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\documentclass[letterpaper, 11pt]{extarticle}
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\input{preamble}
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\input{format}
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\input{commands}
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\usepackage{thmtools}
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\usepackage{tasks}
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\usepackage{setspace}
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\begin{document}
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\begin{LARGE}
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\textsf{\textbf{Esercizi di Istituzioni di Geometria}}
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\end{LARGE}
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\vspace{0.2ex}
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\begin{Large}
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\textsf{\textbf{Anno accademico 2025-26}}
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\end{Large}
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\vspace{1.5ex}
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\begin{large}
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\textsf{\textbf{Studente:}} \text{Gabriel Antonio Videtta (matricola \texttt{654839})} -- \href{mailto:g.videtta1@studenti.unipi.it}{\texttt{g.videtta1@studenti.unipi.it}}
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\end{large}
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\vspace{-0.5ex}
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\tcblistof[\section*]{prob}{Indice dei problemi}
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\vspace{1ex}
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\linespread{1.3}
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\begin{problem}{Atlanti non compatibili su \texorpdfstring{$\RR$}{ℝ} -- esercizio 1.1}{problem-1}
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Costruisci due atlanti lisci non compatibili su $\RR$.
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Mostra che le due varietà lisce che ne risultano sono però diffeomorfe.
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(Nota: Per teoremi profondi, due strutture lisce sulla stessa varietà topologica
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di dimensione $n \leq 3$ sono sempre diffeomorfe. Questo fatto spesso non
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è vero in dimensione $n \geq 4$.)
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\end{problem}
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\begin{solution}
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Siano $\varphi$, $\psi : \RR \to \RR$ le funzioni continue
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tali per cui $\varphi(x) = x^3$ e $\psi(x) = \sqrt[3]{x}$.
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Allora $\varphi$ è un omeomorfismo con inversa $\psi$, che però \underline{non} è diffeomorfismo liscio su (infatti $0$ \underline{non} è
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regolare, dacché $\varphi'(0) = 3 \cdot 0^2 = 0 \notin \RR^*$). \smallskip
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Considerando allora come atlanti $\mathcal{A} = \{ \id : \RR \to \RR \}$ e $\mathcal{A}' = \{ \varphi \}$, questi
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atlanti \underline{non} sono compatibili dal momento che la funzione di transizione $\id \circ \varphi = \varphi$ \underline{non}
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è liscia. \smallskip
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Tuttavia, $(\RR, \mathcal{A'})$ è diffeomorfo a $(\RR, \mathcal{A})$ tramite la mappa $\phi$, che in carte è
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letta come l'identità $\id$.
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\[\begin{tikzcd}
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{(\RR, \mathcal{A}')} && {(\RR, \mathcal{A})} \\
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\\
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\RR && \RR
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\arrow["\varphi", from=1-1, to=1-3]
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\arrow["\varphi"{description}, from=1-1, to=3-1]
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\arrow["\id"{description}, from=1-3, to=3-3]
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\arrow["\psi"{description}, shift left=3, curve={height=-12pt}, from=3-1, to=1-1]
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\arrow["\id", from=3-1, to=3-3]
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\end{tikzcd}\]
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\end{solution}
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\begin{problem}{$\varphi : U \subseteq M \to \RR^n$ carta se e solo se diffeomorfismo -- esercizio 1.2}{problem-2}
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Sia $U \subseteq M$ un aperto in una varietà liscia $M$. Mostra che un
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omeomorfismo $\varphi : U \to \RR^n$ è una carta compatibile con la struttura liscia di
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$M$ se e solo se è un diffeomorfismo.
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\end{problem}
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\begin{solution}
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Dimostriamo separatamente le due implicazioni.
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\begin{itemize}
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\item[$\boxed{\implies}$] Leggendo $\varphi$ in ogni punto di $U$ tramite le carte $\varphi$ per $U$ e $\id$ per $\RR$, otteniamo proprio l'identità, e quindi $\varphi$
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è banalmente un diffeomorfismo.
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\[\begin{tikzcd}
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U && {\RR^n} \\
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\\
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{\RR^n} && {\RR^n}
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\arrow["\varphi", from=1-1, to=1-3]
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\arrow["\varphi"', from=1-1, to=3-1]
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\arrow["\id", from=1-3, to=3-3]
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\arrow["\id"', from=3-1, to=3-3]
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\end{tikzcd}\]
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\item[$\boxed{\impliedby}$] Sia $\psi : V \to Z \subseteq \RR^n$ una carta dell'atlante massimale di $M$ con $U \cap V \neq \emptyset$ e mostriamo che $\varphi$
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e $\psi$ sono compatibili mostrando che la funzione di transizione $[\psi \to \varphi]$ è un diffeomorfismo. \smallskip
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Essendo diffeomorfismo, $\phi$ si legge tramite le carte $\psi$ per $U \cap V$ e $\id$ per $\varphi(U \cap V)$ proprio come la funzione
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di transizione $[\psi \to \varphi]$, che quindi è diffeomorfismo in quanto uguale a
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$\restr{\id}{\varphi(U \cap V)} \circ \restr{\varphi}{U \cap V} \circ \restr{\psi\inv}{\psi(U \cap V)}$, composizione di diffeomorfismi.
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\[\begin{tikzcd}
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{U \cap V} && {\varphi(U \cap V)} \\
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\\
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{\psi(U \cap V)} && {\varphi(U \cap V)}
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\arrow["\varphi", from=1-1, to=1-3]
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\arrow["\psi"', from=1-1, to=3-1]
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\arrow["\id", from=1-3, to=3-3]
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\arrow["{[\psi \to \varphi]}"', from=3-1, to=3-3]
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\end{tikzcd}\]
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\end{itemize}
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\end{solution}
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\begin{problem}{$S^2$ è diffeomorfo a $\CC \PP^1$-- esercizio 1.4}{problem-3}
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Mostra che la funzione costruita a lezione $S^2 \to \CC \PP^1$ è un diffeomorfismo.
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\end{problem}
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\begin{solution}
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Ricordiamo che la funzione costruita era $\gamma : S^2 \to \CC \PP^1$ per cui, posto
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$N = (0, 0, 1)$, vale:
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\[
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\gamma(P) = \begin{cases}
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[1, 0] & \se P = N, \\
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[\pi_N(P), 1] & \altrimenti,
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\end{cases}
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\]
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dove $\pi_N : S^2 \setminus \{N\} \to \CC$ è la proiezione stereografica da $S^2 \setminus \{N\}$
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a $\CC$ (identificato come $\RR^2$). \smallskip
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Sia $U_i = \{ [z_0, z_1] \mid z_i \neq 0 \} \subseteq \CC \PP^1$ e $\varphi_i : U_i \to \CC \cong \RR^2$ la carta
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affine con $\varphi_0([z_0, z_1]) = \nicefrac{z_1}{z_0}$ e $\varphi_1([z_0, z_1]) = \nicefrac{z_0}{z_1}$. Sia
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$S = (0, 0, -1)$ il punto diametralmente opposto a $N$ su $S^2$. \smallskip
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Se $P \in S^2 \setminus \{N\}$, possiamo leggere in carte $\gamma$ come l'identità $\id : \CC \to \CC$ (che è diffeomorfismo) come segue:
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\[\begin{tikzcd}
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{S^2 \setminus \{N\} \ni P} && {U_1 \subseteq \CC \PP^1} \\
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\\
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{\CC \cong \RR^2} && {\CC \cong \RR^2}
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\arrow["\gamma", from=1-1, to=1-3]
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\arrow["{\pi_N}"{description}, from=1-1, to=3-1]
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\arrow["{\varphi_1}"{description}, from=1-3, to=3-3]
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\arrow["\id", from=3-1, to=3-3]
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\end{tikzcd}\]
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Se invece $P = N$, possiamo leggere in carte $\gamma$ come il complesso coniugato $z \mapsto \overline{z}$ (che è diffeomorfismo) come segue:
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\[\begin{tikzcd}
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{S^2 \setminus \{S\} \ni N} && {U_0 \subseteq \CC \PP^1} \\
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\\
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{\CC \cong \RR^2} && {\CC \cong \RR^2}
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\arrow["\gamma", from=1-1, to=1-3]
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\arrow["{\pi_S}"{description}, from=1-1, to=3-1]
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\arrow["{\varphi_0}"{description}, from=1-3, to=3-3]
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\arrow["{\overline{z}}", from=3-1, to=3-3]
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\end{tikzcd}\]
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dove si è usato che $\pi_N \circ \pi_S\inv$ corrisponde a $\nicefrac{1}{\overline{z}}$.
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\end{solution}
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\end{document}
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