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\documentclass[11pt]{article}
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\usepackage{personal_commands}
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\usepackage[italian]{babel}
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\title{\textbf{Note del corso di Geometria 1}}
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\author{Gabriel Antonio Videtta}
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\date{27 marzo 2023}
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\begin{document}
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\maketitle
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\begin{center}
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\Large \textbf{Titolo della lezione}
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\end{center}
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SIa $V$ uno spazio vettoriale su $\KK$ e sia $\phi : V \times V \to \KK$
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un suo prodotto scalare.
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\begin{definition}
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Due vettori $\vec v$, $\vec w$ si dicono \textbf{ortogonali} se e
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solo se $\varphi(\vec v, \vec w) = 0$.
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\end{definition}
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\begin{definition}
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Preso un sottospazio $W \subseteq V$, si definisce lo spazio:
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\[ W^\perp = \{ \vec v \in V \mid \varphi(\vec v, \vec w) = 0, \forall \vec w \in W \}, \]
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detto sottospazio perpendicolare a $W$.
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\end{definition}
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\begin{note}
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Tale notazione è valida anche per sottinsiemi generici di $V$,
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perdendo tuttavia la proprietà di sottospazio di $V$.
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\end{note}
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\begin{remark}
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%TODO: da dimostrare.
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Valgono le seguenti osservazioni. \\
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\li $S \subseteq T \implies S^\perp \supseteq T^\perp$. \\
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\li $S^\perp = (\Span(S))^\perp$ (infatti, da sopra,
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vale l'inclusione $S^\perp \supseteq (\Span(S))^\perp$;
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l'inclusione vale anche al contrario, dacché ogni vettore
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ortogonale a $S$ è ortogonale ad ogni combinazione lineare
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degli elementi di $S$, per la bilinearità di $\varphi$).
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\end{remark}
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\begin{theorem} (formula della dimensione dello spazio ortogonale)
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Sia $W \subseteq V$ un sottospazio di $V$. Allora vale la seguente
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identità:
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\[ \dim W^\perp = \dim V - \dim W + \dim (W \cap V^\perp), \]
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da cui, se $\varphi$ è non degenere,
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\[ \dim W^\perp = \dim V - \dim W. \]
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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%TODO: dimostra che Im f^\top = Ann(Ker f).
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Sia $\varphi$ non degenere.
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Si osserva che $\vec w \in W^\perp$ è tale che
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$\alpha_\varphi(\vec v)(\vec w) = 0$ $\forall \vec v \in V$,
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e quindi che $\alpha_\varphi(\vec v) \in \Ann(W)$, che
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ha dimensione $\dim V - \dim W$. \\
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Nel caso generale, si consideri l'applicazione
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$g = i^\top \circ \alpha_\varphi \circ i$, dove
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$i : W \to V$ è tale che $i(\vec w) = \vec w$.
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Si osserva allora che $W^\top = \Ker (g)$.
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%TODO: recupera dimostrazione.
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\end{proof}
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\begin{proposition}
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$V = W \oplus W^\perp \iff W \cap W^\perp = \zerovecset \iff \restr{\varphi}{W}$ è non degenere.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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%TODO: aggiungere dimostrazione.
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\end{proof}
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%TODO: riguardare appunti.
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\end{document}
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