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\documentclass[11pt]{article}
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\usepackage{personal_commands}
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\usepackage[italian]{babel}
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\title{\textbf{Note del corso di Geometria 1}}
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\author{Gabriel Antonio Videtta}
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\date{27 e 31 marzo 2023}
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\begin{document}
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\maketitle
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\begin{center}
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\Large \textbf{Proprietà e teoremi principali sul prodotto scalare}
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\end{center}
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\begin{note}
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Nel corso del documento, per $V$ si intenderà uno spazio vettoriale di dimensione
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finita $n$ e per $\varphi$ un suo prodotto scalare.
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\end{note}
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\begin{proposition} (formula delle dimensioni del prodotto scalare)
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Sia $W \subseteq V$ un sottospazio di $V$. Allora vale la seguente identità:
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\[ \dim W + \dim W^\perp = \dim V + \dim (W \cap V^\perp). \]
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Si consideri l'applicazione lineare $f : V \to \dual W$ tale che $f(\vec v)$ è un funzionale di $\dual W$ tale che
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$f(\vec v)(\vec w) = \varphi(\vec v, \vec w)$ $\forall \vec w \in W$. Si osserva che $W^\perp = \Ker f$, da cui,
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per la formula delle dimensioni, $\dim V = \dim W^\perp + \rg f$. Inoltre, si osserva anche che
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$f = i^\top \circ a_\varphi$, dove $i : W \to V$ è tale che $i(\vec w) = \vec w$, infatti $f(\vec v) = a_\varphi(\vec v) \circ i$ è un funzionale di $\dual W$ tale che $f(\vec v)(\vec w) = \varphi(\vec v, \vec w)$. Pertanto
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$\rg f = \rg (i^\top \circ a_\varphi)$. \\
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Si consideri ora l'applicazione $g = a_\varphi \circ i : W \to \dual W$. Sia ora $\basis_W$ una base di $W$ e
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$\basis_V$ una base di $V$. Allora le matrice associate di $f$ e di $g$ sono le seguenti:
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\begin{enumerate}[(i)]
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\item $M_{\dual \basis_W}^{\basis_V}(f) = M_{\dual \basis_W}^{\basis_V}(i^\top \circ a_\varphi) =
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\underbrace{M_{\dual \basis_W}^{\dual \basis_V}(i^\top)}_A \underbrace{M_{\dual \basis_V}^{\basis_V}(a_\varphi)}_B = AB$,
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\item $M_{\dual \basis_V}^{\basis_W}(g) = M_{\dual \basis_V}^{\basis_W}(a_\varphi \circ i) =
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\underbrace{M_{\dual \basis_V}^{\basis_V}(a_\varphi)}_B \underbrace{M_{\basis_V}^{\basis_W}(i)}_{A^\top} = BA^\top \overbrace{=}^{B^\top = B} (AB)^\top$.
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\end{enumerate}
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Poiché $\rg(A) = \rg(A^\top)$, si deduce che $\rg(f) = \rg(g) \implies \rg(i^\top \circ a_\varphi) = \rg(a_\varphi \circ i) = \rg(\restr{a_\varphi}{W}) = \dim W - \dim \Ker \restr{a_\varphi}{W} = \dim W - \dim (W \cap \underbrace{\Ker a_\varphi}_{V^\perp}) = \dim W - \dim (W \cap V^\perp)$. Si conclude allora, sostituendo quest'ultima
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identità nell'identità ricavata a inizio dimostrazione che $\dim V = \dim W^\top + \dim W - \dim (W \cap V^\perp)$,
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ossia la tesi.
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\end{proof}
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\begin{remark}
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Si possono fare alcune osservazioni sul radicale di un solo elemento $\vec w$ e su quello del suo sottospazio
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generato $W = \Span(\vec w)$: \\
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\li $\vec w ^\perp = W^\perp$, \\
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\li $\vec w \notin W^\perp \iff \Rad (\restr{\varphi}{W}) = W \cap W^\perp \iff \vec w \text{ non è isotropo } = \zerovecset \iff
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V = W \oplus W^\perp$.
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\end{remark}
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\begin{definition}
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Si definisce \textbf{base ortogonale} di $V$ una base $\vv 1$, ..., $\vv n$ tale per cui $\varphi(\vv i, \vv j) = 0
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\impliedby i \neq j$, ossia per cui la matrice associata del prodotto scalare è diagonale.
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\end{definition}
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\begin{proposition} (formula di polarizzazione)
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Se $\Char \KK \neq 2$, un prodotto scalare è univocamente determinato dalla sua forma quadratica $q$.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Si nota infatti che $q(\vec v + \vec w) - q(\vec v) - q(\vec w) = 2 \varphi(\vec v, \vec w)$, e quindi,
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poiché $2$ è invertibile per ipotesi, che $\varphi(\vec v, \vec w) = 2\inv (q(\vec v + \vec w) - q(\vec v) - q(\vec w))$.
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\end{proof}
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\begin{theorem}(di Lagrange)
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Ogni spazio vettoriale $V$ su $\KK$ tale per cui $\Char \KK \neq 2$ ammette una base ortogonale.
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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Sia dimostra il teorema per induzione su $n := \dim V$. Per $n \leq 1$, la dimostrazione è triviale. Sia
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allora il teorema vero per $i \leq n$. Se $V$ ammette un vettore non isotropo $\vec w$, sia $W = \Span(\vec w)$ e si consideri la decomposizione $V = W \oplus W^\perp$. Poiché $W^\perp$ ha dimensione $n-1$, per ipotesi induttiva
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ammette una base ortogonale. Inoltre, tale base è anche ortogonale a $W$, e quindi l'aggiunta di $\vec w$ a
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questa base ne fa una base ortogonale di $V$. Se invece $V$ non ammette vettori non isotropi, ogni forma quadratica
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è nulla, e quindi il prodotto scalare è nullo per la proposizione precedente.
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\end{proof}
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\begin{theorem} (di Sylvester, caso complesso)
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Sia $\KK$ un campo i cui elementi sono tutti quadrati di un
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altro elemento del campo (e.g.~$\CC$). Allora esiste una base
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ortogonale $\basis$ tale per cui:
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\[ M_\basis(\varphi) = \Matrix{I_r & \rvline & 0 \\ \hline 0 & \rvline & 0\,}. \]
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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Per il teorema di Lagrange, esiste una base ortogonale $\basis'$ di $V$.
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Si riordini la base in modo tale che la forma quadratica valutata nei primi elementi sia sempre diversa da zero. Allora, poiché ogni
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elemento di $\KK$ è per ipotesi quadrato di un altro elemento
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di $\KK$, si sostituisca $\basis'$ con una base $\basis$ tale per
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cui, se $q(\vv i) = 0$, $\vv i \mapsto \vv i$, e altrimenti
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$\vv i \mapsto \frac{\vv i}{\sqrt{q(\vv i)}}$. Allora $\basis'$
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è una base tale per cui la matrice associata del prodotto scalare
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in tale base è proprio come desiderata nella tesi, dove $r$ è
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il numero di elementi tali per cui la forma quadratica valutata
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in essi sia diversa da zero.
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\end{proof}
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\begin{remark}
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Si possono effettuare alcune considerazioni sul teorema di Sylvester
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complesso. \\
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\li Si può immediatamente concludere che il rango è un invariante
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completo per la congruenza in un campo in cui tutti gli elementi
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sono quadrati, ossia che $A \cong B \iff \rg(A) = \rg(B)$: infatti
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ogni matrice simmetrica rappresenta una prodotto scalare, ed è
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pertanto congruente ad una matrice della forma desiderata
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nell'enunciato del teorema di Sylvester complesso. Poiché il rango
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è un invariante della congruenza, si ricava che $r$ nella forma
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della matrice di Sylvester, rappresentando il rango, è anche
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il rango di ogni sua matrice congruente. In particolare, se due
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matrici simmetriche hanno stesso rango, allora sono congruenti
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alla stessa matrice di Sylvester, e quindi, essendo la congruenza
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una relazione di congruenza, sono congruenti a loro volta. \\
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\li Due matrici simmetriche con stesso rango, allora, non solo
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sono SD-equivalenti, ma sono anche congruenti.
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\li Ogni base ortogonale deve quindi avere lo stesso numero
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di elementi nulli.
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\end{remark}
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\begin{theorem} (di Sylvester, caso reale) Sia $\KK$ un campo ordinato
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i cui elementi positivi sono tutti quadrati (e.g.~$\RR$). Allora
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esiste una base ortogonale $\basis$ tale per cui:
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\[ M_\basis(\varphi) = \Matrix{I_{i_+} & \rvline & 0 & \rvline & 0 \\ \hline 0 & \rvline & -I_{i_-} & \rvline & 0 \\ \hline 0 & \rvline & 0 & \rvline & 0\cdot I_{i_0} }. \]
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Inoltre, per ogni base ortogonale, esistono esattamente
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$\iota_+(\varphi)$ vettori della base con forma quadratica positiva,
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$\iota_-(\varphi)$ con forma negativa e $\iota_0(\varphi)$ con
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forma nulla.
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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Per il teorema di Lagrange, esiste una base ortogonale $\basis'$ di $V$.
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Si riordini la base in modo tale che la forma quadratica valutata nei primi elementi sia strettamente positiva, che nei secondi elementi sia strettamente negativa e che negli ultimi sia nulla. Si sostituisca
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$\basis'$ con una base $\basis$ tale per cui, se $q(\vv i) > 0$,
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allora $\vv i \mapsto \frac{\vv i}{\sqrt{q(\vv i)}}$; se
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$q(\vv i) < 0$, allora $\vv i \mapsto \frac{\vv i}{\sqrt{-q(\vv i)}}$;
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altrimenti $\vv i \mapsto \vv i$. Si è allora trovata una base
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la cui matrice associata del prodotto scalare è come desiderata nella
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tesi. \\
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In particolare, $\iota_0(\varphi)$ è esattamente il numero di vettori
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con forma quadratica nulla della base, rappresentando infatti
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esattamente la dimensione del nucleo di $M_\basis(\varphi)$,
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ossia di $V^\perp$. \\
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Siano ora $W_+ = \Span(\vv 1, ... \vv a)$, dove $a$ è il numero
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di vettori della base con forma quadratica positiva,
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$W_- = \Span(\vv{a+1}, ... \vv b)$, dove $b$ è il numero di vettori
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con forma negativa e
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$W_0 = \Span(\vv{b+1}, ... \vv c)$, dove $c$ è il numero di vettori
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con forma nulla.
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Allora chiaramente $V = W_+ \oplus W_- \oplus W_0$. Inoltre,
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$\restr{\varphi}{W_+} > 0$, $\restr{\varphi}{W_-} > 0$ e
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$\restr{\varphi}{W_0} = 0$. Pertanto $\iota_+(\varphi) \geq \dim W_+ = a$. Analogamente $\iota_-(\varphi) \geq \dim W_- = b$ e
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$\iota_0(\varphi) = c$ ($W_0 = V^\perp$). Se lo spazio definito
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positivo massimo $W$ fosse tale che $\dim W > \dim W_+$, allora,
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poiché $V = a + b + c$ e $\dim W + b + c > \dim V \implies
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W \cap W_- \cap W_0 \neq \emptyset$, $\Lightning$. Quindi valgono
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le uguaglianze, da cui la tesi.
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\end{proof}
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\begin{definition}
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Si definisce \textbf{segnatura} di un prodotto scalare
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la terna $(i_+, i_-, i_0)$, come vista nella dimostrazione
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del teorema di Sylvester reale.
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\end{definition}
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\begin{remark} \nl
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\li La segnatura è un invariante completo per la congruenza nel caso reale. Se infatti due matrici hanno la stessa segnatura, sono
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entrambe congruenti alla matrice come vista nella dimostrazione
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della forma reale del teorema di Sylvester, e quindi, essendo
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la congruenza una relazione di equivalenza, sono congruenti
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tra loro. Analogamente vale il viceversa, come conseguenza del
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teorema di Sylvester reale.
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\li Si dice base di Sylvester una base di $V$ tale per cui la
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matrice associata di $\varphi$ sia esattamente nella forma
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vista nella dimostrazione del teorema di Sylvester, e
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tale matrice si dirà anch'essa matrice di Sylvester.
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%TODO: completare spiegazione.
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\end{remark}
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\begin{definition}
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Si dice \textbf{indice di positività} di $\varphi$ il
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termine $\iota_+(\varphi) = i_+ = \max \{ \dim W \mid W \subseteq V \mid \restr{\varphi}{W} > 0 \}$. Analogamente $\iota_-(\varphi) = i_- = \max \{ \dim W \mid W \subseteq V \mid \restr{\varphi}{W} < 0 \}$ è detto
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\textbf{indice di negatività}. Si definisce invece $\iota_0(\varphi) = i_0 = \dim V^\perp$ come \textbf{indice di nullità}.
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\end{definition}
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\begin{remark}\nl
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\li I sottospazi la cui dimensione è pari all'indice di positività
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o di negatività non sono obbligatoriamente unici.
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\end{remark}
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\begin{definition}
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Dati due spazi vettoriali con prodotti scalare $(V, \varphi)$ e
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$(V', \varphi')$ sullo stesso campo $\KK$, si dice che
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$V$ e $V'$ sono \textbf{isometrici} se esiste un isomorfismo
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$f$ che preserva i prodotti, ossia tale che:
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\[ \varphi(\vec v, \vec w) = \varphi'(f(\vec v), f(\vec w)), \]
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e tale isomorfismo si dirà isometria.
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\end{definition}
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\begin{exercise}\nl
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\li $f : V \to V'$ è un isometria $\iff$ per una base $\basis =
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\{\vv1, ..., \vv k\}$ di $V$, $\varphi(\vv i, \vv j) = \varphi'(f(\vv i), f(\vv j))$ $\iff$ vale per ogni base.
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\end{exercise}
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\begin{proposition}
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Per $(V, \varphi)$ e $(V', \varphi')$ sono equivalenti:
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\begin{enumerate}[(i)]
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\item $V$ e $V'$ sono isometrici;
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\item $\forall$ base $\basis$ di $V$, $\basis'$ di $V'$,
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$M_\basis(\varphi)$ e $M_\basis'(\varphi')$ sono congruenti;
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\item lo stesso ma per una base.
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\end{enumerate}
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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(1-2)
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\rightproof Sia $\basis'' = f(\basis)$. Allora $M_{\basis''}(\varphi')=
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(\varphi'(f(\vv i), f(\vv j))) = (\varphi(\vv i, \vv j))$. Allora,
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per la formula di cambiamento di base, le matrici
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$M_{\basis'}(\varphi')$ e $M_{\basis'}(\varphi')$ sono congruenti.
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\leftproof Sia $A = M_\basis(\varphi) = P^\top B P$ e
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$B = M_{\basis'}(\varphi')$. Allora $a_{ij} = \varphi(\vv i, \vv j) =
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... = \varphi'(\vec{v_i^{ii}}, \vec{v_j^{ii}})$, dove
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$\vec{v_i^{ii}}$ è base perché $P$ è invertibile. Allora
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l'applicazione $f : V \to V'$ che manda $\vv i \mapsto \vec{v_{i}^{''}}$ è un isometria.
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(2-3) esercizio.
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\end{proof}
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\begin{proposition} $(V, \varphi)$ e $(V', \varphi')$ spazi vettoriali
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su $\RR$ sono
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isometrici $\iff$ $\varphi$ e $\varphi'$ hanno la stessa segnatura.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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\rightproof Basta che prendi la solita base. \\
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\leftproof Siano $\basis$, $\basis'$ basi di Sylvester di $V$
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e di $V'$. Si definisce allora l'applicazione $f : V \to V'$ tale
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che $f(\vv i) = \ww i$: essa è un isometria.
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\end{proof}
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\begin{corollary}
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Due matrici simmetriche sono congruenti se e solo se hanno
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la stessa segnatura.
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\end{corollary}
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\begin{definition} (somma diretta ortogonale)
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$V = U \oplusperp W$.
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\end{definition}
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\begin{remark}\nl
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\li se $V = U \oplusperp W$, allora $\iota_+(\varphi) = \iota_+(\restr{\varphi}{V}) + \iota_+(\restr{\varphi}{W})$, e
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analogamente per gli altri indici.
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\end{remark}
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\begin{example}
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Per $\varphi = x_1 y_1 + x_2 y_2 - x_3 y_3$. %TODO: guarda dalle slide.
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\end{example}
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\begin{definition}
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Sia $\KK$ qualunque. $W \subseteq V$ si dice sottospazio isotropo
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se $\restr{\varphi}{W} = 0$.
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\end{definition}
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\begin{remark}\nl
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\li $V^\perp$ è isotropo, \\
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\li $\vec{v}$ è un vettore isotropo $\iff$ $W = \Span(\vec v)$ è sottospazio isotropo, \\
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\li $W \subseteq V$ è isotropo $\iff$ $W \subseteq W^\perp$.
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\end{remark}
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\begin{proposition}
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Sia $\varphi$ non degenere. $W \subseteq V$ isotropo, allora
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$\dim W \leq \frac{1}{2} \dim V$.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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$W \subseteq W^\perp \implies \dim W \leq \dim W^\perp \implies
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\dim W \leq \dim V - \dim W \implies \dim W \leq \frac{1}{2} \dim V$.
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\end{proof}
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\begin{definition}
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Si definisce \textbf{indice di Witt} $W(\varphi)$ di $(V, \varphi)$
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come la massima dimensione di un sottospazio isotropo.
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\end{definition}
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\begin{remark}\nl
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\li Se $\varphi > 0$, $W(\varphi) = 0$.
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\end{remark}
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\begin{proposition}
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Per $\KK = \RR$ e $\sigma(\varphi) = (\iota_+(\varphi), \iota_-(\varphi), \iota_0(\varphi))$, con $\varphi$ non degenere,
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$W(\varphi) = \min\{\iota_+(\varphi), \iota_-(\varphi)\}$.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Sia ad esempio $\iota_-(\varphi) \leq \iota_+(\varphi)$. Se $W$
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è un sottospazio con $\dim W > \iota_-(\phi)$, e $W^+$ è
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un sottospazio con $\dim W^+ = \iota_+(\varphi)$ e $\restr{\varphi}{W^+} > 0 \implies \dim (W \cap W^+) > 0$,
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e quindi $W$ non è isotropo (quindi $W(\varphi) < \iota_-(\varphi)$). \\
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Sia $\basis$ una base di Sylvester. Per costruirlo prendi
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coppie della base originale facendo la differenza e nota
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che ne prendi esattamente quante iota-.
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\end{proof}
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\end{document} |