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\documentclass[12pt]{scrartcl}
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\usepackage{notes_2023}
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\begin{document}
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%\title{}
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%\maketitle
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\begin{definition}[prodotto scalare standard in $\RR^n$]
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Si definisce \textbf{prodotto scalare} (standard)
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la forma bilineare simmetrica definita
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positiva di $\RR^n$ la cui matrice associata nella
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base canonica di $\RR^n$ è l'identità. In particolare
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vale che:
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\[ v \cdot w = \sum_{i=1}^n v_i w_i. \]
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\end{definition}
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\begin{remark}
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Dall'Algebra lineare, ogni iperpiano $P$ di $\RR^{n}$ è
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rappresentabile tramite traslazione di una giacitura che è ortogonale rispetto a una retta,
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ossia esistono sempre $c \in \RR$ e $v \in \RR^{n}$ tale per cui:
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\[ x \in P \iff x \cdot v = c. \]
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\end{remark}
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\begin{definition}[derivata direzionale]
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Dati $x_0 \in \RR^n$, $f : \RR^n \to \RR$, e
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$v \in \RR^n$, definisco la \textbf{derivata direzionale}
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come:
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\[ \frac{\partial f}{\partial v}(x_0) = \lim_{\eps \to 0} \frac{f(x + \eps v) - f(x)}{\eps}. \]
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\end{definition}
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\begin{remark}
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Si osserva che vale la seguente identità:
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\[ \frac{\partial f}{\partial \lambda v} = \lambda \frac{\partial f}{\partial v}, \]
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e che se $v = 0$, allora la derivata direzionale vale
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sempre $0$.
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\end{remark}
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\begin{remark}
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Non vale la linearità sui vettori della derivata
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direzionale, ossia, in generale, vale che:
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\[ \frac{\partial f}{\partial (v + w)} \neq \frac{\partial f}{\partial v} + \frac{\partial f}{\partial w}. \]
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Se infatti si definisce $f$ tale per cui:
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\[ f(x, y) = \begin{cases}
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\frac{x^2 y}{x^2 + y^2} & (x, y) \neq 0,
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\\ 0 & (x, y) = 0,
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\end{cases} \]
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allora $\frac{\partial f}{\partial e_1}(0) =
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\frac{\partial f}{\partial e_2}(0) = 0$, ma
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$\frac{\partial f}{\partial (1,1)}(0) = \frac{1}{2}$.
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\end{remark}
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\begin{remark}
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Trovando un'analogia con $\RR$, vale la seguente identità:
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\[ f(x_0 + \eps v) = f(x_0) + \eps \frac{\partial f}{\partial v}(x_0) + o(\abs{\eps v}). \]
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In particolare si osserva che l'$o$-piccolo dipende dal
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vettore direzionale scelto.
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\end{remark}
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\begin{definition}[derivata parziale]
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Si definisce \textbf{derivata parziale} rispetto a
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$x_i$, la derivata direzionale rispetto al vettore
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$e_i$, e si indica con:
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\[ \frac{\partial f}{\partial x_i} := \frac{\partial f}{\partial e_i} \]
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\end{definition}
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\begin{remark}
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Se $\frac{\partial f}{\partial v}$ fosse lineare su $v$,
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allora si potrebbe riscrivere la derivata direzionale come:
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\[ \frac{\partial f}{\partial v} = \nabla \! f \, v, \quad
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\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1} \cdots \frac{\partial f}{\partial x_n}\right), \]
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dove $\nabla f$ è così composto perché in ogni colonna
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raccoglie la sua valutazione nella base canonica, ossia
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le derivate parziali.
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\end{remark}
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\begin{definition}[gradiente di $f$]
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Si definisce \textbf{gradiente} di una funzione $f : \RR^n \to \RR$ il vettore:
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\[ \nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1} \cdots \frac{\partial f}{\partial x_n}\right). \]
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\end{definition}
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\begin{definition}[differenziabilità]
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Si dice che $f$ è \textbf{differenziabile} se esiste
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$\omega \in \RR^n$ tale per cui:
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\[ f(x) = f(x_0) + (x-x_0) \cdot \omega + o(\abs{x-x_0}). \]
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In tal caso si dice che $\omega$ è il suo \textbf{differenziale} e si indica con $Df(x_0)$.
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\end{definition}
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\end{document}
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