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TeX
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\documentclass[12pt]{scrartcl}
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\usepackage{notes_2023}
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\begin{document}
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\title{Normalizzatore e teorema di Cayley}
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\maketitle
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\begin{note}
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Nel corso del documento per $(G, \cdot)$ si intenderà un qualsiasi gruppo.
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\end{note}
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Sia $X = \{ H \subseteq G \mid H \leq G \}$ l'insieme dei sottogruppi di $G$.
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Allora si può costruire un'azione $\varphi : G \to S(X)$ in modo tale che:
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\[ g \xmapsto{\varphi} \left[ H \mapsto gHg\inv \right]. \]
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Si definisce \textbf{normalizzatore} lo stabilizzatore di un sottogruppo
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$H$ (e si indica con $N_G(H)$), mentre $\Orb(H)$ è l'insieme dei \textbf{coniugati}
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di $H$. In particolare $N_G(H)$ è il massimo sottogruppo per inclusione in cui $H$
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è normale. \medskip
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Si osserva ora in modo cruciale che $H \nsgeq G$ se e solo se
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$\Orb(H) = \{H\}$, e quindi se e solo se $N_G(H) = G$. Analogamente si
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osserva che $H$ è normale se e solo se:
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\[ H = \bigcup_{h \in H} \Cl(h). \]
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Tramite la stessa azione $\varphi$ possiamo illustrare un importante relazione
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tra gli stabilizzatori, dettata dalla:
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\begin{proposition}
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Sia $x \in X$ e sia $g \in G$. Allora vale che $\Stab(g \cdot x) = g \Stab(x) g\inv$,
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e i coniugati di $\Stab(x)$ sono esattamente altri stabilizzatori.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Si osserva che se $ghg\inv \in g\Stab(x)g\inv$, allora:
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\[ (ghg\inv) \cdot (g \cdot x) = gh \cdot x = g \cdot x \implies ghg\inv \in \Stab(g \cdot x), \]
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e viceversa che se $h \in \Stab(g \cdot x)$:
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\[ (g\inv h g) \cdot x = g\inv \cdot (h \cdot (g \cdot x)) = (g\inv g) \cdot x = x \implies g\inv h g \in \Stab(x) \implies h \in g \Stab(x) g\inv, \]
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da cui si deduce che $\Stab(g \cdot x) = g \Stab(x) g\inv$.
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\end{proof}
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Da questa proposizione segue immediatamente il seguente:
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\begin{corollary}
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Sia $\varphi$ un'azione transitiva. Allora tutti gli stabilizzatori sono
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coniugati tra loro.
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\end{corollary}
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\begin{proof}
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Siano $x$ e $y \in X$. Poiché $\varphi$ è transitiva, esiste un'unica orbita
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e dunque esiste $g \in G$ tale per cui $g \cdot y = x$. Allora
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$\Stab(x) = \Stab(g \cdot y) = g \Stab(y) g\inv$.
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\end{proof}
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Infine, si verifica una proprietà dei sottogruppi coniugati:
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\begin{proposition}
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Se $H$ e $K$ sono coniugati, allora sono in particolare anche isomorfi.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Poiché $H$ e $K$ sono coniugati, esiste un $g \in G$ tale per cui
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$K = gHg\inv$.
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Un isomorfismo tra i due gruppi è allora naturalmente dato dall'azione di
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coniugio tramite $g$, ossia dall'omomorfismo $\zeta : H \to K$
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tale per cui $h \xmapsto{\zeta} ghg\inv$. Tale mappa è sicuramente un omomorfismo;
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è ben definita e surgettiva perché i gruppi sono coniugati ed è iniettiva
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perché $ghg\inv = e \implies h = e$ (e quindi $\Ker \zeta = \{e\}$).
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\end{proof}
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\bigskip
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Si illustra adesso un risultato principale della teoria dei gruppi che mette in
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relazione ogni gruppo con il proprio gruppo di bigezioni, ed ogni gruppo finito con i
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sottogruppi dei gruppi simmetrici.
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\begin{theorem}[di Cayley]
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Ogni gruppo è isomorfo a un sottogruppo del suo gruppo di bigezioni.
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In particolare, ogni gruppo finito $G$ è isomorfo a un sottogruppo di un gruppo
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simmetrico.
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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Si consideri l'azione\footnote{Tale azione prende il nome di \textbf{rappresentazione regolare a sinistra} o \textbf{\textit{embedding} di Cayley}.
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Si può definire un'azione analoga a destra ponendo $g \mapsto \left[ h \mapsto hg\inv \right]$,
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costruendo dunque una \textit{rappresentazione regolare a destra}.} $\varphi : G \to S(G)$ tale per cui:
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\[ g \xmapsto{\varphi} \left[ h \mapsto gh \right]. \]
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Si mostra che $\varphi$ è fedele\footnote{L'azione $\varphi$ è molto
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più che fedele; è infatti innanzitutto libera.}. Sia infatti $\varphi(g) = \Id$; allora
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vale che $ge = e \implies g = e$. Quindi $\Ker \varphi$ è banale, e per il
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Primo teorema di isomorfismo vale che:
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\[ G \cong \Im \varphi \leq S(G). \]
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Se $G$ è finito, $S(G)$ è isomorfo a $S_n$, dove $n := \abs{G}$, e quindi
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$\Im \varphi$ è a sua volta isomorfo a un sottogruppo di $S_n$, da cui
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la tesi.
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\end{proof}
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A partire dall'\textit{embedding} di Cayley si può dimostrare un risultato
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sui gruppi di ordine $2d$ con $d$ dispari:
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\begin{proposition}
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Sia $G$ un gruppo di ordine $2d$ con $d$ dispari. Allora $G$ ammette
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un sottogruppo $H$ di ordine $d$.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Consideriamo l'\textit{embedding} di Cayley di $G$. In particolare,
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poiché $S(G) \cong S_{2d}$, possiamo identificare $S(G)$ con
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$S_{2d}$, studiando tale \textit{embedding} direttamente su quest'ultimo
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sottogruppo. \medskip
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Sia allora $\varphi : G \to S_{2d}$ la composizione $\xi \circ \lambda$ dove
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$\xi$ è un isomorfismo tra $S(G)$ e $S_{2d}$ e $\lambda : G \to S(G)$ è l'\textit{embedding} di Cayley associato a $G$.
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Si osserva che $\varphi\inv(\Ad{2d}) = \{ g \in G \mid \varphi(g) \in \Ad{2d} \} =
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\Ker (\pi_{\Ad{2d}} \circ \varphi)$. Per il Primo teorema di isomorfismo vale
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che:
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\[ G \quot \Ker (\pi_{\Ad{2d}} \circ \varphi) \cong \Im (\pi_{\Ad{2d}} \circ \varphi) \leq
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S_{2d} \quot {\Ad{2d}} \cong \{\pm 1\}, \]
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e quindi\footnote{
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Si può arrivare alla stessa conclusione mediante un ragionamento leggermente
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diverso. Se si considera $K = \varphi(G)$, $K \cap \Ad{2d} = \varphi(G) \cap \Ad{2d}$ è esattamente $\Ker(\restr{\sgn}{\varphi(G)})$, e quindi
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$[K : (K \cap \Ad{2d})] \in \{1, 2\}$. Pertanto, dal momento che $\varphi$
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è un isomorfismo tra $G$ e $\Im \varphi = \varphi(G)$, $\varphi\inv(\Ad{2d}) =
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\varphi\inv(\Ad{2d} \cap \varphi(G))$ può avere solo indice $1$ o $2$, ed
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ha indice $1$ se e solo se $\varphi(G) \subseteq \Ad{2d}$.
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} $[G : \Ker (\pi_{\Ad{2d}} \circ \varphi)]$ vale $1$ o $2$. \medskip
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Se
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$[G : \Ker (\pi_{\Ad{2d}} \circ \varphi)]$ fosse uguale a $1$,
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varrebbe che $G = \Ker (\pi_{\Ad{2d}} \circ \varphi) = \varphi\inv(\Ad{2d})$, e quindi che
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$\varphi(G) \subseteq \Ad{2d}$. Si mostra che ciò è impossibile esibendo un elemento
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$g \in G$ tale per cui $\varphi(g)$ sia dispari. Dacché $2 \mid \abs{G}$,
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esiste $g \in G$ con $\ord(g) = 2$ per il teorema di Cauchy. Allora la
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decomposizione in cicli di $\varphi(g)$ sarà la stessa di $\lambda(g)$, ossia\footnote{
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In generale, se $\ord(g) = k$, la sua decomposizione tramite $\lambda$ sarà:
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\[ (g_1, g g_1, \ldots, g^{k-1} g_1) (g_2, g g_2, \ldots, g^{k-1} g_2) \cdots (g_s, g g_s, \ldots, g^{k-1} g_s), \]
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con $s = 2d/k$, ossia $\lambda(g)$ sarà prodotto di $2d/k$ $k$-cicli.
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}:
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\[ \lambda(g) = (g_1, g g_1) (g_2, g g_2) \cdots (g_d, g g_d). \]
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Poiché $\lambda(g)$ è allora prodotto di $d$ trasposizioni, $\lambda(g)$ è dispari,
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e così pure $\varphi(g)$. Pertanto $\varphi(g) \notin \Ad{2d} \implies
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[G : \Ker (\pi_{\Ad{2d}} \circ \varphi)] = 2$, e quindi
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$\abs{ \Ker (\pi_{\Ad{2d}} \circ \varphi)} = d$, concludendo la dimostrazione.
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\end{proof} \bigskip
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Si presentano adesso due risultati interessanti legati ai sottogruppi normali di
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un gruppo $G$.
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\begin{proposition}
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Sia\footnote{
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Si osserva che questa proposizione risulta superflua se si dimostra,
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come succede sul finire di questo documento, che per il più piccolo
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primo $p$ che divide $\abs{G}$, i sottogruppi corrispondenti di
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indice $p$ sono normali. Vista tuttavia la semplicità della dimostrazione,
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si è preferito lasciarla per motivi didattici.
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} $H \leq G$. Allora, se $[G : H] = 2$, $H$ è normale in $G$.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Poiché $[G : H] = 2$, le uniche classi laterali sinistre rispetto ad $H$ in
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$G$ sono $H$ e $gH = G \setminus H$, dove $g \notin H$. Analogamente esistono
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due sole classi laterali destre, $H$ e $Hg = G \setminus H$. In particolare
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$gH$ deve obbligatoriamente essere uguale a $Hg$, e quindi $gHg\inv = H$, da
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cui la tesi.
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\end{proof}
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\begin{proposition}
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Siano $K \leq H \leq G$. Allora, se $H$ è normale in $G$ e $K$ è caratteristico
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in $H$, $K$ è normale in $G$.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Sia $\varphi_g \in \Inn(G)$. Poiché $H$ è normale in $G$, $\varphi_g(H) = H$. Pertanto
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si può considerare la restrizione di $\varphi_g$ su $H$, $\restr{\varphi_g}{H}$.
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In particolare $\restr{\varphi_g}{H}$ è un automorfismo di $\Aut(H)$, e quindi,
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poiché $K$ è caratteristico in $H$, $\restr{\varphi_g}{H}(K) = K$, da cui si
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deduce che $gKg\inv = K$ per ogni $g \in G$.
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\end{proof}
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Si illustra adesso un risultato riguardante l'esistenza di sottogruppi normali in $G$:
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\begin{theorem}[di Poincaré]
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Sia $H$ un sottogruppo di $G$ di indice $n$. Allora esiste sempre un sottogruppo
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$N$ di $G$ tale per cui:
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\begin{enumerate}[(i)]
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\item $N$ è normale in $G$,
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\item $N$ è contenuto in $H$,
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\item $n \mid [G : N] \mid n!$.
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\end{enumerate}
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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Si consideri l'azione $\varphi : G \to S(G \quot H)$ tale per cui
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$g \xmapsto{\varphi} [kH \mapsto gkK]$. Tale azione è sicuramente
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ben definita dal momento che $kH = k'H \implies gkH = gk'H$. Si
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studia $N := \Ker \varphi$. Chiaramente $N$ è normale in $G$, e si
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verifica facilmente che $N$ è contenuto anche in $H$, infatti, se
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$n \in N$, allora:
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\[ H = \varphi(n)(H) = nH \implies n \in H. \]
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Poiché $G \quot N$ è isomorfo a $\Im \varphi \leq S(G \quot H)$,
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$[G : N] \mid \abs{S(G \quot H)} = \abs{S_n} = n!$ considerando che
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$S(G \quot H) \cong S_n$. Dal momento allora che $N$ è un sottogruppo
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di $H$, vale che:
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\[ [G : N] = [G : H] [H : N] = n [H : N], \]
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e quindi $n \mid [G : N]$. Si è dunque esibito un sottogruppo $N$ con
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le proprietà indicate nella tesi.
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\end{proof}
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Dal precedente teorema sono immediati i seguenti due risultati:
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\begin{corollary}
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Sia $H$ un sottogruppo di $G$ con indice $n$. Se $n! < \abs{G}$ e
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$n>1$, allora $G$ non è semplice.
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\end{corollary}
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\begin{corollary}
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Sia $H$ un sottogruppo di $G$ con indice $p$, dove $p$ è il più piccolo
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primo che divide $n = \abs{G}$. Allora $H$ è normale.
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\end{corollary}
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\begin{proof}
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Per il Teorema di Poincaré, esiste un sottogruppo $N$ di $H$ tale per cui
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$N$ sia normale e $p \mid [G : N] \mid p!$ con $p = [G : H]$. In particolare
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$[G : N]$ deve dividere anche $n$, e quindi $[G : N]$ deve dunque
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dividere $\MCD(p!, n)$, che è, per ipotesi, $p$ stesso. Si conclude dunque
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che $[G : N] = p = [G : H]$, e quindi che $N = H$, ossia che $H$ stesso
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è normale.
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\end{proof}
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\begin{example} [Tutti i gruppi di ordine $15$ sono ciclici]
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Sia\footnote{
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In realtà $15$ è un numero molto speciale, in quanto è prodotto
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di due primi distinti ($3$ e $5$) tali per cui $3$ non divida
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$5-1 = 4$. In generale, ogni gruppo di ordine $pq$ con
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$p$ e $q$ primi tali per cui $p<q$ e $p \nmid q-1$ è ciclico.
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} $G$ un gruppo di ordine $15$. Per il teorema di Cauchy esistono
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due elementi $h$ ed $k$, uno di ordine $3$ e l'altro di ordine $5$.
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In particolare, si consideri $K = \gen{k}$; poiché $\abs{K} = 5$,
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$[G : K] = 3$, il più piccolo primo che divide $15$. Pertanto
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$K$ è normale per il corollario di sopra. \medskip
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Poiché $K$ è normale, si può considerare la restrizione $\iota :
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\Inn(G) \to \Aut(K)$ tale per cui $\varphi_g \xmapsto{\iota} \restr{\varphi_g}{K}$.
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Dal momento che $K$ è ciclico, $\Aut(K) \cong \Aut(\ZZ \quot 5 \ZZ) \cong
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(\ZZ \quot 5 \ZZ)^* \cong \ZZ \quot 4 \ZZ$. Quindi $[G : \Ker \iota]$ deve
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dividere sia $4$ che $15$; dal momento che $\MCD(4, 15) = 1$, $[G : \Ker \iota] = 1$,
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e quindi che $\iota$ è l'omomorfismo banale. Poiché $\iota$ è banale, $K$ è
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un sottogruppo di $Z(G)$. \medskip
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In particolare $[G : Z(G)] \mid [G : K] = 3$, e quindi in particolare
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$G \quot Z(G)$ è ciclico, da cui si deduce che $G$ è abeliano. Infine,
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dal momento che $\MCD(3, 5) = 1$ e $h$ e $k$ commutano,
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$hk$ è un elemento di ordine $15$, e dunque $G$ è ciclico.
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\end{example}
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Si illustrano infine due risultati interessanti sui coniugati di $G$:
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\begin{proposition}
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Sia $H \leq G$. Allora
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\[ \bigcup_{g \in G} gHg\inv = G \iff H = G. \]
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Se $H = G$, allora $gGg\inv = G$ e quindi l'identità è vera. Viceversa,
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$gHg\inv = kHk\inv \iff g N_G(H) = k N_G(H)$. Preso dunque un'insieme
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$\rotations$ di rappresentanti per ogni classe in $G \quot N_G(H)$,
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vale che:
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\[ \bigcup_{g \in \rotations} gHg\inv = G. \]
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In ogni $gHg\inv$ ci sono $\abs{H}$ elementi distinti, e quindi, poiché
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$\abs{\rotations} = \abs{G \quot N_G(H)}$, deve valere la seguente
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disuguaglianza:
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\[ \abs{\bigcup_{g \in \rotations} gHg\inv} \leq \abs{G \quot N_G(H)} \abs{H} \leq
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\frac{\abs{G}}{\abs{N_G(H)}} \abs{H} \leq \abs{G}, \]
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dove si è usato che $H \leq N_G(H)$.
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Se $\abs{G \quot N_G(H)}$ non valesse $1$, ci sarebbe più ripetizioni di $e$
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all'interno dell'unione, e quindi la prima disuguaglianza sarebbe stretta,
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\Lightning. Quindi $N_G(H) = G \implies H \nsgeq G$. Allora la disuguaglianza
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si riscrive come:
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\[ \abs{G} = \abs{\bigcup_{g \in \rotations} gHg\inv} \leq \abs{H} \leq \abs{G}, \]
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da cui si ricava che necessariamente $\abs{H} = \abs{G} \implies H = G$.
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\end{proof}
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\begin{proposition}
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Sia $\varphi$ un'azione transitiva di $G$ su $X$.
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Allora esiste sempre un $g \in G$ tale per cui $\Fix(g) = \emptyset$,
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se $\abs{X} \geq 2$.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Se $g$ non fissa alcun punto di $X$, allora $g \notin \bigcup_{x \in X} \Stab(x)$; pertanto tale $g$ esiste se e solo se $\bigcup_{x \in X} \Stab(x) \neq G$. Poiché tali sottogruppi sono tutti coniugati, scelto $u \in U$ vale
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che:
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\[ \bigcup_{x \in X} \Stab(x) = \bigcup_{g \in G} g \Stab(u) g\inv. \]
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Si conclude dunque che tale $g$ esiste se e solo se $\Stab(u) \neq G$.
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Se $\Stab(u)$ fosse uguale a $G$, allora, per il Teorema orbita-stabilizzatore,
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varrebbe che $\abs{\Orb(u)} = 1$; tuttavia $\varphi$ è transitiva e quindi
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$X = \Orb(u) \implies \abs{X} = \abs{\Orb(u)} = 1$, \Lightning. Pertanto
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$\Stab(u) \neq G$, e dunque l'unione non ricopre tutto $G$, concludendo
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la dimostrazione.
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\end{proof}
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\end{document} |