notes/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/1-curve.tex

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\chapter{Teoria delle curve}
\setlength{\parindent}{2pt}

\begin{multicols*}{2}

    Qualora non specificato, assumeremo l'utilizzo di funzioni di classe $C^\infty$. \smallskip

    Se $\vec{x} \in \RR^3$ e $f$ è una funzione relativa a una curva $\alpha$, ammettiamo l'abuso di notazione
    $f(\vec{x})$, intendendo $f(\alpha\inv(\vec{x}))$ (e.g., $\kappa(P)$ per intendere $\kappa(\alpha\inv(P)))$).

    \section{Definizioni preliminari}

    \subsection{Curve, tracce e velocità}

    \begin{definition}[Curva parametrizzata]
        Una \textbf{curva parametrizzata} (o semplicemente \textit{curva})
        è una mappa $\alpha : I \subseteq \RR \to \RR^3$
        di classe $C^\infty$, dove $I$ è un intervallo
    \end{definition}

    \begin{definition}[Traccia di una curva]
        Si dice \textbf{traccia} (o \textit{supporto}) di una curva
        parametrizzata $\alpha : I \to \RR^3$, la sua immagine $\alpha(I)$.
    \end{definition}

    \begin{definition}[Velocità di una curva]
        Si definisce la \textbf{velocità} di una curva parametrizzata
        $\alpha(t) = (x(t), y(t), z(t))$ come la curva indotta dalla derivata di $\alpha$:
        \[ \alpha'(t) = \lim_{h \to 0} \frac{\alpha(t + h) - \alpha(t)}{h} = (x'(t), y'(t), z'(t)). \]
    \end{definition}

    \subsection{Lunghezza e intuizione geometrica}

    \begin{definition}[Lunghezza di una curva]
        Si definisce la \textbf{lunghezza} $\ell(\alpha)$ di una curva
        $\alpha : I \to \RR^3$ come:
        \[
            \ell(\alpha) \defeq \int_I \norm{\alpha'(t)} \dt.
        \]
    \end{definition}

    \begin{remark}
        La definizione data per la lunghezza di una curva corrisponde alla nostra
        idea intuitiva di lunghezza tramite i seguenti due risultati:

        \begin{enumerate}
            \item \textbf{Validità sul segmento:} Su un segmento lineare $\alpha(t) = A + t(B-A)$ con $I = [0, 1]$,
                  $\ell(\alpha) = \norm{B-A}$.
            \item \textbf{Approssimazione poligonale:} La lunghezza $\ell(\alpha)$ è il limite delle lunghezze delle poligonali
                  inscritte nella curva. In termini teorici:

                  \begin{quote}
                      Sia dato $\eps > 0$. Allora esiste $\delta > 0$ tale per cui, per ogni partizione $\{t_i\}_{i=0}^n$
                      di $I$ di finezza inferiore a $\delta$ (i.e., $\max \abs{t_{i+1} - t_i} < \delta$), vale $\norm{S - \ell(\alpha)} < \eps$,
                      dove $S \defeq \sum_{i=0}^{n-1} \norm{\alpha(t_{i+1}) - \alpha(t_{i})}$.
                  \end{quote}
        \end{enumerate}
    \end{remark}

    \section{(Ri)parametrizzazioni, regolarità e parametrizzazioni p.l.a.}

    \subsection{Riparametrizzazione e prime proprietà}

    \begin{definition}[Riparametrizzazione di una curva]
        Data una curva $\alpha : I \to \RR^3$, una \textbf{riparametrizzazione $\beta$ di $\alpha$}
        è una curva $\beta : J \to \RR^3$ tale per cui esiste un diffeomorfismo liscio
        $h : I \to J$ con $\alpha = \beta \circ h$.
        \[\begin{tikzcd}
                I && {\RR^3} \\
                \\
                J
                \arrow["\alpha"', from=1-1, to=1-3]
                \arrow["h", from=1-1, to=3-1]
                \arrow["\beta", from=3-1, to=1-3]
            \end{tikzcd}\]
        Se $h' > 0$, si dice che $h$ mantiene l'orientazione di $\alpha$; se $h' < 0$,
        $h$ inverte l'orientazione.
    \end{definition}

    \begin{proposition}
        Se $\beta$ è una riparametrizzazione di $\alpha$, allora $\ell(\beta) = \ell(\alpha)$.
    \end{proposition}

    \subsection{Regolarità e coordinate date dalla lunghezza d'arco}

    \begin{definition}[Curva regolare]
        Si dice che una curva $\alpha : I \to \RR^3$ è \textbf{regolare} se
        $\alpha'(t) \neq 0$ per ogni $t \in I$.
    \end{definition}

    \begin{definition}[Curva parametrizzata a lunghezza d'arco]
        Si dice che una curva $\alpha : I \to \RR^3$ è \textbf{parametrizzata
            a lunghezza d'arco} (\textbf{p.l.a.}) se $\alpha'$ è un vettore
        unitario (i.e., $\norm{\alpha'} = 1$).
        In tal caso, $\ell\left(\restr{\alpha}{[a, b]}\right) = b-a$.
    \end{definition}

    \begin{proposition}[Riparametrizzazione a lunghezza d'arco]
        Se $\alpha : [a, b] \to \RR^3$ è una curva regolare, allora $\alpha$
        ammette una riparametrizzazione a lunghezza d'arco, ossia ammette
        una riparametrizzazione $\beta : J \to \RR^3$ tale per cui
        $\beta$ sia p.l.a.
    \end{proposition}

    \begin{proof}
        Poiché $\alpha$ è regolare, la funzione $s : I \to [0, \ell(\alpha)]$ tale per cui
        \[ s(t) = \int_{a}^t \norm{\alpha'(t)} \dt \]
        è un diffeomorfismo liscio. Quindi $\beta = \alpha \circ s\inv$ è una riparametrizzazione
        di $\alpha$, e vale:
        \[
            \beta'(s) = \frac{\alpha'(s\inv(s))}{s'(s\inv(s))} = \frac{\alpha'(s\inv(s))}{\norm{\alpha'(s\inv(s))}},
        \]
        che è un vettore unitario.
    \end{proof}

    \section{Il triedro di Frenet (caso p.l.a.)}

    In tutta questa sezione consideriamo una curva p.l.a. $\beta$.

    \subsection{Versore tangente e curvatura di una curva}

    \begin{definition}[Versore tangente]
        Sia $\beta$ una curva p.l.a., allora si definisce il
        suo \textbf{versore tangente} $T_\beta$ come $\beta'$.
    \end{definition}

    \begin{definition}[Curvatura]
        Sia $\beta$ una curva p.l.a., allora si definisce la
        \textbf{curvatura} $\kappa_\beta(s)$ di $\beta$ al tempo $s$ come
        $\norm{T_\beta'(s)}$. \smallskip

        Laddove è chiaro dal contesto quale sia $\beta$, scriviamo solo $\kappa(s)$.
    \end{definition}

    \subsection{Curve di Frenet, versore normale e binormale}

    \begin{definition}[Curva di Frenet p.l.a.]
        Una curva p.l.a.~$\beta$ si dice \textbf{curva di Frenet} se
        ad ogni tempo $s$, la curvatura è positiva ($\kappa_\beta(s) > 0$).
    \end{definition}

    \begin{definition}[Versore normale]
        Se $\beta$ è una curva di Frenet, allora è ben definito
        a ogni tempo $s$ il \textbf{versore normale} $N_\beta(s)$ così
        definito:
        \[
            N_\beta(s) = \frac{T_\beta(s)}{\norm{T_\beta(s)}}.
        \]
    \end{definition}

    \begin{definition}[Versore binormale]
        Se $\beta$ è una curva di Frenet, allora è ben definito
        a ogni tempo $s$ il \textbf{versore binormale} $B_\beta(s)$ così
        definito:
        \[
            B_\beta(s) = T_\beta(s) \times N_\beta(s).
        \]
    \end{definition}

    \begin{remark}[Triedro di Frenet]
        Se $\beta$ è di Frenet, allora, dacché $\dot{T_\beta} \perp T_\beta$,
        $N_\beta$ e $T_\beta$ sono linearmente indipendenti. Dunque
        $\{T_\beta, N_\beta, B_\beta\}$ formano una base ortonormale a ogni tempo
        $s$. Tale base è detta \textbf{triedro di Frenet}.
    \end{remark}

    \subsection{Torsione ed equazioni di Frenet}

    Assumiamo in questa sezione di star lavorando con curve di Frenet p.l.a.

    \begin{proposition}[Prima equazione di Frenet]
        Sia $\beta$ una curva di Frenet p.l.a. Allora vale la seguente
        equazione:
        \begin{equation} \label{eq:frenet_1} \tag{F1}
            \dot{T_\beta}(s) = \kappa_\beta(s) \cdot N_\beta(s).
        \end{equation}
    \end{proposition}

    \begin{remark}
        Osserviamo che $\dot{N_\beta}$ è ortogonale in ogni tempo
        a $N_\beta$, e dunque $\dot{N_\beta}$ sarà contenuto in
        $\Span(T_\beta, B_\beta)$. \medskip

        Inoltre, derivando $N_\beta(s) \cdot T_\beta(s) = 0$, otteniamo:
        \[ \dot{N_\beta}(s) \cdot T_\beta(s) = -N_\beta(s) \cdot \dot{T_\beta}(s) = -\kappa_\beta(s). \]
    \end{remark}

    \begin{definition}[Torsione]
        Sia $\beta$ una curva di Frenet p.l.a. Allora definiamo la
        \textbf{torsione} $\tau_\beta(s)$ come il coefficiente di $\dot{N_\beta}(s)$ in
        $B_\beta(s)$, ovverosia:
        \[ \tau_\beta(s) = \dot{N_\beta}(s) \cdot B_\beta(s). \]
    \end{definition}

    \begin{proposition}[Seconda equazione di Frenet]
        Sia $\beta$ una curva di Frenet p.l.a. Allora vale la seguente
        equazione:
        \begin{equation} \label{eq:frenet_2} \tag{F2}
            \dot{N_\beta}(s) = - \kappa_\beta(s) \, T_\beta(s) + \tau_\beta(s) \, B_\beta(s).
        \end{equation}
    \end{proposition}

    \begin{remark}
        Dal momento che $B_\beta = T_\beta \times N_\beta$, derivando
        $B_\beta$ otteniamo:
        \[ \dot{B_\beta} = \dot{T_\beta} \times N_\beta + T_\beta \times \dot{N_\beta}, \]
        da cui, applicando le prime due equazioni di Frenet:
        %TODO
    \end{remark}

    \begin{proposition}[Terza equazione di Frenet]
        Sia $\beta$ una curva di Frenet p.l.a. Allora vale la seguente
        equazione:
        \begin{equation} \label{eq:frenet_3} \tag{F3}
            \dot{B_\beta}(s) = -\tau_\beta(s) \, N_\beta(s),
        \end{equation}
        e quindi $\tau_\beta(s) = -\dot{B_\beta}(s) \cdot N_\beta(s)$.
    \end{proposition}
\end{multicols*}