feat(algebra): aggiunge l'articolo "Corollari di aritmetica modulare"

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\documentclass[12pt]{scrartcl}
\usepackage{notes_2023}
\begin{document}
\title{Corollari di aritmetica modulare}
\date{\today}
\maketitle
In questo breve documento dimostro ognuno
dei seguenti teoremi di teoria dei numeri:
\begin{enumerate}[(i)]
\item il teorema di Wilson,
\item il teorema di Wolstenholme,
\item il teorema di Lagrange (per i polinomi).
\end{enumerate}
Questi teoremi si dimostrano facilmente anche senza l'uso dei risultati
principali della teoria dei gruppi e degli anelli. Tuttavia, la
loro vera natura è prettamente dovuta allo studio di queste due
teorie -- come si evince dalla brevità e dall'immediatezza delle
dimostrazioni. \bigskip
Il prerequisito fondamentale per approcciare questi tre teoremi
è l'aver studiato il teorema di Lagrange di teoria dei gruppi
(quantomeno per dimostrare i primi due teoremi)\footnote{
Oppure il suo più semplice corollario, il piccolo teorema di Fermat.
} e avere familiarità con gli anelli euclidei (per dimostrare
il teorema di Lagrange). \bigskip
Si presenta innanzitutto il seguente lemma:
\begin{lemma}
Sia $p$ un numero primo.
Sia $q \in \ZZ[x]$ il polinomio tale per cui:
\[
q(x) = (x-1)(x-2)\cdots(x-(p-1)).
\]
Allora, se
\[
q(x) = x^{p-1} + a_{p-2} x^{p-2} + \ldots + a_1 x + a_0, \qquad a_i \in \ZZ,\;0 \leq i \leq p-1,
\]
vale che $\hat q(x) = x^{p-1} -1$, dove $\hat q$ è la proiezione in $\ZZ \quot p\ZZ$ di $q$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Per il teorema di Lagrange, vale che
$x^{p-1} - 1 \equiv 0 \pod p$ per ogni $x \in \ZZ \quot p\ZZ^*$, dal momento che
$\ZZ \quot p\ZZ^*$ è un gruppo moltiplicativo di ordine $p-1$.
Pertanto $\hat q$ e $x^{p-1} - 1$ hanno le stesse radici e
lo stesso grado, e sono dunque lo stesso polinomio, da cui la tesi.
\end{proof}
\begin{theorem}[di Wilson]
Sia $p \in \NN^+$. Allora $(p-1)! \equiv -1 \pod p$ se e solo se $p$ è primo.
\end{theorem}
\begin{proof}
Se $(p-1)! \equiv -1 \pod p$, allora ogni elemento di $\ZZ \quot p \ZZ$ è
invertibile, e quindi $\ZZ \quot p \ZZ$ sarebbe un campo; ciò è possibile
se e solo se $p$ è primo\footnote{
Infatti un campo è prima di tutto un dominio. Se $p$ non fosse
primo, $\ZZ \quot p \ZZ$ ammetterebbe divisori di zero.
}. Se $p$ è primo, per il \textit{Lemma 1}, $\hat q(x) = x^{p-1} - 1$, e quindi
$p$ divide ogni $a_i$. Si
osserva allora che $a_0 = (-1)^{p-1} (p-1)!$ e che deve dunque valere:
\[ (-1)^{p-1} (p-1)! \equiv -1 \pod p. \]
Sia che $p$ sia uguale a $2$, sia che $p$ sia dispari, l'ultima equazione
implica che:
\[ (p-1)! \equiv -1 \pod p, \]
da cui la tesi.
\end{proof}
\begin{theorem}[di Wolstenholme]
Sia $p \geq 5$ un numero primo. Allora il numeratore di:
\[
S = 1 + \frac{1}{2} + \ldots + \frac{1}{p-1}
\]
è divisibile per $p^2$.
\end{theorem}
\begin{proof}
Per il \textit{Lemma 1}, $p$ divide ogni $a_i$ di $q$. Si osserva
inoltre che $a_1$ è esattamente il numeratore di $S$. \medskip
Si computa $q$ in $p$:
\[
q(p) = p^{p-1} + a_{p-2} p^{p-2} + \ldots + a_1 p + a_0.
\]
Analogamente:
\[
q(p) = (p-1)(p-2) \cdots (p-(p-1)) = (p-1)! = (-1)^{p-1} a_0 = a_0,
\]
dove si è usato che $p \geq 5$ è dispari. Quindi
vale che:
\[
p^{p-1} + a_{p-2} p^{p-2} + \ldots + a_1 p = 0,
\]
da cui:
\[
a_1 p = -(p^{p-1} + \ldots + a_2 p^2).
\]
Poiché $p > 3$, $p^3$ divide il secondo membro dell'equazione, e quindi
$p^2$ divide $a_1$, da cui la tesi.
\end{proof}
\begin{theorem}[di Lagrange, per i polinomi]
Sia $q$ un polinomio in $\ZZ[x]$ e sia $p$ un numero primo.
Allora vale una delle seguenti due affermazioni:
\begin{itemize}
\item $p$ divide ogni coefficiente di $q$,
\item esistono al più $\deg q$ soluzioni incongruenti\footnote{
Due soluzioni $x$, $y \in \ZZ$ si dicono incongruenti se
$x \not\equiv y \pod p$.
} di $q$ in
$\ZZ \quot p \ZZ$.
\end{itemize}
\end{theorem}
\begin{proof}
Si consideri la proiezione in $\ZZ \quot p \ZZ$ di $q$, indicata
con $\hat q$. Poiché $p$ è primo, $\ZZ \quot p \ZZ$ è un campo,
e quindi $\ZZ \quot p \ZZ[x]$ è un anello euclideo. Pertanto,
se $\hat q$ è diverso da $0$, $\hat q$ ammette al più
$\deg \hat q$ soluzioni in $\ZZ \quot p \ZZ$. In particolare
vale che $\deg \hat q \leq \deg q$, e quindi $\hat q$ ammette al
più $\deg q$ soluzioni in $\ZZ \quot p \ZZ$ (e quindi esistono al più
$\deg q$ classi di resto che sono soluzione in $\ZZ \quot p \ZZ$). Se
invece $\hat q = 0$, $p$ deve dividere obbligatoriamente
ogni coefficiente di $q$, da cui la tesi.
\end{proof}
\end{document}
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