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\chapter*{Notazioni impiegate}
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\addcontentsline{toc}{chapter}{Notazioni impiegate}
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\begin{multicols*}{2}
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Impiegheremo caratteri latini ($x$, $y$, $z$) per indicare quantità reali;
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caratteri latini sottolineati ($\vec{x}$, $\vec{y}$, $\vec{z}$) per indicare
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vettori o campi vettoriali; caratteri greci minuscoli ($\alpha$, $\beta$, $\gamma$) per indicare
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curve; e caratteri greci maiuscoli ($\Sigma$) per indicare superfici.
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\section*{Analisi matematica}
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\addcontentsline{toc}{section}{Analisi matematica}
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\begin{itemize}
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\item $f_i$ -- nel caso di una funzione $f : \RR^n \to \RR^m$, la proiezione di $f$ sulla $i$-esima coordinata, ovverosia
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$\pi_i \circ f : \RR^n \to \RR$.
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\item $\der{f}{t}(x)$, $f'(x)$ -- derivata di una funzione $f : I \subseteq \RR \to \RR^n$. Nel caso $n > 1$, coincide con
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il vettore $({f_i}'(t))_i)$. La notazione può essere iterata per ottenere le derivate successive.
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\item $\partial_{x_i} f(\vec{x})$, $\pd{f}{x_i}(\vec{x})$, $f_{x_i}(\vec{x})$ -- derivata parziale nella $i$-esima coordinata
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di una funzione $f : \RR^n \to \RR$ nel punto $\vec{x}$. La notazione può essere iterata per ottenere le
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derivate successive.
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\item $\nabla f(\vec{x})$ -- gradiente di una funzione $f : \RR^n \to \RR$, ovverosia il vettore $(\partial_{x_i} f(\vec{x}))_i^\top$.
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\item $J f(\vec{x})$ -- jacobiano di una funzione $f : \RR^n \to \RR^m$ nel punto $x$, ovverosia la matrice
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$(\partial_{x_j} f_i (\vec{x}))_{i, j} = (\nabla f_i(\vec{x}))_{i}$.
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\item $J_{\vec{y}} f(\vec{p})$ -- nel caso di una funzione $f : \RR^{m} \times \RR^{n} \to \RR^{n}$,
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la sottomatrice $n \times n$ quadrata di $J f(\vec{p})$ date dalle ultime $n$ colonne. Coincide
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con $J (\pi_{\RR^n} \circ f)(\vec{p})$.
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\item $C^n$ -- classe delle funzioni dotate di derivate parziali continue fino all'ordine $n$. Per $n = 0$, coincide con la classe delle funzioni continue ($C^0$).
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\item $C^\infty$, liscio -- classe delle funzioni derivabili parzialmente per un numero arbitrario di volte con continuità.
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\item diffeomorfismo di classe $C^k$ -- funzione di classe $C^k$ con inversa di classe $C^k$.
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\end{itemize}
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\end{multicols*}
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