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3.6 KiB
TeX
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\chapter{Teoria degli insiemi}
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Il concetto di insieme è primitivo e pertanto non definito formalmente
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in questa sede. Viene tuttavia definita la terminologia che riguarda
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le teoria dei suddetti insiemi.
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Quando si leggerà $a \in S$, s'intenderà che ``$a$ appartiene all'insieme $S$'', mentre
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$a \notin S$ si legge ``$a$ non appartiene all'insieme $S$''. Un insieme $A$ si dice
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sottoinsieme di $B$ ($A \subseteq B$) quando $a \in A \rightarrow a \in B$; in particolare
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si dice sottoinsieme proprio di $B$ ($A \subset B$) quando
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$A \subseteq B \land \exists b \in B \mid b \notin A$.
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Due insiemi $A$ e $B$ sono uguali se e solo se $A \subseteq B \land B \subseteq A$.
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L'insieme vuoto è l'insieme che non ha elementi, ed è sottoinsieme di ogni insieme.
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\section{L'operazione di unione}
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L'unione di due insiemi $A$ e $B$ è un'operazione che restituisce un insieme
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$A \cup B = \{x \mid x \in A \lor x \in B\}$.
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Tale operazione si può estendere a più insiemi mediante l'introduzione di
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un \textit{insieme di indici} $T$ per una famiglia di insiemi. Un insieme di
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indici $T$ rispetto a un famiglia $F=\{A_t\}$ ha la seguente proprietà: $\forall t \in
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T, \exists A_t \in F$; ossia è in grado di enumerare gli insiemi della famiglia $F$.
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L'unione è pertanto definita su una famiglia $F$ come $\bigcup_{t \in T} A_t =
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\{x \mid (\exists t \in T \mid x \in A_t)\}$.
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L'unione gode delle seguente proprietà: $A \subseteq B \rightarrow A \cup B = B$
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(in particolare, $A \cup \emptyset = A$).
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\section{L'operazione di intersezione}
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Analogamente a come è stata definita l'unione, l'intersezione è un'operazione che
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resistuisce un insieme $A \cap B = \{x \mid x \in A \land x \in B\}$; ossia estesa a più
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insiemi: $\bigcap_{t \in T} A_t = \{x \mid (\forall t \in T \mid x \in A_t)\}$.
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In modo opposto all'unione, l'intersezione è tale per cui $A \subseteq B \rightarrow
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A \cap B = A$ (in particolare, $A \cap \emptyset = \emptyset$).
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\section{L'operazione di sottrazione}
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L'operazione di sottrazione su due insiemi $A$ e $B$ è definita come
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$A \setminus B = \{x \mid x \in A \land x \notin B\}$. Si può facilmente
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verificare che $A = (A \cap B) \cup (A \setminus B)$.
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\begin{proof}
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Ogni elemento di $A$ può appartenere o non appartenere a $B$: nel primo caso,
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appartiene anche a $A \cap B$, e quindi a $(A \cap B) \cup (A \setminus B)$;
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altrimenti appartiene per definizione a $A \setminus B$, e quindi sempre
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a $(A \cap B) \cup (A \setminus B)$. Pertanto $A \subseteq (A \cap B) \cup (A \setminus B)$.
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Ogni elemento di $(A \cap B) \cup (A \setminus B)$ appartiene ad almeno uno
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dei due operandi dell'unione; in entrambi i casi deve appartenere ad $A$. Quindi
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$(A \cap B) \cup (A \setminus B) \subseteq A$.
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\end{proof}
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In particolare, se $B \subseteq A$, $A \setminus B$ si dice \textbf{complemento di $B$ in $A$}.
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\section{Il prodotto cartesiano}
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Il prodotto cartesiano di una famiglia ordinata di insiemi $F$ con un certo insieme
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di indici $T$ è l'insieme
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$\bigtimes_{t \in T} A_t = \{(a_{t_0}, a_{t_1}, \ldots) \mid a_{t_0} \in A_{t_0} \land
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a_{t_1} \in A_{t_1} \land \ldots\}$. In particolare, il prodotto cartesiano di
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due due insiemi $A$ e $B$ si indica con $A \times B = \{(a, b) \mid a \in A \land b \in B\}$.
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Una $n$-tupla ordinata, ossia la forma in cui è raccolto un certo elemento di un prodotto cartesiano,
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è uguale ad una altra tupla se e solo se ogni elemento di una tupla è uguale a quello
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corrispondente in ordine dell'altra: pertanto, in generale, $(a, b) \neq (b, a)$.
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Inoltre, il prodotto cartesiano $A \times A$ viene indicato con $A^2$ (analogamente,
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$A^n = \bigtimes_{i=1}^{n} A$). |