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89 lines
2.3 KiB
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\documentclass{book}
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\usepackage{amsmath}
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\usepackage{amsthm}
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\usepackage[italian]{babel}
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\begin{document}
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\author{Gabriel Antonio Videtta}
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\title{Appunti di Fisica}
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\maketitle
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\thispagestyle{empty}
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\newcommand{\gfrac}[2]{\displaystyle \frac{#1}{#2}}
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\newpage
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\chapter{I moti principali della fisica}
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\section{Moto rettilineo uniforme (m.u.a.)}
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Conoscendo le definizioni di accelerazione ($\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt}$)
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e di velocità ($\vec{v} = \frac{d\vec{x}}{dt}$) è possibile, ponendo l'accelerazione
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costante (i.e. il \textit{jerk} è nullo, $\frac{d\vec{a}}{dt} = 0$), ricavare numerose formule.
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\subsection{Le equazioni del moto in un sistema di riferimento unidimensionale}
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Le equazioni del moto sono le seguenti:
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\begin{equation}
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\begin{cases}
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x(t)=x_0+v_0t+\frac{1}{2}a_0t^2 \\
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v(t)=v_0+at
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\end{cases}
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\end{equation}
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\begin{proof}
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Da $a=\frac{dv}{dt}$, si ricava $dv=a\cdot dt$, da cui:
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\begin{equation*}
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\int dv=\int a\, dt = a \int dt \Rightarrow v=v_0+at
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\end{equation*}
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Dimostrata questa prima equazione, è possibile dimostrare in modo analogo l'altra:
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\begin{equation*}
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\int dx=\int v\cdot dt = \int v_0\, dt + \int at\, dt = x_0+v_0t+\frac12at^2
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\end{equation*}
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La dimostrazione può essere inoltre resa immediata se si sviluppano $x(t)$ e
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$v(t)$ come serie di Taylor-Maclaurin.
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\end{proof}
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\subsection{Lo spostamento in funzione della velocità e dell'accelerazione}
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Senza ricorrere alla variabile di tempo $t$, è possibile
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esprimere lo spostamento in funzione della velocità e dell'accelerazione
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mediante le seguente formula:
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\begin{equation}
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x-x_0=\frac{v^2-v_0^2}{2a}
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\end{equation}
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\begin{proof}
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Considerando $a=\frac{dv}{dt}$, è possibile riscrivere mediante l'impiego
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delle formule di derivazione delle funzioni composte quest'ultima formula in
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\begin{equation*}
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a=\frac{dv}{dt}=\frac{dx}{dt}\frac{dv}{dx}=v\,\frac{dv}{dx}
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\end{equation*}
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Da ciò si può ricavare infine l'ultima formula:
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\begin{equation*}
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a\,dx=v\,dv \Rightarrow a \int dx = \int v \, dv
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\end{equation*}
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E quindi:
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\begin{equation*}
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a(x-x_0)=\frac{v^2-v_0^2}{2} \Rightarrow x-x_0=\frac{v^2-v_0^2}{2a}
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\end{equation*}
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\end{proof}
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\end{document} |