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\documentclass[11pt]{article}
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\usepackage{personal_commands}
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\usepackage[italian]{babel}
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\title{\textbf{Note del corso di Geometria 1}}
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\author{Gabriel Antonio Videtta}
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\date{\today}
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\begin{document}
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\maketitle
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\begin{center}
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\Large \textbf{Esercitazione: forma canonica di Jordan reale}
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\end{center}
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\begin{exercise}
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Sia $M \in M(n, \RR)$ tale che $\exists a_1$, ..., $a_k \in \RR$ distinti
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tale che:
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\[ (M^2 + a_1^2 I) \cdots (M^2 + a_k^2 I) = 0. \]
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Dimostrare allora che esistono $S$, $A \in M(n, \RR)$ tale che
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$M = SA$ con $S$ simmetrica e $A$ antisimmetrica.
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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Per ipotesi, $p(x) = (x^2+a_1^2) \cdots (x^2 + a_k^2) \in \Ker \sigma_M$.
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Dal momento che $p(x)$ si scompone in fattori lineari distinti in
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$\CC$, $p(x)$ è anche il polinomio minimo di $M$. Si deduce
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allora che $M$ è diagonalizzabile, e che i suoi autovalori sono
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esattamente $\pm a_1 i$, ..., $\pm a_k i$. Allora la forma
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canonica di Jordan reale di $M$ è:
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\[ J = \Matrix{} \]
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\end{solution}
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\end{document}
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