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\chapter{Varietà e teoria del grado}
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\setlength{\parindent}{2pt}
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\begin{multicols*}{2}
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\section{Varietà differenziabili e prime definizioni}
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\subsection{Mappe \texorpdfstring{$C^\infty$}{C∞} e diffeomorfismi}
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\begin{definition}[Mappe lisce tra due sottinsiemi] Siano $X \subseteq \RR^k$,
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$Y \subseteq \RR^\ell$ sottinsiemi qualsiasi. Allora una funzione
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$f : X \to Y$ si dice di \textbf{classe $C^\infty$} (o \textit{liscia}) se per ogni
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$x \in X$ esistono un aperto $W_x$ e una funzione $F : W_x \to \RR^\ell$,
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chiamata \textbf{estensione}, di classe $C^\infty$ per cui:
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\[
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\restr{F}{W_x \cap X} = \restr{f}{W_x \cap X}.
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\]
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\end{definition}
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\begin{remark}
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Osserviamo che i sottinsiemi di $X$ della forma $W \cap X$ con $W$ aperto sono esattamente gli
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aperti per la topologia di sottospazio di $X$.
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\end{remark}
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\begin{definition}[Diffeomorfismo]
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Siano $X \subseteq \RR^k$,
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$Y \subseteq \RR^\ell$ sottinsiemi qualsiasi.
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Allora una funzione $f : X \to Y$ si dice \textbf{diffeomorfismo} se
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è un \underline{omeomorfismo}, è liscia e ammette inversa liscia.
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\end{definition}
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\begin{remark}
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Le definizioni di mappa liscia e diffeomorfismo date sono chiaramente compatibili
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con le usuali definizioni date su aperti di $\RR^n$.
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\end{remark}
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\begin{proposition} \label{prop:comp_liscia}
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La composizione di mappe lisce è liscia. La restrizione di una mappa liscia
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è liscia.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Siano $f : X \to Y$ e $g : Y \to Z$ due mappe lisce con $X \subseteq \RR^k$,
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$Y \subseteq \RR^\ell$, $Z \subseteq \RR^p$. Sia $x \in X$. Allora,
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poiché $f$ è liscia, esistono $W_x \subseteq \RR^k$ aperto e $F : W_x \to \RR^\ell$ liscia tale per cui:
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\[
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\restr{F}{W_x \cap X} = \restr{f}{W_x \cap X}.
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\]
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Analogamente, per $f(x) \in Y$ esistono $U_{f(x)} \subseteq \RR^\ell$ aperto e
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$G : U_{f(x)} \to \RR^p$ liscia tale per cui:
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\[
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\restr{G}{U_{f(x)} \cap Y} = \restr{g}{U_{f(x)} \cap Y}.
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\]
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Pertanto, a meno di restringere $W_x$ per ottenere $F(W_x \cap X) \subseteq U_{f(x)} \cap Y$,
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si ha:
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\[
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\restr{G \circ F}{W_x \cap X} = \restr{g \circ f}{W_x \cap X},
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\]
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dove $g \circ f$ è liscia; questo dimostra che la composizione di mappe
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lisce è liscia. \smallskip
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La restrizione di una mappa è liscia dal momento che è composizione
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di una mappa liscia con una mappa di inclusione, che è liscia in quanto
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si estende all'identità.
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\end{proof}
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\subsection{Varietà differenziabili, varietà chiuse, carte, atlanti, parametrizzazioni locali e funzioni di transizione}
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\begin{definition}[Varietà differenziabile liscia senza bordo]
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Un insieme $M \subseteq \RR^k$ si dice \textbf{varietà (differenziabile liscia senza bordo) di dimensione $m>0$} (o $m$-varietà) se per ogni
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suo punto $x$ esistono un intorno aperto $W_x$ in $\RR^k$ e un diffeomorfismo
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$f_x : W_x \cap M \to U$ verso un aperto $U$ in $\RR^m$. Per $m = 0$, si richiede invece
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che ogni $W_x \cap M$ sia un singoletto. \smallskip
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Le coppie della forma $(f_x, W_x \cap M)$ si dicono \textbf{carte locali}, e formano un \textbf{atlante} della varietà. L'inversa di
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$f_x$ si dice invece \textbf{parametrizzazione locale} di $x$ in $M$.
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\end{definition}
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\begin{definition}[Varietà chiusa]
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Si dice \textbf{varietà chiusa} una varietà (senza bordo) che è compatta.
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\end{definition}
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\begin{remark}
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Le varietà di dimensione zero sono esattamente le unioni di punti isolati.
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\end{remark}
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\begin{remark}
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Le carte locali inducono un ricoprimento aperto di $M$, e quindi, qualora $M$ fosse compatta, si potrebbe
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sempre prendere un atlante finito. \smallskip
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Inoltre, poiché $\RR^k$ è II-numerabile, si può sempre prendere un \underline{atlante numerabile}.
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\end{remark}
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\begin{remark}
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Ogni aperto di $\RR^k$ è una varietà di dimensione $k$. Le superfici sono invece varietà
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di dimensione $2$, le cui parametrizzazioni locali sono date dalle parametrizzazioni
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regolari.
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\end{remark}
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\begin{remark}[Gli aperti di varietà sono sottovarietà] \label{rmk:aperti_di_varietà_sono_varietà}
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Se $N$ è un aperto di una $m$-varietà $M$, $N$ eredita da $M$ una
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struttura di $m$-varietà per la quale l'atlante è dato dalle intersezioni
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delle carte locali con $N$ stesso. Infatti $N$ è aperto, e dunque
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l'immagine di una carta locale sarà anch'esso un aperto su $\RR^m$.
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\end{remark}
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\begin{definition}[Funzione di transizione]
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Date due parametrizzazioni locali $f : U \to f(U)$ e $g : V \to g(V)$ con intersezione
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delle immagini \underline{non} vuota, si
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definisce la \textbf{funzione di transizione da $f$ a $g$} come la seguente funzione:
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\[ \boxed{g\inv \circ f : f\inv(g(V)) \to g\inv(f(U)).} \]
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\end{definition}
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\subsection{Prodotto di varietà}
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\begin{proposition}[Prodotto di varietà] \label{prop:prodotto_varietà}
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Siano $M \subseteq \RR^k$ e $N \subseteq \RR^\ell$ varietà di dimensione
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$m$ e $n$. Allora $M \times N \subseteq \RR^{k+\ell}$ è una varietà
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di dimensione $m + n$. \smallskip
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Un atlante per $M \times N$ è dato da:
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\[ \{(f_i \times g_j, (W_i \times Q_j) \cap (M \times N))\}_{i, j}, \]
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dove $\{(f_i, W_i \cap M)\}_i$ è un atlante di $M$
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e $\{(g_i, Q_j \cap N)\}_j$ è un atlante di $N$.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Segue dal fatto che i prodotti $f_i \times g_j$ sono diffeomorfismi in quanto prodotti
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di diffeomorfismi.
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\end{proof}
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\section{Spazio tangente e differenziale su mappe tra varietà}
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\subsection{Differenziale su aperti di \texorpdfstring{$\RR^n$}{ℝⁿ}}
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Ricordiamo la definizione di differenziale per mappe su aperti di spazi reali:
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\begin{definition}[Differenziale per $f : U \subseteq \RR^k \to \RR^\ell$]
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Sia $U$ un aperto di $\RR^k$ e sia $f : U \to \RR^\ell$ una funzione liscia.
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Allora il \textbf{differenziale $\dif f_x : \RR^k \to \RR^\ell$} nel
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punto $x \in U$ è la funzione tale per cui:
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\[
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\boxed{\dif f_x(h) \defeq \lim_{t \to 0} \frac{f(x+th) - f(x)}{t}.}
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\]
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Equivalentemente $\dif f_x$ è l'unica funzione lineare tale per cui:
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\[
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f(x+h) = f(x) + \dif f_x(h) + o(\norm{h}).
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\]
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\end{definition}
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\begin{remark}
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Il differenziale $\dif f_x$ rispetta alcune proprietà fondamentali:
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\begin{enumerate}[(i.)]
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\item La matrice di $\dif f_x$ è data dallo jacobiano $Jf(x) = (\partial_{x_j} f_i(x))_{i, j}$.
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\item Il differenziale rispetta la \textit{regola della catena} (chain rule):
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\[ \dif(f \circ g)_x = \dif f_{g(x)} \circ \dif g_x. \]
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\item Data $\id_U$ su un aperto $U \subseteq \RR^k$, allora $\dif (\id_U)_x = \id_{\RR^k}$ per ogni $x \in U$.
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\item Dati $U' \subseteq U \subseteq \RR^k$ con $U'$ aperto, l'inclusione $\iota : U' \to U$ è tale per cui
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$\dif \iota_x = \id_{\RR^k}$ per ogni $x \in U'$.
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\item Se $L : U \to \RR^\ell$ è lineare, allora $\dif L_x = L$ per ogni $x \in U$.
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\end{enumerate}
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\end{remark}
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\begin{proposition} \label{prop:diffeomorfismo_iso_diff}
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Siano $U \subseteq \RR^k$, $V \subseteq \RR^\ell$ aperti. Sia $f : U \to V$ un diffeomorfismo.
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Allora $k = \ell$ e $\dif f_x$ è un isomorfismo di $\RR^k$ per ogni $x \in U$.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Sia $g : V \to U$ l'inversa di $f$. Poiché $f$ è un diffeomorfismo, $g$ è liscia. Sia $x \in U$. Allora:
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\begin{enumerate}[(i.)]
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\item $\id_{\RR^k} = \dif (\id_U)_x = \dif (g \circ f)_x = \dif g_{f(x)} \circ \dif f_x$,
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\item $\id_{\RR^\ell} = \dif (\id_V)_{f(x)} = \dif (f \circ g)_{f(x)} = \dif f_x \circ \dif g_{f(x)}$.
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\end{enumerate}
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Da (i.) si deduce che $\dif f_x$ è iniettiva, mentre da (ii.) si deduce che è surgettiva. Dunque
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$\dif f_x$ è un isomorfismo (e quindi vale anche $k = \ell$).
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\end{proof}
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\subsection{Spazio tangente in un punto di una varietà}
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\begin{remark}[Lo spazio tangente è ben definito]
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Sia $M$ una varietà di dimensione $m$. Siano $g : U \to W \cap M$ e
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$h : U' \to W' \cap M$ due parametrizzazioni locali di $x \in M$
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con $g(u) = h(u') = x$. \smallskip
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Supponiamo senza perdita di generalità che $W' = W$ (è sufficiente restringere
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le immagini). La funzione
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$g \circ h\inv$ è un diffeomorfismo in quanto composizione di diffeomorfismi
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(vd. Proposizione \ref{prop:comp_liscia}). Allora per la Proposizione \ref{prop:diffeomorfismo_iso_diff}
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$\dif (h\inv \circ g)_u$ è un isomorfismo. \smallskip
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Osserviamo che:
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\[
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\dif g_u = \dif (h \circ (h\inv \circ g))_u = \dif h_{u'} \circ \dif (h\inv \circ g)_u.
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\]
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Dal momento che $\dif (h\inv \circ g)_u$ è in particolare surgettiva, si ha:
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\[
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\dif g_u(\RR^m) = \dif h_{u'}(\RR^m).
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\]
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\end{remark}
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\begin{definition}[Spazio tangente]
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Sia $x$ un punto di una varietà $M$ di dimensione $m$. Presa una
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parametrizzazione locale $g : U \subseteq \RR^m \to W \cap M$ di
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$x$ con $g(u) = x$, si definisce lo \textbf{spazio tangente di $M$ in $x$} come:
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\[
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\boxed{T_x M \defeq \dif g_u(\RR^m).}
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|
\]
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\end{definition}
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\begin{proposition}
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Sia $x$ un punto di una varietà $M$ di dimensione $m$. Allora:
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\[
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\boxed{\dim T_x M = m.}
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\]
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Si prenda una parametrizzazione locale
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$g : U \subseteq \RR^m \to W \cap M$ di
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$x$ con $g(u) = x$. È sufficiente dimostrare
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che $\dif g_u$ è una mappa iniettiva. \smallskip
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La mappa $g$ è indotta dalla carta locale tramite
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un'estensione $F : W \to \RR^m$ con:
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\[
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\restr{F}{W \cap M} = g\inv.
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\]
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Osserviamo allora che:
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\[
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|
\id_{\RR^m} = \dif (F \circ g)_u = \dif F_{x} \circ \dif g_u,
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|
\]
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da cui si deduce che $\dif g_u$ ammette un'inversa sinistra, ed è
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dunque iniettiva.
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\end{proof}
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\begin{remark}[Spazio tangente in un prodotto di varietà] \label{rmk:tangente_prodotto}
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Siano $M$ e $N$ due varietà di dimensione $m$ e $n$.
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Se $f_i \times g_j$ è una carta locale di $M \times N$,
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come ottenuto nella Proposizione \ref{prop:prodotto_varietà}, allora:
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\begin{align*}
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T_{(m, n)}(M \times N) & = d(f_i^{-1} \times g_j^{-1})_{(m, n)}(\mathbb{R}^{m+n}) \\
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& \cong d(f_i^{-1})(\mathbb{R}^m) \times d(g_j^{-1})(\mathbb{R}^n) \\
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& = T_m M \times T_n N
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\end{align*}
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Quindi vale il seguente isomorfismo canonico, ottenuto proiettando sulle componenti:
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\[
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\boxed{T_{(m, n)} (M \times N) \cong T_m M \times T_n N.}
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\]
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\end{remark}
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\subsection{Differenziale per mappe lisce tra varietà}
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\begin{remark}[Il differenziale per mappe lisce è ben definito]
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Siano $M \subseteq \RR^k$ una varietà di dimensione $m$, $N \subseteq \RR^\ell$
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un'altra varietà, e sia
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$f : M \to N$ una mappa liscia tra varietà. \smallskip
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Sia $F : W \to \RR^\ell$ un'estensione di $f$ per un intorno aperto di
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$x \in M$. Siano $g : U \subseteq \RR^m \to W \cap M$ una parametrizzazione
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locale di $x$ e $h : V \to N$ una parametrizzazione locale di $f(x)$ con
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$g(u) = x$ e $h(v) = f(x)$.
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\[\begin{tikzcd}
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M && W && N \\
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\\
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U &&&& V
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\arrow["\iota", from=1-1, to=1-3]
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\arrow["F", from=1-3, to=1-5]
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|
\arrow["g", from=3-1, to=1-1]
|
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|
\arrow["{h\inv \circ F \circ g}"', dashed, from=3-1, to=3-5]
|
|
|
\arrow["h"', from=3-5, to=1-5]
|
|
|
\end{tikzcd}\]
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|
Dal diagramma commutativo si deduce che:
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\[
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\dif F_x \circ \dif g_u = \dif h_v \circ \dif (h\inv \circ F \circ g)_u.
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\]
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Pertanto $\dif F_x(T_x M)$ \underline{non} dipende dalla scelta dell'estensione $F$ e vale:
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\[ \dif F_x(T_x M) \subseteq T_{f(x)} N. \]
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|
\end{remark}
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\begin{definition}[Differenziale su mappe tra varietà]
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Sia $f : M \to N$ una mappa tra varietà. Se $F$ è un'estensione di $f$
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in $x$, si definisce il \textbf{differenziale di $f$ in $x$}
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|
$\dif f_x : T_x M \to T_{f(x)} N$ come segue:
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\[
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\boxed{\dif f_x \defeq \restr{\dif F_x}{T_x M}.}
|
|
|
\]
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|
|
\end{definition}
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|
\begin{remark}
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Le proprietà del differenziale su aperti di $\RR^n$ si trasferiscono
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|
facilmente al differenziale su mappe tra varietà:
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\begin{enumerate}[(i.)]
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\item Il differenziale rispetta la \textit{regola della catena} (chain rule):
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\[ \dif(f \circ g)_x = \dif f_{g(x)} \circ \dif g_x. \]
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|
|
\item Data $\id_M$ per una varietà $M$, allora $\dif (\id_M)_x = \id_{T_x M}$ per ogni $x \in M$.
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|
\item Dati $M'$ e $M$ sono varietà con $M' \subseteq M$, l'inclusione $\iota : M' \to M$ è liscia,
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|
$\dif \iota_x : T_x M' \to T_x M$ è iniettiva e $T_x M'$ è un sottospazio di $T_x M$.
|
|
|
\item Se $f : M \to N$ è un diffeomorfismo, allora $\dif f_x$ è un isomorfismo per ogni $x \in M$.
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|
|
\end{enumerate}
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\end{remark}
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\begin{proposition}[Differenziale per prodotti di varietà] \label{prop:diff_prodotto}
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Sia $f : M \to N \times O$ una mappa liscia, dove $M$, $N$ e $O$ sono varietà.
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|
Se $f(x) = (g(x), p(x))$, allora $g$ e $p$ sono lisce e vale:
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\[
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\boxed{\dif f_x(h) = (\dif g_x(h), \dif p_x(h)).}
|
|
|
\]
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\end{proposition}
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\section{Valori regolari e critici}
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\subsection{Prime definizioni}
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\begin{definition}[Punti regolari o critici]
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Sia $f : M \to N$ una mappa liscia tra varietà, con
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$\dim M = m$ e $\dim N = n$. \smallskip
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Sia $x \in M$. Si dice che $x$ è un \textbf{punto critico}
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se $\rk(\dif f_x) < n$, e altrimenti si dice che è un
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\textbf{punto regolare}. \smallskip
|
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Indichiamo con $\crit(f)$ l'insieme dei punti critici di
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$f$.
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|
|
\end{definition}
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\begin{definition}[Valori regolari o critici]
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Sia $f : M \to N$ una mappa liscia tra varietà, con
|
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|
$\dim M = m$ e $\dim N = n$. \smallskip
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Sia $y \in N$. Si dice che $y$ è un \textbf{valore critico}
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se è immagine di almeno un punto critico, e altrimenti si dice che
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è un \textbf{valore regolare} (in particolare lo è se
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|
|
$f\inv(y) = \emptyset$).
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|
\end{definition}
|
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\begin{remark}
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È immediato osservare che l'insieme dei valori critici di
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$f$ è esattamente $f(\crit(f))$.
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\end{remark}
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\begin{remark}[I punti regolari formano un aperto] \label{rmk:punti_regolari_formano_aperto}
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Se $x$ è un punto regolare di una mappa liscia
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$f : M \to N$, esiste sempre un intorno aperto $U$
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di $x$ in $M$ composto di soli punti regolari. \smallskip
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Scelta una parametrizzazione locale $g : U \to g(U)$ di un intorno aperto di $x$,
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si può scegliere infatti una base ``comune'' per ogni $T_y M$ al
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variare di $y$ in $g(U)$, e così si può rappresentare
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$\dif f_y$ matricialmente. \smallskip
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Poiché $x$ è regolare, $\dif f_x$ è surgettiva. Allora
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$\dif f_x$ ammette un minore di taglia massima di
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determinante \underline{non} nullo. Il determinante di questo minore,
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al variare di $y \in g(U)$, varia continuamente; in particolare, per
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il Teorema della permanenza del segno, esiste un intorno di $x$
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in cui continua a essere \underline{non} nullo. \smallskip
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Equivalentemente esiste un intorno aperto di $x$ in cui tutti i punti
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sono regolari.
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\end{remark}
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\subsection{Teorema di invertibilità locale per varietà e lemma della pila di dischi}
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\begin{theorem}[di invertibilità locale per varietà] \label{thm:invertibilità_locale_varietà}
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Siano $M$ e $N$ due varietà di stessa dimensione. Sia
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$f : M \to N$ una mappa liscia. Se $x \in M$ è regolare,
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allora esiste un intorno $A$ di $x$ in $M$ tale per cui
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$\restr{f}{A} : A \to f(A)$ è un diffeomorfismo.
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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Sia $g : U \to g(U)$ una parametrizzazione locale di $x$ in $M$
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con $g(u) = x$.
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Sia $h : V \to h(V)$ una parametrizzazione locale di $f(x)$ in $N$
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con $h(v) = f(x)$.
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A meno di restringere il dominio di $g$, possiamo supporre che
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$f(g(U)) \subseteq h(V)$.
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\[\begin{tikzcd}
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M && N \\
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\\
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U && V
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\arrow["f"{description}, from=1-1, to=1-3]
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\arrow["g", from=3-1, to=1-1]
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\arrow["{h\inv \circ f \circ g}"{description}, dashed, from=3-1, to=3-3]
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\arrow["h", from=3-3, to=1-3]
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\end{tikzcd}\]
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Osserviamo che:
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\[ \dif f_x \circ \dif g_u = \dif h_{f(x)} \circ \dif (h\inv \circ f \circ g)_u. \]
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Dal momento che $x$ è regolare, $\dif f_x$ è un isomorfismo. Poiché anche $\dif g_u$
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e $\dif h_{f(x)}$ sono isomorfismi ($g$ e $h$ sono diffeomorfismi, vd. Proposizione
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\ref{prop:diffeomorfismo_iso_diff}), allora anche $\dif (h\inv \circ f \circ g)_u$ è
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un isomorfismo. \smallskip
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Per il Teorema di invertibilità locale sugli aperti di $\RR^n$, allora esiste un
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aperto $A'$ di $U$ su cui $\restr{h\inv \circ f \circ g}{A'}$ è un diffeomorfismo.
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Osserviamo che:
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\[
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\restr{f}{g(A')} = \restr{h}{h\inv(f(g(A')))} \circ \restr{h\inv \circ f \circ g}{A'} \circ \restr{g\inv}{g(A')}.
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\]
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Quindi $\restr{f}{g(A')}$ è un diffeomorfismo in quanto composizione di restrizioni di
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diffeomorfismi (vd. Proposizione \ref{prop:comp_liscia}), e $A \defeq g(A')$ è l'intorno cercato.
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\end{proof}
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\begin{proposition} \label{prop:controimmagine_regolare_finita}
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Sia $M$ una varietà compatta. Sia $f : M \to N$ una mappa liscia tra varietà della
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\underline{stessa dimensione}. Se $y \in N$ è un valore regolare, allora $f\inv(y)$ è un insieme finito.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Poiché $N$ è T1, $f\inv(y)$ è un chiuso di $M$; pertanto, essendo $M$ compatta, $f\inv(y)$ è
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un compatto. \smallskip
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Mostriamo ora che $f\inv(y)$ è discreto. Sia $x \in f\inv(y)$. Dal momento che $y$ è un valore regolare,
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$x$ è un punto regolare. Quindi esiste per il Teorema \ref{thm:invertibilità_locale_varietà} un
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intorno aperto $A \subseteq M$ di $x$ per cui $\restr{f}{A}$ è un diffeomorfismo. In questo intorno $x$
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è l'unica controimmagine di $y$ mediante $f$, e quindi $f\inv(y)$ è discreto. \smallskip
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Dal momento che $f\inv(y)$ è sia compatto che discreto, $f\inv(y)$ è finito.
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\end{proof}
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\begin{lemma}[della pila dei dischi] \label{lem:pila}
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Siano $M$ e $N$ varietà della \underline{stessa dimensione}.
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Sia $M$ compatta. Sia $f : M \to N$ una mappa liscia con $y \in N$ valore regolare.
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Allora esiste un intorno $V$ di $y$ tale per cui:
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\[
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\abs{f\inv(y')} = \abs{f\inv(y)}, \quad \forall y' \in V.
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\]
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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Sappiamo dalla Proposizione \ref{prop:controimmagine_regolare_finita} che
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$f\inv(y)$ è finito. Se $f\inv(y) = \{x_1, \ldots, x_n\}$, riprendendo gli intorni aperti $A_i$
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come definiti nella dimostrazione della Proposizione \ref{prop:controimmagine_regolare_finita},
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allora possiamo definire:
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\[
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V \defeq \bigcap_{i = 1}^n f(A_i) \setminus f\left(M \setminus \bigcup_{i = 1}^n A_i\right).
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|
\]
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Gli $f(A_i)$ sono aperti dal momento che $f$ è un diffeomorfismo. L'insieme $M \setminus \bigcup_{i = 1}^n A_i$
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è un chiuso in un compatto, e quindi è compatto; allora $f\left(M \setminus \bigcup_{i = 1}^n A_i\right)$ è compatto,
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e dunque chiuso essendo $N$ uno spazio T2. Quindi $f\left(M \setminus \bigcup_{i = 1}^n A_i\right)^c$ è aperto.
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|
Si conclude dunque che $V$ è aperto. \smallskip
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Su $V$, $\abs{f\inv(\cdot)}$ è necessariamente costante: la prima intersezione assicura che esistano
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almeno $\abs{f\inv(y)}$ controimmagini, e la sottrazione insiemistica assicura che non possano esisterne di più.
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\end{proof}
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\subsection{Misura nulla e teoremi di Sard e Brown}
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\begin{definition}[Sottinsiemi di varietà di misura nulla]
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Sia $A$ un sottinsieme di una varietà $M$ di dimensione $m$.
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Si dice che
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$A$ ha \textbf{misura nulla (rispetto a $M$)} se per ogni
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carta locale $(f, W \cap M)$, $f(A \cap W)$ ha misura nulla
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in $\RR^m$.
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\end{definition}
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\begin{theorem}[di Sard, per le varietà] \label{thm:sard}
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Sia $f : M \to N$ una
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mappa liscia tra due varietà. Allora l'insieme dei valori
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critici $f(\crit(f))$ ha misura nulla in $N$.
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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Sia $\{(f_i, W_i \cap M)\}_{i \geq 1}$ un atlante numerabile di $M$ e
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sia $(g, Z \cap N)$ una carta locale di $N$. Poniamo:
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\[
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h_i \defeq g \circ \restr{f}{W_i \cap M} \circ f_i.
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\]
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|
A meno di restringere o ignorare $W_i$, possiamo
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supporre $f(W_i \cap M) \subseteq Z \cap N$.
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\[\begin{tikzcd}
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{W_i \cap M} && {Z \cap N} \\
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\\
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U && V
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\arrow["{\restr{f}{W_i \cap M}}", from=1-1, to=1-3]
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\arrow["{f_i}"', from=1-1, to=3-1]
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|
\arrow["g"', from=1-3, to=3-3]
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|
\arrow["{h_i = g \circ \restr{f}{W_i \cap M} \circ f_i}"', dashed, from=3-1, to=3-3]
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|
|
\end{tikzcd}\]
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|
Osserviamo che:
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\[
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\dif (h_i)_u = \dif g_{f(f_i\inv(u))} \circ \dif f_{f_i\inv(u)} \circ \dif (f_i\inv)_u
|
|
|
\]
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|
|
Allora, poiché $\dif g_{f(f_i\inv(u))}$ e $\dif (f_i\inv)_u$ sono isomorfismi
|
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($f_i$ e $g$ sono diffeomorfismi, vd. Proposizione \ref{prop:diffeomorfismo_iso_diff}),
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i valori critici di $f$ sono in corrispondenza con quelli degli $h_i$ tramite $g$. \medskip
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|
Per il Teorema di Sard sugli aperti di $\RR^n$, $g(f(\crit(f) \cap W_i) \cap Z)$ ha allora
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misura zero. Allora, $g(f(\crit(f)) \cap Z)$, che è un unione numerabile di insiemi di misura
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nulla, ha misura nulla. Quindi $f(\crit(f))$ ha misura nulla per definizione.
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\end{proof}
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\begin{corollary}[di Brown] \label{cor:brown} Sia $f : M \to N$ una
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mappa liscia tra due varietà. Allora l'insieme dei valori
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regolari di $f$ è denso in $N$.
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\end{corollary}
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\begin{proof}
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È sufficiente verificare che in un intorno di un valore critico $y \in N$ ci
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sia almeno un valore regolare. Se così \underline{non} fosse, tramite una carta
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locale si troverebbe la chiusura di un rettangolo di soli valori critici, il
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cui volume è non nullo. Allora $f(\crit(f))$ non avrebbe misura nulla, che
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è assurdo per il Teorema \ref{thm:sard}.
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\end{proof}
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\subsection{Varietà a partire da valori regolari}
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\begin{theorem} \label{thm:varietà_da_valore_regolare}
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Sia $f : M \to N$ una mappa liscia tra varietà con $\dim M = m \geq n = \dim N$. Se
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$y \in N$ è regolare, allora $f\inv(y)$ è una varietà di dimensione $m - n$
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\textnormal{(codimensione $n$)}.
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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Sia $k$ tale per cui $M \subseteq \RR^k$, e sia $x \in f\inv(y)$.
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Allora $x$ è per ipotesi un punto regolare, e quindi
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$\dif f_x : T_x M \to T_y N$ è una mappa surgettiva, con:
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\[
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\dim \ker(\dif f_x) = m - n.
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\]
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Sia $L : \RR^k \to \RR^{m-n}$ una mappa lineare, dove $T_x M \subseteq \RR^k$
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|
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e $\restr{L}{T_x M}$ è isomorfismo. \smallskip
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Consideriamo la mappa $F : M \subseteq \RR^k \to N \times \RR^{m-n}$ tale per cui:
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\[
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F(m) = (f(m), L(m)).
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\]
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Allora, per la Proposizione \ref{prop:diff_prodotto}, vale:
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\[
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\dif F_x(v) = (\dif f_x(v), \dif L_x(v)) = (\dif f_x(v), L(v)),
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\]
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dove si è usato che $L$ è una mappa lineare. $\dif F_x(v)$ si annulla solo
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per $v = 0$, essendo $\restr{L}{T_x M}$ un isomorfismo; quindi
|
|
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$\dif F_x(v)$ è invertibile, e $x$ è regolare per $F$. \smallskip
|
|
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Osserviamo che $F$ è una mappa tra varietà della stessa dimensione (vd. Proposizione
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\ref{prop:prodotto_varietà}), e quindi, per la Proposizione
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\ref{thm:invertibilità_locale_varietà}, esiste un intorno $U$ di $x$ in $M$ tale per cui
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|
$\restr{F}{U} : U \to V \defeq F(U)$ è un diffeomorfismo. \smallskip
|
|
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La restrizione $\restr{F}{U}$ mappa $U \cap f\inv(y)$ su un aperto di $V \cap (\{y\} \times \RR^{m-n})$,
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che è diffeomorfo a un aperto di $\RR^{m-n}$ ($\{y\} \times \RR^{m-n} \cong \RR^{m-n}$). In particolare
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induce una carta locale per $x$, e quindi $f\inv(y)$ è una varietà di dimensione $m-n$.
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\end{proof}
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\begin{proposition} \label{prop:tangente_valore_regolare}
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Sia $f : M \to N$ una mappa liscia tra varietà con $\dim M = m \geq n = \dim N$. Se
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$y \in N$ è regolare, posto $P \defeq f\inv(y)$, si ha:
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\[
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\boxed{T_x P = \ker \dif f_x, \quad \forall x \in P.}
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\]
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Inoltre $\restr{\dif f_x}{(T_x P)^\perp}$ è un isomorfismo.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Poiché $P = f\inv(y)$, l'inclusione $\iota : P \to M$ è tale
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per cui $f \circ \iota$ è costante. Tuttavia una mappa costante
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ha differenziale nullo, e dunque:
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\[
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\dif f_x \circ \underbrace{\iota_{T_x P}}_{\mathclap{= \, \dif \iota^P_x}} = 0 \implies T_x P \subseteq \ker(\dif f_x).
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\]
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Poiché $\dim T_x P = m - n = \ker(\dif f_x)$, si ottiene
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l'uguaglianza $T_x P = \ker(\dif f_x)$. \smallskip
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Osserviamo che $\dim (T_x P)^\perp = n$ e che $(T_x P)^\perp \cap T_x P = \{0\}$.
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Allora $\restr{\dif f_x}{(T_x P)^\perp}$ è iniettiva, e per uguaglianza dimensionale
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tra $(T_x P)^\perp$ e $T_y N$ si conclude che è un isomorfismo.
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\end{proof}
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\begin{corollary} \label{cor:sn_è_varietà}
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$S^n \subseteq \RR^{n+1}$ è una varietà di dimensione $n$ e $T_x S^n = x^\perp \subseteq \RR^{n+1}$.
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\end{corollary}
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\begin{proof}
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Presa $f : \RR^{n+1} \to \RR$ tale per cui:
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\[
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f(x) \defeq x \cdot x = x_1^2 + \ldots + x_{n+1}^2,
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\]
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si ha $S^n = f\inv(1)$. Osserviamo che:
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\[
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Jf_x = 2x^\top.
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\]
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Dunque l'unico valore critico di $f$ è $0$. Pertanto
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$S^n = f\inv(1)$ è una varietà di dimensione $(n+1)-1 = n$. \smallskip
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Poiché $\dif f_x(h) = Jf(x) \cdot h = 2x^\top h$, per la
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Proposizione \ref{prop:tangente_valore_regolare} vale
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anche $T_x S^n = \ker \dif f_x = x^\perp$.
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\end{proof}
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\begin{corollary}
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$O(n) \subseteq M(n)$ è una varietà di dimensione $\frac{n(n-1)}{2}$.
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\end{corollary}
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\begin{proof}
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Presa $f : M(n) \cong \RR^{n^2} \to S(n) \cong \RR^{\frac{n(n+1)}{2}}$ tale per cui:
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\[ f(A) = AA^\top, \]
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|
si ha $O(n) = f\inv(I)$. Osserviamo che:
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\[ \dif f_A : M(n) \to S(n), \quad \dif f_A(B) = AB^\top + B A^\top. \]
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|
Mostriamo che $\dif f_A$ è surgettiva per $A \in f\inv(I) = O(n)$. \smallskip
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Sia $C \in S(n)$ simmetrica. Allora $C$ è uguale
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alla sua parte simmetrica:
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\[
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C = \frac{1}{2} C + \frac{1}{2} C^\top,
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|
\]
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e quindi, ponendo $\frac{1}{2} C = AB^\top$, si ottiene la seguente
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soluzione a $AB^\top + BA^\top = C$:
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\[
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B = \frac{1}{2} C^TA.
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\]
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|
Dunque $I$ è un valore regolare, e $O(n)$ è una varietà
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di dimensione $n^2 - \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$.
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\end{proof}
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\section{Varietà con bordo}
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\subsection{Semispazio superiore e varietà con bordo}
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\begin{definition}[Semispazio superiore]
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Si definisce il \textbf{semispazio superiore} $H^n$ in $\RR^n$ come:
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\[
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\boxed{H^n \defeq \{x \in \RR^n \mid x_n \geq 0\}.}
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|
|
\]
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\end{definition}
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|
\begin{remark} \label{rmk:hn_diffeo_rn-1}
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Osserviamo che in modo naturale vale il seguente diffeomorfismo:
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\[
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\boxed{\partial H^n = \{ x \in \RR^n \mid x_n = 0 \} \cong \RR^{n-1}.}
|
|
|
\]
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|
\end{remark}
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\begin{definition}[$m$-varietà con bordo]
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Si dice che $M \subseteq \RR^k$ è una \textbf{$m$-varietà con bordo} se
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ogni punto di $M$ ammette un intorno diffeomorfo ad un aperto del semispazio
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superiore $H^n$. Gli intorni e i diffeomorfismi citati formano le
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\textbf{carte locali} della varietà, e le inverse di tali diffeomorfismi
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sono dette \textbf{parametrizzazioni locali}. Analogamente si definiscono
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le \textbf{funzioni di transizione}. \smallskip
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Si dice \textbf{bordo} della varietà $M$ l'insieme dei punti che è immagine
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di un punto di $\partial H^n$ tramite qualche parametrizzazione locale, e
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si indica con $\partial M$.
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\end{definition}
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\begin{remark}
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La definizione data è coerente con la definizione di varietà senza bordo: una
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varietà senza bordo $M$ è esattamente una varietà con bordo $M$ tale per cui
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$\partial M = \emptyset$. \smallskip
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Utilizzeremo dunque indistintamente le due caratterizzazioni.
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\end{remark}
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\subsection{Proprietà del bordo di una varietà con bordo}
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\begin{lemma}[I punti di bordo sono sempre immagini di elementi di bordo] \label{lem:punti_di_bordo}
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Sia $x$ un punto del bordo $\partial M$ di una $m$-varietà con bordo $M$. Se
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$g$ è una parametrizzazione locale di $x$, allora $x$ è immagine di un
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punto di bordo di $H^n$ tramite $g$. Equivalentemente, $x$ è un punto di
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$\partial M$ se e solo se è immagine di un valore di bordo per
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ogni sua parametrizzazione locale.
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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Sia $g : U \subseteq H^m \to g(U)$ una parametrizzazione locale di $x$ con
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$g(u) = x$. Poiché $x$ è un punto di $\partial M$,
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allora esiste una parametrizzazione locale $f : V \subseteq H^m \to f(V)$
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di $x$ tale per cui esiste $v \in \partial V = \partial H^m \cap V$ con
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$f(v) = x$. \smallskip
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Se $f = g$, la tesi è dimostrata. Se $f \neq g$ e per assurdo $u \notin \partial U$,
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allora la funzione di transizione $g\inv \circ f$ si restringerebbe a
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un diffeomorfismo tra un aperto di $\RR^m$ diffeomorfo a $\RR^m$ e
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un aperto di $H^m$ diffeomorfo a $H^m$. Tuttavia $\RR^m$ e
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$H^m$ non sono diffeomorfi, \Lightning. Dunque $u \in \partial U$.
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\end{proof}
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\begin{corollary}[Il bordo si trasporta naturalmente tramite parametrizzazione locale] \label{cor:bordo_param_locale}
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Sia $g : U \to g(U)$ una parametrizzazione locale di una $m$-varietà con bordo $M$. Allora:
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\[
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\boxed{g(\partial U) = g(U) \cap \partial M.}
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\]
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\end{corollary}
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\begin{proof}
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L'inclusione $g(\partial U) \subseteq g(U) \cap \partial M$ è ovvia.
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L'inclusione opposta invece è data dal Lemma \ref{lem:punti_di_bordo}.
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\end{proof}
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\begin{proposition}
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Sia $M$ una $m$-varietà con bordo. Allora $\partial M$ è
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una varietà senza bordo di dimensione $m-1$.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Sia $x \in \partial M$. Allora esiste una parametrizzazione locale
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$g : U \subseteq H^m \to M$ con $g(u) = x$ e $u \in \partial U = U \cap \partial H^m$. \smallskip
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La restrizione $\restr{g}{\partial U}$ è un diffeomorfismo (vd. Proposizione \ref{prop:comp_liscia}). Ricordiamo che
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$g(\partial U) = g(U) \cap \partial M$ dal Corollario \ref{cor:bordo_param_locale}. Allora, poiché
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$\partial H^m \cong \RR^{m-1}$, possiamo identificare
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$\partial U$ come aperto in $\RR^{m-1}$. Quindi
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$(\restr{g}{\partial U})\inv$ induce una carta locale per $\partial M$,
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e si conclude che $\partial M$ è una varietà di dimensione $m-1$. \smallskip
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\end{proof}
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\subsection{Differenziale e spazio tangente su varietà con bordo}
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\begin{remark}[Il differenziale sul bordo di $H^n$ è ben definito]
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ia $g : U \to \RR^k$ una mappa liscia da un aperto $U \subseteq H^n$.
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Supponiamo $\tilde{g}$ e $\hat{g}$ siano due estensioni di $g$ in
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un intorno aperto di $x \in U \cap \partial H^n$. Supponiamo a meno di restringimento
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che $\tilde{g}$ e $\hat{g}$ condividano lo stesso dominio. \smallskip
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Il differenziale $\dif \tilde{g}_x$ coincide allora con
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$\dif \hat{g}_x$. Sia infatti ${u_i}_{i \geq 0}$ è una successione
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in $H^n \setminus \partial H^n$ con $u_i \to x$. Poiché $\tilde{g}$
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e $\hat{g}$ sono lisce, il differenziale vara con continuità, ovverosia:
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\[
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\dif \tilde{g}_x = \lim_{i \to \infty} \dif \tilde{g}_{u_i} =
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\lim_{i \to \infty} \dif \hat{g}_{u_i} = \dif \hat{g}_x,
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\]
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dove si è usato che sugli $u_i$ i differenziali certamente coincidono,
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potendoci restringere a un aperto in $U$ non intersecante il bordo.
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\end{remark}
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\begin{definition}[Differenziale su $H^n$]
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Sia $g : U \to \RR^k$ una mappa liscia da un aperto $U \subseteq H^n$. \smallskip
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Per $x \in U \setminus \partial H^n$, il differenziale $\dif g_x$ è
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definito come l'usuale differenziale dato dalla restrizione di $g$ a un aperto
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di $\RR^n$. \smallskip
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Per $x \in U \cap \partial H^n$, il differenziale $\dif g_x$ è indotto dal
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differenziale di una qualsiasi estensione $\tilde{g}$ di $g$ in un intorno
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aperto di $x$, ovverosia:
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\[
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\boxed{\dif g_x \defeq \dif \hat{g}_x.}
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\]
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\end{definition}
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\begin{remark}
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Come nel caso di una parametrizzazione locale da un aperto di $\RR^n$,
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anche il differenziale di una parametrizzazione locale di una varietà con
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bordo è iniettiva per motivi analoghi.
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\end{remark}
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\begin{definition}[Spazio tangente per varietà con bordo]
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Sia $M \subseteq \RR^k$ una $m$-varietà con bordo. Sia
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$x$ un punto di $M$. Si definisce allora lo \textbf{spazio tangente
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di $x$ su $M$} come:
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\[
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\boxed{T_x M \defeq \dif g_u(\RR^m),}
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\]
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dove $g$ è una parametrizzazione locale di un intorno di $x$ in $M$
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con $g(u) = x$.
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\end{definition}
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\begin{remark}
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Come per il caso di una varietà senza bordo, si dimostra che il
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differenziale è ben definito. Valgono inoltre ancora le usuali
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proprietà del differenziale, inclusa la regola della composizione
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(\textit{chain rule}).
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\end{remark}
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\begin{remark}
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A partire da queste definizioni, si definiscono in modo analogo i
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concetti di punto regolare/critico e di valore regolare/critico. \smallskip
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Si generalizza facilmente in questo senso
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il Teorema di Sard (Teorema \ref{thm:sard}), così come quello di
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Brown (Corollario \ref{cor:brown}).
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\end{remark}
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\subsection{Varietà con bordo da valori regolari}
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\begin{theorem} \label{thm:varietà_bordata_da_valore_regolare_su_R}
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Sia $f : M \to \RR$ una mappa liscia tra varietà, dove $M$ è una $m$-varietà senza bordo. Se
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$0$ è un valore regolare per $f$, allora $\{ f \geq 0 \}$ è una
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$m$-varietà con bordo $f\inv(0) = \{f = 0\}$.
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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L'insieme $\{f > 0\}$ è un aperto di $M$ dal momento che $f$ è continua, e quindi
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eredita la struttura di varietà di $M$ (vd. Osservazione \ref{rmk:aperti_di_varietà_sono_varietà}).
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Dunque, conosciamo già le carte locali di un punto $x \in \{f > 0\}$. \smallskip
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Sia $x$ un punto di $\{f = 0\} = f\inv(0)$. Poiché $0$ è un valore regolare, $\dif f_x$ è
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surgettiva, e quindi $\dim \ker \dif f_x = m - 1$. Supponiamo che $k$ sia tale per cui $M \subseteq \RR^k$.
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Allora possiamo costruire un'applicazione lineare $L : \RR^k \to \RR^{m-1}$ tale per cui
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$\restr{L}{\ker \dif f_x}$ è un isomorfismo. \smallskip
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Consideriamo la mappa $F : M \to \RR^{m-1} \times \RR$ tale per cui:
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\[
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F(m) = (L(m), f(m)).
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\]
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Allora $F$ è una mappa liscia tra varietà, il cui differenziale in $x$ è un isomorfismo. Dunque, per il
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Teorema \ref{thm:invertibilità_locale_varietà}, esiste un intorno aperto $U$ di $x$ in $M$ per il quale
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$\restr{F}{U} : U \to V \defeq F(U)$ è un diffeomorfismo. \smallskip
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Tramite $\restr{F}{U}$ si induce allora un diffeomorfismo tra l'aperto $(\RR^{m-1} \times \RR_{\geq 0}) \cap V = H^m \cap V$
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di $H^m$ e l'aperto $F\inv(H^m \cap V) = \{ f > 0 \} \cap U$, tramite il quale il punto $x$ viene
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mappato su $\partial H^m \cap V$. Dunque $\{ f \geq 0 \}$ è una $m$-varietà con bordo $f\inv(0)$.
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\end{proof}
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\begin{remark}
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Chiaramente il Teorema \ref{thm:varietà_bordata_da_valore_regolare_su_R} si generalizza
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a qualsiasi insieme della forma $\{ f \operatorname{op} a \}$ con $\operatorname{op} \in \{\leq, \geq\}$
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e $a$ valore regolare di $f$.
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\end{remark}
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\begin{corollary}
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$D^n$ è una varietà $n$-dimensionale con bordo $S^{n-1}$.
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\end{corollary}
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\begin{proof}
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Sia $f : \RR^n \to \RR$ tale per cui:
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\[
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f(x) \defeq x \cdot x = x_1^2 + \ldots + x_{n}^2.
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\]
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Allora, come visto per il Corollario \ref{cor:sn_è_varietà},
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$1$ è valore regolare di $f$, e quindi $D^n = \{ f \leq 1 \}$ è
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una $n$-varietà con bordo $S^{n-1}$ per il Teorema \ref{thm:varietà_bordata_da_valore_regolare_su_R}.
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\end{proof}
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\begin{lemma} \label{lem:varietà_bordata_da_valore_regolare_caso_particolare}
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Sia $f : H^m \to \RR^n$ con $m > n$ una mappa liscia. \smallskip
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Se $y \in \RR^n$ è un valore regolare
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sia per $f$ che per $\restr{f}{\partial H^m}$ con $f\inv(y) \neq \emptyset$, allora $f\inv(y)$ è una $(m-n)$-varietà con bordo
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$\partial f\inv(y) = f\inv(y) \cap \partial H^m$.
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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Sia $x \in f\inv(y)$. Supponiamo valga $x \in \Int(H^m) = H^m \setminus \partial H^m$. Possiamo
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restringerci a un intorno aperto $U$ di $x$ in $\RR^m$, per il quale $\restr{f}{U}$ diventa una mappa tra
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varietà senza bordo. Allora $\restr{f}{U}\inv(y)$ è una $(m-n)$ varietà senza bordo per il
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Teorema \ref{thm:varietà_da_valore_regolare}. Quindi $x$ eredita da questa varietà le carte locali su $f\inv(y)$;
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inoltre $x$ \underline{non} potrà appartenere al bordo di $f\inv(y)$, essendo nell'immagine di una parametrizzazione
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di un aperto di $\RR^{m-n}$. \smallskip
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Supponiamo valga adesso $x \in \partial H^m$. Poiché $f$ è liscia, esistono un intorno aperto $W$
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di $x$ in $\RR^m$ e un'estensione liscia $F : W \to \RR^n$ per cui:
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\[
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\restr{F}{W \cap H^m} = \restr{f}{W \cap H^m}.
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\]
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Dal momento che $\dif F_x = \dif f_x$, e $x$ è un punto regolare per $f$, allora $\dif F_x$ è surgettiva,
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e $x$ è punto regolare anche per $F$. Dal momento che i punti regolari formano un aperto (vd. Osservazione
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\ref{rmk:punti_regolari_formano_aperto}), possiamo supporre, a meno di restringere $W$, che \underline{non}
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vi siano punti critici in $W$. Pertanto, $y$ sarà valore regolare per $F$ e $F\inv(y)$ è dunque una $(m-n)$-varietà
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senza bordo per il Teorema \ref{thm:varietà_da_valore_regolare}. \smallskip
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Sia $\pi : \RR^m \to \RR$ la proiezione tale per cui $x \mapsto x_m$. Allora $\pi$ è una mappa liscia. \smallskip
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Mostriamo che $0$ è un valore regolare per $\restr{\pi}{F\inv(y)}$. Osserviamo innanzitutto che:
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\[
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(\restr{\pi}{F\inv(y)})\inv(0) = F\inv(y) \cap \partial H^m \underbrace{=}_{\mathclap{(W \setminus H^m) \cap \partial H^m = \emptyset}} f\inv(y) \cap \partial H^m.
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|
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\]
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Sia $y^* \in f\inv(y) \cap \partial H^m$. Osserviamo che:
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\begin{enumerate}[(i.)]
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\item $T_{y^*} F\inv(y) = \ker \dif F_{y^*} = \ker \dif f_{y^*}$ per la Proposizione \ref{prop:tangente_valore_regolare}, e questo spazio
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ha dimensione $m-n$.
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\item $T_{y^*} \partial H^m = \ker \dif \pi_{y^*}$ per la Proposizione \ref{prop:tangente_valore_regolare}.
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\item $\ker \dif (\restr{f}{\partial H^m})_{y^*} = \ker \restr{\dif f_{y^*}}{T_{y^*} \partial H^m}$ ha dimensione
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$m-n-1$ dal momento che $y$ è per ipotesi un valore regolare di $\restr{f}{\partial H^m}$, dove per l'uguaglianza
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dei due nuclei si è utilizzato che:
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\[
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\restr{f}{\partial H^m} = f \circ \iota^{\partial H^m},
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\]
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e successivamente la \textit{chain rule}.
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\item Grazie a (i.), (ii.) e (iii.), possiamo scrivere:
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\[
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\ker \dif (\restr{f}{\partial H^m})_{y^*} = T_{y^*} F\inv(y) \cap (\ker \dif \pi_{y^*}).
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|
|
\]
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\end{enumerate}
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Osserviamo che $y^*$ è un punto critico per $\restr{\pi}{F\inv(y)}$ se e solo se $\dif (\restr{\pi}{F\inv(y)})_{y^*}$ è nullo,
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dacché $\pi$ è una mappa in una $1$-varietà.
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Questo accade se e solo se $T_{y^*} F\inv(y) \subseteq \ker \dif \pi_{y^*}$. Tuttavia, se vi fosse questa inclusione, si avrebbe per (iv.)
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$\ker \dif (\restr{f}{\partial H^m})_{y^*} = T_{y^*} F\inv(y)$, che è assurdo dal momento che il primo spazio ha dimensione $m-n-1$ per (iii.)
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e il secondo ha dimensione $m-n$ per (i.). Quindi $0$ è regolare per $\restr{\pi}{F\inv(0)}$. \smallskip
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Dal momento che $0$ è regolare per $\restr{\pi}{F\inv(0)}$, per il Teorema \ref{thm:varietà_bordata_da_valore_regolare_su_R}
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$\{\pi \geq 0\} = f\inv(y) \cap H^m$ è una $(m-n)$-varietà con bordo $\{\pi = 0\} = f\inv(y) \cap \partial H^m \ni x$.
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Quindi $x$ eredita da questa varietà le carte locali su $f\inv(y)$; inoltre $x$ appartiene al bordo di $f\inv(y)$,
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essendo immagine di un punto di bordo tramite una parametrizzazione locale.
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\end{proof}
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\begin{theorem} \label{thm:varietà_bordata_da_valore_regolare}
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Sia $f : M \to N$ una mappa liscia tra varietà, dove $M$ è una $m$-varietà con bordo $\partial M$ \underline{non} vuoto,
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$N$ è una $n$-varietà senza bordo e $m > n$. \smallskip
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Se $y \in N$ è un valore regolare sia per $f$ che per $\restr{f}{\partial M}$ con $f\inv(y) \neq \emptyset$,
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allora $f\inv(y)$ è una $(m-n)$-varietà con bordo $\partial f\inv(y) = f\inv(y) \cap \partial M$.
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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Sia $g : U \subseteq H^m \to g(U) \subseteq M$ una parametrizzazione locale di $x \in f\inv(y)$
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con $g(u) = x$. Sia $h : V \subseteq \RR^n \to h(V) \subseteq N$ una parametrizzazione
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locale di $y$ con $g(v) = y$. \smallskip
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\[\begin{tikzcd}
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M && N \\
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\\
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U && V
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\arrow["f"{description}, from=1-1, to=1-3]
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\arrow["g", from=3-1, to=1-1]
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|
|
\arrow["{h\inv \circ f \circ g}"{description}, from=3-1, to=3-3]
|
|
|
\arrow["h", from=3-3, to=1-3]
|
|
|
\end{tikzcd}\]
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|
A meno di restringere i domini delle due mappe, possiamo considerare $p = h\inv \circ f \circ g$.
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Allora $v = h\inv(y)$ è regolare per la mappa $p$. Per possiamo
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restringerci a una palla aperta come intorno aperto di $u$ in $p\inv(v)$: se questa è diffeomorfa a $\RR^m$, una carta locale per $u$
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in $p\inv(v)$ è già data dal Teorema \ref{thm:varietà_da_valore_regolare}; se invece è diffeomorfa a
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$H^m$, la carta locale è ereditata tramite il Lemma \ref{lem:varietà_bordata_da_valore_regolare_caso_particolare}. \smallskip
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La carta locale trovata si trasferisce tramite $g$ al punto $x$ di $M$, e applicando il Corollario \ref{cor:bordo_param_locale}
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il bordo della varietà si trasferisce coerentemente a sua volta.
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\end{proof}
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\subsection{Classificazione delle \texorpdfstring{$1$}{1}-varietà, lemma di non retrazione sul bordo e teorema del punto fisso di Brouwer}
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\begin{theorem}[Classificazione delle $1$-varietà con bordo] \label{thm:classificazione_dim_1_generale}
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Una $1$-varietà con bordo è diffeomorfa a unioni di copie di $S^1$ e
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di intervalli di $\RR$.
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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Si veda l'appendice di [Milnor, J. (1965). \textit{Topology from the Differentiable Viewpoint}. University Press of Virginia].
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\end{proof}
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\begin{corollary}[Classificazione delle $1$-varietà compatte con bordo] \label{cor:classificazione_dim_1}
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Una $1$-varietà compatta con bordo è necessariamente un'unione
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di copie di $S^1$ e di intervalli chiusi di $\RR$.
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\end{corollary}
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\begin{proof}
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Discende immediatamente dal Teorema \ref{thm:classificazione_dim_1_generale}
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utilizzando l'ipotesi di compattezza.
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\end{proof}
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\begin{corollary} \label{cor:punti_pari_su_1varietà}
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Una $1$-varietà compatta con bordo ha un numero pari di punti sul bordo
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\end{corollary}
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\begin{proof}
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Deriva immediatamente dal Corollario \ref{cor:classificazione_dim_1}, dal momento che
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il segmento chiuso ha due punti sul bordo e $S^1$ non ne ha nessuno.
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\end{proof}
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\begin{lemma}[di non retrazione sul bordo] \label{lem:non_retrazione}
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Sia $M$ una varietà compatta con bordo $\partial M \neq \emptyset$. Allora \underline{non}
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esistono mappe lisce $f$ da $M$ in $\partial M$ che fissano il bordo, ovverosia
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con $\restr{f}{\partial M} = \id_{\partial M}$.
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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Supponiamo esista una tale mappa $f$. Allora per il Teorema di Brown (Corollario \ref{cor:brown}, generalizzato alle varietà
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bordate), sappiamo che i valori regolari di $f$ sono densi in $\partial M$, e che in particolare
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esiste almeno un valore regolare. \smallskip
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Sia $y$ un
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tale valore regolare. Allora, poiché $\restr{f}{\partial M} = \id_{\partial M}$,
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$y$ è valore regolare anche per $\restr{f}{\partial M}$. \smallskip
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Pertanto, per il Teorema \ref{thm:varietà_bordata_da_valore_regolare}, $f\inv(y)$ è una
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$1$-varietà con bordo $f\inv(y) \cap \partial M$. Poiché $\{y\}$ è chiuso in $\partial M$
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(è T1), $f\inv(y)$ è un chiuso in un compatto, e dunque è una $1$-varietà compatta. \smallskip
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Osserviamo che il bordo di $f\inv(y)$ si semplifica a $\{y\}$ dacché $\restr{f}{\partial M} = \id_{\partial M}$. Tuttavia questo
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è un assurdo, dal momento che le $1$-varietà compatte con bordo finito hanno un numero pari di elementi sul
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bordo per il Corollario \ref{cor:punti_pari_su_1varietà}. Quindi $f$ \underline{non} può esistere.
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\end{proof}
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\begin{lemma} \label{lem:punto_fisso_cinf}
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Ogni mappa liscia $f : D^n \to D^n$ ammette almeno un punto fisso.
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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Supponiamo per assurdo che $f$ \underline{non} ammetta alcun punto fisso.
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Definiamo $u_x$ in modo tale che:
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\[
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u_x \defeq \frac{x - f(x)}{\norm{x - f(x)}}, \quad \forall x \in D^n.
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\]
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Poiché $f$ non ammette punti fissi, $u_x \neq 0$ per ogni $x \in D^n$. \smallskip
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Costruiamo $f : D^n \to S^{n-1}$ liscia tale per cui $f(x) = x + t u_x$ e
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$\restr{f}{S^{n-1}} = \id_{S^{n-1}}$. \smallskip
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Allora deve valere $\norm{f(x)}^2 = 1$, e quindi:
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\begin{equation*}
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\begin{aligned}
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t^2 + 2(x \cdot u_x) t + (\|x\|^2 - 1) = 0 \implies \\
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t_{\pm} = - x \cdot u_x \pm \sqrt{(x \cdot u_x)^2 - \|x\|^2 + 1}.
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\end{aligned}
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\end{equation*}
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Scegliamo $t \defeq t_+$. Affinché $f$ sia liscia, occorre che l'espressione
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$h(x) \defeq (x \cdot u_x)^2 - \|x\|^2 + 1$ dentro la radice quadrata in $t$ sia sempre maggiore di $0$. \smallskip
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Osserviamo che per $x \in D^n$ si ha $h(x) \geq (x \cdot u_x)^2 \geq 0$. Se allora $h(x) > (x \cdot u_x)^2$,
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$h(x)$ è maggiore strettamente di $0$. Se invece $h(x) = (x \cdot u_x)^2$, necessariamente $\norm{x}^2 = 1$,
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e quindi $x \in S^{n-1}$. Ma allora:
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\[
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x \cdot u_x = \frac{1 - x \cdot f(x)}{\norm{x - g(x)}}.
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\]
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Dal momento che $x$ non può essere un punto fisso di $f$, $x \cdot f(x)$ \underline{non} può essere uguale a $1$; quindi
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$x \cdot u_x > 0$ per $x \in S^{n-1}$. Si conclude allora che $h(x) > 0$ per ogni $x \in D^n$, e quindi $f$
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è una funzione liscia. \smallskip
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Si verifica facilmente che $\restr{f}{S^{n-1}} = \id_{S^{n-1}}$. Questo tuttavia è un assurdo
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per il Lemma \ref{lem:non_retrazione}, \Lightning. Quindi $f$ ammette almeno un punto fisso.
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\end{proof}
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\begin{theorem}[del punto fisso di Brouwer]
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Ogni mappa continua $f : D^n \to D^n$ ammette almeno un punto fisso.
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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Supponiamo per assurdo che $f$ \underline{non} ammetta alcun punto fisso. Poiché $D^n$
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è compatto, per il Teorema di approssimazione di Weierstrass, per ogni $\eps > 0$
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esiste una funzione polinomiale $P_\eps : \RR^n \to \RR^n$ tale per cui
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$\norm{P_\eps(x) - f(x)} < \eps$ per ogni $x \in D^n$. \smallskip
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Osserviamo che:
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\[
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\norm{P_\eps(x)} \leq \norm{P_\eps(x) - f(x)} + \norm{f(x)} < \eps + 1,
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\]
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quindi $Q_\eps \defeq \frac{1}{\eps + 1} P_\eps$ si restringe su $D^n$ a
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un'endofunzione $\restr{Q_\eps}{D^n} : D^n \to D^n$. \smallskip
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Dal momento che $f$ non ammette alcun punto fisso, $\mu \defeq \min_{x \in D^n} \norm{f(x) - x}$ è
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tale per cui $\mu > 0$. \smallskip
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Osserviamo che:
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\begin{equation*}
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\begin{aligned}
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\|Q_\eps(x) - f(x)\| & = \frac{1}{\eps + 1} (\|P_\eps(x) - f(x)\| + \eps \|f(x)\|) \\[0.1in]
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& \leq \frac{2 \eps}{\eps + 1}.
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\end{aligned}
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\end{equation*}
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Scegliendo allora $\eps$ tale per cui $\frac{2 \eps}{\eps + 1} < \mu$, $Q_\eps$ \underline{non} può ammettere
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punti fissi: un punto fisso violerebbe infatti la minimalità di $\mu$ secondo la scorsa disuguaglianza.
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Tuttavia $Q_\eps$ è una funzione liscia, e per il Lemma \ref{lem:punto_fisso_cinf} deve ammettere
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punti fissi, \Lightning. Dunque $f$ ammette almeno un punto fisso.
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\end{proof}
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\section{Teoria del grado modulo \texorpdfstring{$2$}{2}}
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\subsection{Omotopie \texorpdfstring{$C^\infty$}{C∞}}
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\begin{remark}[{$M \times [0,1]$} è una varietà con bordo]
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Sia $M$ una $m$-varietà senza bordo. Allora, per la Proposizione \ref{prop:prodotto_varietà},
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$M \times \RR$ è una $(m+1)$-varietà senza bordo. \smallskip
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Consideriamo la mappa liscia $f : M \times \RR \to \RR$ tale per cui
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$f(x, t) = t(t-1)$. Allora per il Teorema \ref{thm:varietà_bordata_da_valore_regolare_su_R}
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$\{f \leq 0\} = M \times [0, 1]$ è una $(m+1)$-varietà con bordo
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$\{f = 0\} = M \times \{0\} \sqcup M \times \{1\}$.
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|
\end{remark}
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\begin{definition}[Omotopia $C^\infty$ e funzioni $C^\infty$-omotope]
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|
Siano $f$ e $g$ due funzioni da una varietà $M$ in una $N$.
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Un'\textbf{omotopia $C^\infty$} da $f$ a $g$ è una funzione liscia
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$H : M \times [0, 1] \to N$ tale per cui:
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\begin{itemize}
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\item $H(-, 0) = f$,
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\item $H(-, 1) = g$.
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\end{itemize}
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Definiamo inoltre:
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\[
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\boxed{H_t \defeq H(-, t).}
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\]
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|
Due funzioni $f$ e $g$ per le quali esiste un'omotopia
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da $f$ a $g$ si dicono \textbf{$C^\infty$-omotope}.
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\end{definition}
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\begin{remark}
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È immediato verificare che ``essere $C^\infty$-omotope'' è una
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relazione di equivalenza per le funzioni lisce da $M$ a $N$.
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\end{remark}
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\begin{lemma}[di omotopia] \label{lem:omotopia}
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Siano $f$ e $g$ due funzioni $C^\infty$-omotope da una varietà $M$ in una $N$,
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con $M$ compatta e $\dim M = \dim N$. Se
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$y \in N$ è un valore regolare sia per $f$ che per $g$, allora:
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\[
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\boxed{\abs{f\inv(y)} \equiv \abs{g\inv(y)} \pmod{2}.}
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\]
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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Sia $H$ una omotopia $C^\infty$ da $f$ a $g$. Allora, poiché $M$ è compatta,
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per il Lemma \ref{lem:pila}:
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\begin{itemize}
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\item esiste un intorno $V_1$ di $y \in N$ su cui $\abs{f\inv(\cdot)}$ è costante;
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|
\item esiste un intorno $V_2$ di $y \in N$ su cui $\abs{g\inv(\cdot)}$ è costante.
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|
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\end{itemize}
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|
È sufficiente allora mostrare la tesi per un qualsiasi valore $y' \in V_1 \cap V_2$;
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poiché i valori regolari sono densi per il Teorema di Brown (per le varietà, Corollario \ref{cor:brown}),
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possiamo prendere $y' \in V_1 \cap V_2$ valore regolare di $H$. \smallskip
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Allora $H\inv(y')$ è una varietà di dimensione $1$, il cui bordo ha un numero pari
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di punti per il Corollario \ref{cor:punti_pari_su_1varietà}. \smallskip
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Osserviamo che $\partial (M \times [0, 1]) = M \times \{0\} \sqcup M \times \{1\}$. Allora:
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\[
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\partial H\inv(y') = (f\inv(y') \times \{0\}) \sqcup (g\inv(y') \times \{1\}).
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|
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\]
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|
Quindi:
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\[
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0 \equiv \abs{\partial H\inv(y')} \equiv \abs{f\inv(y)} + \abs{g\inv(y)} \pmod{2}.
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|
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\]
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\end{proof}
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\subsection{Isotopie e lemma di omogeneità}
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\begin{definition}[Isotopia]
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Una omotopia $C^\infty$ $H : M \times [0, 1] \to N$ si dice
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\textbf{isotopia} se per ogni $t \in [0, 1]$, $H(-, t)$ è un
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|
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diffeomorfismo liscio.
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\end{definition}
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\begin{definition}[Isotopia a supporto compatto]
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Un'isotopia $H : N \times [0, 1] \to N$ si dice \textbf{a supporto compatto} se esiste
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un compatto $K \subseteq N$ tale per cui $\restr{H(-, t)}{N \setminus K} = \id_{N \setminus K}$
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|
|
per ogni $t \in [0, 1]$.
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\end{definition}
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\begin{definition}[Punti isotopi di una varietà]
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Due punti $y$, $z \in N$, dove $N$ è una varietà, si dicono
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\textbf{isotopi} se esiste un diffeomorfismo $h : N \to N$
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con $h(y) = z$ e un'isotopia a supporto compatto da $h$ a
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$\id_{N}$.
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\end{definition}
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\begin{remark}
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È immediato osservare che la relazione ``essere isotopi'' sui punti di una varietà è una relazione di equivalenza.
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\end{remark}
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\begin{lemma} \label{lem:classi_equivalenza_aperte}
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Le classi di equivalenza della relazione ``essere isotopi'' sui
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punti di una varietà (senza bordo) $M$ sono aperti della varietà.
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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Sia $x$ un punto di $M$. Supponiamo $M$ sia una $(n+1)$-varietà.
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Usando le carte locali, eventualmente riparametrizzate
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per avere come immagine una palla di centro $0$, è sufficiente mostrare
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che per ogni $r$, esiste $0 < r_0 \leq r$ tale per cui
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tutti i punti di $B_{r_0}(0) \subseteq B_r(0) \subseteq \RR^{n+1}$ sono isotopi a $0$. \smallskip
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Possiamo ridurre il problema ulteriormente concentrandoci sui punti
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della forma $z = (a, 0, \ldots, 0)$ con $a < r_0$, dal momento che una rotazione
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permette poi di rendere isotopi tutti gli altri punti di $\partial B_a(0)$. Se
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infatti $H$ è un isotopia a supporto compatto che porta $z$ in $0$, allora:
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\[ H'(-, t) \defeq R_\theta\inv \circ H(-, t) \circ R_\theta \]
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è l'isotopia cercata, dove $R_\theta$ è l'opportuna rotazione scelta. \smallskip
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Siano $\rho : \RR \to [0, 1]$ e $\sigma : \RR^n \to [0, 1]$ due funzioni di test
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(\textit{bump function}) lisce con $\rho(0) = \sigma(0) = 1$ e:
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\[ \abs{x} > 1 \implies \rho(x) = 0, \quad \norm{y} > 1 \implies \sigma(y) = 0. \]
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Osserviamo che:
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\[
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\abs{x} > \eps \implies \rho\left(\frac{x}{\eps}\right) = 0, \quad \norm{y} > \delta \implies \sigma\left(\frac{y}{\delta}\right) = 0.
|
|
|
\]
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|
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Scelti allora $\eps$ e $\delta$ di modo che $\eps^2 + \delta^2 < r_0^2$, definiamo allora l'omotopia $C^\infty$ $H$ tale per cui:
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\begin{equation*}
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\begin{aligned}
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H : \overbrace{\mathbb{R} \times \mathbb{R}^n}^{\mathclap{\mathbb{R}^{n+1}}} \times [0, 1] & \to \overbrace{\mathbb{R} \times \mathbb{R}^n}^{\mathclap{\mathbb{R}^{n+1}}}, \\
|
|
|
H(x, y, t) & = \left(x + a t \rho\left(\frac{x}{\varepsilon}\right) \sigma\left(\frac{y}{\delta}\right), y\right).
|
|
|
\end{aligned}
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\end{equation*}
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Osserviamo subito che $H_0 = \id_N$, $H_1(0) = z$ e che $H_t$ fissa tutto ciò che è fuori
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da $B_{r_0}(0)$. Mostriamo che per $r_0$ sufficientemente piccolo $H_t$ è un diffeomorfismo. \smallskip
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Lo jacobiano di $H_t$ è il seguente:
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\[
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J H_t = \begin{pmatrix}
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1 + \frac{a t}{\varepsilon} \sigma\left(\frac{y}{\delta}\right) \rho'\left(\frac{x}{\varepsilon}\right) & \vline & * \\[0.06in]
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\hline
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0 & \vline & I_n
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|
\end{pmatrix}.
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\]
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|
Si verifica facilmente che si può scegliere $r_0$, e successivamente $\eps$ e $\delta$ in modo tale che:
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|
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\[
|
|
|
\abs{\frac{a t}{\varepsilon} \sigma\left(\frac{y}{\delta}\right) \rho'\left(\frac{x}{\varepsilon}\right)} < 1, \quad \forall a, x, y,
|
|
|
\]
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|
|
e conseguentemente $\det(J H_t) > 0$, da cui si deduce che $H_t$ è un diffeomorfismo locale. Analogamente, $H_t$ è
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|
|
bigettiva sulle rette $\{y = \text{cost.}\}$ dal momento che la derivata sulle rette è strettamente
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positiva. Dunque $H_t$ è bigettiva e diffeomorfismo locale, e quindi è diffeomorfismo. \smallskip
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Si conclude che $H$ è l'isotopia cercata, e quindi ogni classe di isotopia è aperta.
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\end{proof}
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\begin{lemma}[di omogeneità] \label{lem:omogeneità}
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Sia $N$ una varietà connessa e siano $y$, $z$ due suoi punti. Allora
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|
$y$ e $z$ sono isotopi.
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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Poiché $N$ è connessa, per il Lemma \ref{lem:classi_equivalenza_aperte} esiste
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allora un'unica classe di equivalenza per la relazione ``essere isotopi'', da
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cui segue immediatamente la tesi.
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\end{proof}
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\subsection{Grado modulo \texorpdfstring{$2$}{2} e buona definizione}
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\begin{theorem}
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Siano $M$ e $N$ varietà della stessa dimensione. Sia $M$ chiusa (ovverosia
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anche compatta) e $N$ connessa. Siano $y$ e $z$ due valori regolari di una
|
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funzione $f : M \to N$ liscia. Allora:
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\[ \abs{f\inv(y)} \equiv \abs{f\inv(z)} \pmod{2}. \]
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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Poiché $N$ è connessa, per il Lemma \ref{lem:omogeneità} esiste un diffeomorfismo
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$h : N \to N$ con $h(y) = z$ e un'isotopia a supporto compatto
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|
$H : N \times [0, 1] \to N$ da $\id_N$ a $h$.
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\[\begin{tikzcd}
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|
{M \times [0, 1]} && {N \times [0, 1]} && N
|
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|
\arrow["{f \times \id_{[0, 1]}}", from=1-1, to=1-3]
|
|
|
\arrow["H", from=1-3, to=1-5]
|
|
|
\end{tikzcd}\]
|
|
|
Poiché $y$ è regolare per $f$ e $h$ è diffeomorfismo, si deduce che
|
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$z$ è regolare per $h \circ f$. Consideriamo l'omotopia
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$H' = H \circ (f \times \id_{[0,1]})$. Osserviamo che
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$H'_0 = f$ e che $H'_1 = h \circ f$.
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|
|
Quindi, per il Lemma \ref{lem:omotopia}, si conclude che:
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|
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\[
|
|
|
\abs{f\inv(z)} \equiv \abs{(h \circ f)\inv(z)} \equiv \abs{f\inv(y)} \pmod{2}.
|
|
|
\]
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|
\end{proof}
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\begin{definition}[Grado modulo $2$ di una funzione liscia]
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Sia $f : M \to N$ una funzione liscia da una varietà compatta $M$
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|
a una di stessa dimensione e connessa $N$. Allora si definisce
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il \textbf{grado modulo $2$ di $f$} come:
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|
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\[
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|
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\boxed{\deg_2 f \defeq \abs{f\inv(y)} \bmod 2,}
|
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|
\]
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|
dove $y$ è un qualsiasi valore regolare di $f$.
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|
|
\end{definition}
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\begin{theorem} \label{thm:fondamentale_grado_2}
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Siano $M$ e $N$ varietà della stessa dimensione. Sia $M$ chiusa (ovverosia
|
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|
anche compatta)
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e $N$ connessa. Se $f$ e $g$ sono due mappe lisce $C^\infty$-omotope da $M$ in $N$,
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allora:
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\[
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\boxed{\deg_2 f = \deg_2 g.}
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|
|
\]
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|
\end{theorem}
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\begin{proof}
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Dall'Osservazione \ref{rmk:punti_regolari_formano_aperto} sappiamo che
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i punti regolari di $f$ formano un aperto di $M$; dunque i punti critici
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formano un chiuso di $M$. Dacché $M$ è compatta, in particolare i punti
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critici formano un compatto di $M$. Tramite $f$, si deduce che i valori
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critici formano un compatto di $N$, che, essendo $N$ T2, è dunque
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chiuso in $N$. \smallskip
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Allora i valori regolari di $f$ formano un aperto in $N$: per il Teorema
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di Brown (per varietà, Corollario \ref{cor:brown}) esiste in questo
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aperto anche un valore regolare di $g$. Per il Lemma \ref{lem:omotopia},
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allora $f$ e $g$ condividono lo stesso grado modulo $2$.
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\end{proof}
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\begin{corollary}
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La mappa costante $c_{x_0} : S^n \to S^n$ \underline{non} è
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$C^\infty$-omotopa a $\id_{S^n}$.
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\end{corollary}
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\begin{proof}
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Poiché $c_{x_0}$ non è surgettiva, $\deg_2 c_{x_0} = 0$ (ogni punto diverso da $x_0$ è
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valore regolare con controimmagine vuota); mentre
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$\deg_2 \id_{S^n} = 1$. Quindi per il Teorema \ref{thm:fondamentale_grado_2}
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le due mappe non possono essere $C^\infty$-omotope.
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\end{proof}
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\section{Teoria del grado su \texorpdfstring{$\ZZ$}{ℤ}}
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\subsection{Orientazione di basi su spazi vettoriali}
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\begin{definition}[Stessa orientazione]
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Si dice che due basi (ordinate) $\basis$, $\basis'$ di un $\RR$-spazio vettoriale finito-dimensionale
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\textbf{hanno la stessa orientazione} se la matrice del cambio di base da $\basis$
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a $\basis'$ ha determinante positivo.
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\end{definition}
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\begin{remark}
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È immediato verificare che ``avere la stessa orientazione'' è
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una relazione d'equivalenza sulle basi dello spazio in esame
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avente solo due classi di equivalenza
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per le orientazioni.
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\end{remark}
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\begin{definition}[Orientazione]
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Definiamo \textbf{orientazione} una classe di equivalenza per la relazione
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``avere la stessa orientazione''. \smallskip
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Data un'orientazione $\Theta$ indichiamo con $-\Theta$ l'unica altra
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classe di equivalenza.
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\end{definition}
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\begin{definition}[Orientazione canonica]
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Si definisce l'\textbf{orientazione canonica} $\Theta_0$ di $\RR^n$
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come la classe di equivalenza indotta dall'orientazione della base
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canonica.
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\end{definition}
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\begin{remark}
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Un isomorfismo $L : V \to V'$ induce una mappa dalle orientazioni
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di $V$ a quelle di $V'$ tramite:
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\[
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[\basis] \mapsto [L(\basis)].
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\]
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Infatti la matrice di cambio di base è invariante per isomorfismo.
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\end{remark}
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\subsection{Orientazione su varietà}
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\begin{definition}[$m$-varietà orientata, $m > 1$ o $\partial M = \emptyset$]
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Una \textbf{varietà orientata di dimensione $m$} (con $\underline{m>1}$ o $\underline{\partial M = \emptyset}$)
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è una coppia $(M, \Theta)$, dove $M$ è una $m$-varietà, eventualmente con bordo, e $\Theta = \{\Theta_x\}_{x \in M}$
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è una famiglia di orientazioni degli spazi tangenti dei punti di $M$ tale per cui:
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\begin{quote}
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Per ogni $x \in M$ esiste una parametrizzazione locale $g : U \subseteq \RR^m \to g(U) \subseteq M$ con
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$\dif g_u (\Theta_0) = \Theta_{g(U)}$ per ogni $u \in U$ (\textbf{condizione di compatibilità di $g$ con $\Theta$}).
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\end{quote}
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Una varietà $M$ per cui esiste una famiglia di orientazioni tali per cui $(M, \Theta)$ è orientata si
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dice \textbf{orientabile}.
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\end{definition}
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\begin{definition}[$1$-varietà compatta orientata bordata]
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Un'orientazione su una $1$-varietà connessa compatta con bordo è per definizione una famiglia
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$\Theta = \{\dif \varphi_t(\Theta_0)\}_{t \in [0, 1]}$ dove
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$\varphi : [0, 1] \to M$ è un diffeomorfismo. \smallskip
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Se $M$ è sconnessa, un'orientazione è un'orientazione su ciascuna componente connessa.
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\end{definition}
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\begin{proposition}
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Una varietà connessa, eventualmente con bordo, ammette al più due orientazioni.
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\end{proposition}
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\begin{proof} Si fissi un'orientazione $\Theta$ per la varietà $M$. Sia $\Theta'$ un'altra orientazione.
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Dividiamo la dimostrazione in due casi:
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\begin{itemize}
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\item $\boxed{\dim M > 1}$ Si definiscano i seguenti due insiemi:
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\begin{equation*}
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\begin{aligned}
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A & \defeq \{ x \in M \mid \Theta_x = \Theta'_x \}, \\[1ex]
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B & \defeq \{ x \in M \mid \Theta_x = -\Theta'_x \}.
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\end{aligned}
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\end{equation*}
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Osserviamo che $A$ e $B$ sono disgiunti, e che la loro unione è la varietà $M$. Poiché
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$M$ è connessa, mostrando che $A$ e $B$ sono aperti, uno dei due sarebbe vuoto, da cui la tesi. \smallskip
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Dimostriamo dunque la tesi. Senza perdita di generalità, mostriamo solo che $A$ è aperto. Sia
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$g : U \to g(U)$ una parametrizzazione locale di $x$ compatibile con $\Theta$ e $g(u) = x$, e sia $h : V \to h(V)$
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una parametrizzazione compatibile con $\Theta'$ e $h(v) = x$. Assumiamo senza perdita di generalità che $g(U) = h(V)$. \smallskip
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Poiché $g$ è compatibile con $\Theta$, si ha $\dif g(\Theta_0) = \Theta_x$, e così
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per $h$ si ha $\dif h_x(\Theta_0) = \Theta'_x$. Quindi:
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\[
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\dif g_u(\Theta_0) = \dif h_v(\Theta_0) \implies \dif (g\inv \circ h)_v (\Theta_0) = \Theta_0.
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\]
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Pertanto $\det(J(g\inv \circ h)_v) > 0$. Per continuità esiste allora un intorno $J$ di $v$ in cui:
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\[
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\det(J(g\inv \circ h)_{v'}) > 0, \quad \forall v' \in J.
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\]
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Questo si traduce nell'avere $\Theta_{h(v')} = \Theta'_{h(v')}$ su tutto $J$, e quindi
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$h(J)$ è un aperto di $M$ contenente $x$ e contenuto in $A$; dunque $A$ è aperto.
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\item $\boxed{\dim M = 1}$ Se $\varphi$ e $\psi$ sono due diffeomorfismi da $[0, 1]$ in $M$ che inducono
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$\Theta$ e $\Theta'$, allora $\varphi\inv \circ \psi$ è un diffeomorfismo da $[0, 1]$ in sé. In quanto
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tale, la sua derivata è ovunque non nulla, e il suo segno determina se $\Theta'$ è $\Theta$ o $-\Theta$.
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\end{itemize}
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\end{proof}
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\begin{definition}[Varietà di orientazione opposta]
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Data $(M, \Theta)$ una varietà orientata, indichiamo con $-M$ la varietà
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$(M, -\Theta)$, dove $-\Theta$ è l'unica altra orientazione possibile.
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\end{definition}
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\subsection{Orientazione sul bordo della varietà}
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\begin{remark}
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L'orientazione di una $m$-varietà $M$ con bordo determina la scelta di uno dei semispazi di
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$T_x M \setminus T_x \partial M$ per ogni $x$. \smallskip
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Se infatti $g : U \to g(U)$ è una parametrizzazione di un punto $x$ sul bordo $\partial M$ con $g(u) = x$,
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il semispazio scelto è proprio $\dif g_u (H^n \setminus \partial H^n)$. \smallskip
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Questo semispazio non dipende dalla parametrizzazione scelta.
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...
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\end{remark}
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\begin{definition}
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Data una varietà orientata $M$, i vettori appartenenti al semispazio
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scelto di $T_x M \setminus T_x \partial M$ si dicono \textbf{interni},
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mentre quelli del semispazio complementare sono detti \textbf{esterni}.
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\end{definition}
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\begin{lemma}[L'orientazione indotta sul bordo è ben definita]
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...
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\end{lemma}
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\begin{definition}
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Data una varietà orientata $M$ con bordo e $\dim M > 1$, la famiglia $\{ \Theta_x^{\partial M} \}_{x \in \partial m}$
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di orientazioni di $T_x \partial M$ indotte dall'orientazione di $M$ è un'orientazione su $\partial M$
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detta \textbf{orientazione indotta sul bordo} (o \textit{orientazione di bordo}). \smallskip
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Per $M$ orientata tramite un diffeomorfismo $\varphi : [0, 1] \to M$, si associa
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$-1$ a $\varphi(0)$ e $+1$ a $\varphi(1)$.
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\end{definition}
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\end{multicols*}
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