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11 KiB
TeX
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\documentclass[12pt]{scrartcl}
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\usepackage{notes_2023}
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\begin{document}
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\title{Chiusura algebrica di un campo e campi di spezzamento}
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\maketitle
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\begin{note}
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Per $K$, $L$ ed $F$ si intenderanno sempre dei campi.
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|
Se non espressamente detto, si sottintenderà anche
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che $K \subseteq L$, $F$, e che $L$ ed $F$ sono
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estensioni costruite su $K$. Per $[L : K]$ si
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intenderà $\dim_K L$, ossia la dimensione di $L$
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come $K$-spazio vettoriale.
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\end{note} \bigskip
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Questo documento si propone di illustrare le principali
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proprietà e caratteristiche dei campi algebricamente
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chiusi, delle chiusure algebriche e dei campi di
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spezzamento, col proposito di dare i mezzi necessari
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per approcciarsi alla teoria di Galois. Per questo
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motivo si presentano le seguenti definizioni:
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\begin{definition}[campo algebricamente chiuso]
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Un campo $K$ si dice \textbf{algebricamente chiuso}
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se ogni polinomio a coefficienti in $K$ ammette una
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radice in $K$. Equivalentemente, $K$ è algebricamente
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chiuso se ogni polinomio $p \in K[x]$ ha tutte le proprie
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radici in $K$, e quindi se gli irriducibili di $K$ sono
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tutti e soli i polinomi di grado unitario.
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\end{definition}
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\begin{definition}[chiusura algebrica]
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|
Un estensione $\faktor{\Omega}{K}$ si dice
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|
\textbf{chiusura algebrica} di $K$, e si
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indica usualmente con $\overline{K}$, se $\Omega$
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è un campo algebricamente chiuso e se
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$\Omega$ è un'estensione algebrica su $K$.
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\end{definition}
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\begin{remark}
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Per esempio, una chiusura algebrica di $\RR$ è $\CC$,
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per il Teorema fondamentale dell'algebra.
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\end{remark}
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\begin{proposition}
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Sia $\Omega$ un campo algebricamente chiuso. Se allora
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|
$K$ è un sottocampo di $\Omega$, vale che
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$K'$, il campo degli elementi algebrici
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su $K$, è una chiusura algebrica di $K$.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Chiaramente
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$K'$ è un'estensione algebrica su
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$K$. Si verifica allora che $K'$ è
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algebricamente chiuso. Sia $p \in K'[x]$.
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Dal momento che $K$ è algebricamente chiuso, e
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che $p$ appartiene anche a $K[x]$, allora
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|
$p$ ammette una radice $\alpha \in \Omega$. Si mostra che
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$\alpha$ è algebrico su $K$. Poiché allora
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$\faktor{K'(\alpha)}{K'}$ è
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un'estensione algebrica (infatti $p$ annulla $\alpha$
|
|
per ipotesi) e $\faktor{K'}{K}$ è algebrica
|
|
per ipotesi, allora $K'(\alpha)$ è algebrica
|
|
su $K$, e dunque $\alpha$ è algebrico su $K$, pertanto
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|
$\alpha \in K'$, da cui la tesi.
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\end{proof}
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|
\begin{remark}
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|
Poiché $\QQ$ è un sottocampo di $\CC$ e $\CC$ è
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|
un campo algebricamente chiuso, il campo degli
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|
elementi algebrici di $\QQ$ è una chiusura algebrica di
|
|
$\QQ$ per la proposizione precedente.
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\end{remark}
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|
Adesso si enuncia, senza dimostrarlo, un teorema su cui si baserà buona parte della prossima teoria:
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\begin{theorem}[esistenza ed unicità della chiusura algebrica]
|
|
Esiste ed è unica, a meno di $K$-isomorfismo\footnote{
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|
Un $K$-isomorfismo è un isomorfismo tra estensioni
|
|
di $K$ che fissa $K$, ossia che ristretto a $K$ è
|
|
l'identità di $K$.
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},
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la chiusura algebrica di $K$.
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\end{theorem}
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\begin{remark}
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|
Poiché il campo degli elementi algebrici di $\QQ$ è una chiusura algebrica di
|
|
$\QQ$ ed è un insieme numerabile, $\CC$ non può
|
|
essere una chiusura algebrica di $\QQ$ dacché
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|
$\CC$ ha la cardinalità del continuo (e dunque non possono
|
|
esistere bigezioni tra $\CC$ e $\overline{\QQ}$). Poiché
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|
$\CC$ è però algebricamente chiuso, può solamente
|
|
verificarsi che $\CC$ non sia un'estensione algebrica
|
|
di $\QQ$. Più facilmente, $\pi \in \RR$ non è algebrico su $\QQ$,
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|
e così né $\RR$ né $\CC$ sono estensioni algebriche su $\QQ$.
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|
\end{remark}
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|
\begin{definition}[campo di spezzamento]
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|
Sia $\mathcal{F}$ una famiglia di polinomi di $K[x]$.
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|
Si definisce allora \textbf{campo di spezzamento} di
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|
$\mathcal{F}$ una estensione $F$ di $K$ tale per cui:
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\begin{itemize}
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|
\item ogni $p \in \mathcal{F}$ si decompone in fattori lineari in
|
|
$F[x]$,
|
|
\item se $L$ è un'estensione su $K$ tale per cui
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|
$L \subsetneq F$, allora esiste $p \in \mathcal{F}$
|
|
non si decompone in fattori lineari in $L[x]$.
|
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\end{itemize}
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|
Equivalentemente $F$ è un'estensione minimale in cui
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|
ogni polinomio di $\mathcal{F}$ si decompone in fattori
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lineari.
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\end{definition}
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Come per le chiusure algebriche, si enuncia il seguente
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teorema senza dimostrazione\footnote{
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|
L'esistenza di un campo di spezzamento è piuttosto
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facile da dimostrare, è sufficiente considerare
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l'estensione di $K$ a cui si aggiungono tutte le
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radici del polinomio.
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}:
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\begin{theorem}[esistenza ed unicità del campo di spezzamento]
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|
Esiste ed è unico, a meno di $K$-isomorfismo, il
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|
campo di spezzamento di $\mathcal{F}$ su $K$.
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|
\end{theorem}
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\begin{definition}[coniugati di $\alpha$]
|
|
Se $\alpha \in \faktor{L}{K}$ è algebrico su $K$, si definiscono \textbf{coniugati} di $\alpha$ su $K$ le
|
|
radici di $\mu_\alpha$ su $K$.
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|
\end{definition}
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|
I coniugati di $\alpha$ sono speciali in quanto
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|
permettono di studiare
|
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le $K$-immersioni\footnote{
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|
Una $K$-immersione è un monomorfismo tra estensioni di $K$
|
|
che fissa $K$.
|
|
} di $K(\alpha)$ in $\overline{K}$, ossia
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di studiare i campi $K$-isomorfi a $K(\alpha)$ presenti in
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|
$\overline{K}$, come dimostra il:
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\begin{theorem}[$K$-immersioni da $K(\alpha)$ in $\overline{K}$]
|
|
Sia $\alpha \in \faktor{L}{K}$ algebrico su $K$. Allora,
|
|
se $d$ è il numero di coniugati distinti di $\alpha$,
|
|
esistono esattamente $d$ $K$-immersioni di $K(\alpha)$
|
|
in $\overline{K}$ e sono tali da mandare $\alpha$ in
|
|
un suo altro coniugato.
|
|
\end{theorem}
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\begin{proof}
|
|
Per considerare le $K$-immersioni di $K(\alpha)$ in
|
|
$K$, si considera prima l'isomorfismo:
|
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\[ K(\alpha) \cong K[x] \quot{(\mu_\alpha)}. \]
|
|
Per il Primo teorema di isomorfismo, esistono
|
|
allora tanti omomorfismi da $K(\alpha)$ in $\overline{K}$
|
|
quanti sono gli omomorfismi da $K[x]$ in $\overline{K}$ che
|
|
annullano $(\mu_\alpha)$. Un omomorfismo $\varphi$
|
|
da $K[x]$ a $\overline{K}$ che fissa $K$ è completamente determinato da
|
|
$\beta = \varphi(x)$ ed in particolare mappa $p \in K[x]$
|
|
a $p(\beta)$. Affinché allora $(\mu_\alpha)$
|
|
appartenga a $\Ker \varphi$, $\mu_\alpha(\beta) = 0$, e quindi
|
|
$\beta$ deve essere un coniugato di $\alpha$. Pertanto
|
|
gli omomorfismi da $K(\alpha)$ a $\overline{K}$ sono
|
|
tali per cui $\alpha$ venga mandato in $\beta$. Questi
|
|
omomorfismi
|
|
sono $K$-immersioni dal momento che l'unità viene preservata,
|
|
da cui la tesi.
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\end{proof}
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\hr
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|
\begin{definition}[polinomio separabile]
|
|
Un polinomio $p \in K[x]$ si dice \textbf{separabile}
|
|
se $p$ ha radici distinte in un suo campo di
|
|
spezzamento.
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|
\end{definition}
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|
\begin{definition}[estensione separabile]
|
|
Un'estensione $\faktor{L}{K}$ si dice \textbf{separabile}
|
|
se per ogni $\alpha \in L$, $\mu_{\alpha,K}$ è
|
|
un polinomio separabile.
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{definition}[campo perfetto]
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|
Un campo si dice \textbf{perfetto} se le derivate dei
|
|
suoi polinomi irriducibili non sono mai nulle.
|
|
Equivalentemente un campo è perfetto se i suoi
|
|
polinomi irriducibili hanno sempre radici distinte.
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\end{definition}
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\begin{remark}
|
|
Le estensioni di un campo perfetto sono sempre separabili.
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|
Infatti il polinomio minimo su $K$ è in particolare
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un irriducibile, e quindi ha radici distinti.
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\end{remark}
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\begin{note}
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Si assumerà d'ora in poi che \underline{\textit{$K$
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è un campo perfetto}}, in modo tale da semplificare l'introduzione
|
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alla teoria di Galois.
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\end{note}
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\begin{remark}
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|
Poiché $K$ è perfetto, le $K$-immersioni di $K(\alpha)$
|
|
sono esattamente $[K(\alpha) : K] = \deg_K \alpha$.
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|
\end{remark}
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|
\begin{remark}
|
|
Se $\varphi_i : K(\alpha) \mono \overline{K}$ è un'estensione di $\varphi : K \mono \overline{K}$, allora
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|
$\varphi_i(K(\alpha)) = K(\varphi_i(\alpha))$.
|
|
\end{remark}
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|
Poiché i campi considerati sono perfetti, si possono
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|
studiare in generale le estensioni di tutte le immersioni
|
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di $K$ in $\overline{K}$, e quindi non solo le estensioni
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dell'identità, come dimostra il:
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\begin{theorem}[estensioni di $\varphi$ da $K(\alpha)$ in $\overline{K}$]
|
|
Sia $\alpha \in \faktor{L}{K}$ algebrico su $K$. Allora
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|
per ogni $\varphi : K \mono \overline{K}$ esistono
|
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esattamente $\deg_K \alpha$ estensioni $\varphi_i : K(\alpha) \mono K$ di $\varphi$, ossia monomorfismi per cui $\restr{\varphi_i}{K} = \varphi$. Tali estensioni sono tali da mappare $\alpha$
|
|
nelle radici di $\varphi(\mu_\alpha)$.
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\end{theorem}
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\begin{proof}
|
|
Per considerare le estensioni di $\varphi$ da $K(\alpha)$ in
|
|
$K$, si considera prima l'isomorfismo:
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|
\[ K(\alpha) \cong K[x] \quot{(\mu_\alpha)}. \]
|
|
Per il Primo teorema di isomorfismo, esistono
|
|
allora tanti omomorfismi da $K(\alpha)$ in $\overline{K}$
|
|
quanti sono gli omomorfismi da $K[x]$ in $\overline{K}$ che
|
|
annullano $(\mu_\alpha)$. Un omomorfismo $\varphi_i$
|
|
da $K[x]$ a $\overline{K}$ tale per cui $K$ viene mappato
|
|
tramite $\varphi$ è completamente determinato da
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$\beta = \varphi_i(x)$ ed in particolare mappa $p \in K[x]$
|
|
alla valutazione del polinomio $q$, ottenuto mappando i
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coefficienti di $p$ tramite $\varphi$, in $\beta$, detto
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|
$\varphi(p)(\beta)$. Affinché allora $(\mu_\alpha)$
|
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appartenga a $\Ker \varphi$, deve valere $\varphi(\mu_\alpha)(\beta) = 0$, e quindi
|
|
$\beta$ deve essere una radice di $\varphi(\mu_\alpha)$.
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|
Pertanto gli omomorfismi da $K(\alpha)$ a $\overline{K}$ sono
|
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tali per cui $\alpha$ venga mandato nelle radici di
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$\varphi(\mu_\alpha)$. Questi omomorfismi sono
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ancora immersioni dal momento che l'unità viene
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preservata da $\varphi_i$. Dal momento che $\varphi$ è
|
|
a sua volta un'immersione, $\varphi(\mu_\alpha)$ è
|
|
irriducibile dacché $\mu_\alpha$ lo è, ed inoltre
|
|
$\deg \varphi(\mu_\alpha) = \deg \mu_\alpha$. Pertanto,
|
|
poiché $K$ è un campo perfetto,
|
|
le radici di $\varphi(\mu_\alpha)$ sono $\deg_K \alpha$,
|
|
e quindi le estensioni di $\varphi$ sono esattamente
|
|
$\deg_K \alpha$.
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\end{proof}
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A partire da questa proposizione, si può dimostrare un
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risultato più generale sulle estensioni finite di $K$,
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come mostra il fondamentale:
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\begin{theorem}[estensioni di $\varphi$ da $\faktor{L}{K}$ in $\overline{K}$]
|
|
Sia $[L : K] = n$. Allora per ogni $\varphi : K \mono \overline{K}$ immersione esistono esattamente $n$
|
|
estensioni $\varphi_i : L \to \overline{K}$ di $\varphi$,
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ossia tali per cui $\restr{\varphi_i}{K} = \varphi$.
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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Se $n = 1$, la tesi è del tutto ovvia.
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Si dimostra facilmente il teorema per $n \geq 2$ applicando il principio di induzione ed il teorema precedente.
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Se $n = 2$, $L$ è un'estensione semplice di $K$ e quindi
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esiste $\alpha \in L \setminus K$
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tale per cui $L = K(\alpha)$.
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La tesi allora segue applicando il teorema precedente. \medskip
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Se $n > 2$, sia $\alpha \in L \setminus K$.
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Sia $[K(\alpha) : K] = m$. Se
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$m = n$, allora $L = K(\alpha)$ e la tesi
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segue ancora applicando il teorema precedente. Se invece
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$m < n$, sia $[L : K(\alpha)] = d$. Per il teorema precedente
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esistono esattamente $m$ estensioni $\varphi_i$ di $\varphi$ da $K(\alpha)$ in $K$. Invece, per il teorema delle torri algebriche,
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$n = md$, e quindi $d < n$. Applicando allora l'ipotesi
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induttiva, ogni $\varphi_i$ può essere unicamente
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esteso in $d$ modi da $K(\alpha)$ a $L$. Pertanto esistono
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solamente $n = md$ estensioni di $\varphi$, concludendo
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il passo induttivo.
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\end{proof}
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\end{document} |