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3.5 KiB
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\documentclass[11pt]{article}
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\usepackage{personal_commands}
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\usepackage[italian]{babel}
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\title{\textbf{Note del corso di Analisi matematica 1}}
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\author{Gabriel Antonio Videtta}
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\date{\today}
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\begin{document}
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\maketitle
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\begin{center}
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\Large \textbf{Integrali impropri}
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\end{center}
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\wip
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%TODO: definizione area di una figura "ragionevole" (differenza)
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%TODO: funzione di Dirichlet non integrabile
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%TODO: se D(f) -- discontinuità -- è finito, f limitata è integrabile
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%TODO: se per ogni e > 0, esistono intervalli I_1, ..., I_{n(e)} tali che U I_i contiene D(f) e somma |I_i| < e, allora f è integrabile.
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%TODO: se per ogni e > 0, esiste una famiglia f di intervalli numerabile tale che U_{f} I_i = D(f) e somma |I_i| < e.
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\begin{definition} [integrale improprio semplice]
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Si dice che l'integrale $\int_a^b f(x) \, dx$ con $a \in \RR$ è un
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\textbf{integrale improprio semplice} in $b$ se
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$f$ è definita e continua su $[a, b)$ e $b = \pm\infty$,
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$f$ non è definita in $b$ o non è continua in $b$. Si
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definisce in modo analogo un integrale improprio semplice se $b \in \RR$. \\
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In modo più
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generale, si dice che tale integrale è improprio semplice
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se $f$ è integrabile in $[a, b']$ $\forall b' < b$, ma non su
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$[a, b]$
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\end{definition}
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\begin{example}\nl
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\li L'integrale $\int_0^1 \frac{1}{\sin(x)} \, dx$ è un
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integrale improprio semplice dacché $\frac{1}{\sin(x)}$ è
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definito in $1$, ma non in $0$, ed è continuo e definito su $(0, 1)$. \\
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\li L'integrale $\int_0^\pi \frac{1}{\sin(x)} \, dx$, invece,
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non è improprio semplice, dal momento che $\frac{1}{\sin(x)}$ non
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è definito né in $0$ né in $\pi$. \\
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\li L'integrale $\int_{-1}^1 \frac{1}{x} \, dx$ non è improprio semplice
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poiché $\frac{1}{x}$ non è definito in $0$.
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\end{example}
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\begin{definition}
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Il valore di $\int_a^b f(x) \, dx$ è definito come $\lim_{b' \to b^-} \int_a^{b'} f(x) \, dx$, se esiste.
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\end{definition}
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Vi sono dunque quattro comportamenti possibili dell'integrale improprio
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semplice $\int_a^b f(x) \, dx$:
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\begin{enumerate}[(a)]
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\item esiste ed è finito (ossia, \textbf{converge}),
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\item esiste ed è $+\infty$ (ossia, \textbf{diverge a} $+\infty$),
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\item esiste ed è $-\infty$ (ossia, \textbf{diverge a} $-\infty$),
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\item non esiste.
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\end{enumerate}
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\begin{remark} Sia $f : [a, b) \to \RR$ continua con primitiva $F : [a, b) \to \RR$. Allora $\int_a^b f(x) \, dx = \lim_{b' \to b^-} [F(b')] - F(a)$.
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\end{remark}
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\begin{example}\nl
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\li $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^\alpha} = \system{+\infty & \se \alpha \leq 1, \\ \frac{1}{a-1} & \altrimenti.}$ \\
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\li $\int_0^{1} \frac{1}{x^\alpha} = \system{+\infty & \se \alpha \geq 1, \\ \frac{1}{1-a} & \altrimenti.}$ \\
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\li $\int_a^{+\infty} e^{-x} \, dx = e^{-a}$.
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\li $\int_0^{+\infty} \sin(x) \, dx$ non esiste.
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\end{example}
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\begin{note}
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Si impiega la notazione $\int_a^b f(x) \, dx \approx \int_c^d g(x) \, dx$ per indicare che i due integrali hanno lo stesso comportamento.
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\end{note}
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\begin{remark}\nl
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\li Il comportamento di $\int_a^b f(x) \, dx$, se $a \in \RR$, non dipende
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dalla scelta di $a$. \\
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\li Sia $f: [a, +\infty) \to \RR$ con limite $L \neq 0 \in \RRbar$ a $+\infty$.
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Allora:
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\[ \int_a^{+\infty} f(x) \, dx = \system{+\infty & \se L > 0, \\ -\infty & \altrimenti.} \] \\ %TODO: dimostralo
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\li Se $f \geq 0$ in un intorno di $b$, allora $\int_a^b f(x) \, dx$
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esiste sempre e vale o $+\infty$ o un numero finito. %TODO: dimostralo
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\end{remark}
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\end{document}
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