lines
11 KiB
TeX
248 lines
11 KiB
TeX
\documentclass[10pt,landscape]{article}
|
|
\usepackage{amssymb,amsmath,amsthm,amsfonts}
|
|
\usepackage{multicol,multirow}
|
|
\usepackage{marvosym}
|
|
\usepackage{calc}
|
|
\usepackage{ifthen}
|
|
\usepackage[landscape]{geometry}
|
|
\usepackage[colorlinks=true,citecolor=blue,linkcolor=blue]{hyperref}
|
|
\usepackage{notes_2023}
|
|
|
|
\setlength{\extrarowheight}{0pt}
|
|
|
|
\ifthenelse{\lengthtest { \paperwidth = 11in}}
|
|
{ \geometry{top=.5in,left=.5in,right=.5in,bottom=.5in} }
|
|
{\ifthenelse{ \lengthtest{ \paperwidth = 297mm}}
|
|
{\geometry{top=1cm,left=1cm,right=1cm,bottom=1cm} }
|
|
{\geometry{top=1cm,left=1cm,right=1cm,bottom=1cm} }
|
|
}
|
|
%\pagestyle{empty}
|
|
\makeatletter
|
|
\renewcommand{\section}{\@startsection{section}{1}{0mm}%
|
|
{-1ex plus -.5ex minus -.2ex}%
|
|
{0.5ex plus .2ex}%x
|
|
{\normalfont\large\bfseries}}
|
|
\renewcommand{\subsection}{\@startsection{subsection}{2}{0mm}%
|
|
{-1explus -.5ex minus -.2ex}%
|
|
{0.5ex plus .2ex}%
|
|
{\normalfont\normalsize\bfseries}}
|
|
\renewcommand{\subsubsection}{\@startsection{subsubsection}{3}{0mm}%
|
|
{-1ex plus -.5ex minus -.2ex}%
|
|
{1ex plus .2ex}%
|
|
{\normalfont\small\bfseries}}
|
|
\makeatother
|
|
\setcounter{secnumdepth}{0}
|
|
\setlength{\parindent}{0pt}
|
|
\setlength{\parskip}{0pt plus 0.5ex}
|
|
% -----------------------------------------------------------------------
|
|
|
|
\title{Scheda riassuntiva di Geometria 2}
|
|
|
|
\begin{document}
|
|
|
|
\parskip=0.7ex
|
|
|
|
\raggedright
|
|
\footnotesize
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\Large{\textbf{Scheda riassuntiva di Geometria 2}} \\
|
|
\end{center}
|
|
\begin{multicols}{3}
|
|
\setlength{\premulticols}{1pt}
|
|
\setlength{\postmulticols}{1pt}
|
|
\setlength{\multicolsep}{1pt}
|
|
\setlength{\columnsep}{2pt}
|
|
|
|
\section{Geometria proiettiva}
|
|
|
|
\subsection{Spazi e trasformazioni proiettive}
|
|
|
|
Sia $\KK$ un campo e sia $V$ uno spazio proiettivo. Sia $\sim$ la seguente
|
|
relazione di equivalenza su $V \setminus \zerovecset$ tale per cui
|
|
\[ \v \sim \w \defiff \exists \lambda \in \KK^* \mid \v = \lambda \w. \]
|
|
Allora si definisce lo \textbf{spazio proiettivo} associata a $V$, denotato
|
|
con $\PP(V)$, come:
|
|
\[ \PP(V) = V \setminus \zerovecset \quot \sim. \]
|
|
In particolare esiste una bigezione tra gli elementi dello spazio proiettivo
|
|
e le rette di $V$ (i.e.~i sottospazi di $V$ con dimensione $1$). Si definisce
|
|
la \textit{dimensione} di $\PP(V)$ come:
|
|
\[ \dim \PP(V) := \dim V - 1. \]
|
|
Gli spazi proiettivi di dimensione $1$ sono detti \textit{rette proiettive},
|
|
mentre quelli di dimensione $2$ \textit{piani}. Si dice
|
|
\textbf{spazio proiettivo standard di dimensione $n$} lo spazio proiettivo
|
|
associato a $\KK^{n+1}$, e viene denotato come $\PP^n(\KK) := \PP(\KK^{n+1})$.
|
|
Si indica con $\pi$ la proiezione al quoziente tramite $\sim$, ossia:
|
|
\[ \pi(W) = \{ [\w] \mid \w \in W \}. \]
|
|
|
|
|
|
Si dice \textbf{sottospazio proiettivo} un qualsiasi sottoinsieme $S$ di $\PP(V)$
|
|
tale per cui esista un sottospazio vettoriale $W$ di $V$ tale per cui
|
|
$S = \pi(W \setminus \zerovecset)$, e si scrive $S = \PP(W)$, con:
|
|
\[ \dim S = \dim W - 1. \]
|
|
In particolare, tramite $\pi$ si descrive una bigezione tra i sottospazi vettoriali di
|
|
$V$ e i sottospazi proiettivi di $\PP(V)$. \medskip
|
|
|
|
|
|
L'intersezione di sottospazi proiettivi è ancora un sottospazio proiettivo ed
|
|
è indotto dall'intersezione degli spazi vettoriali che generano i singoli
|
|
sottospazi proiettivi. Pertanto, se $F \subseteq \PP(V)$, è ben definito
|
|
il seguente sottospazio:
|
|
\[ \displaystyle L(F) = \bigcap_{\substack{F \subseteq S_i \\ S_i \text{\;ssp. pr.}}} S_i, \]
|
|
ossia l'intersezione di tutti i sottospazi proiettivi che contengono $F$.
|
|
Si scrive $L(S_1, \ldots, S_n)$ per indicare $L(S_1 \cup \cdots \cup S_n)$.
|
|
Se $S_1 = \PP(W_1)$, ..., $S_n = \PP(W_n)$, allora vale che:
|
|
\[ L(S_1, \ldots, S_n) = \PP(W_1 + \ldots + W_n). \]
|
|
|
|
|
|
Vale pertanto la \textbf{formula di Grassmann proiettiva}:
|
|
\[ \dim L(S_1, S_2) = \dim S_1 + \dim S_2 - \dim (S_1 \cap S_2). \]
|
|
Allora, se $\dim S_1 + \dim S_2 \geq \dim \PP(V)$ (si osservi che è
|
|
$\geq$ e non $>$ come nel caso vettoriale, dacché un sottospazio di dimensione
|
|
zero è comunque un punto in geometria proiettiva), vale necessariamente
|
|
che:
|
|
\[ S_1 \cap S_2 \neq \emptyset, \]
|
|
infatti $\dim S_1 \cap S_2 = \dim S_1 + \dim S_2 - \dim L(S_1, S_2) \geq
|
|
\dim S_1 + \dim S_2 - \dim \PP(V) \geq 0$. In particolare, in $\PP^2(\KK)$,
|
|
questo implica che due rette proiettive distinte si incontrano sempre in un unico
|
|
punto (infatti $1+1\geq2$).
|
|
|
|
Sia $W$ uno spazio vettoriale. Una mappa $f : \PP(V) \to \PP(W)$ si dice
|
|
\textbf{trasformazione proiettiva} se è tale per cui esiste un'applicazione
|
|
lineare $\varphi \in \Ll(V, W)$ che soddisfa la seguente identità:
|
|
\[ f([\v]) = [\varphi(\w)], \]
|
|
dove con $[\cdot]$ si denota la classe di equivalenza in $\PP(V)$. Si scrive
|
|
in questo caso che $[\varphi] = f$.
|
|
Una trasformazione proiettiva invertibile da $\PP(V)$ in $\PP(W)$
|
|
si dice \textbf{isomorfismo proiettivo}. Una
|
|
trasformazione proiettiva da $\PP(V)$ in $\PP(V)$ si dice
|
|
\textbf{proiettività}.
|
|
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Se $f$ è una trasformazione proiettiva, allora $\varphi$ è necessariamente
|
|
iniettiva (altrimenti l'identità non sussisterebbe, dacché $[\vec 0]$ non
|
|
esiste -- la relazione d'equivalenza $\sim$ è infatti definita su $V \setminus
|
|
\zerovecset$).
|
|
\item Allo stesso tempo, un'applicazione lineare $\varphi$ iniettiva induce
|
|
sempre una trasformazione proiettiva $f$,
|
|
\item Se $f$ è una trasformazione proiettiva, allora $f$ è in particolare anche
|
|
iniettiva (infatti $[\varphi(\v)] = [\varphi(\w)] \implies \exists \lambda \in \KK^* \mid \v = \lambda \w \implies \v \sim \w$),
|
|
\item La composizione di due trasformazioni proiettive è ancora una
|
|
trasformazione proiettiva ed è indotta dalla composizione delle app.
|
|
lineari associate alle trasformazioni di partenza,
|
|
\item L'identità $\Id$ è una proiettività di $\PP(V)$, ed è indotta
|
|
dall'identità di $V$.
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
Poiché allora nelle proiettività di $V$ esiste un'identità, un inverso e vale
|
|
l'associatività nella composizione, si definisce $\PPGL(V)$ come il gruppo delle
|
|
proiettività di $V$ rispetto alla composizione. In particolare si pone la
|
|
seguente definizione
|
|
\[ \PPGL_{n+1}(\KK) := \PPGL(\KK^{n+1}). \]
|
|
|
|
Sono inoltre equivalenti i seguenti fatti:
|
|
|
|
\begin{enumerate}[(i)]
|
|
\item $f$ è surgettiva,
|
|
\item $f$ è bigettiva,
|
|
\item $\dim \PP(V) = \dim \PP(W)$,
|
|
\item $f$ è invertibile e $f\inv$ è una trasformazione proiettiva.
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
In particolare $\varphi\inv$ induce esattamente $f\inv$.
|
|
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item I punti fissi di $f$ sono indotti esattamente dalle rette di autovettori
|
|
di $\varphi$ (infatti $\varphi(\v) = \lambda \v \implies f([\v]) = [\v]$),
|
|
\item In particolare, $f \in \PPGL(\PP^n(\RR))$ ammette sempre un punto
|
|
fisso se $n$ è pari (il polinomio caratteristico di $\varphi$ ha grado
|
|
dispari, e quindi ammette una radice in $\RR$),
|
|
\item Se $\KK$ è algebricamente chiuso, $f$ ammette sempre un punto fisso
|
|
(il polinomio caratteristico di $\varphi$ ha tutte le radici in $\KK$).
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
\subsection{Riferimenti proiettivi, teorema fondamentale della geometria proiettiva
|
|
e coordinate omogenee}
|
|
|
|
Più punti $P_1$, ..., $P_k$ si dicono \textbf{indipendenti} se e solo se
|
|
i vettori delle loro classi di equivalenza sono tra di loro linearmente indipendenti.
|
|
In particolare, $P_1$, ..., $P_k$ sono indipendenti se e solo se
|
|
$\dim L(P_1, \ldots, P_k) = k-1$. Analogamente al caso vettoriale, se $\dim \PP(V) = n$,
|
|
presi più di $n+1$ punti, questi sono sicuramente non indipendenti. \medskip
|
|
|
|
|
|
|
|
Un insieme $\{P_1, \ldots, P_k\}$ si dice \textit{in posizione generale} se e solo se
|
|
ogni suo sottoinsieme di $h \leq n+1$ punti è indipendente. Se $k \leq n+1$, un
|
|
insieme è in posizione generale se e solo se è indipendente. Altrimenti, l'insieme
|
|
è in posizione generale se ogni sottoinsieme di $n+1$ punti è indipendente. \medskip
|
|
|
|
|
|
|
|
Si dice \textbf{riferimento proiettivo} una qualsiasi $(n+2)$-upla di punti
|
|
$P_1$, ..., $P_{n+2}$ in posizione generale. In particolare, si dice che i punti
|
|
$P_1$, ..., $P_{n+1}$ sono i \textbf{punti fondamentali} del riferimento, mentre
|
|
$P_{n+2}$ è il \textbf{punto unità}. Una base $\basis = \{\vv 1, \ldots, \vv{n+1}\}$
|
|
di $V$ si dice \textbf{base normalizzata} rispetto a $P_1$, ..., $P_{n+2}$ se:
|
|
\[ P_i = [\vv i] \, \forall i \leq n+1 \qquad P_{n+2} = [\vv 1 + \ldots + \vv n]. \]
|
|
|
|
Una base normalizzata per $R$ esiste sempre ed
|
|
è unica a meno di \textit{riscalamento simultaneo}
|
|
(ossia a meno di moltiplicare ogni vettore della base per uno stesso $\lambda \in \KK^*$). In particolare, se $P_i = [\vv i]$ con $i \leq n+1$ e
|
|
$P_{n+2} = [\v]$, dacché $\{\vv 1, \ldots, \vv {n+1}\}$ è una base di $V$
|
|
esistono $\alpha_i \in \KK$ per cui:
|
|
\[ \v = \alpha_1 \vv 1 + \ldots + \alpha_{n+1} \vv{n+1}, \]
|
|
con $\alpha_i \neq 0$ (altrimenti si avrebbero $n+1$ vettori linearmente
|
|
dipendenti, contraddicendo la posizione generale). Allora
|
|
$\{\alpha_1 \vv 1, \ldots, \alpha_{n+1} \vv {n+1}\}$ è una base normalizzata
|
|
per il riferimento proiettivo. \medskip
|
|
|
|
|
|
Sia d'ora in poi $R = \{P_1, \ldots, P_{n+2}\}$ un riferimento proiettivo e
|
|
$\basis = \{\vv 1, \ldots, \vv{n+1}\}$ una base normalizzata rispetto ad $R$.
|
|
Se $f = [\varphi]$, $g = [\psi]$ sono trasformazioni da $\PP(V)$ in $\PP(W)$, sono equivalenti i seguenti fatti:
|
|
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item $\varphi = \lambda \psi$ per $\lambda \in \KK^*$,
|
|
\item $f = g$,
|
|
\item $f(P_i) = g(P_i)$ per $1 \leq i \leq n+2$.
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
Come conseguenza di questo fatto, vale che:
|
|
\[ \PPGL(V) \cong GL(V) \quot N, \]
|
|
dove $N = \{ \lambda \Id_V \mid \lambda \in \KK^* \}$ (è sufficiente
|
|
considerare l'omomorfismo $\zeta : GL(V) \to \PPGL(V)$ tale per cui
|
|
$f \xmapsto{\zeta} [f]$).
|
|
|
|
Il \textbf{teorema fondamentale della geometria proiettiva}
|
|
asserisce che se $R = \{P_1, \ldots, P_{n+2}\}$ e $R' = \{Q_1, \ldots, Q_{m+2}\}$ sono
|
|
due riferimenti proiettivi di $V$ e $W$ e vale che $\dim \PP(W) \geq \dim \PP(V)$,
|
|
allora, per ogni scelta di $n+2$ punti $Q_1'$, ..., $Q_{n+2}'$ da $R'$, esiste
|
|
un'unica trasformazione proiettiva tale per cui:
|
|
\[ f(P_i) = Q_i', \quad \forall 1 \leq i \leq n+2. \]
|
|
Se $n=m$, il teorema asserisce semplicemente che esiste un'unica trasformazione
|
|
che mappa ordinatamente $R$ in $R'$. \medskip
|
|
|
|
|
|
Si può costruire su $R$ un sistema di coordinate, dette \textbf{coordinate omogenee},
|
|
per cui $P = [a_1, \ldots, a_n] = [a_1 : \cdots : a_n]$ se e solo se
|
|
$P = [a_1 \vv 1 + \ldots + a_{n+1} \vv n]$ dove $\basis = \{\vv 1, \ldots, \vv{n+1}\}$
|
|
è una base normalizzata associata a $R$. Per $\PP^n(\KK)$, si definisce il
|
|
\textit{riferimento standard} come il riferimento dato da
|
|
$[\e1]$, ..., $[\e{n+1}]$ e $[\e1 + \ldots + \e{n+1}]$. In tal caso vale
|
|
la seguente identità:
|
|
\[ [a_1, \ldots, a_n] = [(a_1, \ldots, a_n)]. \]
|
|
Si osserva che $[0, \ldots, 0]$ non è mai associato a nessun punto e che due punti
|
|
hanno le stesse coordinate in un riferimento proiettivo a meno di riscalamento
|
|
di tutte le coordinate per uno stesso $\lambda \in \KK^*$.
|
|
|
|
\vfill
|
|
\hrule
|
|
~\\
|
|
Ad opera di Gabriel Antonio Videtta, \url{https://poisson.phc.dm.unipi.it/~videtta/}.
|
|
~\\Reperibile su
|
|
\url{https://notes.hearot.it}, nella sezione \textit{Secondo anno $\to$ Geometria 2 $\to$ Scheda riassuntiva}.
|
|
\end{multicols}
|
|
|
|
\end{document}
|