diff --git a/src/data/domande-esami.yaml b/src/data/domande-esami.yaml index 07e4b31..10821fd 100644 --- a/src/data/domande-esami.yaml +++ b/src/data/domande-esami.yaml @@ -59,60 +59,6 @@ groups: - elementi-di-analisi-complessa - eti -# Gruppo fondamentale dei proiettivi reali o complessi. -# Compattezza in spazi metrici. -# “Esercizio”: caratterizzare le funzioni intere olomorfe iniettive. - -# Domande 20/6/2022 - -# Primo enunciato di Riemann-Weierstrass -# • Calcolare il π1(S1). (∼= Z) -# • Formula di Cauchy per funzioni olomorfe. -# • π1(P^n(R)) (discorso generale). -# • Come ottenere Pn(R) da Dn (dettagliata). -# • Equazione di Cauchy-Riemann. -# • Esempio di funzione continua differenziabile non olomorfa [ f(z) = \bar{z} ] -# • Cos’è un punto singolare di una curva proiettiva. -# • Conica singolare => degenere con K = C. -# • il toro è omeomorfo al toro meno un punto? -# • Chi è il rivestimento universale del toro? - -# Marzenta Giovanni: -# Caratterizzazione dei rivestimenti regolari tramite il 1; un esempio di rivestimento regolare e uno di un rivestimento non regolare per il bouquet di due circonferenze. -# Caratterizzare le funzioni olomorfe intere (da C in C) tali che |f(z)||z|d . - -# • X = [0; 1), topologia di base: (a; b), con a > 0, e [0; a)U(b; 1), con 0 < a < b < 1. -# E più o meno fine della topologia Euclidea? Assiomi di topologia? Connesso? ` E` -# compatto? Conosci un compatto famoso che ne è omeomorfo? (S1) Un esempio di tale -# omeomorfismo? (t -> e^2πit). -# • Gruppo fondamentale degli spazi proiettivi complessi - -# 21/6/2022 - -# Che relazione c'è tra connessione e connessione per archi? Connesso per archi => Connesso -# (dimostrazione) e Connesso non implica Connesso per archi (dimostrazione). -# • Data f : U \{z0} → C, punti di singolarità? A riguardo, cosa succede a lim z→z0 |f(z)|? -# Esempio di funzione con singolarità`a essenziale? [f(z) = e^(1/z) ] -# Dimostrazione del secondo enunciato di Riemann-Weierstrass -# • X topologico e Y sottoinsieme, se Y e compatto e chiuso, che relazioni ci sono tra compattezza e chiusura? -# • Come calcolare Zeri e Poli di una funzione, eventualmente con molteplicità? -# • Consideriamo la striscia in R2 tra le rette x = 0 e x = 1 comprese e quozientiamolo con la -# relazione (0; y) ∼ (1; -y) . Come ti immagini questo quoziente? E una varietà topologica? ` -# Togliendo il segmento [0; 1], il quoziente è connesso per archi? Qual è il suo gruppo fondamentale? (Calcolarlo). -# • Si può retrarre il nastro di Mobius sul suo bordo? -# • Quanti punti di intersezione può avere al massimo una curva C = [F] in C con una retta? -# • Come costruiresti uno spazio topologico con gruppo fondamentale Z/3? -# • Prendiamo due triple di rette in P2(C), quando è possibile mandare le prime tre nelle seconde -# tre? -# • Definizione di Topologia Quoziente. Caratterizzazione degli aperti. Prendiamo X = R, x ∼ -# y sse x - y \in Q: la topologia quoziente si può descrivere facilmente... Chi sono gli aperti di -# questa topologia quoziente? (Topologia indiscreta). -# • Definizione di Rivestimento. -# Condizione su E affinché qualunque rivestimento sia di grado finito. -# • Teorema fondamentale dell’Algebra. -# • Una cubica C = [p], può avere una retta tangente in due punti? Se invece ha grado 4? -# • Teorema di Riemann-Weierstrass. - questions: - course: geometria-2 content: | @@ -131,7 +77,7 @@ questions: - 2021 - course: geometria-2 content: | - Il gruppo $G$ delle rotazioni generato da quella di angolo $2\pi/7$ che agisce su $\mathbb R^2$. Calcolare il gruppo fondamentale di $\mathbb R^2/G$ e studiare il rivestimento dato dalla proiezione al quoziente di $\mathbb R^2 \setminus {0}$ su $\mathbb R^2 \setminus {0}/G$. + Il gruppo $G$ delle rotazioni generato da quella di angolo $2\pi/7$ che agisce su $\mathbb R^2$. Calcolare il gruppo fondamentale di $\mathbb R^2/G$ e studiare il rivestimento dato dalla proiezione al quoziente di $\mathbb R^2 \setminus \{0\}$ su $\mathbb R^2 \setminus \{0\}/G$. tags: - 2021 - course: geometria-2 @@ -216,7 +162,7 @@ questions: - 2021 - course: geometria-2 content: | - Archi $\implies$ connesso + Archi $\Rightarrow$ connesso tags: - 2021 - course: geometria-2 @@ -226,7 +172,7 @@ questions: - 2021 - course: geometria-2 content: | - Olomorfa $\implies$ analitica + Olomorfa $\Rightarrow$ analitica tags: - 2021 - course: geometria-2 @@ -236,12 +182,12 @@ questions: - 2021 - course: geometria-2 content: | - Sottospazio compatto $\implies$ chiuso. Quando e perché. Controesempio se $X$ non è $T_2$. + Sottospazio compatto $\Rightarrow$ chiuso. Quando e perché. Controesempio se $X$ non è $T_2$. tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | - Metrico compatto $\implies$ limitato. Controesempio a metrico completo limitato $\implies$ compatto + Metrico compatto $\Rightarrow$ limitato. Controesempio a metrico completo limitato $\Rightarrow$ compatto tags: - 2021 - course: geometria-2 @@ -256,12 +202,12 @@ questions: - 2021 - course: geometria-2 content: | - Compattezza in spazi metrici. Compatto per successioni $\implies$ completo e totalmente limitato (Implicazione a scelta). + Compattezza in spazi metrici. Compatto per successioni $\Rightarrow$ completo e totalmente limitato (Implicazione a scelta). tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | - Definizione di funzione analitica e criteri per stabilire se è identicamente nulla su un aperto connesso. Derivate nulle in un punto $\implies$ identicamente nulla nell'aperto connesso. + Definizione di funzione analitica e criteri per stabilire se è identicamente nulla su un aperto connesso. Derivate nulle in un punto $\Rightarrow$ identicamente nulla nell'aperto connesso. tags: - 2021 - course: geometria-2 @@ -326,12 +272,12 @@ questions: - 2021 - course: geometria-2 content: | - $Y$ connesso. $Y \subseteq Z \subseteq \bar{Y} \implies Z$ connesso + $Y$ connesso. $Y \subseteq Z \subseteq \overline{Y} \Rightarrow Z$ connesso tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | - Determinare chiusura dell'insieme $\{0\} \times [0,1] \cap \mathbb Q$ in $\mathbb R^2$, e di $\{0\} \times ]0,1[ \cap \mathbb Q$ in $\mathbb R^2$, chi sono i bordi in $\mathbb R^2$ di questi insiemi? + Determinare chiusura dell'insieme $\{0\} \times [0,1] \cap \mathbb Q$ in $\mathbb R^2$, e di $\{0\} \times \,]0,1[ \,\cap\, \mathbb Q$ in $\mathbb R^2$, chi sono i bordi in $\mathbb R^2$ di questi insiemi? tags: - 2021 - course: geometria-2 @@ -351,7 +297,7 @@ questions: - 2021 - course: geometria-2 content: | - Contraibile $\implies$ semplicemente connesso + Contraibile $\Rightarrow$ semplicemente connesso tags: - 2021 - course: geometria-2 @@ -386,7 +332,7 @@ questions: - 2021 - course: geometria-2 content: | - Olomorfa $\implies$ Analitica + Olomorfa $\Rightarrow$ Analitica tags: - 2021 - course: geometria-2 @@ -461,7 +407,7 @@ questions: - 2021 - course: geometria-2 content: | - Olomorfa $\iff$ analitica + Olomorfa $\Leftrightarrow$ analitica tags: - 2021 - course: geometria-2 @@ -481,12 +427,12 @@ questions: - 2021 - course: geometria-2 content: | - $f(z)dz$ chiusa $\iff$ $f$ olomorfa + $f(z)\,\mathrm d z$ chiusa $\Leftrightarrow$ $f$ olomorfa tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | - Per quali "a" complessi esiste $f:\mathbb C^* \to \mathbb C$ olomorfa non identicamente nulla con $f'(z) = a*f(z)/z$? + Per quali "a" complessi esiste $f:\mathbb C^\times \to \mathbb C$ olomorfa non identicamente nulla con $f'(z) = a*f(z)/z$? tags: - 2021 - course: geometria-2 @@ -501,7 +447,7 @@ questions: - 2021 - course: geometria-2 content: | - Per un rivestimento dallo spazio $E$ connesso e localmente connesso per archi: gruppo degli automorfismi transitivo su una fibra $\iff$ l'immersione del $p_1(E)$ è normale + Per un rivestimento dallo spazio $E$ connesso e localmente connesso per archi: gruppo degli automorfismi transitivo su una fibra $\Leftrightarrow$ l'immersione del $p_1(E)$ è normale tags: - 2021 - course: geometria-2 @@ -511,7 +457,7 @@ questions: - 2021 - course: geometria-2 content: | - Gruppo fondamentale di $P_n(\mathbb C)$ + Gruppo fondamentale di $\mathbb P^n(\mathbb C)$ tags: - 2021 - course: geometria-2 @@ -546,7 +492,7 @@ questions: - 2021 - course: geometria-2 content: | - $f$ olomorfa in $U\{z}$ e limitata in un intorno di $z$, cosa possiamo dire? + $f$ olomorfa in $U \setminus \{z\}$ e limitata in un intorno di $z$, cosa possiamo dire? tags: - 2021 - course: geometria-2 @@ -586,7 +532,7 @@ questions: - 2021 - course: geometria-2 content: | - Quanti asintoti può avere al massimo una curva di $P^2(\mathbb C)$? + Quanti asintoti può avere al massimo una curva di $\mathbb P^2(\mathbb C)$? tags: - 2021 - course: geometria-2 @@ -596,7 +542,7 @@ questions: - 2021 - course: geometria-2 content: | - Dato $S^1$ e $S^1$ ed il suo $\pi_1$ generato da $a,b$, trova il rivestimento associato ai sottogruppi $$ e $N()$ (con quest'ultimo si intende il sottogruppo normale generato da $a$) + Dato $S^1$ e $S^1$ ed il suo $\pi_1$ generato da $a,b$, trova il rivestimento associato ai sottogruppi $\langle a \rangle$ e $N(\langle a \rangle)$ (con quest'ultimo si intende il sottogruppo normale generato da $a$) tags: - 2021 - course: geometria-2 @@ -621,7 +567,7 @@ questions: - 2021 - course: geometria-2 content: | - Studiare $f$ olomorfa tale che $|f(z)|