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\chapter{Probabilità sulla retta reale}
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\setlength{\parindent}{2pt}
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\begin{multicols*}{2}
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Discutiamo in questa sezione la teoria della probabilità sulla
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retta reale, uscendo dunque dal caso discreto. \smallskip
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Per restringere la $\sigma$-algebra su cui lavoreremo (ossia l'insieme degli
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eventi interessanti), siamo costretti a limitarci a una $\sigma$-algebra molto più
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piccola di $\PP(\RR)$, la $\sigma$-algebra dei boreliani, che ci permette di escludere
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``casi meno interessanti''. \smallskip
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\begin{warn}
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Eccetto che nella prima sezione, assumeremo se non detto altrimenti
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di star lavorando sullo spazio misurabile
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$(\RR, \BB(\RR))$ dotato eventualmente della misura di Lebesgue $m$. $\BB(\RR)$ ed
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$m$ sono definiti nella sezione seguente.
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\end{warn}
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\section{Cenni di teoria della misura}
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\subsection{La \texorpdfstring{$\sigma$}{σ}-algebra di Borel e funzioni boreliane}
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\begin{definition}[$\sigma$-algebra dei boreliani]
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Dato uno spazio metrico separabile\footnote{
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Si può generalizzare in modo naturale tale definizione a un qualsiasi spazio topologico.
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Dal momento che considereremo solo spazi metrici separabili (in particolare $X \subseteq \RR^d$), concentreremo
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le proprietà e le definizioni su questa classe di spazi topologici.} $X \neq \emptyset$
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si definisce la \textbf{$\sigma$-algebra $\BB(X)$ dei boreliani di $X$} (o
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$\sigma$-algebra di Borel)
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come la $\sigma$-algebra generata dai suoi aperti, ovverosia:
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\[
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\BB(X) \defeq \sigma \{ A \subseteq X \mid A \text{ aperto}\, \}.
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\]
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Gli elementi della $\sigma$-algebra di Borel sono detti \textit{boreliani}.
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\end{definition}
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\begin{proposition}[Proprietà di $\BB(X)$]
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Sia $X \neq \emptyset$ uno spazio metrico separabile. Allora valgono
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le seguenti affermazioni:
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\begin{enumerate}[(i.)]
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\item $\BB(X)$ contiene tutti gli aperti e i chiusi di $X$ (infatti
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metrico e separabile implica II-numerabile), pertanto se $\tau(X)$ è la
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topologia di $X$ vale che $\tau(X) \subseteq \BB(X)$,
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\item $\BB(X) = \sigma \{ A \subseteq X \mid A \text{ chiuso}\, \}$, ossia
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$\BB(X)$ è generata anche dai chiusi di $X$ (infatti $\BB(X)$ è chiuso per
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complementare),
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\item se $Y \subseteq X$, $Y \neq \emptyset$ ha metrica indotta da $X$, allora
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$\BB(Y) = \sigma \{ Y \cap B \mid B \in \BB(X) \} \subseteq \BB(X)$ (segue dal fatto che
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gli aperti di $Y$ sono tutti e solo gli aperti di $X$ intersecati a $Y$).
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\end{enumerate}
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\end{proposition}
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\begin{proposition}[Proprietà di $\BB(\RR^d)$]
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Valgono le seguenti affermazioni:
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\begin{enumerate}[(i.)]
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\item $\BB(\RR)$ contiene tutti gli intervalli e tutte le semirette (infatti si ammettono anche intersezioni infinite di aperti),
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\item $\BB(\RR)$ è generato dagli intervalli semiaperti, ovverosia $\BB(\RR) = \sigma \{ (a, b] \mid a, b \in \RR, a < b \}$,
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\item $\BB(\RR)$ è generato dalle semirette, ovverosia $\BB(\RR) = \sigma \{ (-\infty, a) \mid a \in \RR \}$,
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\item $\BB(\RR^d) = \sigma \{ (-\infty, a_1) \times \ldots \times (-\infty, a_n) \mid a_1, \ldots, a_n \in \RR \}$ (segue da (iii.)),
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\item $\BB(\RR^d) \neq \PP(\RR^d)$ (segue dal controesempio di Vitali, oltre che da considerazioni sulle cardinalità).
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\end{enumerate}
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\end{proposition}
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\begin{definition}
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Data una funzione $f : X \to Y$ con $X$ e $Y$ spazi metrici separabili, si dice che
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$f$ è una \textbf{funzione boreliana} se $f\inv(A)$ è boreliano per ogni
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$A$ boreliano di $Y$. Equivalentemente $f$ è boreliana se la controimmagine di ogni
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boreliano è un boreliano.
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\end{definition}
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\begin{proposition}
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Sia $f : X \to Y$ con $X$ e $Y$ spazi metrici separabili una funzione continua. Allora
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$f$ è boreliana. \smallskip
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Segue dal fatto che $\BB(Y)$ è generato dagli aperti di $Y$, le cui controimmagini sono
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aperte, e dunque boreliane.
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\end{proposition}
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\subsection{Definizione e proprietà di misura, \texorpdfstring{$\pi$}{π}-sistemi per \texorpdfstring{$\sigma$}{σ}-algebre}
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\begin{definition}[Misura]
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Dato $(\Omega, \FF)$ spazio misurabile, una misura $\mu$ su $(\Omega, \FF)$ è una
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funzione $\mu : \FF \to [0, \infty]$ con $\mu(\emptyset) = 0$ e per cui valga
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la $\sigma$-additività, ovverosia:
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\[
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\mu\left(\bigcupdot_{i \in \NN} A_i\right) = \sum_{i \in \NN} \mu(A_i), \quad A_i \in \FF.
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\]
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\end{definition}
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\begin{remark}[Proprietà basilari di una misura]
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Dal momento che si richiede per una misura valga $\mu(\emptyset) = 0$, si verifica
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facilemente che vale la $\sigma$-additività finita. \smallskip
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Inoltre, se $A \subseteq B$, allora $\mu(B) = \mu(B \setminus A \cupdot A) = \mu(B \setminus A) + \mu(A)$, e
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dunque vale sempre che $\mu(A) \leq \mu(B)$. Vale inoltre ancora la $\sigma$-subadditività, con la stessa
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dimostrazione data per la probabilità, e dunque:
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\[
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|
\mu\left(\bigcup_{i \in \NN} A_i\right) \leq \sum_{i \in \NN} \mu(A_i).
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\]
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\end{remark}
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\begin{remark}[Comportamento di $\mu$ al limite]
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Se $(A_i)_{i \in \NN}$ è una famiglia numerabile di
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insiemi in $\FF$, allora, seguendo la stessa dimostrazione
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data per le misure di probabilità, che:
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\begin{enumerate}[(i.)]
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\item $A_i \goesup A \implies \mu(A_i) \goesup \mu(A)$,
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\item $A_i \goesdown A \implies \mu(A_i) \goesdown \mu(A)$.
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\end{enumerate}
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\end{remark}
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\begin{definition}
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Una misura $\mu$ su $(\Omega, \FF)$ si dice \textbf{misura finita} se $\mu(\Omega)$ è finito.
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\end{definition}
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\begin{proposition}[Proprietà di una misura finita $\mu$]
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Sia $\mu$ una misura finita su $(\Omega, \FF)$. Allora valgono le seguenti affermazioni:
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\begin{enumerate}[(i.)]
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\item $P(A) = \frac{\mu(A)}{\mu(\Omega)}$ è una misura di probabilità,
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\item $\mu(A)$ è sempre finito e $\mu(\Omega) = \mu(A) + \mu(A^c)$,
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\item $A \subseteq B \implies \mu(B) = \mu(B \setminus A) + \mu(A)$,
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\item $\mu(B \setminus A) = \mu(B) - \mu(A \cap B)$,
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\item $\mu(A \cup B) = \mu(A \Delta B \cupdot A \cap B) = \mu(A) + \mu(B) - \mu(A \cap B)$,
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\item $\mu\left(\bigcup_{i \in [n]} A_i\right) = \sum_{j \in [n]} (-1)^{j+1} \sum_{1 \leq i_1 < \cdots < i_j \leq n} \mu\left(\bigcap_{k \in [j]} A_{i_{k}}\right)$ (Principio di inclusione-esclusione per le misure finite).
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\end{enumerate}
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Tutte le affermazioni seguono immediatamente dalla prima.
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\end{proposition}
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\begin{definition}[Insiemi $\mu$-trascurabili e proprietà che accadono $\mu$-quasi ovunque]
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Un insieme $A \in \FF$ si dice \textbf{$\mu$-trascurabile} se
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$\mu(A) = 0$. Una proprietà $M$ si dice che accade
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$\mu$-quasi ovunque ($\mu$-q.o.) se esiste $A \in \FF$ $\mu$-trascurabile per cui
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$M$ accade per $A^c$.
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\end{definition}
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\begin{definition}[\texorpdfstring{$\pi$}{π}-sistema di una $\sigma$-algebra]
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Sia $(\Omega, \FF)$ uno spazio misurabile. Allora un sottoinsieme $\mathcal{C} \subseteq \FF$
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si dice \textbf{$\pi$-sistema di $\FF$} se:
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\begin{enumerate}[(i.)]
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\item $A$, $B \in \mathcal{C} \implies A \cap B \in \mathcal{C}$ (chiusura per intersezioni),
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\item $\sigma(C) = \FF$ (genera $\FF$).
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\end{enumerate}
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\end{definition}
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\begin{remark}
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Un $\pi$-sistema di una $\sigma$-algebra svolge lo ``stesso ruolo'' che una
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base svolge per una topologia.
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\end{remark}
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\begin{lemma}[di Dynkin, versione probabilistica]
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Sia $(\Omega, \FF)$ uno spazio misurabile e sia $\mathcal{C}$ un suo $\pi$-sistema. Siano
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$P$ e $Q$ due probabilità sullo spazio misurabile di $\Omega$. Se $P$ e $Q$ coincidono su
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$\mathcal{C}$, allora $P \equiv Q$.
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\end{lemma}
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\begin{example}
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Alcuni esempi di $\pi$-sistemi per $(\RR, \BB(\RR))$ sono:
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\begin{itemize}
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\item gli aperti, ovverosia $\mathcal{C} = \{ A \in \FF \mid A \text{ aperto}\, \}$ (oppure i chiusi),
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\item le semirette (a sinistra), ovverosia $\mathcal{C} = \{ (-\infty, a] \mid a \in \RR \}$ (oppure le semirette a destra),
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\item gli intervalli semiaperti (a sinistra), ovverosia $\mathcal{C} = \{ (a, b] \mid a, b \in \RR, b > a \}$ (oppure semiaperti a destra).
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\end{itemize}
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\end{example}
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\subsection{La misura di Lebesgue}
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\begin{theorem}[Esistenza e unicità della misura di Lebesgue]
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Esiste ed è unica la misura $m$ su $(\RR, \BB(\RR))$ tale per cui
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$m([a, b]) = b-a$ per ogni $a$, $b \in \RR$ con $b > a$. Tale misura
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è detta \textbf{misura di Lebesgue} e corrisponde al concetto ``primitivo'' di
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\textit{lunghezza}. \smallskip
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L'unicità segue dall'enunciato generale del lemma di Dynkin.
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\end{theorem}
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\begin{remark}
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Dal momento che $m([0, 1]) = 1$,
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la misura $\restr{m}{[0,1]}$ è una misura di probabilità su $([0,1], \BB([0, 1]))$,
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detta \textit{probabilità uniforme su $[0,1]$}. Analogamente per $a$, $b \in \RR$
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con $b > a$, $m([a, b]) = b-a$ e
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dunque $P = \frac{1}{b-a} \restr{m}{[a,b]}$ è una misura di probabilità (detta
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\textit{probabilità uniforme su $[a,b]$}). \smallskip
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Assumendo l'assioma della scelta si può dimostrare che \underline{non} si può estendere in modo coerente
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$\restr{m}{[0,1]}$ a $([0, 1], \PP([0, 1]))$.
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\end{remark}
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\section{Probabilità reale, funzione di ripartizione (f.d.r.) e proprietà}
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\subsection{Definizioni e proprietà della f.d.r.}
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\begin{definition}
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Si dice \textbf{probabilità reale} una qualsiasi
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probabilità $P$ su $(\RR, \BB(\RR))$.
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\end{definition}
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\begin{definition}[Funzione di ripartizione di $P$]
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Data una probabilità reale $P$ si definisce
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allora la sua \textbf{funzione di ripartizione (f.d.r.)}
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come la funzione $F : \RR \to [0, 1]$ tale per cui:
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\[
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F(x) = P((-\infty, x]), \quad \forall x \in \RR.
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\]
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Si definisce inoltre $F(\pm\infty) \defeq \lim_{x \to \pm\infty} F(x)$.
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Indicheremo $F$ come $F_P$, e quando $P$ sarà nota dal contesto
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ci limiteremo a scrivere $F$.
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\end{definition}
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\begin{proposition}[Proprietà della f.d.r.]
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Sia $P$ una probabilità reale. Allora, se $F$ è la
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sua f.d.r. vale che:
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\begin{enumerate}[(i.)]
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\item $F$ è crescente, ovvero $F(x) \geq F(y) \impliedby x \geq y$ (infatti $(-\infty, x] \supseteq (-\infty, y]$),
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\item $F$ è continua a destra, ovverosia per ogni $\tilde{x} \in \RR$ vale che $\lim_{x \to \tilde{x}^+} F(x) = F(\tilde{x})$,
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\item $F(-\infty) = 0 \impliedby ((-\infty, -i])_{i \in \NN} \goesdown \emptyset$,
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\item $F(\infty) = 1 \impliedby ((-\infty, i])_{i \in \NN} \goesup \RR$.
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\end{enumerate}
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L'affermazione (ii.)~segue dal fatto che per ogni successione decrecente da destra $(x_i)_{i \in \NN} \goesdown \tilde{x}$,
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che esclude $\tilde{x}$, è
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tale per cui $((-\infty, x_i])_{i \in \NN} \goesdown (-\infty, \tilde{x}]$, e dunque
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$(F(x_i))_{i \in \NN} = (P((-\infty, x_i]))_{i \in \NN} \goesdown P((-\infty, \tilde{x}]) = F(\tilde{x})$.
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\end{proposition}
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\subsection{Corrispondenza tra f.d.r.~e probabilità, calcolo di \texorpdfstring{$P$}{P} tramite \texorpdfstring{$F$}{F} e probabilità continue}
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\begin{proposition}[$P$ è univocamente determinata da $F$]
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\label{prop:unicita_fdr}
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Sia $F : \RR \to \RR$ una funzione tale per cui:
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\begin{enumerate}[(i.)]
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|
\item $F$ è crescente,
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\item $F$ è continua a destra,
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\item $\lim_{x \to \infty} F(x) = 1$,
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\item $\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0$.
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\end{enumerate}
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Allora $0 \leq F \leq 1$ ed esiste un'unica probabilità reale $P$ avente
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$F$ come funzione di ripartizione. \smallskip
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L'unicità segue dal lemma di Dynkin.
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\end{proposition}
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\begin{remark}
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La continuità a sinistra della f.d.r.~non è invece garantita dacché per ogni successione da sinistra crescente
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$(x_i)_{i \in \NN} \goesup \tilde{x}$, che esclude $\tilde{x}$,
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vale che $((-\infty, x_i])_{i \in \NN} \goesup (-\infty, \tilde{x})$, e non
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$(-\infty, \tilde{x}]$. Dunque $\lim_{x \to \tilde{x}^-} F(x)$ esiste ed è $P((-\infty, x))$, indicato
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comunemente come $F(x^-)$, che può non coincidere con $F(x)$. \smallskip
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Dal momento che:
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\[
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P(\{x\}) = P((-\infty, x] \setminus (-\infty, x)) = F(x) - F(x^-),
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\]
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si deduce che $F$ è continua se e solo se $P(\{x\}) = 0$ (ossia se e solo se
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$F(x) = F(x^-)$).
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\end{remark}
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\begin{remark}
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Si deducono immediatamente dalla precedente osservazione le seguenti identità:
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\begin{itemize}
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\item $P([a, b]) = F(b) - F(a^-)$,
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\item $P((a, b)) = F(b^-) - F(a)$,
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|
\item $P([a, b)) = F(b^-) - F(a^-)$,
|
|
|
\item $P((a, b]) = F(b) - F(a)$.
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\end{itemize}
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\end{remark}
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|
\begin{definition}[$P$ continua]
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Si dice che una probabilità reale $P$ è \textbf{continua} se
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la sua f.d.r.~$F$ lo è, ossia se $P(\{a\}) = 0$ per ogni $a \in \RR$
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|
(quest'ultima equivalenza deriva dalla penultima osservazione).
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\end{definition}
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\begin{remark}
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Per una probabilità $P$ continua la misura di un intervallo con estremi $a$ e $b$ è semplificata
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a $F(b) - F(a)$ in tutti i casi (infatti $F(a^-) = F(a)$ e $F(b^-) = F(b)$).
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\end{remark}
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\section{Classi principali di probabilità reale}
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Esistono due classi importanti, ma non esaustive, di probabilità reale: le
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probabilità discrete e quelle assolutamente
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continue, contenute tra quelle continue. Le classi di probabilità reali
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si dividono dunque secondo il seguente schema:
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\begin{center}
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\tikzset{every picture/.style={line width=0.75pt}} %set default line width to 0.75pt
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\begin{tikzpicture}[x=0.75pt,y=0.75pt,yscale=-1,xscale=1,scale=0.8]
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%uncomment if require: \path (0,300); %set diagram left start at 0, and has height of 300
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%Shape: Rectangle [id:dp7885262489349896]
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\draw (220.19,65.28) -- (466.19,65.28) -- (466.19,196.28) -- (220.19,196.28) -- cycle ;
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%Shape: Ellipse [id:dp8572353674963273]
|
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\draw (229.69,95.79) .. controls (236.04,78.39) and (264.48,72.78) .. (293.2,83.27) .. controls (321.92,93.76) and (340.05,116.37) .. (333.7,133.77) .. controls (327.34,151.17) and (298.91,156.78) .. (270.19,146.29) .. controls (241.47,135.8) and (223.33,113.19) .. (229.69,95.79) -- cycle ;
|
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|
%Shape: Ellipse [id:dp3583963732297444]
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\draw (342.58,156.41) .. controls (332.85,131.07) and (350.75,100.63) .. (382.58,88.41) .. controls (414.4,76.19) and (448.08,86.82) .. (457.81,112.15) .. controls (467.54,137.48) and (449.63,167.93) .. (417.81,180.15) .. controls (385.99,192.37) and (352.31,181.74) .. (342.58,156.41) -- cycle ;
|
|
|
%Shape: Ellipse [id:dp5413476700533957]
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\draw (393.91,107.98) .. controls (397.1,99.22) and (408.98,95.52) .. (420.44,99.7) .. controls (431.9,103.89) and (438.6,114.38) .. (435.4,123.13) .. controls (432.21,131.89) and (420.33,135.59) .. (408.87,131.41) .. controls (397.41,127.22) and (390.71,116.73) .. (393.91,107.98) -- cycle ;
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% Text Node
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\draw (252,103) node [anchor=north west][inner sep=0.75pt] [align=left] {discrete};
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% Text Node
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\draw (358,145) node [anchor=north west][inner sep=0.75pt] [align=left] {continue};
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% Text Node
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\draw (403,105) node [anchor=north west][inner sep=0.75pt] [align=left] {AC};
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\end{tikzpicture}
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\end{center}
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\begin{example}[Esempio di probabilità né discreta né continua]
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Sia $F : \RR \to \RR$ tale per cui:
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\[
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F(x) = \begin{cases}
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0 & \text{se } x < 0, \\
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x + \frac{1}{2} & \text{se } 0 \leq x \leq \frac{1}{2}, \\
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1 & \text{altrimenti}.
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\end{cases}
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\]
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Allora $F$ è crescente, continua a destra e tale per cui
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$\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0$, $\lim_{x \to \infty} F(x) = 1$.
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Pertanto esiste un'unica probabilità $P$ avente $F$ come f.d.r. per la
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\textit{Proposizione \ref{prop:unicita_fdr}}. \smallskip
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Dal momento che $F$ non è continua a sinistra in $0$, $F$ non è continua, e dunque
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$P$ non è continua. Inoltre $F$ non induce una probabilità discreta dacché
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non è costante a tratti in $[0, \nicefrac{1}{2}]$. Pertanto $P$ non è né
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continua né discreta.
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\end{example}
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\section{Probabilità discreta e rappresentazione della f.d.r.}
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Come già discusso nella sezione della \textit{\hyperref[sec:discretizzazione]{Discretizzazione}},
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una probabilità reale $P$ si dice \textit{discreta} se esiste $\Omega_0 \subseteq \RR$
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discreto per cui $P$ è concentrata su $\Omega_0$. In tal caso, come già visto,
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$P(A) = P(A \cap \Omega_0)$ per ogni $A \in \BB(\RR)$, e dunque $P$ è univocamente determinata
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dalla densità discreta di $\restr{P}{\PP(\Omega_0)}$, che chiameremo $p$. \smallskip
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In questo caso il range $R_P$ è dunque numerabile e, se $F$ è la f.d.r.~di $P$, vale che:
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\[
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F(x) = P((-\infty, x]) = \sum_{\substack{y \in R_P \\ y \leq x}} p(y).
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\]
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\begin{remark}
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Se $P$ è discreta, come già osservato nella sezione della \textit{\hyperref[remark:identità_discreta_dirac]{Discretizzazione}},
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allora vale che:
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\[
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P = \sum_{x \in R_P} p(x) \, \delta_x.
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\]
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\end{remark}
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\begin{remark}
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Se $R_P$ non ha punti di accumulazione, allora $F$ è costante a tratti con salti
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negli $y \in R_P$ di ampiezza $p(y)$. \smallskip
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Al contrario, presa una successione $(p_r)_{r \in \QQ}$ con $\sum_{r \in \QQ} p_r = 1$,
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la probabilità $P = \sum_{r \in \QQ} p_r \, \delta_r$ è una probabilità discreta con
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f.d.r.~non costante a tratti (infatti tutti i punti di $\QQ$ sono punti di accumulazione).
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\end{remark}
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Pertanto, se una probabilità reale è discreta, ci si può effettivamente restringere a tutti
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i risultati della \textit{Parte 2}.
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\section{Probabilità assolutamente continue (AC)}
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\begin{warn}
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Si ricorda che con il simbolo $\int$ si intende l'integrale
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secondo Lebesgue e che si assume di star lavorando sempre con la
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misura di Lebesgue $m$.
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\end{warn}
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\subsection{Probabilità AC e funzione di densità}
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\begin{definition}[Probabilità assolutamente continua (AC) e densità]
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Una probabilità $P$ si dice \textbf{assolutamente continua (AC)}
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se esiste una funzione
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boreliana $f : \RR \to \RR$ tale per cui:
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\[
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P(A) = \int_A f(x) \dx,
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\]
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dove si impiega l'integrale secondo Lebesgue. Tale funzione $f$ è
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detta \textbf{densità} di $P$. \smallskip
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Si assume implicitamente che $\int_\RR \abs{f(x)} \dx$ sia finito.
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\end{definition}
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\begin{remark}
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Se $P$ è AC, allora la sua f.d.r. $F$ è in particolare
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assolutamente continua, e dunque anche continua.
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\end{remark}
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\begin{remark}
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Nella pratica l'integrale $\int_A f(x) \dx$ si riduce in molti casi
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al più semplice integrale di Riemann, eventualmente improprio.
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\end{remark}
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\subsection{Proprietà e caratterizzazione della densità}
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\begin{proposition}[Unicità della densità a meno di $m$-trascurabilità]
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Se $P$ è una probabilità AC con densità $f$ e $g$, allora
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$f = g$ q.o.~(e dunque $m(f \neq g) = 0$, ossia l'insieme
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$f \neq g$ è $m$-trascurabile).
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\end{proposition}
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\begin{remark}
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Si osserva che se $P$ è una probabilità AC con densità
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$f$, allora $f \geq 0$ q.o.~per continuità (altrimenti $P$ potrebbe
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assumere valori negativi) e $\int_\RR f(x) \dx = P(\RR) = 1$.
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\end{remark}
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\begin{proposition}[La densità determina univocamente la probabilità]
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Sia $f : \RR \to \RR$ una funzione boreliana tale per cui:
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\begin{enumerate}[(i.)]
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\item $f \geq 0$,
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\item $\int_\RR f(x) \dx = 1$.
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\end{enumerate}
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Allora esiste un'unica probabilità reale $P$ avente $f$ come densità.
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\end{proposition}
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\begin{proposition}[Relazioni tra la densità e la f.d.r.]
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Sia $P$ una probabilità reale con f.d.r. $F$. Allora valgono le seguenti affermazioni:
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\begin{enumerate}[(i.)]
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\item Se $P$ è AC con densità $f$, allora $F(x) = \int_{-\infty}^x f(y) \dy$. Viceversa
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se esiste $f$ per cui $F(x) = \int_{-\infty}^x f(y) \dy$, allora $P$ è AC con densità
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$f$.
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\item Se $F$ è continua e $C^1$ a tratti (ovverosia si restringe a una funzione $C^1$ eccetto che per un insieme di punti isolati),
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allora $P$ è AC con densità $f$ t.c.~$f = F'$ dove è definibile $F'$ e $f = 0$ altrimenti (segue dal Teorema fondamentale del calcolo integrale).
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\end{enumerate}
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\end{proposition}
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|
\begin{remark}
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Se $P$ è AC con densità $f$, allora $P(f = 0) = \int_{f = 0} f(x) \dx = 0$ e dunque
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l'insieme $f = 0$ è trascurabile rispetto a $P$. Dunque, ristringendo il range si
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ottiene che:
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\[
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P(A) = P(A \cap (f > 0)).
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\]
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\end{remark}
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|
\end{multicols*} |