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\section{Gruppi}
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\subsection{Definizione e motivazione}
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Innanzitutto, prima di dare una definizione formale, un
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\vocab{gruppo} è una struttura algebrica, ossia un insieme
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di oggetti di varia natura che rispettano alcune determinate
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regole.
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Il motivo (con ogni probabilità l'unico) per cui la teoria dei
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gruppi risulta interessante è la facilità con cui un'astrazione
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come la struttura di gruppo permette di desumere teoremi universali
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per oggetti matematici apparentemente scollegati.
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Infatti, dimostrato un teorema in modo astratto per un gruppo
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generico, esso è valido per ogni gruppo. Per quanto questo
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fatto risulti di una banalità assoluta, esso è di fondamentale
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aiuto nello studio della matematica. Si pensi ad esempio all'
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aritmetica modulare, o alle funzioni bigettive, o ancora
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alle trasformazioni del piano: tutte queste nozioni condividono
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teoremi e metodi che si fondano su una stessa logica. Come vedremo,
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esse condividono la natura di gruppo.
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\begin{definition}
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Dato un insieme non vuoto $G$, esso si dice \textbf{gruppo} se data
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un'operazione ben definita $\cdot : G \times G \to G$ è t.c:
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\begin{itemize}
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\item (\vocab{associatività}) $\forall a, b, c \in G, \, (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$
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\item (\vocab{esistenza dell'elem. neutro}) $\exists e \in G \mid a \cdot e = a = e \, \cdot a \forall a \in G$
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\item (\vocab{esistenza dell'elem. inverso}) $\forall a \in G, \, \exists a^{-1} \in G \mid a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = e$
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\end{itemize}
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\end{definition} |