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\chapter*{Notazioni impiegate}
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\addcontentsline{toc}{chapter}{Notazioni impiegate}
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\setlength{\parindent}{2pt}
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\begin{multicols*}{2}
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\section*{Algebra lineare}
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\begin{itemize}
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\item $q_\varphi$ -- dato uno spazio vettoriale $V$ equipaggiato con un
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prodotto scalare $\varphi$, $q_\varphi$ è la forma quadratica associatogli, ovverosia
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$q_\varphi(v) = \varphi(v, v)$.
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\item $\norm{v}_{\varphi}$ -- dato uno spazio vettoriale reale $V$ equipaggiato con
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un prodotto scalare (semi)definito positivo $\varphi$, $\norm{\cdot}_{\varphi}$ è
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la (semi)norma indotta da $\varphi$, ovverosia $\norm{v}_{\varphi} = \sqrt{q_{\varphi}(v)} = \sqrt{\varphi(v, v)}$.
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\item vettore isotropo --
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vettore che annulla la forma quadratica.
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\item vettore anisotropo -- vettore non isotropo, vettore che non annulla la forma quadratica.
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\item $\cos_\varphi(v, w)$, $\cos(v, w)$ -- dati due vettori anisotropi $v$, $w$ su uno spazio vettoriale reale $V$ equipaggiato
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di un prodotto scalare semidefinito positivo $\varphi$, si definisce
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$\cos_\varphi(v, w)$ (o $\cos(v, w)$ se $\varphi$ è noto dal contesto) in modo tale che:
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\[
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\cos_\varphi(v, w) = \frac{\varphi(v, w)}{\norm{v}_\varphi \cdot \norm{w}_\varphi}.
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\]
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\item vettore $v$ ortogonale a $w$ per $\varphi$ -- Due vettori $v$, $w$ tali
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per cui $\varphi(v, w) = 0$.
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\item $V^\perp_{\varphi}$ -- Radicale del prodotto scalare (o hermitiano) $\varphi$
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sullo spazio $V$, ovverosia sottospazio dei vettori ortogonali ai vettori di tutto
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lo spazio.
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\item $\CI(\varphi)$ -- Sottoinsieme dei vettori di $V$ che annullano $q_{\varphi}$, ossia
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sottoinsieme dei vettori isotropi.
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\item $C_{\varphi}(v, w)$ -- coefficiente di Fourier di
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$v$ rispetto a $w$, ossia $C(v, w) \defeq \frac{\varphi(v, w)}{\varphi(v, v)}$.
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\end{itemize}
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\section*{Analisi matematica}
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\begin{itemize}
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\item $f(A_i) \goesup x$ -- la successione $(f(A_i))_{i \in \NN}$ a valori
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in $\RR$ è crescente al crescere di $i$ e ha come limite $x$.
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\item $f(A_i) \goesdown x$ -- la successione $(f(A_i))_{i \in \NN}$ a valori
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in $\RR$ è decrescente al crescere di $i$ e ha come limite $x$.
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\item esponente coniugato di $p$ -- per $p > 1$, l'esponente coniugato
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$p'$ di $p$ è un numero reale $p' > 1$ tale per cui:
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\[
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\frac{1}{p} + \frac{1}{p'} = 1.
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\]
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\item $\norm{x}_p$ -- norma $p$-esima del vettore $x \in \RR^n$, ovverosia:
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\[
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\norm{x}_p = \left(\sum_{i \in [n]} \abs{x_i}^p\right)^\frac{1}{p}.
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\]
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Per $p = 2$, si scrive semplicemente $\norm{x}$, e coincide con la norma
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indotta dal prodotto scalare canonico di $\RR^n$.
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\item $f > g$ -- Per una funzione $f$ a valori reali, come affermazione
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corrisponde a dire che per un qualsiasi punto del dominio $x$, $f(x) > g(x)$. Si estende naturalmente a $<$, $\geq$, $\leq$ (eventualmente con
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catene di disuguaglianze). Da non
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confondersi con l'insieme $f > g$.
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\item $a$ -- Per una costante $a \in \RR$ la mappa costante $D \ni d \mapsto a \in \RR$;
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la sua interpretazione dipende dal contesto.
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\item $f^+$ -- Parte positiva di una mappa $f$ a valori reali, ovverosia
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$f^+(a)$ è uguale a $f(a)$ se $f(a) \geq 0$ e $0$ altrimenti.
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\item $f^-$ -- Parte negativa di una mappa $f$ a valori reali, ovverosia
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$f^-(a)$ è uguale a $-f(a)$ se $f(a) \leq 0$ e $0$ altrimenti. In questo
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modo $f = f^+ - f^-$.
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\item $\exp$ -- Funzione esponenziale $e^x$.
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\item $\log \equiv \ln = \log_e$ -- Logaritmo naturale, ossia logaritmo in base $e$.
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\end{itemize}
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\section*{Combinatoria}
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\begin{itemize}
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\item $D_{n,k} = \frac{n!}{(n-k)!}$ -- numero di disposizioni ottenute prendendo
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$k$ elementi tra $n$ oggetti.
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\item $\binom{n}{k} = C_{n,k}$ -- il coefficiente binomiale $n$ su $k$,
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ovverosia il numero di combinazioni possibili prendendo $k$ elementi tra $n$ oggetti; equivale a $\frac{n!}{(n-k)!k!} = D_{n,k}/k!$. Alternativamente,
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il numero di sottoinsiemi di $k$ elementi in $[n]$.
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\item $S(I)$ -- gruppo simmetrico relativo a $I$, gruppo delle permutazioni
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di $I$.
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\item $S_n$ -- $n$-esimo gruppo simmetrico, gruppo delle permutazioni
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di $[n]$.
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\end{itemize}
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\section*{Teoria degli insiemi}
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\begin{itemize}
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\item $\PP(\Omega)$ -- insieme delle parti di $\Omega$, ossia insieme
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dei sottoinsiemi di $\Omega$.
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\item $A \cupdot B$ -- unione disgiunta di $A$ e $B$, ovverosia $A \cup B$ con
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l'ipotesi che $A \cap B = \emptyset$ (la notazione si estende naturalmente a
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una famiglia di insiemi a due a due disgiunti).
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\item $A \Delta B = A \setminus B \cupdot B \setminus A$ -- differenza simmetrica
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tra $A$ e $B$.
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\item $[n]$ -- l'insieme $\{1, \ldots, n\}$.
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\item $\prod_{i \in I} S_i$ con $S_i$ insieme e $I$ ordinato -- prodotto cartesiano degli $S_i$, ordinato secondo $I$.
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\item $[[n]]$ -- l'insieme $\{0, \ldots, n\} = \{0\} \cup [n]$.
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\item $\#A$, $\abs{A}$ -- numero di elementi di $A$, o semplicemente la cardinalità di $A$.
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\item insieme finito -- insieme in bigezione con $[n]$ per qualche $n \in \NN$.
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\item insieme numerabile -- insieme in bigezione con $\NN$.
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\item $A_i \goesup A$ -- la famiglia $(A_i)_{i \in \NN}$ è crescente e ha
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come limite $A$, ovverosia $A_i \subseteq A_{i+1}$ per ogni $i \in \NN$ e
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$\bigcup_{i \in \NN} A_i = A$.
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\item $A_i \goesdown A$ -- la famiglia $(A_i)_{i \in \NN}$ è decrescente e ha
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come limite $A$, ovverosia $A_i \supseteq A_{i+1}$ per ogni $i \in \NN$ e
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$\bigcap_{i \in \NN} A_i = A$.
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\item $\omega_i$ -- $i$-esima coordinata di $\omega \in \Omega$, se
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$\Omega$ è un prodotto cartesiano di finiti termini o di un numero
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numerabile di termini.
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\item $A^1 \defeq A$ -- useremo questa notazione per comodità.
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\item $A^c$ -- il complementare di $A$ riferito a $\Omega$, quindi $\Omega \setminus A$, in modo tale che $\Omega = A \cupdot A^c$.
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\item $X\inv(A)$ -- controimmagine dell'insieme $A \subseteq C$ in riferimento
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alla funzione $X : D \to C$, ovverosia $X\inv(A) = \{\omega \in D \mid X(\omega) \in A\}$.
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\item $S_X$, $\im X$ -- immagine della funzione $X$.
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\item $\supp X$ -- supporto di $X$, ovverosia sottoinsieme del
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dominio degli elementi che non annullano $X$.
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\item $1_A$, $I_A$ -- funzione indicatrice di $A$, ovverosia la
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funzione $1_A : B \to [[1]] \subseteq \RR$ riferita ad $A \subseteq B$
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tale per cui:
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\[
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1_A(b) = \begin{cases}
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1 & \text{se } b \in A, \\
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0 & \text{altrimenti}.
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\end{cases}
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\]
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\item $\groupto$ -- simbolo utilizzato al posto $\to$ quando si elencano
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più funzioni che condividono o lo stesso dominio o lo stesso codominio (e.g.~$f$, $g : A$, $B \groupto C$ elenca una funzione $f : A \to C$ e una $g : B \to C$; $f$, $g : A \groupto B$, $C$ elenca una funzione
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$f : A \to B$ e una $g : A \to C$).
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\end{itemize}
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\section*{Probabilità e teoria della misura}
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\begin{itemize}
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\item $\Omega$ -- spazio campionario, l'insieme di tutti i possibili esiti dell'esperimento aleatorio considerato.
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\item $\sigma(\tau)$ -- $\sigma$-algebra generata dalla famiglia $\tau \subseteq \PP(\Omega)$.
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\item $\sigma\{A_1, \ldots, A_n\}$ -- $\sigma$-algebra generata dalla famiglia
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$\tau = \{A_1, \ldots, A_n\} \subseteq \PP(\Omega)$.
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\item $\FF$ -- $\sigma$-algebra relativa a $\Omega$, ossia l'insieme dei possibili eventi.
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\item $(\Omega, \FF)$ -- spazio misurabile.
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\item $P$ -- misura di probabilità su uno spazio misurabile.
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\item $(\Omega, \FF, P)$ -- spazio di probabilità.
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\item \qc -- quasi certo/quasi certamente.
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\item $p$ -- per $\Omega$ discreto, funzione di densità discreta.
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\item \va -- variabile aleatoria.
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\item $P^X$ -- legge della v.a.~$X$ rispetto a $P$.
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\item $p_X$ -- densità della legge della v.a.~$X$, rispetto a $P$.
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\item $X \in A$ -- per una \va $X : \Omega \to S$,
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$X \in A$ è l'insieme $X\inv(A)$. Si estende naturalmente
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al caso $\notin$.
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\item $X = a$ -- per una \va $X : \Omega \to S$,
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$X = a$ è l'insieme $X\inv(a)$. Si estende naturalmente
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al caso $\neq$.
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\item $X = Y$ -- per due \va $X, Y : \Omega \groupto S$
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l'insieme $\{ \omega \in \Omega \mid X(\omega) = Y(\omega) \}$.
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Si estende naturalmente al caso $\neq$ e in modo analogo a $>$, $<$, $\leq$, $\geq$.
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\item $X > a$ -- per una \va reale $X : \Omega \to \RR$,
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$X > a$ è l'insieme $X\inv((a, \infty))$; per una \va discreta
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$X : \Omega \to \RR$ è l'insieme $X\inv(\{m \in \NN \mid m > a\})$.
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Si estende naturalmente ai casi $<$, $\leq$, $\geq$ (eventualmente
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anche con una catena di disuguaglianze). Da non confondersi con
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l'affermazione $X > a$ per $X$ a valori reali.
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\item $\varphi(X)$ -- per una \va, la composizione $\varphi \circ X$.
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\item $\deq$, $\sim$ -- per due v.a.~$X, Y : \Omega_1, \Omega_2 \groupto S$
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indica l'uguaglianza di legge, ovverosia $P_{\Omega_1}^X = P_{\Omega_2}^Y$.
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\item i.d.~-- identicamente distribuite; utilizzato in relazione a un gruppo
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di v.a.~che condividono la stessa legge (spesso rispetto a uno stesso $\Omega$).
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\item i.i.d.~-- indipendenti e identicamente distribuite; utilizzato in relazione
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a un gruppo di v.a.~indipendenti che condividono la stessa legge (spesso rispetto
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a uno stesso $\Omega$).
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\item $(X_i)_{i \in I}$ -- famiglia di v.a., oppure v.a.~congiunta.
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\item $(X_1, \ldots, X_n)$ -- per una famiglia $(X_i : \Omega \to S_i)_{i \in [n]}$ di
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v.a.~indica la v.a.~congiunta (multivariata) $(X_1, \ldots, X_n) : \Omega \to \prod_{i \in [n]} S_i$, $\omega \mapsto (X_1(\omega), \ldots, X_n(\omega))$. Se la
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famiglia è composta da due variabili, si dice anche \textit{coppia bivariata}.
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\item $P(A, B) \defeq P(A \cap B)$ -- notazione introdotta per scrivere
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più comodamente $P(X = x, Y = y)$ in luogo di $P((X = x) \cap (Y = y))$. Si
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generalizza in modo naturale a più eventi.
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\item $L(A, B) \defeq \frac{P(A \mid B)}{P(A)}$ -- rapporto di influenza tra
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$A$ e $B$.
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\item $\bigotimes_{i \in [n]} P_i = P_1 \otimes \cdots \otimes P_n$ --
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Date $P_i$ probabilità su $S_i$ discreto, $P_1 \otimes \cdots \otimes P_n \defeq P$ è la misura di probabilità naturale su $\prod_{i \in [n]} S_i$ tale per cui
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le proiezioni $\pi_i$ siano v.a.~discrete indipendenti e per cui
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$P(\pi_i = x_i) = p_i(x_i)$ per ogni $x_i \in S_i$, $i \in [n]$.
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\item $\EE[X]$ -- valore atteso di $X$.
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\item $\EE[X \mid A] = \defeq \frac{\EE[X \cdot 1_A]}{P(A)}$ -- valore atteso di $X$
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condizionato a $A$.
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\item $\Cov(X, Y) \defeq \EE[(X - \EE[X])(Y - \EE[Y])]$ -- covarianza di $X$ e $Y$.
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\item $\Var(X) \defeq \Cov(X, X)$ -- varianza di $X$.
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\item $\sigma(X) \defeq \sqrt{\Var(X)}$ -- deviazione standard di $X$.
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\item $\rho(X, Y)$ -- coefficiente
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di correlazione di Pearson, ovverosia
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$\cos_{\Cov}(X, Y) = \frac{\Cov(X, Y)}{\sigma(X) \cdot \sigma(Y)}$.
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\item $a^*$, $b^*$ -- date due
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v.a.~$X$, $Y$, $a^*$ e $b^*$ sono
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i parametri della retta di
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regressione $y = a^*x + b^*$.
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\item $I(t)$ -- trasformata di Cramer.
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\item LGN - Legge dei Grandi Numeri.
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\item TCL, TLC - Teorema Centrale del Limite.
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\item $m$, $\sigma$ -- spesso nel contesto
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della LGN e del TCL si usa $m$ per
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indicare $\EE[X_1]$ e $\sigma$ per
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indicare $\sigma(X_1)$.
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\end{itemize}
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\end{multicols*}
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