names: aritmetica: Aritmetica geometria-1: Geometria 1 analisi-1: Analisi 1 algebra-1: Algebra 1 geometria-2: Geometria 2 analisi-2: Analisi 2 algebra-2: Algebra 2 analisi-3: Analisi 3 ricerca-operativa: Ricerca Operativa fisica-3: Fisica 3 meccanica-razionale: Meccanica Razionale istituzioni-di-geometria: Istituzioni di Geometria istituzioni-di-analisi: Istituzioni di Analisi istituzioni-di-algebra: Istituzioni di Algebra istituzioni-di-fisica: Istituzioni di Fisica istituzioni-di-probabilità: Istituzioni di Probabilità geometria-e-topologia-differenziale: Geometria e Topologia Differenziale analisi-armonica: Analisi Armonica elementi-di-analisi-complessa: Elementi di Analisi Complessa eti: Elementi di Teoria degli Insiemi groups: - id: triennale-anno-1 name: I Anno Triennale items: - aritmetica - geometria-1 - analisi-1 - id: triennale-anno-2 name: II Anno Triennale items: - geometria-2 - analisi-2 - algebra-1 - id: triennale-anno-3 name: III Anno Triennale items: - ricerca-operativa - fisica-3 - meccanica-razionale - id: istituzioni name: Istituzioni items: - istituzioni-di-geometria - istituzioni-di-analisi - istituzioni-di-algebra - istituzioni-di-fisica - istituzioni-di-probabilità - id: other name: Esami a scelta items: - geometria-e-topologia-differenziale - analisi-armonica - elementi-di-analisi-complessa - eti # Gruppo fondamentale dei proiettivi reali o complessi. # Compattezza in spazi metrici. # “Esercizio”: caratterizzare le funzioni intere olomorfe iniettive. # Domande 20/6/2022 # Primo enunciato di Riemann-Weierstrass # • Calcolare il π1(S1). (∼= Z) # • Formula di Cauchy per funzioni olomorfe. # • π1(P^n(R)) (discorso generale). # • Come ottenere Pn(R) da Dn (dettagliata). # • Equazione di Cauchy-Riemann. # • Esempio di funzione continua differenziabile non olomorfa [ f(z) = \bar{z} ] # • Cos’è un punto singolare di una curva proiettiva. # • Conica singolare => degenere con K = C. # • il toro è omeomorfo al toro meno un punto? # • Chi è il rivestimento universale del toro? # Marzenta Giovanni: # Caratterizzazione dei rivestimenti regolari tramite il 1; un esempio di rivestimento regolare e uno di un rivestimento non regolare per il bouquet di due circonferenze. # Caratterizzare le funzioni olomorfe intere (da C in C) tali che |f(z)||z|d . # • X = [0; 1), topologia di base: (a; b), con a > 0, e [0; a)U(b; 1), con 0 < a < b < 1. # E più o meno fine della topologia Euclidea? Assiomi di topologia? Connesso? ` E` # compatto? Conosci un compatto famoso che ne è omeomorfo? (S1) Un esempio di tale # omeomorfismo? (t -> e^2πit). # • Gruppo fondamentale degli spazi proiettivi complessi # 21/6/2022 # Che relazione c'è tra connessione e connessione per archi? Connesso per archi => Connesso # (dimostrazione) e Connesso non implica Connesso per archi (dimostrazione). # • Data f : U \{z0} → C, punti di singolarità? A riguardo, cosa succede a lim z→z0 |f(z)|? # Esempio di funzione con singolarità`a essenziale? [f(z) = e^(1/z) ] # Dimostrazione del secondo enunciato di Riemann-Weierstrass # • X topologico e Y sottoinsieme, se Y e compatto e chiuso, che relazioni ci sono tra compattezza e chiusura? # • Come calcolare Zeri e Poli di una funzione, eventualmente con molteplicità? # • Consideriamo la striscia in R2 tra le rette x = 0 e x = 1 comprese e quozientiamolo con la # relazione (0; y) ∼ (1; -y) . Come ti immagini questo quoziente? E una varietà topologica? ` # Togliendo il segmento [0; 1], il quoziente è connesso per archi? Qual è il suo gruppo fondamentale? (Calcolarlo). # • Si può retrarre il nastro di Mobius sul suo bordo? # • Quanti punti di intersezione può avere al massimo una curva C = [F] in C con una retta? # • Come costruiresti uno spazio topologico con gruppo fondamentale Z/3? # • Prendiamo due triple di rette in P2(C), quando è possibile mandare le prime tre nelle seconde # tre? # • Definizione di Topologia Quoziente. Caratterizzazione degli aperti. Prendiamo X = R, x ∼ # y sse x - y \in Q: la topologia quoziente si può descrivere facilmente... Chi sono gli aperti di # questa topologia quoziente? (Topologia indiscreta). # • Definizione di Rivestimento. # Condizione su E affinché qualunque rivestimento sia di grado finito. # • Teorema fondamentale dell’Algebra. # • Una cubica C = [p], può avere una retta tangente in due punti? Se invece ha grado 4? # • Teorema di Riemann-Weierstrass. questions: - course: geometria-2 content: | $\mathbb R^3$ meno due rette. Nei tre casi in cui sono incidenti, parallele o sghembe, chi è il $\pi_1$? tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | Chi sono i biolomorfismi da $\mathbb C$ in $\mathbb C$? tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | Zeri di funzioni olomorfe e Teorema di Rouché. tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | Il gruppo $G$ delle rotazioni generato da quella di angolo $2\pi/7$ che agisce su $\mathbb R^2$. Calcolare il gruppo fondamentale di $\mathbb R^2/G$ e studiare il rivestimento dato dalla proiezione al quoziente di $\mathbb R^2 \setminus {0}$ su $\mathbb R^2 \setminus {0}/G$. tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | Prodotto numerabile di metrizzabili è metrizzabile e controesempio quando il prodotto è più che numerabile tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | Forme chiuse ed esatte, relazioni tra le due tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | Esempio di funzione armonica che non sia la parte reale di una funzione olomorfa tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | Riferimenti proiettivi e teorema fondamentale delle trasformazioni proiettive tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | Retratti, in generale sono chiusi/aperti/nessuno dei due? tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | Parlare delle singolarità, Weierstrass-Casorati tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | Teorema di Brouwer, se levo il bordo a $D^2$ è ancora vero il teorema? tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | Spazi separabili che implicazioni sai dirmi e dimostrazione tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | Teorema di Liouville tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | In quale altro risultato che abbiamo visto si usano le stime di Cauchy sui coefficienti? (Voleva la caratterizzazione delle singolarità essenziali, io gli ho nominato il lemma di Schwarz e mi ha fatto fare la dimostrazione anche di quello) tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | Differenzia (nel senso di dimostra che uno dei due non implica l'altro) due assiomi di separazione a scelta tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | Cosa sai dire delle proprietà di separazione della topologia di Zariski? tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | Un esempio di spazio $T_2$ con un quoziente non $T_2$ e un esempio in cui il quoziente è ottenuto per azioni di gruppo. tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | Funzioni armoniche e parti reali di funzioni olomorfe. tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | Proiettivo complesso è semplicemente connesso, e mappe dalla sfera complessa al proiettivo. Sono rivestimenti? tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | Connesso non connesso per archi tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | Archi $\implies$ connesso tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | $[0,1]$ connesso tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | Olomorfa $\implies$ analitica tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | Per quali $d$ interi esiste un rivestimento connesso della superficie di seconda specie di grado $d$ tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | Sottospazio compatto $\implies$ chiuso. Quando e perché. Controesempio se $X$ non è $T_2$. tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | Metrico compatto $\implies$ limitato. Controesempio a metrico completo limitato $\implies$ compatto tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | Definizione funzione olomorfa. Se abbiamo una funzione olomorfa su un disco aperto senza il centro, quando si può estendere nel punto? tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | Il toro si retrae al toro senza un dischetto? tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | Compattezza in spazi metrici. Compatto per successioni $\implies$ completo e totalmente limitato (Implicazione a scelta). tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | Definizione di funzione analitica e criteri per stabilire se è identicamente nulla su un aperto connesso. Derivate nulle in un punto $\implies$ identicamente nulla nell'aperto connesso. tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | Zeri di una funzione analitica, perché sono un insieme discreto. Come contarli con molteplicità? tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | Definizione di semilocalmente semplicemente connesso + esempio di spazio senza tale proprietà tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | Invertibilità locale di olomorfe dove la derivata è non nulla. tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | Dove posso definire una funzione radice quadrata olomorfa? tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | Gruppo fondamentale degli spazi proiettivi su $\mathbb R$ e su $\mathbb C$ tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | Punti in posizione generale, trasformazioni proiettive, scelta del punto unità - definizioni tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | Teorema fondamentale trasformazioni proiettive tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | `O-O` è omotopicamente equivalente a `OO` ma non un suo retratto per deformazione + il loro $\pi_1$ tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | Definizione funzione armonica + ogni armonica è parte reale di una funzione olomorfa su di un semplicemente connesso. tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | Connessione, connessione per archi e relazione tra le due. tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | Funzioni meromorfe, poli di funzioni olomorfe. Dimostrazione teorema di Weierstrass tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | Esempio di un connesso non connesso per archi tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | $Y$ connesso. $Y \subseteq Z \subseteq \bar{Y} \implies Z$ connesso tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | Determinare chiusura dell'insieme $\{0\} \times [0,1] \cap \mathbb Q$ in $\mathbb R^2$, e di $\{0\} \times ]0,1[ \cap \mathbb Q$ in $\mathbb R^2$, chi sono i bordi in $\mathbb R^2$ di questi insiemi? tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | Teorema di Liouville tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | Birapporto: definizione, cosa succede se scambio $P_1$ e $P_2$, comportamento con trasf. proiettive tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | Spazi contraibili: definizione, se $x_0 \in X$ contraibile allora $x_0$ ne è retratto per deformazione? tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | Contraibile $\implies$ semplicemente connesso tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | Definizione indice di avvolgimento. tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | Rivestimento di grado due del wedge di due cerchi e sottogruppo associato nel $\pi_1$ tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | Relazione tra sottogruppi del $\pi_1$, rivestimenti e rivestimento universale. tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | Quando ho un automorfismo di rivestimento che manda un punto di una fibra in un altro? tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | Dimostrazione preferita del Teorema Fondamentale dell'Algebra tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | Definizione di funzione olomorfa/analitica e relazione tra le due tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | Olomorfa $\implies$ Analitica tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | Definizione di rivestimento regolare, esibire un rivestimento non regolare. tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | Un biolomorfismo dal disco unitario in sé con $f(0) = 0$ tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | Definizione di rivestimento regolare, esibire un rivestimento non regolare. tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | Principio del massimo modulo tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | Caratterizzazione degli zeri delle funzioni olomorfe e come contarli con molteplicità tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | $p_1 : \mathbb R^2 \to \mathbb R$ è aperta/chiusa/propria? tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | Caratterizzare le funzioni intere e bigettive tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | In $\mathbb R^n$ aperto connesso sse connesso per archi tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | Trovare uno spazio connesso ma non connesso per archi. tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | Dimostrare che la chiusura di un connesso è connessa. tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | Definizione di parte interna, chiusura e bordo di un insieme. Queste definizioni dipendono dallo spazio ambiente? tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | Calcolare la chiusura di $(0,1)$ e dei razionali in $[0,1]$ immersi in $\mathbb R$ e $\mathbb R^2$. tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | Enunciato e dimostrazione del teorema di Liouville. tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | Calcolare $n$-proiettivo reale tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | Olomorfa $\iff$ analitica tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | Esercizio sul proiettivo del compito di luglio tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | Spazio delle matrici $n \times n$ reali quozientate per azione di coniugio di $GL_n(\mathbb R)$. Lo spazio ottenuto è $T_1$, $T_2$? tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | Curva affine in $\mathbb C^2$: $y^2=x^3-x$. Qual è la sua chiusura proiettiva? Il supporto affine è denso nel supporto proiettivo? Definizione di asintoto, calcolo degli asintoti e punti singolari di questa curva. Stima brutale del numero di asintoti di una curva di grado $d$. tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | $f(z)dz$ chiusa $\iff$ $f$ olomorfa tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | Per quali "a" complessi esiste $f:\mathbb C^* \to \mathbb C$ olomorfa non identicamente nulla con $f'(z) = a*f(z)/z$? tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | $R^3$ meno due rette. Nei tre casi in cui sono incidenti, parallele o sghembe, chi è il $\pi_1$? tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | Esempio di rivestimento non regolare tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | Per un rivestimento dallo spazio $E$ connesso e localmente connesso per archi: gruppo degli automorfismi transitivo su una fibra $\iff$ l'immersione del $p_1(E)$ è normale tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | Trovare tutte le funzioni olomorfe su $\mathbb C$ per cui esistono $k$ e $d$ tali che $|f(z)|$ e $N()$ (con quest'ultimo si intende il sottogruppo normale generato da $a$) tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | Quando una funzione propria è chiusa e dimostrazione (più come esercizio che come teoria) tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | Gruppo fondamentale del toro tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | Una funzione olomorfa si può scrivere come serie di potenze tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | Elencare gli assiomi di separazione, dimostrare le varie implicazioni. Dare un controesempio a scelta delle implicazioni metrizzabile -> normale -> regolare -> $T_2$ tags: - 2021 - course: geometria-2 content: | Studiare $f$ olomorfa tale che $|f(z)|=5$) + classi di coniugio e elementi tags: - 2021 - course: algebra-1 content: | Discorso generale sulle permutazioni + scrittura in cicli -> ogni permutazione si scrive in modo “unico” come prodotto di cicli disgiunti tags: - 2021 - course: algebra-1 content: | Quante scritture diverse può avere un k ciclo? tags: - 2021 - course: algebra-1 content: | Come posso dare una definizione più formale della decomposizione di cicli? Con un’azione da quale gruppo a quale gruppo? tags: - 2021 - course: algebra-1 content: | Segno delle permutazioni tags: - 2021 - course: algebra-1 content: | Teorema di Cayley -> caso in cui $G = S_3$ (chi è l’immagine? Dove va un ciclo $(1,2)$?) tags: - 2021 - course: algebra-1 content: | Perché i sottogruppi normali corrispondono alle sottoestensioni normali tags: - 2021 - course: algebra-1 content: | Esempio particolare tags: - 2021 - course: algebra-1 content: | Elementi di Galois tags: - 2021 # Domande di Aritmetica da una raccolta di Luca Bruni - course: aritmetica content: | Un polinomio $p \in \mathbb{Z}[x]$ può essere riducibile o irriducibile. Lo stesso polinomio, preso con coefficienti in $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[x]$ può essere riducibile o irriducibile. Che relazione c’è tra queste due cose? (Attenzione se su $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ la scomposizione diventa banale) tags: - 2015 - course: aritmetica content: | Capire se $-1$ è residuo quadratico modulo $p$. (Hint: si può dare per scontato che esista un generatore) tags: - 2015 - course: aritmetica content: | Sia $q \in \mathbb{Z}[x]$ un polinomio irriducibile. Si chiede se $\exists p \in P$ tale che $q$ modulo $p$ è riducibile? tags: - 2015 - course: aritmetica content: | Sia $G$ un gruppo abeliano finito e sia $H \triangleleft G$. Sappiamo che sia $H$ che $G/H$ sono ciclici. Si può dedurre che $G$ è ciclico? Se no, c’è una qualche altra ipotesi che mi permette di dedurlo? (Hint: pensare agli ordini di $H$ e $G/H$) tags: - 2015 - course: aritmetica content: | Fai un esempio di due anelli isomorfi come spazi vettoriali ma non come anelli. tags: - 2015 - course: aritmetica content: | Consideriamo $\sigma : \mathbb{N}^+ \to \mathbb{N}^+$ definita come $$\sigma(n) = \sum_{d \mid n} d.$$ Dimostrarne la moltiplicatività, ovvero che $\sigma(mn) = \sigma(m) \cdot \sigma(n)$ se $(n,m) = 1$. tags: - 2015 - course: aritmetica content: | Si consideri in $M(K, n, n)$ l’insieme delle matrici quadrate invertibili di ordine $n$ a coefficienti nel campo $K$. Dimostrare che è un gruppo. Consideriamo $M(\mathbb{F}_{11}, 2, 2)$. Non è un gruppo abeliano ma mostriamo che esiste un sottogruppo normale. (Hint: prendiamo l’insieme delle matrici il cui determinante ...) Sappiamo che ogni sottogruppo normale di un gruppo è $\ker$ di un omomorfismo. Sai trovare un omomorfismo $\varphi : M(\mathbb{F}_{11}, 2, 2) \to \mathbb{F}_{11}$ che abbia come $\ker$ il sottogruppo delle matrici con determinante che è un quadrato in $\mathbb{F}_{11}$? tags: - 2015 - course: aritmetica content: | Quanti sono i polinomi irriducibili di grado $n$ su $\mathbb{F}_p$? (Hint: può essere utile provare prima il caso dei polinomi di secondo grado. Hint: in alternativa si possono contare i polinomi riducibili.) Hint: Altrimenti dimostrate che $$\prod_{\mathclap{\substack{p(x) \text{irriducibile} \\ \deg(p(x)) | n}}} p(x) = x^{p^n} - x.$$ tags: - 2015 - course: aritmetica content: | Sia $G = \langle x_1, x_2 \rangle$ un gruppo e $H < G$ un sottogruppo. È vero che anche $H$ è generato da al più due elementi? Se è falso trovare un controesempio. Provare prima il caso $H \triangleleft G$, poi il caso generale. (Hint: una volta è vero, l’altra è falsa) tags: - 2015 - course: aritmetica content: | Descrivere i sottogruppi di $G = \mathbb{Z}_{10} \times \mathbb{Z}_5$ e contare i sottogruppi $H \triangleleft V$ tali che $|H| = 1000$ e $V = \mathbb{Z}_{1000} \times \mathbb{Z}_{500}$. E quanti sono i sottogruppi $H \triangleleft V$ tali che $|H| = 5$? tags: - 2015 - course: aritmetica content: | Considera l’insieme $W = \{p(x) \in \mathbb{Z}_5 [x]\}$. Ogni polinomio $p \in W$ lo posso vedere come funzione $f_p : \mathbb{Z}_5 \to \mathbb{Z}_5$ associando ad ogni polinomio la funzione valutazione sui suoi elementi. Esistono polinomi distinti la cui funzione associata è la stessa? Sia $\varphi$ l’omomorfismo che ad un polinomio associa la sua funzione polinomiale in $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$. Qual è il $\ker$ di questa funzione? E l’immagine di $\varphi$ quanti elementi ha? tags: - 2015 - course: aritmetica content: | Siano $\alpha, \beta$ algebrici su $\mathbb{Q}$ tali che $\deg(\alpha) = m$ e $\deg(\beta) = n$. Quali sono i possibili valori per $\deg(\alpha + \beta)$? Qual è il minimo $\deg(\alpha + \beta)$ fissati $m$ ed $n$? tags: - 2015 - course: aritmetica content: | $(\mathbb{Q}, +)$ è ciclico? Quanti generatori ha? (Hint: considera le frazioni con numeratore uno e denominatore potenza di un primo) Dimostra che quelli che hai trovato generano. tags: - 2015 - course: aritmetica content: | Sia $H < G$, con $G$ gruppo ciclico finito. Dimostra che anche $H$ è ciclico. Vale anche nel caso $|G| = +\infty$? tags: - 2015 - course: aritmetica content: | $\forall n \in \mathbb{N}$ sia $z_n = e^{i 2\pi / n}$. Che cosa ottengo se aggiungo $z_n$ a $\mathbb{Q}$? E se aggiungo $z_n$ e $z_m$ con $m \neq n$? Calcola il grado dell’estensione di campo $[\mathbb{Q}(z_n , z_m) : \mathbb{Q}]$ (Hint: $[\mathbb{Q}(z_n) : \mathbb{Q}] = \varphi(n)$) Dimostra che se ho $(n,m) = 1$ allora $\mathbb{Q}(z_{nm}) = \mathbb{Q}(z_n , z_m)$. Dimostra che $\sum_{j=0}^{p-1} x^j$ è irriducibile su $\mathbb{Q}[x]$. tags: - 2015 - course: aritmetica content: | Trova un $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} [x]$ in cui esiste un polinomio $p(x)$ tale che $\exists k \in \mathbb{N}$ con $p^k = 0$. Esistono polinomi invertibili in $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z} [x]$? Sia $p(x) = \sum_{i=0}^{n} a_i x^i$ tale che $\exists k \in \mathbb{N}$ con $p^k = 0$. Dimostra che allora $a_i$ è nilpotente $\forall 0 \leq i \leq n$. tags: - 2015 - course: aritmetica content: | Sia $f (x) = x^{14} + 2 \in \mathbb{F}_{13} [x]$. Trova il suo campo di spezzamento. tags: - 2015 - course: aritmetica content: | Sia $G = (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^*$ un gruppo e $f : G \to G$ definita come $f (x) = x^5$ una funzione. È un morfismo? Quando è iniettiva e quando è suriettiva (al variare di $m$)? Mostra che $\ker \varphi \cong \mathbb{Z}_5 \times \mathbb{Z}_5 \times \dots \times \mathbb{Z}_5$. Trova un $G$ tale che $\ker \varphi \cong \mathbb{Z}_5 \times \mathbb{Z}_5$. tags: - 2015 - course: aritmetica content: | Dimostrare che $\forall p \in \mathbb{P}$ il polinomio $x^{p-1} + x^{p-2} + \dots + x + 1 \in \mathbb{Q}[x]$ è irriducibile. Dimostra che $f (x)$ è irriducibile in $\mathbb{Q}[x]$ se e solo se $f (x + a)$ è irriducibile, con $a \in \mathbb{Q}$. Per quali $n \in \mathbb{N}$ si ha $x^n + x^{n-1} + \dots + x + 1$ irriducibile? tags: - 2015 - course: aritmetica content: | Quando esiste $(3x+5)^{-1}$ in $Z_{100}$? (con x parametro). So che $x^2 = a (p)$. Quando $\exists y$ t.c. $y^2 = (p^2)$? (Hint: provare $y = x + bp$) $\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$ è algebrico sui razionali? Trova un polinomio su cui si annulla e trova una base di $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5})$ Sia K un campo che contiene Q. Quando $K(\sqrt{a}) = K(\sqrt{6})$? tags: - 2015 - course: aritmetica content: | Qual è il campo di spezzamento di $x^7 - 2$ in $\mathbb{F}_{101}$? tags: - 2015 # Ricerca Operativa dal sito di Fra - course: ricerca-operativa content: | Definizione e caratterizzazione algebrica direzioni ammissibili e di crescita + considerazioni varie su Lemma di Farkas e la mutua esclusività dei due problemi. tags: - 2022-01 - course: ricerca-operativa content: | Formulazione in PL problema di flusso di costo minimo, variante se volessi minimizzare il flusso su ogni singolo arco. tags: - 2022-01 - course: ricerca-operativa content: | Trovare i piani di taglio di Gomory su un esempio pratico. tags: - 2022-01 - course: ricerca-operativa content: | Cosa succede nell’algoritmo del simplesso primale se $A_N \xi \leq 0$ e collegamento con il teorema fondamentale della PL. tags: - 2022-01 - course: ricerca-operativa content: | Data un’istanza del problema del flusso di costo minimo come stabilire se esistono flussi ammissibili. tags: - 2022-01 - course: ricerca-operativa content: | Modello PLI per il problema del commesso viaggiatore. tags: - 2022-01 - course: ricerca-operativa content: | Direzione di crescita del simplesso duale. tags: - 2022-01 - course: ricerca-operativa content: | Esercizio di modellazione con annessa una domanda sul flusso (scrivere come problema lineare uno dei problemi di flusso). tags: - 2022-01 - course: ricerca-operativa content: | L’algoritmo del rilassamento del TSP. tags: - 2022-01 - course: ricerca-operativa content: | Teorema forte della dualità e un esercizio di branch and bound per il TSP. tags: - 2022-01 - course: ricerca-operativa content: | Teorema forte della dualità. tags: - 2023 - course: ricerca-operativa content: | Caratterizzazione dell’ottimalità per il problema dei cammini minimi. tags: - 2023 - course: ricerca-operativa content: | Piani di taglio di Gomory. tags: - 2023 - course: ricerca-operativa content: | Caratterizzazione algebrica delle direzioni di ammissibilità e di crescita. tags: - 2023 - course: ricerca-operativa content: | (DR) ha soluzione, che posso dire della soluzione duale? tags: - 2023 - course: ricerca-operativa content: | Esempio geometrico di soluzione primale unica e duale degenere. tags: - 2023 - course: ricerca-operativa content: | Formulazione di TSP in PLI con rilassamento MST. tags: - 2023 - course: ricerca-operativa content: | Se so che $3x_1 + 6x_2 + 9x_3 \leq 13$ è un piano di taglio, posso dire che anche $x_1 + 2x_2 + 3x_3 \leq 4$ è un piano di taglio? tags: - 2023 - course: ricerca-operativa content: | Cosa si può dire se $A_N \xi \leq 0$? tags: - 2023 - course: ricerca-operativa content: | Formulazione di CSP in PLI con rilassamento. tags: - 2023 - course: ricerca-operativa content: | Discutere l’ottimalità di CSP al variare del parametro $L$. tags: - 2023 - course: ricerca-operativa content: | Discutere l’esistenza di una soluzione ammissibile per CSP (trovare un algoritmo: cammini minimi con costi=lunghezze). tags: - 2023 - course: ricerca-operativa content: | Verificare mediante scarti complementari se una soluzione del duale è ottima. tags: - 2023 - course: ricerca-operativa content: | Relazione tra flusso massimo e taglio minimo. tags: - 2023 - course: ricerca-operativa content: | Esempio di grafo con più tagli di capacità minima. tags: - 2023 - course: ricerca-operativa content: | Rilassamento convessificato di un problema di programmazione lineare intera. tags: - 2023 - course: ricerca-operativa content: | Caratterizzazione direzioni ammissibili e di crescita. tags: - 2023 - course: ricerca-operativa content: | Piani di taglio di Gomory. tags: - 2023 - course: ricerca-operativa content: | È possibile che il problema di flusso massimo sia vuoto? Può essere che il valore del flusso massimo sia zero? Quando è possibile? tags: - 2023 - course: ricerca-operativa content: | Esegui un’iterazione del simplesso duale. tags: - 2023 - course: ricerca-operativa content: | Definisci piani di taglio di Gomory e trovane uno per il problema precedente. tags: - 2023 - course: ricerca-operativa content: | Dato un grafo, esibire dei bilanci, costi e capacità tali che il problema di flusso di costo minimo ammetta più di una soluzione (e dire quante). tags: - 2023 - course: ricerca-operativa content: | Dato il problema $\max (x_1 + 2x_2)$ soggetto ai vincoli: $$ \begin{cases} x_2 \leq 4 \\ x_1 \leq 2 \\ x_1 - 2x_2 \leq 10 \\ 2x_1 + x_2 \leq 4 \\ -x_1 \leq -4 \end{cases} $$ come decidere da $B = \{4, 5\}$ quale algoritmo utilizzare? tags: - 2023 - course: ricerca-operativa content: | Dimostrare che $y(\theta)$ è una direzione di decrescita nell’algoritmo del simplesso duale. tags: - 2023 - course: ricerca-operativa content: | Flusso massimo - Taglio minimo con dimostrazione. tags: - 2023 - course: ricerca-operativa content: | Data una rete, fornire un algoritmo per trovare il cammino minimo dal nodo $s$ al nodo $t$ supponendo che ogni nodo costi $T$, con tempi di percorrenza degli archi $t_{ij}$, $t_{i'j'}$. tags: - 2023 - course: ricerca-operativa content: | Modello PL del problema di flusso di costo minimo. tags: - 2023 - course: ricerca-operativa content: | Un flusso ammissibile è di costo minimo se e solo se non esistono cicli aumentanti negativi. tags: - 2023 - course: ricerca-operativa content: | Modellazione di un problema di cammino minimo "doppio", con due coppie sorgente-destinazione. tags: - 2023 - course: ricerca-operativa content: | Come cambia il modello se impongo che i cammini (da $s_1$ a $t_1$, da $s_2$ a $t_2$) non abbiano archi in comune? tags: - 2023 # Raccolta di Istituzioni di Geometria da Fra - course: istituzioni-di-geometria content: | Definizione di gruppo fondamentale e perché è un gruppo tags: - 2023 - course: istituzioni-di-geometria content: | Hopf-Rinow tags: - 2024 - course: istituzioni-di-geometria content: | Mayer-Vietoris a supporto cpt tags: - 2024 - course: istituzioni-di-geometria content: | M cpt => X cv sempre completo (in realtà poi ha chiesto “se vivi almeno epsilon ecc”) tags: - 2024 - course: istituzioni-di-geometria content: | Frobenius tags: - 2024 - course: istituzioni-di-geometria content: | Invarianza omotopica (non ha chiesto l'uguaglianza con la derivata di lie, gli è bastata la frase "per definizione di derivata di Lie") tags: - 2024 - course: istituzioni-di-geometria content: | Connessione di Levi-Civita (definizione praticamente) tags: - 2024 - course: istituzioni-di-geometria content: | Connessione compatibile (proposizione dei fatti equivalenti) tags: - 2024 - course: istituzioni-di-geometria content: | Isotopia tra sottovarietà e isotopia ambiente, che relazioni ci sono tags: - 2024 - course: istituzioni-di-geometria content: | Differenziale di una $k$-forma (ha chiesto di dim che il differenziale su $R^n$ è unico) tags: - 2024 - course: istituzioni-di-geometria content: | Trasporto parallelo tags: - 2024 - course: istituzioni-di-geometria content: | Meyer-Vietoris tags: - 2024 - course: istituzioni-di-geometria content: | Orientazione; perché mobius e klein non sono orientabili tags: - 2024 - course: istituzioni-di-geometria content: | Relazione tra euclidea e piatta tags: - 2024 - course: istituzioni-di-geometria content: | Dualità di poincare tags: - 2024 - course: istituzioni-di-geometria content: | Definizione gruppo di Lie e sottogruppo di Lie tags: - 2024 - course: istituzioni-di-geometria content: | Esempio di immersione iniettiva che non è embedding(?) tags: - 2024 - course: istituzioni-di-geometria content: | Algebra di Lie, distribuzione (?) Non ho capito, qualcosa in cui si applica Frobenius. Ah forse la bigezione tra sottogruppi connessi e algebre di lie. tags: - 2024 - course: istituzioni-di-geometria content: | Definizione derivata di lie. tags: - 2024 - course: istituzioni-di-geometria content: | Perché le geodetiche sono curve minimizzanti tags: - 2024 - course: istituzioni-di-geometria content: | Definizione bracket di Lie di due campi vettoriali, cos'è che bisogna dimostrare? Se metto un + funziona lo stesso? 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(La risposta è si e si ragiona sulla forma normale di cantor che può avere il minimo controesempio, ossia il minimo ordinale per cui questa operazione non termina in un numero finito di passi) tags: - Mamino - course: eti content: | Dimostrare Cantor-Bernstein tags: - Mamino - course: eti content: | Esercizio: qual è la cardinalità dei polinomi a coefficienti in $\mathbb Z / 7$ che hanno per radici tutti gli elementi di $\mathbb Z / 7$? tags: - Mamino - course: eti content: | Cosa si può dire della cofinalità di cardinali regolari e limite? Dimostralo tags: - Mamino - course: eti content: | Dimostrare $\aleph_\alpha^2$ = $\aleph_alpha$ (prima mi aveva chiesto se secondo me per dimostrarlo serviva la scelta) tags: - Mamino - course: eti content: | Con la scelta cosa si può dire a riguardo? 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