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\chapter{Varietà e teoria del grado}
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\setlength{\parindent}{2pt}
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\begin{multicols*}{2}
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\section{Varietà differenziabili e prime definizioni}
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\subsection{Mappe \texorpdfstring{$C^\infty$}{C∞} e diffeomorfismi}
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\begin{definition}[Mappe lisce tra due sottinsiemi] Siano $X \subseteq \RR^k$,
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$Y \subseteq \RR^\ell$ sottinsiemi qualsiasi. Allora una funzione
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$f : X \to Y$ si dice di \textbf{classe $C^\infty$} (o \textit{liscia}) se per ogni
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$x \in X$ esistono un aperto $W_x$ e una funzione $F : W_x \to \RR^\ell$,
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chiamata \textbf{estensione}, di classe $C^\infty$ per cui:
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\[
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\restr{F}{W_x \cap X} = \restr{f}{W_x \cap X}.
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\]
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\end{definition}
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\begin{remark}
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Osserviamo che i sottinsiemi di $X$ della forma $W \cap X$ con $W$ aperto sono esattamente gli
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aperti per la topologia di sottospazio di $X$.
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\end{remark}
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\begin{definition}[Diffeomorfismo]
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Siano $X \subseteq \RR^k$,
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$Y \subseteq \RR^\ell$ sottinsiemi qualsiasi.
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Allora una funzione $f : X \to Y$ si dice \textbf{diffeomorfismo} se
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è un \underline{omeomorfismo}, è liscia e ammette inversa liscia.
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\end{definition}
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\begin{remark}
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Le definizioni di mappa liscia e diffeomorfismo date sono chiaramente compatibili
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con le usuali definizioni date su aperti di $\RR^n$.
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\end{remark}
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\begin{proposition} \label{prop:comp_liscia}
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La composizione di mappe lisce è liscia. La restrizione di una mappa liscia
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è liscia.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Siano $f : X \to Y$ e $g : Y \to Z$ due mappe lisce con $X \subseteq \RR^k$,
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$Y \subseteq \RR^\ell$, $Z \subseteq \RR^p$. Sia $x \in X$. Allora,
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poiché $f$ è liscia, esistono $W_x \subseteq \RR^k$ aperto e $F : W_x \to \RR^\ell$ liscia tale per cui:
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\[
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\restr{F}{W_x \cap X} = \restr{f}{W_x \cap X}.
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\]
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Analogamente, per $f(x) \in Y$ esistono $U_{f(x)} \subseteq \RR^\ell$ aperto e
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$G : U_{f(x)} \to \RR^p$ liscia tale per cui:
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\[
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\restr{G}{U_{f(x)} \cap Y} = \restr{g}{U_{f(x)} \cap Y}.
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\]
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Pertanto, a meno di restringere $W_x$ per ottenere $F(W_x \cap X) \subseteq U_{f(x)} \cap Y$,
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si ha:
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\[
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\restr{G \circ F}{W_x \cap X} = \restr{g \circ f}{W_x \cap X},
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\]
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dove $g \circ f$ è liscia; questo dimostra che la composizione di mappe
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lisce è liscia. \smallskip
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La restrizione di una mappa è liscia dal momento che è composizione
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di una mappa liscia con una mappa di inclusione, che è liscia in quanto
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si estende all'identità.
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\end{proof}
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\subsection{Varietà differenziabili, varietà chiuse, carte, atlanti, parametrizzazioni locali e funzioni di transizione}
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\begin{definition}[Varietà differenziabile liscia senza bordo]
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Un insieme $M \subseteq \RR^k$ si dice \textbf{varietà (differenziabile liscia senza bordo) di dimensione $m>0$} (o $m$-varietà) se per ogni
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suo punto $x$ esistono un intorno aperto $W_x$ in $\RR^k$ e un diffeomorfismo
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$f_x : W_x \cap M \to U$ verso un aperto $U$ in $\RR^m$. Per $m = 0$, si richiede invece
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che ogni $W_x \cap M$ sia un singoletto. \smallskip
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Le coppie della forma $(f_x, W_x \cap M)$ si dicono \textbf{carte locali}, e formano un \textbf{atlante} della varietà. L'inversa di
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$f_x$ si dice invece \textbf{parametrizzazione locale} di $x$ in $M$.
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\end{definition}
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\begin{definition}[Varietà chiusa]
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Si dice \textbf{varietà chiusa} una varietà (senza bordo) che è compatta.
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\end{definition}
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\begin{remark}
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Le varietà di dimensione zero sono esattamente le unioni di punti isolati.
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\end{remark}
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\begin{remark}
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Le carte locali inducono un ricoprimento aperto di $M$, e quindi, qualora $M$ fosse compatta, si potrebbe
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sempre prendere un atlante finito. \smallskip
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Inoltre, poiché $\RR^k$ è II-numerabile, si può sempre prendere un \underline{atlante numerabile}.
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\end{remark}
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\begin{remark}
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Ogni aperto di $\RR^k$ è una varietà di dimensione $k$. Le superfici sono invece varietà
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di dimensione $2$ immerse in $\RR^3$, le cui parametrizzazioni locali sono indotte dalle parametrizzazioni
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regolari.
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\end{remark}
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\begin{remark}[Gli aperti di varietà sono sottovarietà] \label{rmk:aperti_di_varietà_sono_varietà}
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Se $N$ è un aperto di una $m$-varietà $M$, $N$ eredita da $M$ una
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struttura di $m$-varietà per la quale l'atlante è dato dalle intersezioni
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delle carte locali con $N$ stesso. Infatti $N$ è aperto, e dunque
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l'immagine di una carta locale sarà anch'esso un aperto su $\RR^m$.
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\end{remark}
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\begin{definition}[Funzione di transizione]
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Date due parametrizzazioni locali $f : U \to f(U)$ e $g : V \to g(V)$ con intersezione
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delle immagini \underline{non} vuota, si
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definisce la \textbf{funzione di transizione da $f$ a $g$} come la seguente funzione:
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\[ \boxed{g\inv \circ f : f\inv(g(V)) \to g\inv(f(U)).} \]
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\end{definition}
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\subsection{Prodotto di varietà}
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\begin{proposition}[Prodotto di varietà] \label{prop:prodotto_varietà}
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Siano $M \subseteq \RR^k$ e $N \subseteq \RR^\ell$ varietà di dimensione
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$m$ e $n$. Allora $M \times N \subseteq \RR^{k+\ell}$ è una varietà
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di dimensione $m + n$. \smallskip
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Un atlante per $M \times N$ è dato da:
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\[ \{(f_i \times g_j, (W_i \times Q_j) \cap (M \times N))\}_{i, j}, \]
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dove $\{(f_i, W_i \cap M)\}_i$ è un atlante di $M$
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e $\{(g_i, Q_j \cap N)\}_j$ è un atlante di $N$.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Segue dal fatto che i prodotti $f_i \times g_j$ sono diffeomorfismi in quanto prodotti
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di diffeomorfismi.
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\end{proof}
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\section{Spazio tangente e differenziale su mappe tra varietà}
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\subsection{Differenziale su aperti di \texorpdfstring{$\RR^n$}{ℝⁿ}}
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Ricordiamo la definizione di differenziale per mappe su aperti di spazi reali:
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\begin{definition}[Differenziale per $f : U \subseteq \RR^k \to \RR^\ell$]
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Sia $U$ un aperto di $\RR^k$ e sia $f : U \to \RR^\ell$ una funzione liscia.
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Allora il \textbf{differenziale $\dif f_x : \RR^k \to \RR^\ell$} nel
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punto $x \in U$ è la funzione tale per cui:
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\[
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\boxed{\dif f_x(h) \defeq \lim_{t \to 0} \frac{f(x+th) - f(x)}{t}.}
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\]
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Equivalentemente $\dif f_x$ è l'unica funzione lineare tale per cui:
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\[
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f(x+h) = f(x) + \dif f_x(h) + o(\norm{h}).
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\]
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\end{definition}
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\begin{remark}
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Il differenziale $\dif f_x$ rispetta alcune proprietà fondamentali:
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\begin{enumerate}[(i.)]
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\item La matrice di $\dif f_x$ è data dallo jacobiano $Jf(x) = (\partial_{x_j} f_i(x))_{i, j}$.
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\item Il differenziale rispetta la \textit{regola della catena} (chain rule):
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\[ \dif(f \circ g)_x = \dif f_{g(x)} \circ \dif g_x. \]
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\item Data $\id_U$ su un aperto $U \subseteq \RR^k$, allora $\dif (\id_U)_x = \id_{\RR^k}$ per ogni $x \in U$.
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\item Dati $U' \subseteq U \subseteq \RR^k$ con $U'$ aperto, l'inclusione $\iota : U' \to U$ è tale per cui
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$\dif \iota_x = \id_{\RR^k}$ per ogni $x \in U'$.
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\item Se $L : U \to \RR^\ell$ è lineare, allora $\dif L_x = L$ per ogni $x \in U$.
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\end{enumerate}
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\end{remark}
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\begin{proposition} \label{prop:diffeomorfismo_iso_diff}
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Siano $U \subseteq \RR^k$, $V \subseteq \RR^\ell$ aperti. Sia $f : U \to V$ un diffeomorfismo.
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Allora $k = \ell$ e $\dif f_x$ è un isomorfismo di $\RR^k$ per ogni $x \in U$.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Sia $g : V \to U$ l'inversa di $f$. Poiché $f$ è un diffeomorfismo, $g$ è liscia. Sia $x \in U$. Allora:
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\begin{enumerate}[(i.)]
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\item $\id_{\RR^k} = \dif (\id_U)_x = \dif (g \circ f)_x = \dif g_{f(x)} \circ \dif f_x$,
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\item $\id_{\RR^\ell} = \dif (\id_V)_{f(x)} = \dif (f \circ g)_{f(x)} = \dif f_x \circ \dif g_{f(x)}$.
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\end{enumerate}
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Da (i.) si deduce che $\dif f_x$ è iniettiva, mentre da (ii.) si deduce che è surgettiva. Dunque
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$\dif f_x$ è un isomorfismo (e quindi vale anche $k = \ell$).
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\end{proof}
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\subsection{Spazio tangente in un punto di una varietà}
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\begin{remark}[Lo spazio tangente è ben definito]
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Sia $M$ una varietà di dimensione $m$. Siano $g : U \to W \cap M$ e
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$h : U' \to W' \cap M$ due parametrizzazioni locali di $x \in M$
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con $g(u) = h(u') = x$. \smallskip
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Supponiamo senza perdita di generalità che $W' = W$ (è sufficiente restringere
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le immagini). La funzione
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$g \circ h\inv$ è un diffeomorfismo in quanto composizione di diffeomorfismi
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(vd. Proposizione \ref{prop:comp_liscia}). Allora per la Proposizione \ref{prop:diffeomorfismo_iso_diff}
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$\dif (h\inv \circ g)_u$ è un isomorfismo. \smallskip
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Osserviamo che:
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\[
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\dif g_u = \dif (h \circ (h\inv \circ g))_u = \dif h_{u'} \circ \dif (h\inv \circ g)_u.
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\]
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Dal momento che $\dif (h\inv \circ g)_u$ è in particolare surgettiva, si ha:
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\[
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\dif g_u(\RR^m) = \dif h_{u'}(\RR^m).
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\]
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\end{remark}
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\begin{definition}[Spazio tangente]
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Sia $x$ un punto di una varietà $M$ di dimensione $m$. Presa una
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parametrizzazione locale $g : U \subseteq \RR^m \to W \cap M$ di
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$x$ con $g(u) = x$, si definisce lo \textbf{spazio tangente di $M$ in $x$} come:
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\[
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\boxed{T_x M \defeq \dif g_u(\RR^m).}
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|
\]
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\end{definition}
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\begin{proposition}
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Sia $x$ un punto di una varietà $M$ di dimensione $m$. Allora:
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\[
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\boxed{\dim T_x M = m.}
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\]
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Si prenda una parametrizzazione locale
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$g : U \subseteq \RR^m \to W \cap M$ di
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$x$ con $g(u) = x$. È sufficiente dimostrare
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che $\dif g_u$ è una mappa iniettiva. \smallskip
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La mappa $g$ è indotta dalla carta locale tramite
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un'estensione $F : W \to \RR^m$ con:
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\[
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\restr{F}{W \cap M} = g\inv.
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\]
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Osserviamo allora che:
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\[
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|
\id_{\RR^m} = \dif (F \circ g)_u = \dif F_{x} \circ \dif g_u,
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\]
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da cui si deduce che $\dif g_u$ ammette un'inversa sinistra, ed è
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dunque iniettiva.
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\end{proof}
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\begin{remark}[Spazio tangente in un prodotto di varietà] \label{rmk:tangente_prodotto}
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Siano $M$ e $N$ due varietà di dimensione $m$ e $n$.
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Se $f_i \times g_j$ è una carta locale di $M \times N$,
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come ottenuto nella Proposizione \ref{prop:prodotto_varietà}, allora:
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\begin{align*}
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T_{(m, n)}(M \times N) & = d(f_i^{-1} \times g_j^{-1})_{(m, n)}(\mathbb{R}^{m+n}) \\
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& \cong d(f_i^{-1})(\mathbb{R}^m) \times d(g_j^{-1})(\mathbb{R}^n) \\
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& = T_m M \times T_n N
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\end{align*}
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Quindi vale il seguente isomorfismo canonico, ottenuto proiettando sulle componenti:
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\[
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\boxed{T_{(m, n)} (M \times N) \cong T_m M \times T_n N.}
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\]
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\end{remark}
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\subsection{Differenziale per mappe lisce tra varietà}
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\begin{remark}[Il differenziale per mappe lisce è ben definito]
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Siano $M \subseteq \RR^k$ una varietà di dimensione $m$, $N \subseteq \RR^\ell$
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un'altra varietà, e sia
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$f : M \to N$ una mappa liscia tra varietà. \smallskip
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Sia $F : W \to \RR^\ell$ un'estensione di $f$ per un intorno aperto di
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$x \in M$. Siano $g : U \subseteq \RR^m \to W \cap M$ una parametrizzazione
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locale di $x$ e $h : V \to N$ una parametrizzazione locale di $f(x)$ con
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$g(u) = x$ e $h(v) = f(x)$.
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\[\begin{tikzcd}
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M && W && N \\
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\\
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U &&&& V
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\arrow["\iota", from=1-1, to=1-3]
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\arrow["F", from=1-3, to=1-5]
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|
\arrow["g", from=3-1, to=1-1]
|
|
|
\arrow["{h\inv \circ F \circ g}"', dashed, from=3-1, to=3-5]
|
|
|
\arrow["h"', from=3-5, to=1-5]
|
|
|
\end{tikzcd}\]
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|
Dal diagramma commutativo si deduce che:
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\[
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\dif F_x \circ \dif g_u = \dif h_v \circ \dif (h\inv \circ F \circ g)_u.
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|
|
\]
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Pertanto $\dif F_x(T_x M)$ \underline{non} dipende dalla scelta dell'estensione $F$ e vale:
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\[ \dif F_x(T_x M) \subseteq T_{f(x)} N. \]
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|
\end{remark}
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\begin{definition}[Differenziale su mappe tra varietà]
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Sia $f : M \to N$ una mappa tra varietà. Se $F$ è un'estensione di $f$
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in $x$, si definisce il \textbf{differenziale di $f$ in $x$}
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|
$\dif f_x : T_x M \to T_{f(x)} N$ come segue:
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\[
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|
\boxed{\dif f_x \defeq \restr{\dif F_x}{T_x M}.}
|
|
|
\]
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|
|
\end{definition}
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|
\begin{remark}
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Le proprietà del differenziale su aperti di $\RR^n$ si trasferiscono
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|
facilmente al differenziale su mappe tra varietà:
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\begin{enumerate}[(i.)]
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\item Il differenziale rispetta la \textit{regola della catena} (chain rule):
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\[ \dif(f \circ g)_x = \dif f_{g(x)} \circ \dif g_x. \]
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|
|
\item Data $\id_M$ per una varietà $M$, allora $\dif (\id_M)_x = \id_{T_x M}$ per ogni $x \in M$.
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|
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\item Dati $M'$ e $M$ sono varietà con $M' \subseteq M$, l'inclusione $\iota : M' \to M$ è liscia,
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|
$\dif \iota_x : T_x M' \to T_x M$ è iniettiva e $T_x M'$ è un sottospazio di $T_x M$.
|
|
|
\item Se $f : M \to N$ è un diffeomorfismo, allora $\dif f_x$ è un isomorfismo per ogni $x \in M$.
|
|
|
\end{enumerate}
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\end{remark}
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\begin{proposition}[Differenziale per prodotti di varietà] \label{prop:diff_prodotto}
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Sia $f : M \to N \times O$ una mappa liscia, dove $M$, $N$ e $O$ sono varietà.
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Se $f(x) = (g(x), p(x))$, allora $g$ e $p$ sono lisce e vale:
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|
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\[
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\boxed{\dif f_x(h) = (\dif g_x(h), \dif p_x(h)).}
|
|
|
\]
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\end{proposition}
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\section{Valori regolari e critici}
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\subsection{Prime definizioni}
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\begin{definition}[Punti regolari o critici]
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Sia $f : M \to N$ una mappa liscia tra varietà, con
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$\dim M = m$ e $\dim N = n$. \smallskip
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Sia $x \in M$. Si dice che $x$ è un \textbf{punto critico}
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se $\rk(\dif f_x) < n$, e altrimenti si dice che è un
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\textbf{punto regolare}. \smallskip
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Indichiamo con $\crit(f)$ l'insieme dei punti critici di
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$f$.
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|
|
\end{definition}
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|
\begin{definition}[Valori regolari o critici]
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Sia $f : M \to N$ una mappa liscia tra varietà, con
|
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$\dim M = m$ e $\dim N = n$. \smallskip
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|
Sia $y \in N$. Si dice che $y$ è un \textbf{valore critico}
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se è immagine di almeno un punto critico, e altrimenti si dice che
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è un \textbf{valore regolare} (in particolare lo è se
|
|
|
$f\inv(y) = \emptyset$).
|
|
|
\end{definition}
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\begin{remark}
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È immediato osservare che l'insieme dei valori critici di
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$f$ è esattamente $f(\crit(f))$.
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\end{remark}
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\begin{remark}[I punti regolari formano un aperto] \label{rmk:punti_regolari_formano_aperto}
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Se $x$ è un punto regolare di una mappa liscia
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$f : M \to N$, esiste sempre un intorno aperto $U$
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di $x$ in $M$ composto di soli punti regolari. \smallskip
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Scelta una parametrizzazione locale $g : U \to g(U)$ di un intorno aperto di $x$,
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si può scegliere infatti una base ``comune'' per ogni $T_y M$ al
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variare di $y$ in $g(U)$, e così si può rappresentare
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$\dif f_y$ matricialmente. \smallskip
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Poiché $x$ è regolare, $\dif f_x$ è surgettiva. Allora
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$\dif f_x$ ammette un minore di taglia massima di
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determinante \underline{non} nullo. Il determinante di questo minore,
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al variare di $y \in g(U)$, varia continuamente; in particolare, per
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il Teorema della permanenza del segno, esiste un intorno di $x$
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in cui continua a essere \underline{non} nullo. \smallskip
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Equivalentemente esiste un intorno aperto di $x$ in cui tutti i punti
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sono regolari.
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\end{remark}
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\subsection{Teorema di invertibilità locale per varietà e lemma della pila di dischi}
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\begin{theorem}[di invertibilità locale per varietà] \label{thm:invertibilità_locale_varietà}
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Siano $M$ e $N$ due varietà di stessa dimensione. Sia
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$f : M \to N$ una mappa liscia. Se $x \in M$ è regolare,
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allora esiste un intorno $A$ di $x$ in $M$ tale per cui
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$\restr{f}{A} : A \to f(A)$ è un diffeomorfismo.
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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Sia $g : U \to g(U)$ una parametrizzazione locale di $x$ in $M$
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con $g(u) = x$.
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Sia $h : V \to h(V)$ una parametrizzazione locale di $f(x)$ in $N$
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con $h(v) = f(x)$.
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A meno di restringere il dominio di $g$, possiamo supporre che
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$f(g(U)) \subseteq h(V)$.
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\[\begin{tikzcd}
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M && N \\
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\\
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U && V
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\arrow["f"{description}, from=1-1, to=1-3]
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\arrow["g", from=3-1, to=1-1]
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\arrow["{h\inv \circ f \circ g}"{description}, dashed, from=3-1, to=3-3]
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\arrow["h", from=3-3, to=1-3]
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\end{tikzcd}\]
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Osserviamo che:
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\[ \dif f_x \circ \dif g_u = \dif h_{f(x)} \circ \dif (h\inv \circ f \circ g)_u. \]
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Dal momento che $x$ è regolare, $\dif f_x$ è un isomorfismo. Poiché anche $\dif g_u$
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e $\dif h_{f(x)}$ sono isomorfismi ($g$ e $h$ sono diffeomorfismi, vd. Proposizione
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\ref{prop:diffeomorfismo_iso_diff}), allora anche $\dif (h\inv \circ f \circ g)_u$ è
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un isomorfismo. \smallskip
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Per il Teorema di invertibilità locale sugli aperti di $\RR^n$, allora esiste un
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aperto $A'$ di $U$ su cui $\restr{h\inv \circ f \circ g}{A'}$ è un diffeomorfismo.
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Osserviamo che:
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\[
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\restr{f}{g(A')} = \restr{h}{h\inv(f(g(A')))} \circ \restr{h\inv \circ f \circ g}{A'} \circ \restr{g\inv}{g(A')}.
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\]
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Quindi $\restr{f}{g(A')}$ è un diffeomorfismo in quanto composizione di restrizioni di
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diffeomorfismi (vd. Proposizione \ref{prop:comp_liscia}), e $A \defeq g(A')$ è l'intorno cercato.
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\end{proof}
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\begin{proposition} \label{prop:controimmagine_regolare_finita}
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Sia $M$ una varietà compatta. Sia $f : M \to N$ una mappa liscia tra varietà della
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\underline{stessa dimensione}. Se $y \in N$ è un valore regolare, allora $f\inv(y)$ è un insieme finito.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Poiché $N$ è T1, $f\inv(y)$ è un chiuso di $M$; pertanto, essendo $M$ compatta, $f\inv(y)$ è
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un compatto. \smallskip
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Mostriamo ora che $f\inv(y)$ è discreto. Sia $x \in f\inv(y)$. Dal momento che $y$ è un valore regolare,
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$x$ è un punto regolare. Quindi esiste per il Teorema \ref{thm:invertibilità_locale_varietà} un
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intorno aperto $A \subseteq M$ di $x$ per cui $\restr{f}{A}$ è un diffeomorfismo. In questo intorno $x$
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è l'unica controimmagine di $y$ mediante $f$, e quindi $f\inv(y)$ è discreto. \smallskip
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Dal momento che $f\inv(y)$ è sia compatto che discreto, $f\inv(y)$ è finito.
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\end{proof}
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\begin{lemma}[della pila dei dischi] \label{lem:pila}
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Siano $M$ e $N$ varietà della \underline{stessa dimensione}.
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Sia $M$ compatta. Sia $f : M \to N$ una mappa liscia con $y \in N$ valore regolare.
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Allora esiste un intorno $V$ di $y$ tale per cui:
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\[
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\abs{f\inv(y')} = \abs{f\inv(y)}, \quad \forall y' \in V.
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\]
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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Sappiamo dalla Proposizione \ref{prop:controimmagine_regolare_finita} che
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$f\inv(y)$ è finito. Se $f\inv(y) = \{x_1, \ldots, x_n\}$, riprendendo gli intorni aperti $A_i$
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come definiti nella dimostrazione della Proposizione \ref{prop:controimmagine_regolare_finita},
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allora possiamo definire:
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\[
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V \defeq \bigcap_{i = 1}^n f(A_i) \setminus f\left(M \setminus \bigcup_{i = 1}^n A_i\right).
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|
\]
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Gli $f(A_i)$ sono aperti dal momento che $f$ è un diffeomorfismo. L'insieme $M \setminus \bigcup_{i = 1}^n A_i$
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è un chiuso in un compatto, e quindi è compatto; allora $f\left(M \setminus \bigcup_{i = 1}^n A_i\right)$ è compatto,
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e dunque chiuso essendo $N$ uno spazio T2. Quindi $f\left(M \setminus \bigcup_{i = 1}^n A_i\right)^c$ è aperto.
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|
Si conclude dunque che $V$ è aperto. \smallskip
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Su $V$, $\abs{f\inv(-)}$ è necessariamente costante: la prima intersezione assicura che esistano
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almeno $\abs{f\inv(y)}$ controimmagini, e la sottrazione insiemistica assicura che non possano esisterne di più.
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\end{proof}
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\subsection{Misura nulla e teoremi di Sard e Brown}
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\begin{definition}[Sottinsiemi di varietà di misura nulla]
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Sia $A$ un sottinsieme di una varietà $M$ di dimensione $m$.
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Si dice che
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$A$ ha \textbf{misura nulla (rispetto a $M$)} se per ogni
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carta locale $(f, W \cap M)$, $f(A \cap W)$ ha misura nulla
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in $\RR^m$.
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\end{definition}
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\begin{theorem}[di Sard, per le varietà] \label{thm:sard}
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Sia $f : M \to N$ una
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mappa liscia tra due varietà. Allora l'insieme dei valori
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critici $f(\crit(f))$ ha misura nulla in $N$.
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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Sia $\{(f_i, W_i \cap M)\}_{i \geq 1}$ un atlante numerabile di $M$ e
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sia $(g, Z \cap N)$ una carta locale di $N$. Poniamo:
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\[
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h_i \defeq g \circ \restr{f}{W_i \cap M} \circ f_i.
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\]
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A meno di restringere o ignorare $W_i$, possiamo
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supporre $f(W_i \cap M) \subseteq Z \cap N$.
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\[\begin{tikzcd}
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{W_i \cap M} && {Z \cap N} \\
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\\
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U && V
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\arrow["{\restr{f}{W_i \cap M}}", from=1-1, to=1-3]
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\arrow["{f_i}"', from=1-1, to=3-1]
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|
\arrow["g"', from=1-3, to=3-3]
|
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|
\arrow["{h_i = g \circ \restr{f}{W_i \cap M} \circ f_i}"', dashed, from=3-1, to=3-3]
|
|
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\end{tikzcd}\]
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|
Osserviamo che:
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\[
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\dif (h_i)_u = \dif g_{f(f_i\inv(u))} \circ \dif f_{f_i\inv(u)} \circ \dif (f_i\inv)_u
|
|
|
\]
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|
|
Allora, poiché $\dif g_{f(f_i\inv(u))}$ e $\dif (f_i\inv)_u$ sono isomorfismi
|
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($f_i$ e $g$ sono diffeomorfismi, vd. Proposizione \ref{prop:diffeomorfismo_iso_diff}),
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i valori critici di $f$ sono in corrispondenza con quelli degli $h_i$ tramite $g$. \medskip
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|
Per il Teorema di Sard sugli aperti di $\RR^n$, $g(f(\crit(f) \cap W_i) \cap Z)$ ha allora
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misura zero. Allora, $g(f(\crit(f)) \cap Z)$, che è un unione numerabile di insiemi di misura
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nulla, ha misura nulla. Quindi $f(\crit(f))$ ha misura nulla per definizione.
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\end{proof}
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\begin{corollary}[di Brown] \label{cor:brown} Sia $f : M \to N$ una
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mappa liscia tra due varietà. Allora l'insieme dei valori
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regolari di $f$ è denso in $N$.
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\end{corollary}
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\begin{proof}
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È sufficiente verificare che in un intorno di un valore critico $y \in N$ ci
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sia almeno un valore regolare. Se così \underline{non} fosse, tramite una carta
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locale si troverebbe la chiusura di un rettangolo di soli valori critici, il
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cui volume è non nullo. Allora $f(\crit(f))$ non avrebbe misura nulla, che
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è assurdo per il Teorema \ref{thm:sard}.
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\end{proof}
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\subsection{Varietà a partire da valori regolari}
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\begin{theorem} \label{thm:varietà_da_valore_regolare}
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Sia $f : M \to N$ una mappa liscia tra varietà con $\dim M = m \geq n = \dim N$. Se
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$y \in N$ è regolare, allora $f\inv(y)$ è una varietà di dimensione $m - n$
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\textnormal{(codimensione $n$)}.
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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Sia $k$ tale per cui $M \subseteq \RR^k$, e sia $x \in f\inv(y)$.
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Allora $x$ è per ipotesi un punto regolare, e quindi
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$\dif f_x : T_x M \to T_y N$ è una mappa surgettiva, con:
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\[
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\dim \ker(\dif f_x) = m - n.
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\]
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Sia $L : \RR^k \to \RR^{m-n}$ una mappa lineare, dove $T_x M \subseteq \RR^k$
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e $\restr{L}{T_x M}$ è isomorfismo. \smallskip
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Consideriamo la mappa $F : M \subseteq \RR^k \to N \times \RR^{m-n}$ tale per cui:
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\[
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F(m) = (f(m), L(m)).
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|
\]
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Allora, per la Proposizione \ref{prop:diff_prodotto}, vale:
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\[
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\dif F_x(v) = (\dif f_x(v), \dif L_x(v)) = (\dif f_x(v), L(v)),
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\]
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dove si è usato che $L$ è una mappa lineare. $\dif F_x(v)$ si annulla solo
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per $v = 0$, essendo $\restr{L}{T_x M}$ un isomorfismo; quindi
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$\dif F_x(v)$ è invertibile, e $x$ è regolare per $F$. \smallskip
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|
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Osserviamo che $F$ è una mappa tra varietà della stessa dimensione (vd. Proposizione
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\ref{prop:prodotto_varietà}), e quindi, per la Proposizione
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\ref{thm:invertibilità_locale_varietà}, esiste un intorno $U$ di $x$ in $M$ tale per cui
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|
$\restr{F}{U} : U \to V \defeq F(U)$ è un diffeomorfismo. \smallskip
|
|
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La restrizione $\restr{F}{U}$ mappa $U \cap f\inv(y)$ su un aperto di $V \cap (\{y\} \times \RR^{m-n})$,
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che è diffeomorfo a un aperto di $\RR^{m-n}$ ($\{y\} \times \RR^{m-n} \cong \RR^{m-n}$). In particolare
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induce una carta locale per $x$, e quindi $f\inv(y)$ è una varietà di dimensione $m-n$.
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\end{proof}
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\begin{proposition} \label{prop:tangente_valore_regolare}
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Sia $f : M \to N$ una mappa liscia tra varietà con $\dim M = m \geq n = \dim N$. Se
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$y \in N$ è regolare, posto $P \defeq f\inv(y)$, si ha:
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\[
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\boxed{T_x P = \ker \dif f_x, \quad \forall x \in P.}
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\]
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Inoltre $\restr{\dif f_x}{(T_x P)^\perp}$ è un isomorfismo.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Poiché $P = f\inv(y)$, l'inclusione $\iota : P \to M$ è tale
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per cui $f \circ \iota$ è costante. Tuttavia una mappa costante
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ha differenziale nullo, e dunque:
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\[
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\dif f_x \circ \underbrace{\iota_{T_x P}}_{\mathclap{= \, \dif \iota^P_x}} = 0 \implies T_x P \subseteq \ker(\dif f_x).
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\]
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Poiché $\dim T_x P = m - n = \ker(\dif f_x)$, si ottiene
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l'uguaglianza $T_x P = \ker(\dif f_x)$. \smallskip
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Osserviamo che $\dim (T_x P)^\perp = n$ e che $(T_x P)^\perp \cap T_x P = \{0\}$.
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Allora $\restr{\dif f_x}{(T_x P)^\perp}$ è iniettiva, e per uguaglianza dimensionale
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tra $(T_x P)^\perp$ e $T_y N$ si conclude che è un isomorfismo.
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\end{proof}
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\begin{corollary} \label{cor:sn_è_varietà}
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$S^n \subseteq \RR^{n+1}$ è una varietà di dimensione $n$ e $T_x S^n = x^\perp \subseteq \RR^{n+1}$.
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\end{corollary}
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\begin{proof}
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Presa $f : \RR^{n+1} \to \RR$ tale per cui:
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\[
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f(x) \defeq x \cdot x = x_1^2 + \ldots + x_{n+1}^2,
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\]
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si ha $S^n = f\inv(1)$. Osserviamo che:
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\[
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Jf_x = 2x^\top.
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\]
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Dunque l'unico valore critico di $f$ è $0$. Pertanto
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$S^n = f\inv(1)$ è una varietà di dimensione $(n+1)-1 = n$. \smallskip
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Poiché $\dif f_x(h) = Jf(x) \cdot h = 2x^\top h$, per la
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Proposizione \ref{prop:tangente_valore_regolare} vale
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anche $T_x S^n = \ker \dif f_x = x^\perp$.
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\end{proof}
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\begin{corollary}
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$O(n) \subseteq M(n)$ è una varietà di dimensione $\frac{n(n-1)}{2}$.
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\end{corollary}
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\begin{proof}
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Presa $f : M(n) \cong \RR^{n^2} \to S(n) \cong \RR^{\frac{n(n+1)}{2}}$ tale per cui:
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\[ f(A) = AA^\top, \]
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|
si ha $O(n) = f\inv(I)$. Osserviamo che:
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\[ \dif f_A : M(n) \to S(n), \quad \dif f_A(B) = AB^\top + B A^\top. \]
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|
Mostriamo che $\dif f_A$ è surgettiva per $A \in f\inv(I) = O(n)$. \smallskip
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Sia $C \in S(n)$ simmetrica. Allora $C$ è uguale
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alla sua parte simmetrica:
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\[
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C = \frac{1}{2} C + \frac{1}{2} C^\top,
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\]
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e quindi, ponendo $\frac{1}{2} C = AB^\top$, si ottiene la seguente
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soluzione a $AB^\top + BA^\top = C$:
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\[
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B = \frac{1}{2} C^TA.
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\]
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|
Dunque $I$ è un valore regolare, e $O(n)$ è una varietà
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di dimensione $n^2 - \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$.
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\end{proof}
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\section{Varietà con bordo}
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\subsection{Semispazio superiore e varietà con bordo}
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\begin{definition}[Semispazio superiore]
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Si definisce il \textbf{semispazio superiore} $H^n$ in $\RR^n$ come:
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\[
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\boxed{H^n \defeq \{x \in \RR^n \mid x_n \geq 0\}.}
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|
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\]
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\end{definition}
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\begin{remark} \label{rmk:hn_diffeo_rn-1}
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Osserviamo che in modo naturale vale il seguente diffeomorfismo:
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\[
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\boxed{\partial H^n = \{ x \in \RR^n \mid x_n = 0 \} \cong \RR^{n-1}.}
|
|
|
\]
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|
\end{remark}
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\begin{definition}[$m$-varietà con bordo]
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Si dice che $M \subseteq \RR^k$ è una \textbf{$m$-varietà con bordo} se
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ogni punto di $M$ ammette un intorno diffeomorfo ad un aperto del semispazio
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superiore $H^n$. Gli intorni e i diffeomorfismi citati formano le
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\textbf{carte locali} della varietà, e le inverse di tali diffeomorfismi
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sono dette \textbf{parametrizzazioni locali}. Analogamente si definiscono
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le \textbf{funzioni di transizione}. \smallskip
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Si dice \textbf{bordo} della varietà $M$ l'insieme dei punti che è immagine
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di un punto di $\partial H^n$ tramite qualche parametrizzazione locale, e
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si indica con $\partial M$.
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\end{definition}
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\begin{remark}
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La definizione data è coerente con la definizione di varietà senza bordo: una
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varietà senza bordo $M$ è esattamente una varietà con bordo $M$ tale per cui
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$\partial M = \emptyset$. \smallskip
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Utilizzeremo dunque indistintamente le due caratterizzazioni.
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\end{remark}
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\subsection{Proprietà del bordo di una varietà con bordo}
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\begin{lemma}[I punti di bordo sono sempre immagini di elementi di bordo] \label{lem:punti_di_bordo}
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Sia $x$ un punto del bordo $\partial M$ di una $m$-varietà con bordo $M$. Se
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$g$ è una parametrizzazione locale di $x$, allora $x$ è immagine di un
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punto di bordo di $H^n$ tramite $g$. Equivalentemente, $x$ è un punto di
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$\partial M$ se e solo se è immagine di un valore di bordo per
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ogni sua parametrizzazione locale.
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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Sia $g : U \subseteq H^m \to g(U)$ una parametrizzazione locale di $x$ con
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$g(u) = x$. Poiché $x$ è un punto di $\partial M$,
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allora esiste una parametrizzazione locale $f : V \subseteq H^m \to f(V)$
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di $x$ tale per cui esiste $v \in \partial V = \partial H^m \cap V$ con
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$f(v) = x$. \smallskip
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Se $f = g$, la tesi è dimostrata. Se $f \neq g$ e per assurdo $u \notin \partial U$,
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allora la funzione di transizione $g\inv \circ f$ si restringerebbe a
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un diffeomorfismo tra un aperto di $\RR^m$ diffeomorfo a $\RR^m$ e
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un aperto di $H^m$ diffeomorfo a $H^m$. Tuttavia $\RR^m$ e
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$H^m$ non sono diffeomorfi, \Lightning. Dunque $u \in \partial U$.
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\end{proof}
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\begin{corollary}[Il bordo si trasporta naturalmente tramite parametrizzazione locale] \label{cor:bordo_param_locale}
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Sia $g : U \to g(U)$ una parametrizzazione locale di una $m$-varietà con bordo $M$. Allora:
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\[
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\boxed{g(\partial U) = g(U) \cap \partial M.}
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\]
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\end{corollary}
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\begin{proof}
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L'inclusione $g(\partial U) \subseteq g(U) \cap \partial M$ è ovvia.
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L'inclusione opposta invece è data dal Lemma \ref{lem:punti_di_bordo}.
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\end{proof}
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\begin{proposition} \label{prop:bordo_è_varietà}
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Sia $M$ una $m$-varietà con bordo. Allora $\partial M$ è
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una varietà senza bordo di dimensione $m-1$.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Sia $x \in \partial M$. Allora esiste una parametrizzazione locale
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$g : U \subseteq H^m \to M$ con $g(u) = x$ e $u \in \partial U = U \cap \partial H^m$. \smallskip
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La restrizione $\restr{g}{\partial U}$ è un diffeomorfismo (vd. Proposizione \ref{prop:comp_liscia}). Ricordiamo che
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$g(\partial U) = g(U) \cap \partial M$ dal Corollario \ref{cor:bordo_param_locale}. Allora, poiché
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$\partial H^m \cong \RR^{m-1}$, possiamo identificare
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$\partial U$ come aperto in $\RR^{m-1}$. Quindi
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$(\restr{g}{\partial U})\inv$ induce una carta locale per $\partial M$,
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e si conclude che $\partial M$ è una varietà di dimensione $m-1$. \smallskip
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\end{proof}
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\subsection{Differenziale e spazio tangente su varietà con bordo}
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\begin{remark}[Il differenziale sul bordo di $H^n$ è ben definito]
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ia $g : U \to \RR^k$ una mappa liscia da un aperto $U \subseteq H^n$.
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Supponiamo $\tilde{g}$ e $\hat{g}$ siano due estensioni di $g$ in
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un intorno aperto di $x \in U \cap \partial H^n$. Supponiamo a meno di restringimento
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che $\tilde{g}$ e $\hat{g}$ condividano lo stesso dominio. \smallskip
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Il differenziale $\dif \tilde{g}_x$ coincide allora con
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$\dif \hat{g}_x$. Sia infatti ${u_i}_{i \geq 0}$ è una successione
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in $H^n \setminus \partial H^n$ con $u_i \to x$. Poiché $\tilde{g}$
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e $\hat{g}$ sono lisce, il differenziale vara con continuità, ovverosia:
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\[
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\dif \tilde{g}_x = \lim_{i \to \infty} \dif \tilde{g}_{u_i} =
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\lim_{i \to \infty} \dif \hat{g}_{u_i} = \dif \hat{g}_x,
|
|
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\]
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dove si è usato che sugli $u_i$ i differenziali certamente coincidono,
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potendoci restringere a un aperto in $U$ non intersecante il bordo.
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\end{remark}
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\begin{definition}[Differenziale su $H^n$]
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Sia $g : U \to \RR^k$ una mappa liscia da un aperto $U \subseteq H^n$. \smallskip
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Per $x \in U \setminus \partial H^n$, il differenziale $\dif g_x$ è
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definito come l'usuale differenziale dato dalla restrizione di $g$ a un aperto
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di $\RR^n$. \smallskip
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Per $x \in U \cap \partial H^n$, il differenziale $\dif g_x$ è indotto dal
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differenziale di una qualsiasi estensione $\tilde{g}$ di $g$ in un intorno
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aperto di $x$, ovverosia:
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\[
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\boxed{\dif g_x \defeq \dif \hat{g}_x.}
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\]
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\end{definition}
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\begin{remark}
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Come nel caso di una parametrizzazione locale da un aperto di $\RR^n$,
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anche il differenziale di una parametrizzazione locale di una varietà con
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bordo è iniettiva per motivi analoghi.
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\end{remark}
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\begin{definition}[Spazio tangente per varietà con bordo]
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Sia $M \subseteq \RR^k$ una $m$-varietà con bordo. Sia
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$x$ un punto di $M$. Si definisce allora lo \textbf{spazio tangente
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di $x$ su $M$} come:
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\[
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\boxed{T_x M \defeq \dif g_u(\RR^m),}
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\]
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dove $g$ è una parametrizzazione locale di un intorno di $x$ in $M$
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con $g(u) = x$.
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\end{definition}
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\begin{remark}
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Come per il caso di una varietà senza bordo, si dimostra che il
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differenziale è ben definito. Valgono inoltre ancora le usuali
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proprietà del differenziale, inclusa la regola della composizione
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(\textit{chain rule}).
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\end{remark}
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\begin{remark}
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A partire da queste definizioni, si definiscono in modo analogo i
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concetti di punto regolare/critico e di valore regolare/critico. \smallskip
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Si generalizza facilmente in questo senso
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il Teorema di Sard (Teorema \ref{thm:sard}), così come quello di
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Brown (Corollario \ref{cor:brown}).
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\end{remark}
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\begin{remark}[$T_x \partial M$ è un iperpiano di $T_x M$]
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Sia $M$ una $m$-varietà con bordo. Grazie alla Proposizione \ref{prop:bordo_è_varietà}
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sappiamo che $\partial M$ è una $(m-1)$-varietà. \smallskip
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Consideriamo l'inclusione $\iota : \partial M \to M$. Chiaramente $\iota$ è una
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mappa liscia tra varietà con differenziale l'inclusione $T_x \partial M \hookrightarrow T_x M$.
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In particolare vale:
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\[
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\boxed{T_x \partial M \subseteq T_x M}
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\]
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per ogni punto $x \in \partial M$.
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\end{remark}
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\subsection{Varietà con bordo da valori regolari}
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\begin{theorem} \label{thm:varietà_bordata_da_valore_regolare_su_R}
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Sia $f : M \to \RR$ una mappa liscia tra varietà, dove $M$ è una $m$-varietà senza bordo. Se
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$0$ è un valore regolare per $f$, allora $\{ f \geq 0 \}$ è una
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$m$-varietà con bordo $f\inv(0) = \{f = 0\}$.
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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L'insieme $\{f > 0\}$ è un aperto di $M$ dal momento che $f$ è continua, e quindi
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eredita la struttura di varietà di $M$ (vd. Osservazione \ref{rmk:aperti_di_varietà_sono_varietà}).
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Dunque, conosciamo già le carte locali di un punto $x \in \{f > 0\}$. \smallskip
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Sia $x$ un punto di $\{f = 0\} = f\inv(0)$. Poiché $0$ è un valore regolare, $\dif f_x$ è
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surgettiva, e quindi $\dim \ker \dif f_x = m - 1$. Supponiamo che $k$ sia tale per cui $M \subseteq \RR^k$.
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Allora possiamo costruire un'applicazione lineare $L : \RR^k \to \RR^{m-1}$ tale per cui
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$\restr{L}{\ker \dif f_x}$ è un isomorfismo. \smallskip
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Consideriamo la mappa $F : M \to \RR^{m-1} \times \RR$ tale per cui:
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\[
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F(m) = (L(m), f(m)).
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\]
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Allora $F$ è una mappa liscia tra varietà, il cui differenziale in $x$ è un isomorfismo. Dunque, per il
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Teorema \ref{thm:invertibilità_locale_varietà}, esiste un intorno aperto $U$ di $x$ in $M$ per il quale
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$\restr{F}{U} : U \to V \defeq F(U)$ è un diffeomorfismo. \smallskip
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Tramite $\restr{F}{U}$ si induce allora un diffeomorfismo tra l'aperto $(\RR^{m-1} \times \RR_{\geq 0}) \cap V = H^m \cap V$
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di $H^m$ e l'aperto $F\inv(H^m \cap V) = \{ f > 0 \} \cap U$, tramite il quale il punto $x$ viene
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mappato su $\partial H^m \cap V$. Dunque $\{ f \geq 0 \}$ è una $m$-varietà con bordo $f\inv(0)$.
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\end{proof}
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\begin{remark}
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Chiaramente il Teorema \ref{thm:varietà_bordata_da_valore_regolare_su_R} si generalizza
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a qualsiasi insieme della forma $\{ f \operatorname{op} a \}$ con $\operatorname{op} \in \{\leq, \geq\}$
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e $a$ valore regolare di $f$.
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\end{remark}
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\begin{corollary}
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$D^n$ è una varietà $n$-dimensionale con bordo $S^{n-1}$.
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\end{corollary}
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\begin{proof}
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Sia $f : \RR^n \to \RR$ tale per cui:
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\[
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f(x) \defeq x \cdot x = x_1^2 + \ldots + x_{n}^2.
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\]
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Allora, come visto per il Corollario \ref{cor:sn_è_varietà},
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$1$ è valore regolare di $f$, e quindi $D^n = \{ f \leq 1 \}$ è
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una $n$-varietà con bordo $S^{n-1}$ per il Teorema \ref{thm:varietà_bordata_da_valore_regolare_su_R}.
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\end{proof}
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\begin{lemma} \label{lem:varietà_bordata_da_valore_regolare_caso_particolare}
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Sia $f : H^m \to \RR^n$ con $m > n$ una mappa liscia. \smallskip
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Se $y \in \RR^n$ è un valore regolare
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sia per $f$ che per $\restr{f}{\partial H^m}$ con $f\inv(y) \neq \emptyset$, allora $f\inv(y)$ è una $(m-n)$-varietà con bordo
|
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$\partial f\inv(y) = f\inv(y) \cap \partial H^m$.
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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Sia $x \in f\inv(y)$. Supponiamo valga $x \in \Int(H^m) = H^m \setminus \partial H^m$. Possiamo
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restringerci a un intorno aperto $U$ di $x$ in $\RR^m$, per il quale $\restr{f}{U}$ diventa una mappa tra
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varietà senza bordo. Allora $\restr{f}{U}\inv(y)$ è una $(m-n)$ varietà senza bordo per il
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Teorema \ref{thm:varietà_da_valore_regolare}. Quindi $x$ eredita da questa varietà le carte locali su $f\inv(y)$;
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inoltre $x$ \underline{non} potrà appartenere al bordo di $f\inv(y)$, essendo nell'immagine di una parametrizzazione
|
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di un aperto di $\RR^{m-n}$. \smallskip
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Supponiamo valga adesso $x \in \partial H^m$. Poiché $f$ è liscia, esistono un intorno aperto $W$
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di $x$ in $\RR^m$ e un'estensione liscia $F : W \to \RR^n$ per cui:
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\[
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\restr{F}{W \cap H^m} = \restr{f}{W \cap H^m}.
|
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\]
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Dal momento che $\dif F_x = \dif f_x$, e $x$ è un punto regolare per $f$, allora $\dif F_x$ è surgettiva,
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e $x$ è punto regolare anche per $F$. Dal momento che i punti regolari formano un aperto (vd. Osservazione
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\ref{rmk:punti_regolari_formano_aperto}), possiamo supporre, a meno di restringere $W$, che \underline{non}
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vi siano punti critici in $W$. Pertanto, $y$ sarà valore regolare per $F$ e $F\inv(y)$ è dunque una $(m-n)$-varietà
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senza bordo per il Teorema \ref{thm:varietà_da_valore_regolare}. \smallskip
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Sia $\pi : \RR^m \to \RR$ la proiezione tale per cui $x \mapsto x_m$. Allora $\pi$ è una mappa liscia. \smallskip
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Mostriamo che $0$ è un valore regolare per $\restr{\pi}{F\inv(y)}$. Osserviamo innanzitutto che:
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\[
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(\restr{\pi}{F\inv(y)})\inv(0) = F\inv(y) \cap \partial H^m \underbrace{=}_{\mathclap{(W \setminus H^m) \cap \partial H^m = \emptyset}} f\inv(y) \cap \partial H^m.
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\]
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Sia $y^* \in f\inv(y) \cap \partial H^m$. Osserviamo che:
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\begin{enumerate}[(i.)]
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\item $T_{y^*} F\inv(y) = \ker \dif F_{y^*} = \ker \dif f_{y^*}$ per la Proposizione \ref{prop:tangente_valore_regolare}, e questo spazio
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ha dimensione $m-n$.
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\item $T_{y^*} \partial H^m = \ker \dif \pi_{y^*}$ per la Proposizione \ref{prop:tangente_valore_regolare}.
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\item $\ker \dif (\restr{f}{\partial H^m})_{y^*} = \ker \restr{\dif f_{y^*}}{T_{y^*} \partial H^m}$ ha dimensione
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$m-n-1$ dal momento che $y$ è per ipotesi un valore regolare di $\restr{f}{\partial H^m}$, dove per l'uguaglianza
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dei due nuclei si è utilizzato che:
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\[
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\restr{f}{\partial H^m} = f \circ \iota^{\partial H^m},
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\]
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e successivamente la \textit{chain rule}.
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\item Grazie a (i.), (ii.) e (iii.), possiamo scrivere:
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\[
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\ker \dif (\restr{f}{\partial H^m})_{y^*} = T_{y^*} F\inv(y) \cap (\ker \dif \pi_{y^*}).
|
|
|
\]
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|
\end{enumerate}
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Osserviamo che $y^*$ è un punto critico per $\restr{\pi}{F\inv(y)}$ se e solo se $\dif (\restr{\pi}{F\inv(y)})_{y^*}$ è nullo,
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dacché $\pi$ è una mappa in una $1$-varietà.
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Questo accade se e solo se $T_{y^*} F\inv(y) \subseteq \ker \dif \pi_{y^*}$. Tuttavia, se vi fosse questa inclusione, si avrebbe per (iv.)
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$\ker \dif (\restr{f}{\partial H^m})_{y^*} = T_{y^*} F\inv(y)$, che è assurdo dal momento che il primo spazio ha dimensione $m-n-1$ per (iii.)
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e il secondo ha dimensione $m-n$ per (i.). Quindi $0$ è regolare per $\restr{\pi}{F\inv(0)}$. \smallskip
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Dal momento che $0$ è regolare per $\restr{\pi}{F\inv(0)}$, per il Teorema \ref{thm:varietà_bordata_da_valore_regolare_su_R}
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$\{\pi \geq 0\} = f\inv(y) \cap H^m$ è una $(m-n)$-varietà con bordo $\{\pi = 0\} = f\inv(y) \cap \partial H^m \ni x$.
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Quindi $x$ eredita da questa varietà le carte locali su $f\inv(y)$; inoltre $x$ appartiene al bordo di $f\inv(y)$,
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essendo immagine di un punto di bordo tramite una parametrizzazione locale.
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\end{proof}
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\begin{theorem} \label{thm:varietà_bordata_da_valore_regolare}
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Sia $f : M \to N$ una mappa liscia tra varietà, dove $M$ è una $m$-varietà con bordo $\partial M$ \underline{non} vuoto,
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|
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$N$ è una $n$-varietà senza bordo e $m > n$. \smallskip
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Se $y \in N$ è un valore regolare sia per $f$ che per $\restr{f}{\partial M}$ con $f\inv(y) \neq \emptyset$,
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allora $f\inv(y)$ è una $(m-n)$-varietà con bordo $\partial f\inv(y) = f\inv(y) \cap \partial M$.
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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Sia $g : U \subseteq H^m \to g(U) \subseteq M$ una parametrizzazione locale di $x \in f\inv(y)$
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con $g(u) = x$. Sia $h : V \subseteq \RR^n \to h(V) \subseteq N$ una parametrizzazione
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locale di $y$ con $g(v) = y$. \smallskip
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\[\begin{tikzcd}
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M && N \\
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\\
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U && V
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\arrow["f"{description}, from=1-1, to=1-3]
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\arrow["g", from=3-1, to=1-1]
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|
\arrow["{h\inv \circ f \circ g}"{description}, from=3-1, to=3-3]
|
|
|
\arrow["h", from=3-3, to=1-3]
|
|
|
\end{tikzcd}\]
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|
A meno di restringere i domini delle due mappe, possiamo considerare $p = h\inv \circ f \circ g$.
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Allora $v = h\inv(y)$ è regolare per la mappa $p$. Per possiamo
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restringerci a una palla aperta come intorno aperto di $u$ in $p\inv(v)$: se questa è diffeomorfa a $\RR^m$, una carta locale per $u$
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in $p\inv(v)$ è già data dal Teorema \ref{thm:varietà_da_valore_regolare}; se invece è diffeomorfa a
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$H^m$, la carta locale è ereditata tramite il Lemma \ref{lem:varietà_bordata_da_valore_regolare_caso_particolare}. \smallskip
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La carta locale trovata si trasferisce tramite $g$ al punto $x$ di $M$, e applicando il Corollario \ref{cor:bordo_param_locale}
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il bordo della varietà si trasferisce coerentemente a sua volta.
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\end{proof}
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\subsection{Classificazione delle \texorpdfstring{$1$}{1}-varietà, lemma di non retrazione sul bordo e teorema del punto fisso di Brouwer}
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\begin{theorem}[Classificazione delle $1$-varietà con bordo] \label{thm:classificazione_dim_1_generale}
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Una $1$-varietà con bordo è diffeomorfa a unioni disgiunte di copie di $S^1$ e
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di intervalli di $\RR$.
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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Si veda l'appendice di [Milnor, J. (1965). \textit{Topology from the Differentiable Viewpoint}. University Press of Virginia].
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\end{proof}
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\begin{corollary}[Classificazione delle $1$-varietà compatte con bordo] \label{cor:classificazione_dim_1}
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Una $1$-varietà compatta con bordo è necessariamente un'unione disgiunta e finita
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di copie di $S^1$ e di intervalli chiusi di $\RR$.
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\end{corollary}
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\begin{proof}
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Discende immediatamente dal Teorema \ref{thm:classificazione_dim_1_generale}
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utilizzando l'ipotesi di compattezza.
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\end{proof}
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\begin{corollary} \label{cor:punti_pari_su_1varietà}
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Una $1$-varietà compatta con bordo ha un numero pari di punti sul bordo
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\end{corollary}
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\begin{proof}
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Deriva immediatamente dal Corollario \ref{cor:classificazione_dim_1}, dal momento che
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il segmento chiuso ha due punti sul bordo e $S^1$ non ne ha nessuno.
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\end{proof}
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\begin{lemma}[di non retrazione sul bordo] \label{lem:non_retrazione}
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Sia $M$ una varietà compatta con bordo $\partial M \neq \emptyset$. Allora \underline{non}
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esistono mappe lisce $f$ da $M$ in $\partial M$ che fissano il bordo, ovverosia
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con $\restr{f}{\partial M} = \id_{\partial M}$.
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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Supponiamo esista una tale mappa $f$. Allora per il Teorema di Brown (Corollario \ref{cor:brown}, generalizzato alle varietà
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bordate), sappiamo che i valori regolari di $f$ sono densi in $\partial M$, e che in particolare
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esiste almeno un valore regolare. \smallskip
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Sia $y$ un
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tale valore regolare. Allora, poiché $\restr{f}{\partial M} = \id_{\partial M}$,
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$y$ è valore regolare anche per $\restr{f}{\partial M}$. \smallskip
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Pertanto, per il Teorema \ref{thm:varietà_bordata_da_valore_regolare}, $f\inv(y)$ è una
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$1$-varietà con bordo $f\inv(y) \cap \partial M$. Poiché $\{y\}$ è chiuso in $\partial M$
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(è T1), $f\inv(y)$ è un chiuso in un compatto, e dunque è una $1$-varietà compatta. \smallskip
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Osserviamo che il bordo di $f\inv(y)$ si semplifica a $\{y\}$ dacché $\restr{f}{\partial M} = \id_{\partial M}$. Tuttavia questo
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è un assurdo, dal momento che le $1$-varietà compatte con bordo finito hanno un numero pari di elementi sul
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bordo per il Corollario \ref{cor:punti_pari_su_1varietà}. Quindi $f$ \underline{non} può esistere.
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\end{proof}
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\begin{lemma} \label{lem:punto_fisso_cinf}
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Ogni mappa liscia $f : D^n \to D^n$ ammette almeno un punto fisso.
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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Supponiamo per assurdo che $f$ \underline{non} ammetta alcun punto fisso.
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Definiamo $u_x$ in modo tale che:
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\[
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u_x \defeq \frac{x - f(x)}{\norm{x - f(x)}}, \quad \forall x \in D^n.
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\]
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Poiché $f$ non ammette punti fissi, $u_x \neq 0$ per ogni $x \in D^n$. \smallskip
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Costruiamo $f : D^n \to S^{n-1}$ liscia tale per cui $f(x) = x + t u_x$ e
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$\restr{f}{S^{n-1}} = \id_{S^{n-1}}$. \smallskip
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Allora deve valere $\norm{f(x)}^2 = 1$, e quindi:
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\begin{equation*}
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\begin{aligned}
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t^2 + 2(x \cdot u_x) t + (\|x\|^2 - 1) = 0 \implies \\
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t_{\pm} = - x \cdot u_x \pm \sqrt{(x \cdot u_x)^2 - \|x\|^2 + 1}.
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\end{aligned}
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\end{equation*}
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Scegliamo $t \defeq t_+$. Affinché $f$ sia liscia, occorre che l'espressione
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$h(x) \defeq (x \cdot u_x)^2 - \|x\|^2 + 1$ dentro la radice quadrata in $t$ sia sempre maggiore di $0$. \smallskip
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Osserviamo che per $x \in D^n$ si ha $h(x) \geq (x \cdot u_x)^2 \geq 0$. Se allora $h(x) > (x \cdot u_x)^2$,
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$h(x)$ è maggiore strettamente di $0$. Se invece $h(x) = (x \cdot u_x)^2$, necessariamente $\norm{x}^2 = 1$,
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e quindi $x \in S^{n-1}$. Ma allora:
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\[
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x \cdot u_x = \frac{1 - x \cdot f(x)}{\norm{x - g(x)}}.
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\]
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Dal momento che $x$ non può essere un punto fisso di $f$, $x \cdot f(x)$ \underline{non} può essere uguale a $1$; quindi
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$x \cdot u_x > 0$ per $x \in S^{n-1}$. Si conclude allora che $h(x) > 0$ per ogni $x \in D^n$, e quindi $f$
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è una funzione liscia. \smallskip
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Si verifica facilmente che $\restr{f}{S^{n-1}} = \id_{S^{n-1}}$. Questo tuttavia è un assurdo
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per il Lemma \ref{lem:non_retrazione}, \Lightning. Quindi $f$ ammette almeno un punto fisso.
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\end{proof}
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\begin{theorem}[del punto fisso di Brouwer]
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Ogni mappa continua $f : D^n \to D^n$ ammette almeno un punto fisso.
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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Supponiamo per assurdo che $f$ \underline{non} ammetta alcun punto fisso. Poiché $D^n$
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è compatto, per il Teorema di approssimazione di Weierstrass, per ogni $\eps > 0$
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esiste una funzione polinomiale $P_\eps : \RR^n \to \RR^n$ tale per cui
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$\norm{P_\eps(x) - f(x)} < \eps$ per ogni $x \in D^n$. \smallskip
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Osserviamo che:
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\[
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\norm{P_\eps(x)} \leq \norm{P_\eps(x) - f(x)} + \norm{f(x)} < \eps + 1,
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\]
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quindi $Q_\eps \defeq \frac{1}{\eps + 1} P_\eps$ si restringe su $D^n$ a
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un'endofunzione $\restr{Q_\eps}{D^n} : D^n \to D^n$. \smallskip
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Dal momento che $f$ non ammette alcun punto fisso, $\mu \defeq \min_{x \in D^n} \norm{f(x) - x}$ è
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tale per cui $\mu > 0$. \smallskip
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Osserviamo che:
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\begin{equation*}
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\begin{aligned}
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\|Q_\eps(x) - f(x)\| & = \frac{1}{\eps + 1} (\|P_\eps(x) - f(x)\| + \eps \|f(x)\|) \\[0.1in]
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& \leq \frac{2 \eps}{\eps + 1}.
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\end{aligned}
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\end{equation*}
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Scegliendo allora $\eps$ tale per cui $\frac{2 \eps}{\eps + 1} < \mu$, $Q_\eps$ \underline{non} può ammettere
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punti fissi: un punto fisso violerebbe infatti la minimalità di $\mu$ secondo la scorsa disuguaglianza.
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Tuttavia $Q_\eps$ è una funzione liscia, e per il Lemma \ref{lem:punto_fisso_cinf} deve ammettere
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punti fissi, \Lightning. Dunque $f$ ammette almeno un punto fisso.
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\end{proof}
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\section{Teoria del grado modulo \texorpdfstring{$2$}{2}}
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\subsection{Omotopie \texorpdfstring{$C^\infty$}{C∞}}
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\begin{remark}[{$M \times [0,1]$} è una varietà con bordo] \label{rmk:m_01_varietà}
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Sia $M$ una $m$-varietà senza bordo. Allora, per la Proposizione \ref{prop:prodotto_varietà},
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$M \times \RR$ è una $(m+1)$-varietà senza bordo. \smallskip
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Consideriamo la mappa liscia $f : M \times \RR \to \RR$ tale per cui
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$f(x, t) = t(t-1)$. Allora per il Teorema \ref{thm:varietà_bordata_da_valore_regolare_su_R}
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$\{f \leq 0\} = M \times [0, 1]$ è una $(m+1)$-varietà con bordo
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$\{f = 0\} = M \times \{0\} \sqcup M \times \{1\}$.
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|
\end{remark}
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\begin{definition}[Omotopia $C^\infty$ e funzioni $C^\infty$-omotope]
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|
Siano $f$ e $g$ due funzioni da una varietà $M$ in una $N$.
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Un'\textbf{omotopia $C^\infty$} da $f$ a $g$ è una funzione liscia
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$H : M \times [0, 1] \to N$ tale per cui:
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\begin{itemize}
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\item $H(-, 0) = f$,
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\item $H(-, 1) = g$.
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\end{itemize}
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Definiamo inoltre:
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\[
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\boxed{H_t \defeq H(-, t).}
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\]
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|
Due funzioni $f$ e $g$ per le quali esiste un'omotopia
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da $f$ a $g$ si dicono \textbf{$C^\infty$-omotope}.
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|
\end{definition}
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|
\begin{remark}
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|
È immediato verificare che ``essere $C^\infty$-omotope'' è una
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|
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relazione di equivalenza per le funzioni lisce da $M$ a $N$.
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\end{remark}
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\begin{lemma}[di omotopia] \label{lem:omotopia}
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Siano $f$ e $g$ due funzioni $C^\infty$-omotope da una varietà $M$ in una $N$,
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|
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con $M$ compatta e $\dim M = \dim N$. Se
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$y \in N$ è un valore regolare sia per $f$ che per $g$, allora:
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\[
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\boxed{\abs{f\inv(y)} \equiv \abs{g\inv(y)} \pmod{2}.}
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\]
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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Sia $H$ una omotopia $C^\infty$ da $f$ a $g$. Allora, poiché $M$ è compatta,
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per il Lemma \ref{lem:pila}:
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\begin{itemize}
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\item esiste un intorno $V_1$ di $y \in N$ su cui $\abs{f\inv(-)}$ è costante;
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|
\item esiste un intorno $V_2$ di $y \in N$ su cui $\abs{g\inv(-)}$ è costante.
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|
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\end{itemize}
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|
È sufficiente allora mostrare la tesi per un qualsiasi valore $y' \in V_1 \cap V_2$;
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poiché i valori regolari sono densi per il Teorema di Brown (per le varietà, Corollario \ref{cor:brown}),
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possiamo prendere $y' \in V_1 \cap V_2$ valore regolare di $H$. \smallskip
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Allora $H\inv(y')$ è una varietà di dimensione $1$, il cui bordo ha un numero pari
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di punti per il Corollario \ref{cor:punti_pari_su_1varietà}. \smallskip
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Osserviamo che $\partial (M \times [0, 1]) = M \times \{0\} \sqcup M \times \{1\}$. Allora:
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\[
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\partial H\inv(y') = (f\inv(y') \times \{0\}) \sqcup (g\inv(y') \times \{1\}).
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\]
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Quindi:
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\[
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0 \equiv \abs{\partial H\inv(y')} \equiv \abs{f\inv(y)} + \abs{g\inv(y)} \pmod{2}.
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|
|
\]
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\end{proof}
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\subsection{Isotopie e lemma di omogeneità}
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\begin{definition}[Isotopia]
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Una omotopia $C^\infty$ $H : M \times [0, 1] \to N$ si dice
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\textbf{isotopia} se per ogni $t \in [0, 1]$, $H(-, t)$ è un
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|
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diffeomorfismo liscio.
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\end{definition}
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\begin{definition}[Isotopia a supporto compatto]
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Un'isotopia $H : N \times [0, 1] \to N$ si dice \textbf{a supporto compatto} se esiste
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un compatto $K \subseteq N$ tale per cui $\restr{H(-, t)}{N \setminus K} = \id_{N \setminus K}$
|
|
|
per ogni $t \in [0, 1]$.
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\end{definition}
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\begin{definition}[Punti isotopi di una varietà]
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Due punti $y$, $z \in N$, dove $N$ è una varietà, si dicono
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\textbf{isotopi} se esiste un diffeomorfismo $h : N \to N$
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con $h(y) = z$ e un'isotopia a supporto compatto da $h$ a
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$\id_{N}$.
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\end{definition}
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\begin{remark}
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È immediato osservare che la relazione ``essere isotopi'' sui punti di una varietà è una relazione di equivalenza.
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\end{remark}
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\begin{lemma} \label{lem:classi_equivalenza_aperte}
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Le classi di equivalenza della relazione ``essere isotopi'' sui
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punti di una varietà (senza bordo) $M$ sono aperti della varietà.
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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Sia $x$ un punto di $M$. Supponiamo $M$ sia una $(n+1)$-varietà.
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Usando le carte locali, eventualmente riparametrizzate
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per avere come immagine una palla di centro $0$, è sufficiente mostrare
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che per ogni $r$, esiste $0 < r_0 \leq r$ tale per cui
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tutti i punti di $B_{r_0}(0) \subseteq B_r(0) \subseteq \RR^{n+1}$ sono isotopi a $0$. \smallskip
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Possiamo ridurre il problema ulteriormente concentrandoci sui punti
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della forma $z = (a, 0, \ldots, 0)$ con $a < r_0$, dal momento che una rotazione
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permette poi di rendere isotopi tutti gli altri punti di $\partial B_a(0)$. Se
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infatti $H$ è un isotopia a supporto compatto che porta $z$ in $0$, allora:
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\[ H'(-, t) \defeq R_\theta\inv \circ H(-, t) \circ R_\theta \]
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è l'isotopia cercata, dove $R_\theta$ è l'opportuna rotazione scelta. \smallskip
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Siano $\rho : \RR \to [0, 1]$ e $\sigma : \RR^n \to [0, 1]$ due funzioni di test
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(\textit{bump function}) lisce con $\rho(0) = \sigma(0) = 1$ e:
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\[ \abs{x} > 1 \implies \rho(x) = 0, \quad \norm{y} > 1 \implies \sigma(y) = 0. \]
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Osserviamo che:
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\[
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\abs{x} > \eps \implies \rho\left(\frac{x}{\eps}\right) = 0, \quad \norm{y} > \delta \implies \sigma\left(\frac{y}{\delta}\right) = 0.
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|
\]
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Scelti allora $\eps$ e $\delta$ di modo che $\eps^2 + \delta^2 < r_0^2$, definiamo allora l'omotopia $C^\infty$ $H$ tale per cui:
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\begin{equation*}
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\begin{aligned}
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H : \overbrace{\mathbb{R} \times \mathbb{R}^n}^{\mathclap{\mathbb{R}^{n+1}}} \times [0, 1] & \to \overbrace{\mathbb{R} \times \mathbb{R}^n}^{\mathclap{\mathbb{R}^{n+1}}}, \\
|
|
|
H(x, y, t) & = \left(x + a t \rho\left(\frac{x}{\varepsilon}\right) \sigma\left(\frac{y}{\delta}\right), y\right).
|
|
|
\end{aligned}
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\end{equation*}
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Osserviamo subito che $H_0 = \id_N$, $H_1(0) = z$ e che $H_t$ fissa tutto ciò che è fuori
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da $B_{r_0}(0)$. Mostriamo che per $r_0$ sufficientemente piccolo $H_t$ è un diffeomorfismo. \smallskip
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Lo jacobiano di $H_t$ è il seguente:
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\[
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J H_t = \begin{pmatrix}
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1 + \frac{a t}{\varepsilon} \sigma\left(\frac{y}{\delta}\right) \rho'\left(\frac{x}{\varepsilon}\right) & \vline & * \\[0.06in]
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\hline
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0 & \vline & I_n
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|
\end{pmatrix}.
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|
\]
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|
Si verifica facilmente che si può scegliere $r_0$, e successivamente $\eps$ e $\delta$ in modo tale che:
|
|
|
\[
|
|
|
\abs{\frac{a t}{\varepsilon} \sigma\left(\frac{y}{\delta}\right) \rho'\left(\frac{x}{\varepsilon}\right)} < 1, \quad \forall a, x, y,
|
|
|
\]
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|
|
e conseguentemente $\det(J H_t) > 0$, da cui si deduce che $H_t$ è un diffeomorfismo locale. Analogamente, $H_t$ è
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|
|
bigettiva sulle rette $\{y = \text{cost.}\}$ dal momento che la derivata sulle rette è strettamente
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|
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positiva. Dunque $H_t$ è bigettiva e diffeomorfismo locale, e quindi è diffeomorfismo. \smallskip
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Si conclude che $H$ è l'isotopia cercata, e quindi ogni classe di isotopia è aperta.
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\end{proof}
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\begin{lemma}[di omogeneità] \label{lem:omogeneità}
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Sia $N$ una varietà connessa e siano $y$, $z$ due suoi punti. Allora
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$y$ e $z$ sono isotopi.
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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Poiché $N$ è connessa, per il Lemma \ref{lem:classi_equivalenza_aperte} esiste
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allora un'unica classe di equivalenza per la relazione ``essere isotopi'', da
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cui segue immediatamente la tesi.
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\end{proof}
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\subsection{Grado modulo \texorpdfstring{$2$}{2} e buona definizione}
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\begin{theorem}
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Siano $M$ e $N$ varietà della stessa dimensione. Sia $M$ chiusa (ovverosia
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anche compatta) e $N$ connessa. Siano $y$ e $z$ due valori regolari di una
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funzione $f : M \to N$ liscia. Allora:
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\[ \abs{f\inv(y)} \equiv \abs{f\inv(z)} \pmod{2}. \]
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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Poiché $N$ è connessa, per il Lemma \ref{lem:omogeneità} esiste un diffeomorfismo
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$h : N \to N$ con $h(y) = z$ e un'isotopia a supporto compatto
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$H : N \times [0, 1] \to N$ da $\id_N$ a $h$.
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\[\begin{tikzcd}
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{M \times [0, 1]} && {N \times [0, 1]} && N
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|
\arrow["{f \times \id_{[0, 1]}}", from=1-1, to=1-3]
|
|
|
\arrow["H", from=1-3, to=1-5]
|
|
|
\end{tikzcd}\]
|
|
|
Poiché $y$ è regolare per $f$ e $h$ è diffeomorfismo, si deduce che
|
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$z$ è regolare per $h \circ f$. Consideriamo l'omotopia
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$H' = H \circ (f \times \id_{[0,1]})$. Osserviamo che
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$H'_0 = f$ e che $H'_1 = h \circ f$.
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|
|
Quindi, per il Lemma \ref{lem:omotopia}, si conclude che:
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\[
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|
|
\abs{f\inv(z)} \equiv \abs{(h \circ f)\inv(z)} \equiv \abs{f\inv(y)} \pmod{2}.
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|
|
\]
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\end{proof}
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\begin{definition}[Grado modulo $2$ di una funzione liscia]
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Sia $f : M \to N$ una funzione liscia da una varietà compatta $M$
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a una di stessa dimensione e connessa $N$. Allora si definisce
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il \textbf{grado modulo $2$ di $f$} come:
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\[
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\boxed{\deg_2 f \defeq \abs{f\inv(y)} \bmod 2,}
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\]
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|
dove $y$ è un qualsiasi valore regolare di $f$.
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\end{definition}
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\begin{lemma} \label{lem:valori_regolari_aperto}
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Siano $M$ e $N$ varietà della stessa dimensione. Sia $M$ chiusa (ovverosia
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anche compatta)
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e $N$ connessa. Se $f : M \to N$ è liscia, allora i valori regolari di $f$
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formano un aperto di $N$.
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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Dall'Osservazione \ref{rmk:punti_regolari_formano_aperto} sappiamo che
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i punti regolari di $f$ formano un aperto di $M$; dunque i punti critici
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formano un chiuso di $M$. Dacché $M$ è compatta, in particolare i punti
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critici formano un compatto di $M$. Tramite $f$, si deduce che i valori
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critici formano un compatto di $N$, che, essendo $N$ T2, è dunque
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chiuso in $N$. Quindi i valori regolari formano un aperto.
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\end{proof}
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\begin{theorem} \label{thm:fondamentale_grado_2}
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Siano $M$ e $N$ varietà della stessa dimensione. Sia $M$ chiusa (ovverosia
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anche compatta)
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e $N$ connessa. Se $f$ e $g$ sono due mappe lisce $C^\infty$-omotope da $M$ in $N$,
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allora:
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\[
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\boxed{\deg_2 f = \deg_2 g.}
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\]
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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Per il Lemma \ref{lem:valori_regolari_aperto}, i valori regolari di $f$ formano un aperto in $N$. Allora, per il Teorema
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di Brown (per varietà, Corollario \ref{cor:brown}), esiste in questo
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aperto anche un valore regolare di $g$. Per il Lemma \ref{lem:omotopia},
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dunque $f$ e $g$ condividono lo stesso grado modulo $2$.
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\end{proof}
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\begin{corollary}
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La mappa costante $c_{x_0} : S^n \to S^n$ \underline{non} è
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$C^\infty$-omotopa a $\id_{S^n}$.
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\end{corollary}
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\begin{proof}
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Poiché $c_{x_0}$ non è surgettiva, $\deg_2 c_{x_0} = 0$ (ogni punto diverso da $x_0$ è
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valore regolare con controimmagine vuota); mentre
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$\deg_2 \id_{S^n} = 1$. Quindi per il Teorema \ref{thm:fondamentale_grado_2}
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le due mappe non possono essere $C^\infty$-omotope.
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\end{proof}
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\section{Varietà orientate}
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\subsection{Orientazione di basi su spazi vettoriali, orientazione canonica di \texorpdfstring{$\RR^n$}{ℝⁿ}}
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\begin{definition}[Stessa orientazione]
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Si dice che due basi (ordinate) $\basis$, $\basis'$ di un $\RR$-spazio vettoriale finito-dimensionale
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\textbf{hanno la stessa orientazione} se la matrice del cambio di base da $\basis$
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a $\basis'$ ha determinante positivo.
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\end{definition}
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\begin{remark}
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È immediato verificare che ``avere la stessa orientazione'' è
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una relazione d'equivalenza sulle basi dello spazio in esame
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avente solo due classi di equivalenza
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per le orientazioni.
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\end{remark}
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\begin{definition}[Orientazione]
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Definiamo \textbf{orientazione} una classe di equivalenza per la relazione
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``avere la stessa orientazione''. \smallskip
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Data un'orientazione $\Theta$ indichiamo con $-\Theta$ l'unica altra
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classe di equivalenza.
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\end{definition}
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\begin{definition}[Orientazione canonica]
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Si definisce l'\textbf{orientazione canonica} $\Theta_0$ di $\RR^n$
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come la classe di equivalenza indotta dall'orientazione della base
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canonica. \smallskip
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\end{definition}
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\begin{remark}
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Un isomorfismo $L : V \to V'$ induce una bigezione dalle orientazioni
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di $V$ a quelle di $V'$ tramite:
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\[
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[\basis] \mapsto [L(\basis)].
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\]
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Infatti la matrice di cambio di base è invariante per isomorfismo. \smallskip
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Indicheremo tale mappa con il simbolo dell'isomorfismo da cui è indotta.
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\end{remark}
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\begin{definition}[Segno di una base]
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Dato uno spazio vettoriale $V$ orientato con $\Theta$, si definisce
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il \textbf{segno} di una base $\basis$ come:
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\[
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\boxed{\sgn_\Theta(\basis) \defeq \begin{cases}
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+1 & \text{se } \basis \sim \Theta, \\
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-1 & \text{altrimenti}.
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\end{cases}}
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\]
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\end{definition}
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\subsection{Orientazione su prodotti di spazi vettoriali}
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\begin{definition}[Orientazione prodotto]
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Siano $V$ e $W$ due $\RR$-spazi vettoriali di dimensione finita.
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Se $\Theta^V$ è un'orientazione di $V$ e $\Theta^W$ lo è di $W$,
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allora si definisce l'\textbf{orientazione prodotto} $\Theta^V \times \Theta^W$ su
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$V \times W$ come l'orientazione indotta dalla giustapposizione di $\basis_V$ e $\basis_W$:
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\[ \boxed{\basis_V \sqcup \basis_W \defeq \basis_V \times \{0_W\} \cup \{0_V\} \times \basis_W,} \]
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dove $\basis_V$ e $\basis_W$ sono basi di $V$ e $W$ con
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$[\basis_V] = \Theta^V$ e $[\basis_W] = \Theta^W$.
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\end{definition}
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\begin{remark}[Regola dei segni per l'orientazione prodotto] \label{rmk:regola_segni}
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Siano $V$ e $W$ $\RR$-spazi orientati con $\Theta^V$ e $\Theta^W$.
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Siano $\basis_V$ e $\basis_W$ basi di $V$ e $W$. Sia $M_V$
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la matrice di cambio di base da una base positiva di $V$ a $\basis_V$. Sia
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|
$M_W$ l'analogo per $W$. \smallskip
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La matrice di cambio di base dalla giustapposizione delle basi positive alla giustapposizione di $\basis_V$
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|
e $\basis_W$ è esattamente:
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\[
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M = \begin{pmatrix}
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M_V & \vline & 0 \\
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\hline
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0 & \vline & M_W
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|
\end{pmatrix}.
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|
|
\]
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|
Quindi vale la seguente \textit{regola dei segni}:
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\[
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\boxed{\sgn_{\Theta^V \times \Theta^W}(\basis_V \sqcup \basis_W) = \sgn_{\Theta^V}(\basis_V) \sgn_{\Theta^W}(\basis_W).}
|
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|
\]
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\end{remark}
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\subsection{Orientazione su varietà e prime proprietà}
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\begin{definition}[$m$-varietà orientata, $m > 1$ o $\partial M = \emptyset$]
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Una \textbf{varietà orientata di dimensione $m$} (con $\underline{m>1}$ o $\underline{\partial M = \emptyset}$)
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è una coppia $(M, \Theta)$, dove $M$ è una $m$-varietà, eventualmente con bordo, e $\Theta = \{\Theta_x\}_{x \in M}$
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è una famiglia di orientazioni degli spazi tangenti dei punti di $M$ tale per cui:
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\begin{quote}
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Per ogni $x \in M$ esiste una parametrizzazione locale $g : U \subseteq \RR^m \to g(U) \subseteq M$ con
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$\dif g_u (\Theta_0) = \Theta_{g(U)}$ per ogni $u \in U$ (\textbf{condizione di compatibilità di $g$ con $\Theta$}).
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\end{quote}
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|
Una varietà $M$ per cui esiste una famiglia di orientazioni tali per cui $(M, \Theta)$ è orientata si
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dice \textbf{orientabile}.
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\end{definition}
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\begin{remark} \label{rmk:orientazione_opposta_1}
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Sia $(M, \Theta = \{ \Theta_x \}_{x \in M})$ una $m$-varietà orientata (con $\dim M > 1$ o $\partial M = \emptyset$).
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Allora si può definire l'\textbf{orientazione opposta} $-\Theta$:
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\[
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|
|
\boxed{-\Theta \defeq \{ -\Theta_x \}_{x \in M}.}
|
|
|
\]
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|
In effetti $(M, -\Theta)$ è orientata: presa una parametrizzazione locale $g$ compatibile con
|
|
|
$\Theta$, ristretta e traslata eventualmente a una palla di centro $0$, è sufficiente precomporla con una riflessione rispetto a un asse
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|
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della palla per ottenere una parametrizzazione locale compatibile con $-\Theta$. \smallskip
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\end{remark}
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Questo ragionamento \underline{non} è attuabile sul bordo di una $1$-varietà:
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su $H^1$ una riflessione come quella sopracitata non è possibile. Questo ci suggerisce
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di modificare la definizione per il caso delle $1$-varietà bordate:
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\begin{definition}[$1$-varietà compatta orientata bordata]
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|
Sia $M$ una $1$-varietà connessa compatta con bordo (questo succede, per il Corollario \ref{cor:classificazione_dim_1}, se e solo se $M \cong [0, 1]$).
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Allora un'orientazione su $M$ è per definizione una famiglia
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$\Theta = \{\dif \varphi_t(\Theta_0)\}_{t \in [0, 1]}$ dove
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$\varphi : [0, 1] \to M$ è un diffeomorfismo. \smallskip
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Se $M$ è sconnessa, un'orientazione è un'orientazione su ciascuna componente connessa.
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\end{definition}
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\begin{remark} \label{rmk:orientazione_opposta_2}
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Se $M$ è una $1$-varietà connessa compatta con bordo, e $\Theta = \{\dif \varphi_t(\Theta_0)\}_{t \in [0, 1]}$ è
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|
una sua orientazione, allora
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\[
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\boxed{-\Theta \defeq \{-\dif \varphi_t(\Theta_0)\}_{t \in [0, 1]}}
|
|
|
\]
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|
|
è una sua altra orientazione, indotta dalla precomposizione del diffeomorfismo $\varphi$ con
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|
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una riflessione di $[0, 1]$ (e.g., $\psi(x) = 1-x$).
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\end{remark}
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\begin{proposition}
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Una varietà orientata e connessa, eventualmente con bordo, ammette esattamente due orientazioni.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Poiché una varietà orientata ammette almeno due orientazioni (vd. Osservazione \ref{rmk:orientazione_opposta_1}
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e Osservazione \ref{rmk:orientazione_opposta_2}), per concludere la dimostrazione mostriamo che esistono al
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più due orientazioni. \smallskip
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Si fissi un'orientazione $\Theta$ per la varietà $M$. Sia $\Theta'$ un'altra orientazione.
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Dividiamo la dimostrazione in due casi:
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\begin{itemize}
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\item $\boxed{\dim M > 1 \text{ o } \partial M = \emptyset}$ Si definiscano i seguenti due insiemi:
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\begin{equation*}
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\begin{aligned}
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A & \defeq \{ x \in M \mid \Theta_x = \Theta'_x \}, \\[1ex]
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B & \defeq \{ x \in M \mid \Theta_x = -\Theta'_x \}.
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|
|
\end{aligned}
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\end{equation*}
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Osserviamo che $A$ e $B$ sono disgiunti, e che la loro unione è la varietà $M$. Poiché
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$M$ è connessa, mostrando che $A$ e $B$ sono aperti, necessariamente uno dei due deve essere
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vuoto, da cui la tesi. \smallskip
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Senza perdita di generalità, mostriamo solo che $A$ è aperto. Sia
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$g : U \to g(U)$ una parametrizzazione locale di $x$ compatibile con $\Theta$ e $g(u) = x$, e sia $h : V \to h(V)$
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una parametrizzazione compatibile con $\Theta'$ e $h(v) = x$. Assumiamo senza perdita di generalità che $g(U) = h(V)$.
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\[\begin{tikzcd}
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& M \\
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U && V
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\arrow["g", from=2-1, to=1-2]
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\arrow["h"', from=2-3, to=1-2]
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\arrow["{g\inv \circ h}", from=2-3, to=2-1]
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\end{tikzcd}\]
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Osserviamo che:
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\[
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\dif h_{v'} = \dif g_{g\inv(h(v'))} \circ \dif (g\inv \circ h)_{v'}.
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|
\]
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Poiché $g$ è compatibile con $\Theta$, si ha $\dif g(\Theta_0) = \Theta_x$, e così
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per $h$ si ha $\dif h_x(\Theta_0) = \Theta'_x$. Quindi, per la precedente equazione:
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\[
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\dif g_u(\Theta_0) = \dif h_v(\Theta_0) \implies \dif (g\inv \circ h)_v (\Theta_0) = \Theta_0.
|
|
|
\]
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|
|
Pertanto $\det(J(g\inv \circ h)_v) > 0$. Per continuità esiste allora un intorno $J$ di $v$ in cui:
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\[
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|
\det(J(g\inv \circ h)_{v'}) > 0, \quad \forall v' \in J.
|
|
|
\]
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|
Questo si traduce nell'avere $\Theta_{h(v')} = \Theta'_{h(v')}$ su tutto $J$, e quindi
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$h(J)$ è un aperto di $M$ contenente $x$ e contenuto in $A$; dunque $A$ è aperto.
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\item $\boxed{M \cong [0, 1]}$ Se $\varphi$ e $\psi$ sono due diffeomorfismi da $[0, 1]$ in $M$ che inducono
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$\Theta$ e $\Theta'$, allora $\varphi\inv \circ \psi$ è un diffeomorfismo da $[0, 1]$ in sé. In quanto
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|
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tale, la sua derivata è ovunque non nulla, e il suo segno determina se $\Theta'$ è $\Theta$ o $-\Theta$.
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\end{itemize}
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\end{proof}
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\begin{definition}[Base positiva o negativa per $T_x M$]
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Sia $(M, \Theta)$ una varietà orientata. Allora una base per $T_x M$ si dice
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\textbf{positiva} se è della stessa orientazione di $\Theta_x$; altrimenti
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si dice \textbf{negativa}.
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\end{definition}
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\begin{definition}[Varietà di orientazione opposta]
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Data $(M, \Theta)$ una varietà orientata, indichiamo con $-M$ la varietà
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$(M, -\Theta)$, dove $-\Theta$ è l'unica altra orientazione possibile.
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\end{definition}
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\begin{remark}
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Una varietà è sempre ``localmente orientabile'': è sufficiente
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prendere l'orientazione indotta da un'unica parametrizzazione locale.
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\end{remark}
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\subsection{Orientabilità di \texorpdfstring{$m$}{m}-varietà immerse in \texorpdfstring{$\RR^m$}{ℝᵐ}}
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\begin{proposition}[$m$-varietà immerse in $\RR^m$ sono orientabili] \label{prop:orientazione_immersa_Rm}
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Sia $M$ una $m$-varietà immersa in $\RR^m$. Allora
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$M$ è orientabile secondo l'orientazione canonica di $\RR^m$.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Sia $x \in M$. Osserviamo
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che deve valere necessariamente $T_x M = \RR^m$, dal momento che
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$T_x M$ è uno spazio vettoriale $m$-dimensionale immerso in $\RR^m$.
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Definiamo allora $\Theta_x \defeq \Theta_0$,
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dove $\Theta_0$ è l'orientazione canonica di $\RR^m$. \smallskip
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Se $g : U \subseteq H^m \to g(U)$ è una parametrizzazione locale di $x$, possiamo restringere e
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riparametrizzare $g$
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in modo tale che il suo dominio sia una semipalla di $\RR^m$. Se $\dif g_{-}$ preserva
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l'orientazione canonica, scegliamo $g$ come parametrizzazione locale compatibile
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per $\Theta \defeq \{\Theta_x\}_{x \in M}$. Altrimenti possiamo precomporre $g$
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con una riflessione rispetto all'asse della semipalla e ottenere una nuova parametrizzazione,
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stavolta compatibile. \smallskip
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Infatti, $g$ si estende a un diffeomorfismo tra aperti di $\RR^m$ e,
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per il Teorema della permanenza del segno, lo jacobiano deve essere localmente o positivo
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o negativo, e quindi $g$ preserva localmente l'orientazione.
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Dunque $M$ è orientabile secondo l'orientazione canonica di $\RR^m$.
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\end{proof}
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\subsection{Orientazione nel prodotto di due varietà orientate}
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\begin{definition}[Orientazione prodotto per varietà]
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Siano $(M, \Theta^M)$ e $(N, \Theta^N)$ due varietà orientate.
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Si definisce l'\textbf{orientazione prodotto} su $M \times N$
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come l'orientazione $\Theta^{M \times N}$ tale per cui:
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\[
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\boxed{\Theta_{(x, y)}^{M \times N} = \Theta_x^M \times \Theta_y^N, \quad \forall x \in M, y \in N}
|
|
|
\]
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|
|
dove $\Theta_x^M \times \Theta_y^N$ è l'orientazione prodotto su
|
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|
$T_{(x, y)} M \times N \cong T_x M \times T_y N$ indotta da
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$\Theta_x^M$ e $\Theta_y^N$. \smallskip
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|
Il prodotto di parametrizzazioni locali compatibili induce parametrizzazioni
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locali compatibili con l'orientazione prodotto appena definita.
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\end{definition}
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\subsection{Semispazio interno o esterno}
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\begin{remark}[Il semispazio interno è ben definito]
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L'orientazione locale di una $m$-varietà $M$ con bordo determina sempre la scelta di uno dei semispazi di
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$T_x M \setminus T_x \partial M$ per ogni $x$ sul bordo $\partial M$. \smallskip
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Se infatti $g : U \to g(U)$ è una parametrizzazione di un punto $x \in \partial M$ con $g(u) = x$,
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il semispazio scelto è proprio:
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\[ \dif g_u (H^m \setminus \partial H^m). \]
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Questo semispazio non dipende dalla parametrizzazione scelta. Se infatti $h : V \to h(V)$ è
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un'altra parametrizzazione con $h(v) = x$, a meno di restringere le mappe possiamo considerare
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la funzione di transizione $h\inv \circ g$. Osserviamo che:
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\[
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\dif g_u = \dif h_v \circ \dif (h\inv \circ g)_u.
|
|
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\]
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Mostrando allora che $\dif (h\inv \circ g)_u(H^m \setminus \partial H^m) = H^m \setminus \partial H^m$,
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otteniamo la tesi. \smallskip
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Osserviamo che $h\inv \circ g$ è una funzione da un aperto intersecante il bordo di $H^m$ in
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un altro aperto dello stesso tipo. Pertanto $\dif (h\inv \circ g) : \RR^{m-1} \times \RR \to \RR^{m-1} \times \RR$
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deve mandare lo spazio tangente $T_u \partial U = \partial H^m$ in $T_v \partial V = \partial H^m$, dal momento che $h\inv \circ g$
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si restringe a una parametrizzazione di $\partial V$ a partire da $\partial U$. \smallskip
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|
|
|
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Quindi $J(h\inv \circ g)_u$ deve essere della seguente forma:
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\[
|
|
|
J(h\inv \circ g)_u = \begin{pmatrix}
|
|
|
* & \vline & * \\
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|
|
\hline
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|
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0 & \vline & \lambda
|
|
|
\end{pmatrix}.
|
|
|
\]
|
|
|
Se $h\inv \circ g = (\Psi_1, \Psi_2)$, con $\Psi_1$ funzione a valori in $\RR^{m-1}$ e
|
|
|
$\Psi_2$ a valori in $\RR$, allora:
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|
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\[
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|
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\lambda = \pd{\Psi_2}{x_m}(u) = \lim_{\eps \to 0^+} \frac{\overbrace{\Psi_2(x + \eps x_m)}^{\mathclap{\geq \, 0}} - \overbrace{\Psi_2(x)}^{\mathclap{= \, 0}}}{\eps} \geq 0.
|
|
|
\]
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|
|
Inoltre, \underline{non} può valere $\lambda = 0$ dacché $J(h\inv \circ g)_u$ è invertibile.
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Quindi $\dif (h\inv \circ g)_u(H^m \setminus \partial H^m) = H^m \setminus \partial H^m$, da cui segue poi facilmente la tesi.
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\end{remark}
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|
\begin{definition}
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|
Data una $m$-varietà bordata $M$ e un punto $x$ appartenente al bordo
|
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|
$\partial M$, si definisce il \textbf{semispazio interno} riferito a
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$x$ come:
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\[
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\boxed{\dif g_u(H^m \setminus \partial H^m),}
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\]
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dove $g$ è una parametrizzazione locale di $x$ con $g(u) = x$. I suoi
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vettori sono detti \textbf{interni}. \smallskip
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Si dice \textbf{semispazio esterno} il semispazio complementare a quello
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interno rispetto al taglio dell'iperpiano $T_x \partial M$ in
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$T_x M$, e i suoi vettori sono detti \textbf{esterni}.
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\end{definition}
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\begin{lemma} \label{lem:0_interno_1_esterno}
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Sia $M \cong [0, 1]$. Si fissi un diffeomorfismo
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$\varphi : [0, 1] \to M$. Allora
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$\dif \varphi_0(1)$ è un vettore interno,
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mentre $\dif \varphi_1(1)$ è esterno.
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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Si fissi $\eps$ tale per cui $0 < \eps < 1$. Poniamo
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$I_0 = [0, \eps)$ e $I_1 = (\eps, 1]$.
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Osserviamo che $\restr{\varphi}{I_0}$ è una
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parametrizzazione locale di $\varphi(0)$, una
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volta identificato $I_1$ naturalmente con $H^1$.
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Allora $\dif \varphi_0(1)$ è interno dal momento
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che $\dif \varphi_0\inv(\dif \varphi_0(1)) = 1 > 0$. \smallskip
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Per quanto riguarda invece $\varphi(1)$, una parametrizzazione
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locale è data su $I_1$ con $H^1$
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secondo $\Psi(t) = \varphi(1-t)$. \smallskip
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Osserviamo che $\dif \Psi_0\inv (\dif \varphi_1(1)) = -1 < 0$, e dunque
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$\dif \varphi_1(1)$ è invece esterno.
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\end{proof}
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\subsection{Orientazione sul bordo della varietà}
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\begin{remark}[L'orientazione indotta sul bordo è ben definita -- \textit{esistenza}]
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Sia $x \in \partial M$ un punto della $m$-varietà orientata $(M, \Theta)$, con $m > 1$.
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Sia $g : U \subseteq H^m \to g(U)$ una parametrizzazione locale di $x$ con $g(u) = x$ che
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sia compatibile con l'orientazione $\Theta$. Allora:
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\begin{itemize}
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\item per definizione, $\dif g_u(-e_m)$ è
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un vettore \textit{esterno} per $x$;
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\item $\{\dif g_u(e_i)\}_{i=1 -- m-1}$ è una base
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di $T_x \partial M$, dacché $\restr{g}{\partial H^m}$
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si identifica come una parametrizzazione locale di $x$
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in $\partial M$;
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\item $\{\dif g_u(e_i)\}_{i=1 -- m}$ è una base positiva
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di $T_x M$, dacché $g$ è compatibile e $\{e_i\}_i$ ha
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l'orientazione canonica in $\RR^m$.
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\end{itemize}
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\end{remark}
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\begin{remark}[L'orientazione indotta sul bordo è ben definita -- \textit{unicità}]
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Sia $x \in \partial M$ un punto della $m$-varietà orientata $(M, \Theta)$, con $m > 1$.
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Sia $\{v_1, \ldots, v_n\}$ una base di $T_x M$ tale per cui
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$v_1$ un vettore \underline{esterno} per $x \in \partial M$ e
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$\{v_2, \ldots, v_n\}$ è base di $T_x \partial M$. \smallskip
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Sia $\{v_1', \ldots, v_n'\}$ un'altra tale base di $T_x M$.
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Sia $g : U \to g(U)$ una parametrizzazione locale di $x$ con
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$g(u) = x$. Allora $\dif g_u$ è un isomorfismo, e in quanto tale
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lascia invariate le relazioni di orientazioni delle basi di $T_u U = \RR^m$
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quando portate in $T_x M$. \smallskip
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Sia $w_i = \dif g_u\inv(v_i)$ e sia $w_i' = \dif g_u\inv(v_i')$. Dal momento
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che $v_1$ e $v_1'$ sono vettori esterni, si deve avere necessariamente
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$(w_1)_m$, $(w_1')_m < 0$. Dal momento che $\restr{g}{\partial H^m}$ si identifica
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naturalmente come una parametrizzazione locale di $x$ in $\partial M$, e che i $v_i$ e i $v_i'$ per $i > 1$ formano
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una base di $T_x \partial M$, si ha $(w_i)_m = (w_i')_m = 0$ per ogni $i > 1$. \smallskip
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Dunque la matrice di cambio di base da $\{v_1, \ldots, v_n\}$ a
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$\{v_1', \ldots, v_n'\}$ è della seguente forma:
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\[
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M = \begin{pmatrix}
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\lambda & \vline & 0 \\
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\hline
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* & \vline & A
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\end{pmatrix},
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\]
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dove $\lambda > 0$ affinché $w_1$ e $w_1'$ abbiano ancora lo stesso segno
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sull'ultima coordinata. Dal momento che $\{v_1, \ldots, v_n\}$ e
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$\{v_1', \ldots, v_n'\}$ sono basi positive di $T_x M$, allora hanno
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stesso orientazione, e quindi $\det(M) > 0$. Ne segue che $\det(A) > 0$. \smallskip
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Osserviamo che $A$ è proprio la matrice di cambio di base da $\{v_2, \ldots, v_n\}$ a
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$\{v_2', \ldots, v_n'\}$. Dunque queste due basi hanno stessa orientazione.
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\end{remark}
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\begin{remark}[L'orientazione indotta sul bordo è ben definita -- \textit{è effettivamente un'orientazione}]
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Sia $x \in \partial M$ un punto della $m$-varietà orientata $(M, \Theta)$, con $m > 1$.
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Denotiamo con $\Theta_x^{\partial M}$ l'orientazione indotta da $\{v_2, \ldots, v_n\}$
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su $T_x \partial M$ da una base positiva $\{v_1, v_2, \ldots, v_n\}$ di $T_x M$
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con $v_1$ \underline{esterno} e $\{v_2, \ldots, v_n\}$ base di $T_x \partial M$. \smallskip
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Definiamo:
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\[ \Theta^{\partial M} \defeq \{ \Theta_x^{\partial M} \}_{x \in \partial M}. \]
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Data $g : U \subseteq H^m \to g(U) \subseteq M$ parametrizzazione locale
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compatibile di
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$x \in \partial M$ in $M$, $\restr{g}{\partial U}$, identificata come parametrizzazione da $\RR^{m-1}$,
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è compatibile rispetto a $\Theta^{\partial M}$, a meno di restringimento del dominio a una palla
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con conseguente riflessione rispetto a un asse. \smallskip
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Si può infatti estendere in tal caso la base canonica di $\RR^{m-1} \cong \partial H^m$ a una base di $\RR^m$ con l'aggiunta di
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un vettore la cui immagine tramite $\dif g_{-}$ risulta essere sempre esterna. Quindi
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$\Theta^{\partial M}$ è un'orientazione per $\partial M$.
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\end{remark}
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\begin{definition}[Orientazione indotta sul bordo]
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Sia $(M, \Theta)$ una $m$-varietà bordata e orientata con $m > 1$. Per $x \in \partial M$ denotiamo con
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$\Theta_x^{\partial M}$ l'orientazione indotta da $\{v_2, \ldots, v_n\}$ su $T_x \partial M$ da una base positiva $\{v_1, v_2, \ldots, v_n\}$ di $T_x M$
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con $v_1$ \underline{esterno} e $\{v_2, \ldots, v_n\}$ base di $T_x \partial M$. \smallskip
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Si definisce allora $\Theta^{\partial M} = \{ \Theta_x^{\partial M} \}_{x \in \partial M}$ come
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l'\textbf{orientazione indotta sul bordo} (o \textit{orientazione di bordo}) per $\partial M$.
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Per $M \cong [0, 1]$ orientata tramite un diffeomorfismo $\varphi : [0, 1] \to M$, si associa
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$-1$ a $\varphi(0)$ e $+1$ a $\varphi(1)$.
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\end{definition}
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\begin{corollary} \label{cor:bordo_orientabile_immersa_Rm}
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Sia $M$ una $m$-varietà orientabile immersa in $\RR^m$. Allora
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$\partial M$ è orientabile con l'orientazione indotta sul bordo dall'orientazione
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canonica di $\RR^m$.
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\end{corollary}
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\begin{proof}
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Segue immediatamente dalla Proposizione \ref{prop:orientazione_immersa_Rm}.
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\end{proof}
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\begin{corollary}
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$S^n$ è orientabile per ogni $n$.
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\end{corollary}
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\begin{proof}
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Segue immediatamente dal Corollario \ref{cor:bordo_orientabile_immersa_Rm},
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dacché $S^n = \partial D^{n+1}$ e $D^{n+1}$ è una $(n+1)$-varietà immersa
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in $\RR^{n+1}$.
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\end{proof}
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\section{Teoria del grado su \texorpdfstring{$\ZZ$}{ℤ}}
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\subsection{Grado intero rispetto a un valore regolare}
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\begin{definition}[Segno di un differenziale in un punto]
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Sia $M$ una varietà orientata con $\Theta^M$ e $N$ orientata
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con $\Theta^N$ e $\dim M = \dim N$. Se $f : M \to N$ è una mappa liscia, si definisce
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il \textbf{segno di $\dif f_x$} per un punto regolare $x \in M$ come:
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\[
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\boxed{\sgn(\dif f_x) = \begin{cases}
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+1 & \text{se } \dif f_x(\Theta^M) = \Theta^N, \\
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-1 & \text{se } \dif f_x(\Theta^M) = -\Theta^N.
|
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\end{cases}}
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\]
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\end{definition}
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\begin{definition}[Grado intero di un valore regolare]
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Sia $M$ una varietà chiusa e sia $N$ una varietà connessa con $\partial N = \emptyset$
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e $\dim M = \dim N$. Sia $M$ orientata con $\Theta^M$ e sia $N$ orientata con $\Theta^N$. \smallskip
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Se $y \in N$ è regolare per $f : M \to N$ liscia, si definisce il \textbf{grado di $f$ rispetto a $y$} come:
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\[
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\boxed{\deg(f; y) \defeq \sum_{x \in f\inv(y)} \sgn(\dif f_x).}
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|
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\]
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\end{definition}
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\begin{remark}[Il grado intero è localmente costante] \label{rmk:grado_loc_costante}
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Se $y \in N$ è regolare, possiamo scegliere per il Lemma \ref{lem:pila} un intorno $I_1$
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sul quale $\abs{f\inv(-)}$ è costante. \smallskip
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Inoltre, per il Teorema della permanenza del
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segno applicato sul determinante dello jacobiano di $h\inv \circ f \circ g$, dove
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$g : U \to g(U)$ parametrizza localmente $x \in f\inv(y)$ e $h : V \to h(V)$
|
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un intorno di $y$, esiste un intorno $I_2$ di $y$ sul quale le orientazioni sono
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preservate allo stesso modo in cui lo sono preservate dalle controimmagini di $y$. \smallskip
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Poiché i valori regolari sono aperti (vd. Lemma \ref{lem:valori_regolari_aperto}),
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possiamo allora prendere un intorno aperto di valori regolari
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in $I_1 \cap I_2$ entro cui $\deg(f; -)$ è costante; quindi il grado intero è \textit{localmente}
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costante.
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\end{remark}
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\subsection{Grado di una mappa estendibile dal bordo}
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\begin{lemma}[Il grado di una mappa estendibile dal bordo è nullo] \label{lem:grado_mappa_estendibile}
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Sia $X$ una varietà compatta e orientata con bordo non nullo. Sia $N$
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una varietà connessa, orientata, senza bordo e con $\dim X = \dim N + 1$.
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Sia $F : X \to N$ una mappa liscia. \smallskip
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Se $y \in N$ è un valore regolare per $f \defeq \restr{F}{\partial X}$, allora
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$\deg(f; y) = 0$.
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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Denotiamo con $n$ la dimensione di $X$. \smallskip
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Grazie all'Osservazione \ref{rmk:grado_loc_costante}, sappiamo che esiste un intorno
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di $y$ fatto di valori regolari di $f$ su cui $\deg(f; -)$ è costante. Possiamo prendere allora in questo intorno,
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per il Teorema di Brown (per varietà, Corollario \ref{cor:brown}), un valore regolare
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$z$ di $F$. Per definizione, $z$ è valore regolare sia di $F$ che di $f$; mostrando che
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$\deg(f; z) = 0$, mostriamo dunque anche che $\deg(f; y) = 0$, per costruzione. \smallskip
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Per il Teorema \ref{thm:varietà_bordata_da_valore_regolare}, allora $F\inv(z)$ è una $1$-varietà
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compatta e chiusa topologicamente con bordo $F\inv(z) \cap \partial M = f\inv(z)$. Per il
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Corollario \ref{cor:classificazione_dim_1}, $F\inv(z)$ è unione di archi (con $2$ punti sul bordo ciascuno)
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e cerchi (che non hanno bordo). Per mostrare la tesi è sufficiente mostrare che per ogni arco
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i punti di bordo abbiano segno opposto sul differenziale, in modo tale che la somma complessiva dei
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segni sia ancora nulla. \smallskip
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Sia $A \subseteq F\inv(z) \subseteq X$ un tale arco. Fissiamo un diffeomorfismo $\varphi : [0, 1] \to A$.
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Poniamo $v_1(t) \defeq \dif \varphi_t (1)$. Allora vale:
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\[
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T_{\varphi(t)} X = \underbrace{T_{\varphi(t)} A}_{\mathclap{=\, \Span(v_1(t))}} \oplus (T_{\varphi(t)} A)^\perp,
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\]
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dove ricordiamo che, per una generalizzazione della Proposizione \ref{prop:tangente_valore_regolare},
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$\restr{\dif F_{\varphi(t)}}{(T_{\varphi(t)} A)^\perp} : (T_{\varphi(t)} A)^\perp \to T_z N$ è un isomorfismo. \smallskip
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Fissiamo una base positiva $\{w_2, \ldots, w_n\}$ di $T_y N$. Possiamo allora porre:
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\[
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v_i(t) = \restr{\dif F_{\varphi(t)}}{(T_{\varphi(t)} A)^\perp}\inv(w_i), \quad i = 2, \ldots, n.
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\]
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Poiché $v_1(t)$ è ortogonale agli altri $v_i(t)$, $\{v_i(t)\}_i$ è una base
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di $T_{\varphi(t)} X$. \smallskip
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Se poniamo $A \defeq \{t \mid \{v_i(t)\}_i \text{ positiva}\} \subseteq [0, 1]$,
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allora $A$ è un aperto di $[0, 1]$. Infatti, per il Teorema della permanenza del segno applicato
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allo jacobiano di una parametrizzazione locale, in un
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intorno di $t_0$ si mantiene la stessa orientazione.
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Analogamente anche il complementare
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di $A$ è aperto. Dacché $[0, 1]$ è connesso, allora uno tra $A$ e il suo complementare è vuoto: in altre
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parole $\{v_i(t)\}_i$ è sempre positiva per ogni $t \in [0, 1]$, o altrimenti è sempre negativa. \smallskip
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A meno di invertire l'orientazione di $\varphi$ usando al suo posto $\varphi(1 - t)$, possiamo
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assumere che $\basis(t) \defeq \{v_i(t)\}_i$ sia sempre positiva. \smallskip
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Mostriamo che $\sgn(\dif f_{\varphi(0)}) = -1$. Sia $\basis' \defeq \{v_1(0), v_2'(0), \ldots, v_n'(0)\}$
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una base di $T_{\varphi(0)} \partial X$ tale per cui $\{ \dif F_{\varphi(0)} (v_i'(0)) \}_{i \geq 2} $ è
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una base positiva di $T_z N$. Se mostriamo che $\basis$ e $\basis'$ hanno la stessa orientazione,
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dal momento che $\basis$ è positiva e $v_1(0)$ è \underline{interno} per il Lemma \ref{lem:0_interno_1_esterno},
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si deduce dalla definizione di orientazione di bordo che
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$\{ v_2'(0), \ldots, v_n'(0)\}$ è negativa; in particolare $\dif f_{\varphi(0)}$ invertirebbe l'orientazione,
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e quindi avrebbe segno $-1$. \smallskip
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Consideriamo la matrice di cambio di base da $\basis$ a $\basis'$, della seguente forma:
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\[
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M \defeq \begin{pmatrix}
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1 & \vline & * \\
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\hline
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0 & \vline & B
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\end{pmatrix}.
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|
\]
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Osserviamo che $B$ è la matrice di cambio di base da $\{ \dif F_{\varphi(0)} (v_i(0)) \}_{i \geq 2}$ a $\{ \dif F_{\varphi(0)} (v_i'(0)) \}_{i \geq 2}$.
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|
Per costruzione, queste tali basi hanno la stessa orientazione; dunque
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$\det(B) > 0$, da cui si deduce che $\det(M) > 0$, e quindi che $\basis$ e
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$\basis'$ hanno effettivamente la stessa orientazione. \smallskip
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Per $\varphi(1)$ il ragionamento è del tutto analogo, ma essendo $v_1(1)$ \underline{esterno} per
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il Lemma \ref{lem:0_interno_1_esterno}, il segno sarà invece $+1$. Questo conclude la dimostrazione
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per le osservazioni fatte in precedenza.
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\end{proof}
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\subsection{Passaggio per omotopia e buona definizione del grado intero di una mappa}
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\begin{lemma}[di omotopia, per il grado intero] \label{lem:omotopia_intero}
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Siano $M$ e $N$ due varietà orientate con $M$ chiusa e $\dim M = \dim N$.
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Sia $F : M \times [0, 1] \to N$ un'omotopia $C^\infty$ con $f \defeq F_0$
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e $g \defeq F_1$. Se $y \in N$ è un valore regolare comune a $f$ e $g$,
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allora:
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\[ \boxed{\deg(f; y) = \deg(g; y).} \]
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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Dal momento che $M \times [0, 1]$ è un prodotto, allora acquisisce l'orientazione
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prodotto di quella di $M$ con quella canonica di $[0, 1]$. Grazie
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all'Osservazione \ref{rmk:grado_loc_costante} e al Teorema di Brown (per varietà, Corollario \ref{cor:brown}),
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possiamo assumere senza perdita di generalità che $y$ sia un valore regolare anche di $F$. \smallskip
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Sia $\basis_x$ una base positiva di $T_x M$ per $x \in M$. Allora,
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per l'Osservazione \ref{rmk:regola_segni} la base $\basis_x \cup \{1\}$
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è positiva per $T_{(x, t)} M \times [0, 1] \cong T_x M \times T_t [0, 1]$. \smallskip
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Ricordiamo che il bordo di $M \times [0, 1]$ è $M \times \{0\} \sqcup M \times \{1\}$
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per \ref{rmk:m_01_varietà}. Studiamo l'orientazione indotta su tale bordo.
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Poiché $(0, 1) \in T_{(x, 0)} M \times [0, 1]$ è interno per il Lemma \ref{lem:0_interno_1_esterno},
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$\{-\basis_x\} \cup \{-1\}$ è positiva per $(x, 0)$, e quindi $\basis_x$ è una base negativa di $(x, 0)$ sul
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bordo. Dunque $M \times \{0\} \cong M$ è orientata come $-M$. Analogamente, $(0, 1) \in T_{(x, 1)} M \times [0, 1]$ è
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esterno, quindi $M \times \{1\} \cong M$ è orientata come $M$. \smallskip
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Allora, per il Lemma \ref{lem:grado_mappa_estendibile}, si ha:
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\[
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\deg(g; y) - \deg(f; y) = \deg(\restr{F}{\partial(M \times [0, 1])}; y) = 0,
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\]
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da cui la tesi.
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\end{proof}
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\begin{theorem}[Il grado intero è ben definito] \label{thm:grado_intero_ben_definito}
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Siano $M$ e $N$ varietà con $M$ chiusa, $N$ connessa e $\dim M = \dim N$. Se
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$f : M \to N$ è liscia e $y$, $z \in N$ sono suoi valori regolari, allora:
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\[
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\boxed{\deg(f; y) = \deg(f; z).}
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\]
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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Per il Lemma \ref{lem:omogeneità}, esiste un diffeomorfismo $h : N \to N$
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con $h(y) = z$ isotopo all'identità $\id_N$. Sia $H : N \times [0, 1] \to N$
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una tale isotopia. \smallskip
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Consideriamo la mappa $f(t) = \sgn(\dif (H_t)_y (\Theta^N_y))$. Poiché
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$H_1 = \id_N$, si ha chiaramente $f(1) = 1$. Inoltre $f$ è continua e localmente
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costante, utilizzando l'usuale argomento sulla permanenza del segno
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sul determinante dello jacobiano, una volta scelta una parametrizzazione locale.
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Dunque, poiché $[0, 1]$ è connesso, $f$ deve essere costantemente uguale a $1$.
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Quindi $\dif (H_t)_y (\Theta^N_y) = \Theta^N_{H_t(y)}$ per ogni $t \in [0, 1]$. \smallskip
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Segue quindi che $\dif h_y (\Theta^N_y) = \Theta^N_z$, da cui per la regola della catena:
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\[
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\deg(h \circ f; z) = \deg(f; y).
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\]
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D'altra parte $h \circ f$ e $f$ sono $C^\infty$-omotope tramite $H \circ (f \times \id_{0, 1})$,
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e quindi, per il Lemma \ref{lem:omotopia_intero}:
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\[
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\deg(f; y) = \deg(h \circ f; z) = \deg(f; z).
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\]
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\end{proof}
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\begin{definition}[Grado intero di una mappa liscia]
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Sia $M$ una varietà chiusa e sia $N$ una varietà connessa.
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Siano $M$ e $N$ della stessa dimensione e orientate. Se
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$f : M \to N$ è una mappa liscia, si definisce il suo
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\textbf{grado intero} come:
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\[
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\boxed{\deg(f) \defeq \deg(f; y),}
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\]
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dove $y$ è un valore regolare qualsiasi di $f$.
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\end{definition}
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\begin{theorem} \label{thm:fondamentale_grado_intero}
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Sia $M$ una varietà chiusa e sia $N$ una varietà connessa.
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Siano $M$ e $N$ della stessa dimensione e orientate.
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Se $f$ e $g$ sono due mappe lisce $C^\infty$-omotope da $M$ in $N$,
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allora:
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\[
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\boxed{\deg(f) = \deg(g).}
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\]
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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Per il Lemma \ref{lem:valori_regolari_aperto}, i valori regolari di $f$ formano un aperto in $N$. Allora, per il Teorema
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di Brown (per varietà, Corollario \ref{cor:brown}), esiste in questo
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aperto anche un valore regolare di $g$. Per il Lemma \ref{lem:omotopia_intero},
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dunque $f$ e $g$ condividono lo stesso grado intero.
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\end{proof}
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\begin{corollary}
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Sia $M$ una varietà chiusa e connessa. Se $f : M \to M$
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è un diffeomorfismo di grado $\deg(f) = -1$, allora
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$f$ non è omotopa all'identità $\id_M$, né a una mappa costante $c_x$ per
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$x \in M$.
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\end{corollary}
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\begin{proof}
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La tesi è un'immediata conseguenza del Teorema \ref{thm:fondamentale_grado_intero},
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dal momento che $\deg(\id_M) = 1$ e $\deg(c_x) = 0$ (infatti $c_x$ non è surgettiva).
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\end{proof}
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\begin{proposition}[Il grado è moltiplicativo] \label{prop:grado_moltiplicativo}
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Sia $M$ una varietà orientata, chiusa e connessa. Se $f$ e $g$ sono due
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mappe lisce da $M$ in sé stessa, allora:
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\[
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\boxed{\deg(f \circ g) = \deg(f) \deg(g).}
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|
|
\]
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Sia $z$ un valore regolare di $f \circ g$. Sia $x \in (f \circ g)\inv(z)$.
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Allora, per la regola della catena:
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\[
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\dif (f \circ g)_x = \dif f_{g(x)} \circ \dif g_x.
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|
\]
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Dal momento che $z$ è regolare, $x$ è un punto regolare e dunque
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$\dif (f \circ g)_x$ è un isomorfismo. Dunque necessariamente
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$\dif f_{g(x)}$ e $\dif g_x$ sono isomorfismi, ovverosia
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|
$x$ è regolare anche per $g$, mentre $g(x)$ lo è per $f$. \smallskip
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Sia $f\inv(z) = \{y_1, \ldots, y_n\}$.
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Da quanto appena visto, ogni $y_i$ è valore regolare.
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Allora:
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\[
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g\inv(f\inv(z)) = \bigsqcup_{i = 1}^n g\inv(y_i).
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\]
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Allora, sfruttando anche l'Osservazione \ref{rmk:regola_segni}:
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\[
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\deg(f \circ g) = \sum_{x \in g\inv(f\inv(z))} \sgn(\dif f_{g(x)}) \sgn(\dif g_x).
|
|
|
\]
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Raccogliendo i termini utilizzando $f\inv(z)$ si ottiene dunque, anche usando il Teorema \ref{thm:grado_intero_ben_definito}:
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\[
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\deg(f \circ g) = \sum_{y_i \in f\inv(y_i)} \sgn(\dif f_{y_i}) \deg(g) = \deg(f) \deg(g).
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|
\]
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\end{proof}
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\subsection{Grado di \texorpdfstring{$z^k$}{zᵏ}, delle riflessioni e della mappa antipodale su \texorpdfstring{$S^1$}{S¹}}
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\begin{lemma} \label{lem:grado_zk}
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Sia $f_k : S^1 \to S^1$ tale per cui:
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\[
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f_k(z) = z^k \in \CC,
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\]
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dove si è identificato $S^1 \subseteq \RR^2$ in $\CC$.
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Allora $1$ è un valore regolare di $f_k$ e $\deg(f_k) = k$. \smallskip
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Quindi, per $k \neq 0$, $f_k$ \underline{non} può estendersi a una mappa
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liscia da $D^2$ a $S^1$.
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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Consideriamo l'elemento $1 \in S^1$. Osserviamo che
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$f_k\inv(1)$ è l'insieme delle radici $k$-esime dell'unità,
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e quindi contiene esattamente $k$ elementi (a meno del segno). \smallskip
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|
La funzione $f_k$ si estende a $F_k(z) = z^k$ su tutto $\CC$. Osserviamo
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che $T_1 S^1 = \Span(i)$. Per determinare allora il segno di $\dif (f_k)_1$ è
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sufficiente considerare la seguente derivata:
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\[
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\dif (f_k)_1 (i) = \dertime{e^{i t k}}{t=0} = k i.
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\]
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Dunque $\dif (f_k)_1$ è un isomorfismo per $k \neq 0$, e preserva l'orientazione
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se $k > 0$, mentre non la preserva se $k < 0$. \smallskip
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Sia ora $\xi = e^{i \theta_0} \in f_k\inv(1)$. Consideriamo il diffeomorfismo $h_\xi : S^1 \to S^1$ tale
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per cui:
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\[
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h_\xi(z) = \xi \cdot z,
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\]
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ovverosia la rotazione indotta da $\xi$. Si verifica facilmente che:
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\[
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H : S^1 \times [0, 1] \to S^1, \quad H(z, t) = e^{i \theta_0 t} z
|
|
|
\]
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|
|
è un'omotopia liscia da $\id_{S^1}$ a $h_\xi$. Dunque $\deg(h_\xi; 1) = \deg(\id_{S^1}; 1) = 1$. \smallskip
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Osserviamo che $f_k = f_k \circ h_\xi$. Quindi:
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\[
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\dif (f_k)_1 = \dif (f_k \circ h_\xi)_1 = \dif (f_k)_\xi \circ \dif (h_\xi)_1 = \dif (f_k)_\xi \circ h_\xi.
|
|
|
\]
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|
|
Dal momento che $h_\xi$ è invertibile, si deduce che $\dif (f_k)_\xi$ è sempre un isomorfismo, e
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|
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dunque che $1$ è un valore regolare. Inoltre, dalla stessa uguaglianza si deduce per la
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moltiplicatività del segno dei differenziali che $\sgn(\dif (f_k)_1) = \sgn(\dif (f_k)_\xi)$. \smallskip
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|
Si conclude facilmente allora che $\deg(f) = \deg(f; 1) = k$. L'ultima affermazione è conseguenza
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del Lemma \ref{lem:grado_mappa_estendibile}.
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\end{proof}
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\begin{remark}[Un diffeomorfismo ha grado $1$ o $-1$] \label{rmk:grado_diffeomorfismo}
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Per un diffeomorfismo $f : M \to M$ su $M$ chiusa e connessa,
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possono esistere solo due gradi, $+1$ o $-1$, dacché l'insieme
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controimmagine di un valore regolare contiene un singolo elemento. \smallskip
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In particolare, $\deg(f) = 1$ se e solo se per un elemento $x \in M$, $\dif f_x$
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preserva l'orientazione.
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\end{remark}
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\begin{lemma} \label{lem:grado_riflessione}
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Sia $r_i : S^n \to S_n$ la riflessione tale per cui:
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\[
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r_i(x_1, \ldots, x_i, \ldots, x_{n+1}) \defeq (\underbrace{x_1, \ldots}_{\textnormal{invariati}}, -x_i, \underbrace{\ldots, x_{n+1}}_{\textnormal{invariati}}).
|
|
|
\]
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Allora $\deg(r_i) = -1$.
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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Per l'Osservazione \ref{rmk:grado_diffeomorfismo} è sufficiente studiare $\dif (r_i)_{e_i}$.
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Per il Corollario \ref{cor:sn_è_varietà},
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si ha:
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\[
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T_{e_i} S^n = e_i^\perp = T_{-e_i} S^n.
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\]
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$r_i$ si estende con la stessa formula a un diffeomorfismo $\tilde{r_i}$ su $D^{n+1}$. Poiché
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$\tilde{r_i}$ è lineare e $T_{e_i} D^{n+1} = \RR^{n+1}$, si ha
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$\dif \tilde{r_i}_{e_i} = \tilde{r_i}$. Tale differenziale manda la base $\{e_i, e_1, \ldots, e_{n+1}\}$
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in $\{-e_i, e_1, \ldots, e_{n+1}\}$. Queste due basi hanno orientazione diversa, e quindi solo
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una di queste induce l'orientazione canonica su $\RR^{n+1}$. \smallskip
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Osserviamo che $e_i$ è esterno per sé stesso; allo stesso modo $-e_i$ è esterno per sé stesso.
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Segue allora facilmente che $\{e_1, \ldots, e_{n+1}\}$ cambia orientazione tramite $r_i$,
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e quindi $\deg(r_i) = -1$.
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\end{proof}
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\begin{lemma} \label{lem:grado_antipodale}
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Sia $A : S^n \to S^n$ la mappa antipodale, ossia tale per cui $A(x) = -x$.
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Allora $\deg(A) = (-1)^{n+1}$.
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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Segue immediatamente dalla Proposizione \ref{prop:grado_moltiplicativo} e il Lemma \ref{lem:grado_riflessione}.
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\end{proof}
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\subsection{Campi vettoriali tangenti su \texorpdfstring{$S^n$}{Sⁿ} e pettinabilità}
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\begin{definition}[Campo vettoriale tangente]
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Sia $M \subseteq \RR^k$ una varietà liscia, con o senza bordo. Un
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\textbf{campo vettoriale tangente} è una mappa liscia
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$v : M \to \RR^k$ tale per cui:
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\[
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\boxed{v(x) \in T_x M, \quad \forall x \in M.}
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|
|
\]
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|
|
\end{definition}
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\begin{definition}[Pettinabilità]
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|
Una varietà liscia, con o senza bordo, si dice \textbf{pettinabile}
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se ammette un campo vettoriale tangente mai nullo.
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\end{definition}
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\begin{theorem}[di pettinabilità della sfera] \label{thm:pettinabilità_sfera}
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$S^n$ è pettinabile se e solo se $n$ è dispari.
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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Se $n$ è dispari, un campo vettoriale tangente mai nullo è il seguente:
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\[
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f(x_1, x_2, \ldots, x_n, x_{n+1}) = (-x_2, x_1, \ldots, -x_{n+1}, x_n) \in x^\perp.
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|
|
\]
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|
|
Sia ora $n$ pari.
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Supponiamo $v$ sia un campo vettoriale tangente mai nullo. Senza
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perdita di generalità, possiamo considerarlo unitario. Allora
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possiamo costruire un omotopia liscia dalla mappa
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antipodale $A$ a $\id_{S^n}$ nel seguente modo:
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\[
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H : S^n \times [0, 1] \to S^n, \quad H(x, t) = \cos(\pi t) x + \sin(\pi t) v(x).
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|
|
\]
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Tuttavia una tale omotopia \underline{non} può esistere per
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il Teorema \ref{thm:fondamentale_grado_intero}: l'identità
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ha grado $1$, mentre la mappa antipodale ha grado $(-1)^{n+1} = -1$ per
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il Lemma \ref{lem:grado_antipodale}. Quindi $v$ non può esistere per $n$ pari.
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\end{proof}
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\section{Indici di campi vettoriali su aperti di \texorpdfstring{$\RR^m$}{ℝᵐ}}
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\subsection{Zero isolato e indice di un campo in uno zero}
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\begin{definition}[Zero isolato]
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Sia $f : U \subseteq \RR^m \to \RR^m$ liscia con $U$ aperto. Allora
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$z$ si dice \textbf{zero isolato} di $f$ se esiste un raggio $\eps > 0$
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tale per cui $f$ in $B_\eps(z)$ ammette come unico zero $z$.
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\end{definition}
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\begin{remark}[L'indice è ben definito]
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Sia $\eps > 0$ tale per cui $z$ è unico zero per $f$ in $B_\eps(z)$.
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Sia $v_\eps : S^m \to \partial B_\eps(z)$ tale per cui:
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\[
|
|
|
v_\eps(x) = z + \eps x.
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|
|
\]
|
|
|
Osserviamo che $v_\eps$ preserva l'orientazione. Consideriamo
|
|
|
\[
|
|
|
\overline{f_\eps} \defeq \bigrestr{\frac{f}{\norm{f}}}{\partial B_\eps(z)}.
|
|
|
\]
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|
|
Poiché $v_\eps$ preserva l'orientazione, $\deg(\overline{f_\eps}) = \deg(\overline{f_\eps} \circ v_\eps)$.
|
|
|
Scelto un altro $\eps'$, possiamo definire un'omotopia $H$ nel seguente modo:
|
|
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\[
|
|
|
H_t = \overline{f_{(1-t)\eps + \eps'}} \circ v_{(1-t)\eps + \eps'}.
|
|
|
\]
|
|
|
Allora, per il Teorema \ref{thm:fondamentale_grado_intero}:
|
|
|
\[
|
|
|
\deg(\overline{f_\eps}) = \deg(\overline{f_\eps} \circ v_\eps) = \deg(\overline{f_{\eps'}} \circ v_{\eps'}) = \deg(\overline{f_{\eps'}}).
|
|
|
\]
|
|
|
\end{remark}
|
|
|
|
|
|
\begin{definition}[Indice di $f$ in $z$]
|
|
|
Sia $f : U \subseteq \RR^m \to \RR^m$ liscia con $U$ aperto. Sia
|
|
|
$z$ uno zero isolato di $f$. Si definisce allora l'\textbf{indice di $f$ in $z$}
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come:
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\[
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|
|
\boxed{\ind(f, z) \defeq \deg(\overline{f_\eps}), \quad \overline{f_\eps} \defeq \bigrestr{\frac{f}{\norm{f}}}{\partial B_\eps(z)},}
|
|
|
\]
|
|
|
dove $\eps$ è un raggio tale per cui $z$ è unico zero in $B_\eps(z)$.
|
|
|
\end{definition}
|
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\begin{corollary}[Indice di $z^k$ in $0$]
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Sia $v_k : \CC \cong \RR^2 \to \CC$ tale per cui
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$v_k(z) = z^k$. Allora $\ind(v_k, 0) = k$.
|
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\end{corollary}
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\begin{proof}
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|
Segue immediatamente dal Lemma \ref{lem:grado_zk}.
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\end{proof}
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\subsection{Lemma di Hopf e teorema fondamentale dell'algebra}
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\begin{lemma}[di Hopf] \label{lem:hopf}
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Sia $X \subseteq \RR^m$ una $m$-varietà compatta con bordo. Sia
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$v : X \to \RR^m$ un campo vettoriale con zeri isolati e $\restr{v}{\partial X}$
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mai nullo. \smallskip
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Allora:
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\[
|
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|
\boxed{\sum_{z \in v\inv(0)} \ind(v, z) = \deg\left(\bigrestr{\frac{v}{\norm{v}}}{\partial X} : \partial X \to S^{m-1} \right).}
|
|
|
\]
|
|
|
\end{lemma}
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\begin{proof}
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Poiché gli zeri di $v$ sono isolati, possiamo togliere a $X$ una famiglia di dischi disgiunti $\{B_{\eps_i}(z_i)\}$ contenenti tali zeri.
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|
Allora, poiché tali dischi sono interni, l'orientazione indotta su $\partial W$ sarà:
|
|
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\[
|
|
|
\partial W = \partial X \cup \bigsqcup_i -\partial B_{\eps_i}(z_i).
|
|
|
\]
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|
Quindi, rispettando le orientazioni si ottiene:
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\begin{multline*}
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\deg\left(\bigrestr{\frac{v}{\norm{v}}}{\partial W} : \partial W \to S^{m-1} \right) = \\
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|
|
\deg\left(\bigrestr{\frac{v}{\norm{v}}}{\partial X} : \partial X \to S^{m-1} \right) - \sum_{z \in v\inv(0)} \ind(v, z).
|
|
|
\end{multline*}
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|
|
Tuttavia, poiché $\bigrestr{\frac{v}{\norm{v}}}{\partial W}$ è la restrizione di $\frac{v}{\norm{v}} : W \to S^{m-1}$ sul bordo, per il Lemma
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|
\ref{lem:grado_mappa_estendibile}, si ha anche:
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|
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\[
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|
|
\deg\left(\bigrestr{\frac{v}{\norm{v}}}{\partial W} : \partial W \to S^{m-1} \right) = 0,
|
|
|
\]
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da cui segue immediatamente la tesi.
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\end{proof}
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\begin{theorem}[fondamentale dell'algebra]
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Sia $p(z) \in \CC[z]$ con $\deg(p) = n$. Allora:
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\[
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\boxed{\deg(p) = \sum_{z_0 \in p\inv(0)} \mult(p, z_0),}
|
|
|
\]
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|
|
dove $\mult$ indica la molteplicità algebrica di uno zero in un polinomio.
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\end{theorem}
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\begin{proof}
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Dal momento che $p(x)$ non può avere più di $n$ zeri, questi sono sicuramente
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isolati e possiamo prendere inoltre una palla $B_r(0) \subseteq \CC$ con
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$p\inv(0) \subseteq B_r(0)$. Possiamo allora applicare il Lemma \ref{lem:hopf}
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su $p : \overline{B_r(0)} \to \CC$ e ottenere:
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\[
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\deg\left(\frac{p}{\norm{p}} : \partial B_r(0) \to S^1 \right) = \sum_{z_0 \in p\inv(0)} \ind(p, z_0).
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\]
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Mostriamo che il termine a sinistra coincide con $\deg(p)$ (1), e che $\ind(p, z_0)$ coincide
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con $\mult(p, z_0)$ (2), ottenendo infine la tesi.
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\begin{enumerate}[(1)]
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\item Supponiamo che $\deg(p)$ sia $n$ e che $p(z)$ sia dunque della seguente forma:
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\[
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p(z) = a_n z^n + \underbrace{a_{n-1} z^{n-1} + \ldots + a_0}_{\mathclap{g(z)}},
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\]
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dove $g(z) \defeq p(z) - a_n z^n$. \smallskip
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Osserviamo che:
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\begin{equation} \tag{*}
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\lim_{\abs{z} \to \infty} \abs{\frac{g(z)}{z^n}} = 0.
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\end{equation}
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Una volta posto $p_t(z) = a_n z^n + t g(z)$, si ottiene:
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\[
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\abs{\frac{p_t(z)}{z^n}} \geq \abs{a_n} - t \abs{\frac{g(z)}{z^n}}.
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\]
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Allora, per (*), possiamo scegliere $r$ sufficientemente grande in modo tale che si verifichi sempre:
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\[
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\abs{\frac{p_t(z)}{z^n}} > 0, \quad z \in \partial B_r(0).
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\]
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In particolare, $p_t(z)$ non si annulla su $\partial B_r(0)$. Possiamo
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allora considerare l'omotopia indotta da $\frac{p_t(z)}{\abs{p_t(z)}}$. Osserviamo che
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$p_0(z) = a_n z^n$ e che $p_1(z) = p(z)$. Per il Teorema
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\ref{thm:fondamentale_grado_intero}, si ha allora:
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\[
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\begin{split}
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\deg\left( \frac{p(z)}{\abs{p(z)}} : \partial B_r(0) \to S^1 \right) = \hspace{2cm} \\
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\hspace{2cm} \deg\left( \frac{a_n}{\abs{a_n}} \frac{z^n}{\abs{z^n}} : \partial B_r(0) \to S^1 \right),
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\end{split}
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\]
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a cui, applicando il Lemma \ref{lem:grado_zk} e il fatto secondo cui la moltiplicazione per una costante di
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fase è isotopa all'identità (vd. dimostrazione del Lemma \ref{lem:grado_zk}), si ottiene facilmente che:
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\[
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\deg\left( \frac{p(z)}{\abs{p(z)}} : \partial B_r(0) \to S^1 \right) = n = \deg(p).
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\]
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\item Sia $z_0$ uno zero di $p(z)$. Allora $p(z)$ si scrive come:
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\[
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p(z) = (z - z_0)^\ell q(z),
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\]
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per un qualche polinomio $q(z) \in \CC[z]$, dove $\ell = \mult(p, z_0)$. Entro
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una certa palla di raggio $\eps$ centrata in $z_0$, $q(z)$ non ha alcuno zero. Se
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consideriamo la mappa $f : S^1 \to \partial B_{z_0}(\eps)$ tale per cui
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$f(z) = z_0 + \eps z$, che preserva l'orientazione, allora si ha:
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\[
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\ind(p, z_0) = \deg\left(\frac{p \circ f}{\norm{p \circ f}} : \partial S^1 \to S^1 \right).
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\]
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Osserviamo che:
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\[
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\frac{p \circ f}{\norm{p \circ f}}\big(z\big) = \frac{z^\ell q(z_0 + \eps z)}{\abs{q(z_0 + \eps z)}}.
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\]
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Possiamo definire un'omotopia $H : S^1 \times [0, 1] \to S^1$ tale per cui:
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\[
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H_t(z) = \frac{z^\ell q(z_0 + t \eps z)}{\abs{q(z_0 + t \eps z)}},
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\]
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che porta $z^\ell \frac{q(z_0)}{\abs{q(z_0)}}$ in $\frac{p \circ f}{\norm{p \circ f}}$. Quindi,
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per il Teorema \ref{thm:fondamentale_grado_intero}, si ha:
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\[
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\begin{split}
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\deg\left(z^\ell \frac{q(z_0)}{\abs{q(z_0)}} : S^1 \to S^1\right) = \hspace{2cm} \\
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|
|
\hspace{2cm} \deg\left(\frac{p \circ f}{\norm{p \circ f}} : \partial S^1 \to S^1 \right).
|
|
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\end{split}
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\]
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Come visto nella dimostrazione del Lemma \ref{lem:grado_zk}, la moltiplicazione per elemento di $S^1$ è isotopa all'identità, e dunque:
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\[
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|
\deg\left(z^\ell \frac{q(z_0)}{\abs{q(z_0)}} : S^1 \to S^1\right) = \deg(z^\ell : S^1 \to S^1) = \ell,
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|
|
\]
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|
da cui segue, combinando i pezzi, che:
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\[
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|
\ind(p, z_0) = \ell.
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\]
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\end{enumerate}
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\end{proof}
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\section{Campi vettoriali su varietà}
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\subsection{Indice di un campo vettoriale tangente su una varietà}
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\begin{fact}
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Sia $v : M \to \RR^k$ un campo vettoriale tangente
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della varietà $M \subseteq \RR^m$, con $z \in M$ zero isolato di $v$. \smallskip
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|
Se $g : U \subseteq \RR^m \to g(U)$ è una parametrizzazione di $M$ in $z$
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con $g(u) = z$,
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|
allora possiamo considerare il campo vettoriale
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$\xi : U \to \RR^m$ tale per cui:
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\[
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|
\xi(u) = (\dif g_u)\inv (v(g(u))), \quad \forall u \in U.
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|
|
\]
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|
|
Allora $\ind(\xi, g\inv(z))$ \underline{non} dipende dalla scelta
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della parametrizzazione scelta $g$.
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\end{fact}
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|
\begin{definition}[Indice di un campo vettoriale tangente su varietà rispetto a un punto]
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|
Sia $v : M \to \RR^k$ un campo vettoriale tangente
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|
della varietà $M \subseteq \RR^m$, con $z \in M$ zero isolato di $v$. \smallskip
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|
Si definisce allora l'\textbf{indice di $v$ in $z$} come:
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\[
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|
\boxed{\ind(v, z) \defeq \ind(\xi, g\inv(z))},
|
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|
\]
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|
|
dove $g : U \subseteq \RR^m \to g(U)$ è una parametrizzazione locale di $M$ in $z$
|
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|
con $g(u) = z$ e $\xi : U \to \RR^m$ è tale per cui:
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|
|
\[
|
|
|
\boxed{\xi(u) = (\dif g_u)\inv (v(g(u))), \quad \forall u \in U.}
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|
|
\]
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|
|
\end{definition}
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|
\subsection{Simplessi e caratteristica di Eulero}
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|
\begin{definition}[$m$-simplesso]
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Un \textbf{$m$-simplesso} $\Delta^{(m)}$ in $\RR^k$ con $k \geq m$ è
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definito come l'inviluppo convesso di $m+1$ punti
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|
affinemente indipendenti. \smallskip
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|
Si dice \textbf{faccia} di $\Delta^{(m)}$ un simplesso generato
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|
da alcuni dei generatori di $\Delta^{(m)}$.
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\end{definition}
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|
|
\begin{definition}[Complesso simpliciale]
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|
|
Si dice \textbf{complesso simpliciale} l'unione di
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|
|
simplessi in $\RR^k$ che si intersecano a due a due
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|
nell'insieme vuoto oppure in una faccia.
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\end{definition}
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|
\begin{fact}
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|
Ogni varietà $M$ è omeomorfa ad un complesso simpliciale,
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|
finito se $M$ è compatta.
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\end{fact}
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|
\begin{definition}[Caratteristica di Eulero-Poincaré]
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|
|
Sia $M$ compatta. Allora si definisce la sua \textbf{caratteristica
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|
|
di Eulero-Poincaré} $\chi(M)$ come:
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\[
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\boxed{\chi(M) \defeq \sum_{i \geq 0} (-1)^i s_i(C),}
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|
\]
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|
|
dove $C$ è un complesso simpliciale finito a cui $M$ è omotopicamente equivalente
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|
e $s_i(C)$ è il numero di $i$-simplessi in $C$.
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|
\end{definition}
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|
|
\begin{fact}
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|
La caratteristica di Eulero-Poincaré è ben definita e invariante
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|
per equivalenza omotopica.
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\end{fact}
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\subsection{Teorema di Poincaré-Hopf}
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\begin{theorem}[Poincaré-Hopf] \label{thm:poincare_hopf}
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Sia $M$ una varietà compatta con bordo, eventualmente vuoto.
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Se $v : M \to \RR^k$ è un campo vettoriale tangente con
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zeri isolati e $\restr{v}{\partial M}$ è esterno in ogni punto
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(se $\partial M \neq \emptyset$), allora:
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\[
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\boxed{\sum_{z \in v\inv(0)} \ind(v, z) = \chi(M).}
|
|
|
\]
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\end{theorem}
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\begin{corollary}
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Si può calcolare $\chi(S^m)$ nel seguente modo:
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\[
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\boxed{\chi(S^m) = \begin{cases}
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|
0 & \text{se $m$ è dispari}, \\
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|
|
2 & \text{se $m$ è pari}.
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|
\end{cases}}
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|
\]
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\end{corollary}
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\begin{proof}
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Consideriamo il campo vettoriale tangente:
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\[
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v : S^m \to \RR^{m+1}, \quad v(x) = \pi_{x^\perp}(N) = N - (N \cdot x) x,
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\]
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dove $N = e_{m+1} \in S^m$. Osserviamo che $v$ si annulla solamente in $\pm N$.
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Consideriamo le parametrizzazioni locali $g_\pm : U \to \RR^m \times \RR$ di $\pm N$, dove:
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\[
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|
g_\pm(u) = (u, \pm \sqrt{1 - u \cdot u}), \quad U = B_1(0) \subseteq \RR^m.
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|
\]
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Osserviamo che:
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\[
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\pd{}{u_i} \sqrt{1 - u \cdot u} = - \frac{u_i}{\sqrt{1 - u \cdot u}},
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\]
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da cui si deduce che:
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\[
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J g_\pm = \begin{pmatrix}
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I \\
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|
\mp \frac{u}{\sqrt{1 - u \cdot u}}
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|
|
\end{pmatrix}.
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|
\]
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Posto $\xi_\pm(u) \defeq \mp \sqrt{1 - u \cdot u} \, u$, si osserva che:
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\[
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(\dif g_\pm)_u(\xi_\pm(u)) = J (g_\pm)_u \, \xi_\pm(u) = v(g(u)).
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|
\]
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Quindi $\ind(v, \pm N) = \ind(\xi_\pm, 0)$. Osserviamo che $\xi_\pm$ si può
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riscalare per essere $\id_{S^{m-1}}$ nel caso positivo e la mappa
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antipodale nel caso negativo. \smallskip
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Per il Teorema \ref{thm:poincare_hopf} e il Lemma \ref{lem:grado_antipodale}, allora si ha:
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|
|
\[
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|
\begin{split}
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|
\chi(S^m) = \ind(v, N) + \ind(v, -N) = \hspace{2cm} \\
|
|
|
\hspace{2cm} 1 + (-1)^m = \begin{cases}
|
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|
0 & \text{se $m$ è dispari}, \\
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|
|
2 & \text{se $m$ è pari}.
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|
|
\end{cases}
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|
|
\end{split}
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|
|
\]
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|
|
\end{proof}
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|
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\end{multicols*}
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