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G2/README.md

@@ -4,7 +4,6 @@
 * [Topologia Generale](topologia.md)
 * [Topologia Algebrica](algebrica.md)
 * [Analisi Complessa](complessa.md)
-
-Per un elenco di domande degli anni passati si clicchi qui: [Domande](orali-g2.md)
+* [Domande Orali](orali-g2)
 
 > Prese dall'elenco di [Francesco Minnoci](https://bachoseven.com/maths/orali-g2/))

G2/algebrica.md

@@ -0,0 +1,181 @@
+# La categoria hTop
+
+- [ ] [definizione] Omotopia
+- [ ] [**proposizione**] Omotopia è relazione di equivalenza
+- [ ] [**proposizione**] Composizione passa alla relazione di omotopia
+- [ ] [definizione] Inversa omotopica e Equivalenza omotopica
+- [ ] [**proposizione**] Equivalenza omotopica è una equivalenza
+
+## Funtore delle componenti connesse per archi
+
+- [ ] [**teorema**] Mappe omotope inducono la stessa mappa nei $\pi_0$
+
+# Gruppo fondamentale
+
+## Omotopia di cammini
+
+- [ ] [definizione] Omotopia di cammini
+
+## Gruppo Fondamentale
+
+- [ ] [definizione] Gruppo Fondamentale
+- [ ] [**teorema**] Il gruppo fondamentale è un gruppo
+- [ ] [definizione] Semplicemente connesso
+
+## Cammini chiusi come applicazioni dal cerchio
+
+- [ ] [**proposizione**] Continua su bordo si estende se e solo se classe di omotopia banale
+- [ ] [**teorema**] Propriet\`a della corrispondenza tra $\pi_1(X)$ e $\spa{S^1,X}$
+- [ ] [**proposizione**] Corrispondenza tra omotopie di cammini in $\Omega(X,x_0)$ e omotopie libere in ${[S^1,X]}$
+
+## Funtorialità del gruppo fondamentale
+
+- [ ] [definizione] Categoria degli spazi topologici puntati
+- [ ] [**proposizione**] Funtore da $Top_\ast$ a $Grp$
+- [ ] [definizione] Omotopia puntata
+- [ ] [**proposizione**] Mappe omotope puntate inducono la stessa mappa sui gruppi fondamentali
+
+## Dipendenze del gruppo fondamentale
+
+- [ ] [**teorema**] Il punto base determina $\pi_1(X)$ a meno di isomorfismo
+- [ ] [**proposizione**] Mappa omotopa all'identità induce isomorfismo
+
+# Spazi contraibili e retratti
+
+## Spazi contraibili
+
+- [ ] [definizione] Spazio contraibile
+- [ ] [definizione] Insieme stellato
+- [ ] [definizione] Insieme Convesso
+- [ ] [**proposizione**] Mappe a immagine in stellato
+
+## Retratti di Deformazione
+
+- [ ] [definizione] Retratto
+- [ ] [**proposizione**] Proprietà dei retratti
+- [ ] [definizione] Retratto di deformazione
+
+# Rivestimenti
+
+## Omeomorfismi locali
+
+- [ ] [definizione] Omeomorfismo Locale
+- [ ] [**proposizione**] Omeomorfismo locale implica aperta
+
+## Rivestimenti
+
+- [ ] [definizione] Rivestimento
+- [ ] [**proposizione**] Rivestimento implica Omeomorfismo locale
+- [ ] [definizione] Fibra
+- [ ] [**teorema**] Teorema delle Fibre
+- [ ] [definizione] Grado di un rivestimento
+- [ ] [definizione] Rivestimento banale
+- [ ] [**teorema**] Rivestimento da azione propriamente discontinua
+
+## Sollevamenti
+
+- [ ] [definizione] Sollevamento
+- [ ] [**teorema**] Unicità del sollevamento
+- [ ] [**teorema**] Esistenza e unicità del sollevamento dei cammini
+- [ ] [**teorema**] Sollevamento dell'omotopia
+- [ ] [**teorema**] Sollevamento delle omotopie di cammini
+
+# Azione di Monodromia
+
+- [ ] [definizione] Azione di monodromia
+- [ ] [**teorema**] Proprietà dell'azione di monodromia
+
+### Sollevamento di mappe qualsiasi
+
+- [ ] [**teorema**] Sollevamento di mappe qualsiasi
+
+## Applicazioni dell'azione di Monodromia
+
+- [ ] [**teorema**] Gruppo fondamentale del cerchio
+- [ ] [**teorema**] Teorema di Brower
+
+# Teorema di Seifert-Van Kampen
+
+- [ ] [**teorema**] Seifert-Van Kampen
+
+# Calcolo del Gruppo fondamentale
+
+## Gruppo fondamentale del prodotto
+
+- [ ] [**teorema**] Gruppo fondamentale del prodotto
+
+## Prodotto libero e gruppi liberi
+
+- [ ] [definizione] Prodotto libero
+- [ ] [**teorema**] Esistenza del prodotto libero
+- [ ] [definizione] Gruppo libero
+- [ ] [**teorema**] Propriet\`a universale del gruppo libero
+
+## Van Kampen per intersezioni semplicemente connesse
+
+- [ ] [**teorema**] Gruppo fondamentale del Bouquet di $n$ circonferenze
+
+## Prodotto amalgamato
+
+- [ ] [definizione] Prodotto amalgamato
+- [ ] [**teorema**] Esistenza e unicit\`a del prodotto amalgamato
+
+## Presentazioni di gruppi
+
+- [ ] [definizione] Presentazione
+- [ ] [**proposizione**] Propriet\`a universale delle presentazioni
+- [ ] [**proposizione**] Presentazione del prodotto amalgamato
+
+## Rango
+
+- [ ] [definizione] Rango
+
+## Gruppi fondamentali di proiettivi
+
+- [ ] [**teorema**] I proiettivi complessi sono semplicemente connessi
+- [ ] [**teorema**] Gruppi fondamentali dei proiettivi reali
+
+## Gruppi fondamentali di superfici
+
+### Toro
+
+- [ ] [**teorema**] Gruppo fondamentale del toro
+
+### Superfici con dato genere
+
+- [ ] [**teorema**] Gruppo fondamentale delle superfici di genere $g$
+- [ ] [**proposizione**] Genere determina univocamente il $\pi_1$
+- [ ] [**teorema**] Genere, classe di Omotopia e $\pi_1$ sono invarianti completi
+
+# Rivestimento Universale
+
+- [ ] [definizione] Rivestimento universale
+- [ ] [**teorema**] Gruppo fondamentale e fibra nel punto sono in bigezione
+- [ ] [definizione] Semilocalmente semplicemente connesso
+- [ ] [**teorema**] Esistenza dei rivestimenti universali
+
+## Propriet\`a categoriche dei rivestimenti
+
+- [ ] [**proposizione**] Propriet\`a universale del rivestimento universale
+- [ ] [definizione] Morfismo di rivestimenti
+- [ ] [definizione] Automorfismi di rivestimenti
+- [ ] [**proposizione**] Azione di $\Aut(p)$ e di monodromia commutano
+
+### Isomorfismi di rivestimenti
+
+- [ ] [**teorema**] Caratterizzazione di rivestimenti isomorfi fissato un punto
+- [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione di rivestimenti isomorfi
+
+## Rivestimenti regolari e corrispondenza di Galois
+
+- [ ] [**proposizione**] Azione di $\Aut(p)$ \`e propriamente discontinua
+- [ ] [**teorema**] Per rivestimento da azione propriamente discontinua gli automorfismi sono il gruppo
+- [ ] [definizione] Rivestimento regolare
+- [ ] [**proposizione**] I rivestimenti universali sono regolari
+- [ ] [**teorema**] Caratterizzazioni dei rivestimenti regolari
+- [ ] [**teorema**] $\Aut(p)$ in termini del gruppo fondamentale
+- [ ] [**proposizione**] Automorfismi di rivestimenti regolari
+
+## Applicazioni della teoria dei rivestimenti
+
+- [ ] [**teorema**] Borsuk-Ulam

G2/complessa.md

@@ -0,0 +1,137 @@
+# Richiami di calcolo in pi\`u variabili
+
+- [ ] [definizione] Differenziabilit\`a e differenziale
+- [ ] [definizione] Derivate parziali
+- [ ] [definizione] Coniugio
+- [ ] [**proposizione**] Il differenziale \`e $\C$-lineare
+- [ ] [**proposizione**] Propriet\`a del differenziale
+- [ ] [**proposizione**] Le $\R$ lineari sono la somma diretta delle $\C$ lineari e $\C$ antilineari
+
+# Funzioni olomorfe
+
+- [ ] [definizione] Funzione olomorfa
+- [ ] [**proposizione**] Caratterizzazioni delle funzioni olomorfe
+- [ ] [**teorema**] Propriet\`a aritmetiche delle olomorfe
+
+# Analitiche
+
+## Serie di potenze
+
+- [ ] [definizione] Serie di potenze
+- [ ] [definizione] Funzione analitica
+- [ ] [**proposizione**] Le analitiche sono continue
+- [ ] [**teorema**] Serie di potenze sono analitiche
+- [ ] [**teorema**] Serie derivata
+
+## Ordine di annullamento
+
+- [ ] [definizione] Ordine di annullamento
+- [ ] [**teorema**] Zeri di analitica sono isolati o coprono la comp. connessa
+
+# Esponenziale e logaritmo complessi
+
+## Esponenziale complesso
+
+- [ ] [definizione] Esponenziale complesso
+- [ ] [**proposizione**] Propriet\`a dell'esponenziale complesso
+
+## Logaritmo complesso
+
+- [ ] [**proposizione**] L'esponenziale complesso \`e un rivestimento
+- [ ] [**teorema**] Branche del logaritmo
+- [ ] [definizione] Branca principale del logaritmo complesso
+- [ ] [**proposizione**] Formula esplicita per la branca principale del logaritmo
+- [ ] [**proposizione**] Le branche del logaritmo sono olomorfe
+- [ ] [**teorema**] Espansione in serie del logaritmo
+
+# 1-Forme complesse
+
+- [ ] [definizione] 1-forma continua
+- [ ] [definizione] Forme esatte e chiuse
+
+## Integrazione di 1-forme
+
+- [ ] [definizione] Integrale di funzione da intervallo reale a $\C$
+- [ ] [definizione] Integrale lungo una curva $C^1$
+- [ ] [definizione] Curva $C^1$ a tratti
+- [ ] [**proposizione**] Invarianza dell'integrale per riparametrizzazione
+- [ ] [**proposizione**] Integrazione di 1-forme esatte
+- [ ] [definizione] Dominio
+- [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione esattezza con integrali su lacci
+
+## Primitive lungo curve e lungo omotopie
+
+- [ ] [definizione] Primitiva lungo una curva
+- [ ] [**teorema**] Esistenza e quasi unicit\`a delle primitive lungo curve
+- [ ] [definizione] Primitiva lungo una omotopia
+- [ ] [**teorema**] Esistenza e quasi unicit\`a delle primitive lungo omotopie
+- [ ] [definizione] Integrale di 1-forme chiuse su cammini continui
+- [ ] [**teorema**] Invarianza dell'integrale per cammini omotopi
+
+## Forme chiuse da funzioni olomorfe
+
+- [ ] [**teorema**] Gauss-Green
+- [ ] [**teorema**] Caratterizzazione delle forme chiuse $C^1$ con derivate parziali
+- [ ] [**teorema**] Cauchy
+- [ ] [**teorema**] Continua olomorfa fuori un segmento d\`a forma chiusa
+
+# Indice di avvolgimento e Formula di Cauchy
+
+- [ ] [definizione] Indice di avvolgimento
+- [ ] [**proposizione**] Indice di avvolgimento \`e intero
+- [ ] [**teorema**] Formula integrale di Cauchy
+
+## Olomorfa implica analitica
+
+- [ ] [**teorema**] Continue sul bordo di un disco definiscono olomorfa nel disco
+
+### Propriet\`a delle olomorfe ereditate delle analitiche
+
+- [ ] [**proposizione**] Principio di identit\`a
+
+# Applicazioni
+
+## Disuguaglianze di Cauchy e Teorema di Liouville
+
+- [ ] [**proposizione**] Disuguaglianze di Cauchy
+
+## Principio della media
+
+- [ ] [definizione] Propriet\`a della media
+- [ ] [**proposizione**] Propriet\`a della media implica continua
+- [ ] [**teorema**] Principio della media
+
+## Principio del massimo
+
+- [ ] [**teorema**] Principio del massimo 1
+- [ ] [**teorema**] Teorema dell'applicazione aperta
+
+# Singolarità
+
+- [ ] [definizione] Singolarit\`a
+- [ ] [definizione] Corona
+
+## Serie di Laurent
+
+- [ ] [definizione] Serie di Laurent
+- [ ] [**proposizione**] propriet\`a delle serie di Laurent
+- [ ] [**teorema**] Olomorfa su Anello \`e serie di Laurent
+
+## Tipi di singolarit\`a
+
+- [ ] [definizione] Tipi di singolarit\`a
+- [ ] [**teorema**] Estensione di Riemann
+- [ ] [**teorema**] Casorati-Weierstass
+
+# Funzioni meromorfe e Residui
+
+- [ ] [definizione] Funzione meromorfa
+- [ ] [definizione] Residuo
+- [ ] [**proposizione**] Formula del residuo per rapporto di olomorfe
+- [ ] [**teorema**] Teorema dei Residui
+
+## Derivata Logaritmica
+
+- [ ] [definizione] Derivata logaritmica
+- [ ] [**proposizione**] Residuo in polo della derivata logaritmica \`e l'ordine del polo/zero
+- [ ] [**teorema**] Teorema di Derivata logaritmica

G2/orali-g2.md

@@ -0,0 +1,138 @@
+# Domande Orali di Geometria 2
+
+## Proiettiva
+
+- [ ] Riferimenti proiettivi e teorema fondamentale delle trasformazioni proiettive
+- [ ] Punti in posizione generale, trasformazioni proiettive, scelta del punto unità
+- [ ] Birapporto: definizione, cosa succede se scambio P1 e P2, comportamento con trasf. proiettive
+- [ ] Quanti punti di intersezione può avere al massimo una curva $C = [F]$ in $\mathbb{C}$ con una retta?
+- [ ] Teorema fondamentale trasformazioni proiettive
+- [ ] Prendiamo due triple di rette in $\mathbb{P}^2(\mathbb{C})$, quando è possibile mandare le prime tre nelle seconde tre
+- [ ] Principio di dualità
+- [ ] Cosa è un sistema lineare di coniche
+- [ ] Parlare di rette polari e coniche duali
+- [ ] Se ho un punto che passa per una sola retta polare rispetto ad una conica non genere cosa sai dire su P?
+
+## Topologia
+
+- [ ] Prodotto numerabile di metrizzabili é metrizzabile
+- [ ] controesempio quando il prodotto é più che numerabile
+- [ ] Differenzia (nel senso di dimostra che uno dei due non implica l'altro) due assiomi di separazione a scelta
+- [ ] Un esempio di spazio T2 con un quoziente non T2 e un esempio in cui il quoziente è ottenuto per azioni di gruppo.
+- [ ] CPA $\implies$ connesso
+- [ ] $[0,1]$ connesso
+- [ ] Sottospazio compatto $\implies$ chiuso. Quando e perché. Controesempio se $X$ non è T2.
+- [ ] Metrico compatto $\implies$ limitato. Controesempio a metrico completo limitato $\implies$ compatto
+- [ ] Compattezza in spazi metrici. Compatto per successioni $\implies$ completo e totalmente limitato (Implicazione a scelta).
+- [ ] Connessione, connessione per archi e relazione tra le due.
+- [ ] Esempio di un connesso non connesso per archi
+- [ ] $Y$ connesso. $Y ⊆ Z ⊆ \overline{Y} \implies Z$ connesso
+- [ ] Determinare chiusura dell'insieme $\\{0\\} \times ([0,1] \cap \mathbb{Q})$ in $\mathbb{R}^2$, e di $\\{0\\} \times (]0,1[  \cap \mathbb{Q})$ in $\mathbb{R}^2$, chi sono i bordi in $\mathbb{R}^2$ di questi insiemi?
+- [ ] Caratterizzare le funzioni intere e bigettive
+- [ ] In $\mathbb{R}^n$ connesso sse connesso per archi
+- [ ] Spazi metrici e caratterizzazione dei compatti per spazi metrici
+- [ ] $\pi_1 : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ è aperta/chiusa/propria?
+- [ ] Prodotto di due spazi compatti è compatto
+- [ ] Se il prodotto di due spazi è compatto, è sempre vero che i due spazi sono compatti? (Sì, posso vederli entrambi come immagine continua tramite le proiezioni di $X \times Y$)
+- [ ] Un aperto di $\mathbb{R}^n$ connesso è connesso per archi
+- [ ] connesso+localmente connesso per archi implica connesso per archi
+- [ ] la connessione per archi è relazione di equivalenza
+- [ ] Quand’è che una funzione propria è chiusa e dimostrazione (più come esercizio che come teoria)
+- [ ] Elencare gli assiomi di separazione, dimostrare le varie implicazioni. Dare un controesempio a scelta delle implicazioni metrizzabile $\iff$ normale $\iff$ regolare $\iff$ T2
+- [ ] Come ottenere $\mathbb{P}^n(\mathbb{R})$ da $D_n$ (dettagliata).
+- [ ] Compattezza in spazi metrici.
+- [ ] $X = [0, 1)$, topologia di base: $(a, b)$, con $a > 0$, e $[0, a)\cup(b, 1)$, con $0 < a < b < 1$.
+- [ ] Consideriamo la striscia in $\mathbb{R}_2$ tra le rette $x = 0$ e $x = 1$ comprese e quozientiamolo con la relazione $(0, y) \sim (1, -y)$. Come ti immagini questo quoziente? E una varietà topologica?
+      È più o meno fine della topologia Euclidea? Assiomi di topologia? Connesso? È compatto? Conosci un compatto famoso che ne è omeomorfo? ($S_1$) Un esempio di tale omeomorfismo? ($t \mapsto e^{2πit}$).
+- [ ] Che relazione c'è tra connessione e connessione per archi? Connesso per archi $\implies$ Connesso (dimostrazione) e Connesso non implica Connesso per archi (dimostrazione).
+- [ ] X topologico e Y sottoinsieme, se Y e compatto e chiuso, che relazioni ci sono tra compattezza e chiusura?
+- [ ] Definizione di Topologia Quoziente. Caratterizzazione degli aperti.
+- [ ] Prendiamo $X = \mathbb{R}$, $x \sim y$ sse $(x-y) \in \mathbb{Q}$: la topologia quoziente si può descrivere facilmente...
+      Chi sono gli aperti di questa topologia quoziente? (Topologia indiscreta).
+- [ ] Spazio delle matrici $n\times n$ reali quozientate per azione di coniugio di $\text{GL}_n(\mathbb{R})$. Lo spazio ottenuto è T1, T2?\*
+- [ ] spazi separabili che implicazioni sai dirmi e dimostrazione
+
+## Algebrica
+
+- [ ] Retratti, in generale sono chiusi/aperti/nessuno dei due?
+- [ ] Per quali $d$ interi esiste un rivestimento connesso della superficie di seconda specie di grado $d$
+- [ ] $\mathbb{R}³$ meno due rette. Nei tre casi in cui sono incidenti, parallele o sghembe, chi è il $\pi_1$?
+- [ ] Il gruppo $G$ delle rotazioni generato da quella di angolo $2\pi/7$ che agisce su $\mathbb{R}^2$. Calcolare il gruppo fondamentale di $\mathbb{R}^2/G$ e studiare il rivestimento dato dalla proiezione al quoziente di $\mathbb{R}^2 \setminus\{0\}$ su $(\mathbb{R}_2 \setminus\{0\})/G$.
+- [ ] Ultima domanda dell'esame precedente: Il toro si retrae al toro senza un dischetto?
+- [ ] Definizione di semilocalmente semplicemente connesso + esempio di spazio senza tale proprietà
+- [ ] Gruppo fondamentale degli spazi proiettivi su $\mathbb{R}$ e su $\mathbb{C}$
+- [ ] Caratterizzazione dei rivestimenti regolari tramite il 1; un esempio di rivestimento regolare e uno di un rivestimento non regolare per il bouquet di due circonferenze.
+- [ ] O-O è omotopicamente equivalente a OO ma non un suo retratto per deformazione + il loro $\pi_1$
+- [ ] Rivestimento di grado due del wedge di due cerchi e sottogruppo associato nel $\pi_1$
+- [ ] Relazione tra sottogruppi del $\pi_1$, rivestimenti e rivestimento universale
+- [ ] Parlami delle azione propriamente discontinue, facendo esempi, e dimmi come sono legate nella teoria dei rivestimenti
+- [ ] Definizione di automorfismo di un rivestimento e mostra che ha azione libera
+- [ ] Legame tra uno spazio contraibile e il retratto di deformazione
+- [ ] Uno spazio che si retrae per deformazione ad un suo punto è contraibile, non vale il viceversa. Fai esempio (pettine infinito)
+- [ ] Quando ho un automorfismo di rivestimento che manda un punto di una fibra in un altro?
+- [ ] Contraibile $\implies$ semplicemente connesso
+- [ ] Definizione di rivestimento regolare, esibire un rivestimento non regolare.
+- [ ] Calcolare n-proiettivo reale
+- [ ] Spazi contraibili: definizione, se $x_0 \in X$ contraibile allora $x_0$ ne è retratto per deformazione?
+- [ ] Esempio di rivestimento non regolare
+- [ ] Trova un rivestimento di grado 3 del bouquet di due circonferenze
+- [ ] Per un rivestimento dallo spazio $E$ connesso e localmente connesso per archi: gruppo degli automorfismi transitivo su una fibra $\iff$ l'immersione del $\pi_1(E)$ è normale
+- [ ] Gruppo fondamentale di $\mathbb{P}_n(\mathbb{C})$
+- [ ] Parlare di retrazione e retrazione per deformazione, con le conseguenze sui gruppi fondamentali
+- [ ] Definizione di gruppo fondamentale e perché è un gruppo
+- [ ] Automorfismi del disco
+- [ ] Dato $S^1 \vee S^1$ ed il suo $\pi_1$ generato da $a,b$, trova il rivestimento associato ai sottogruppi $\langle a \rangle$ ed $N(\langle a \rangle)$ (con quest'ultimo si intende il sottogruppo normale generato da $a$)
+- [ ] Gruppo fondamentale del toro
+- [ ] Si può retrarre il nastro di Mobius sul suo bordo?
+- [ ] Gruppo fondamentale dei proiettivi reali o complessi.
+- [ ] Calcolare il $\pi_1(S_1)$. ($\cong\mathbb{Z}$)
+- [ ] $\pi_1(\mathbb{P}^n(\mathbb{R}))$ (discorso generale).
+- [ ] Il toro è omeomorfo al toro meno un punto?
+- [ ] Chi è il rivestimento universale del toro?
+- [ ] Come costruiresti uno spazio topologico con gruppo fondamentale $\frac{\mathbb{Z}}{3\mathbb{Z}}$?
+- [ ] Definizione di Rivestimento
+- [ ] Condizione su $E$ affinché qualunque rivestimento sia di grado finito.
+- [ ] Teorema fondamentale dell’Algebra.
+- [ ] Se $p: E\to X$ rivestimento universale, è vero che $p^{-1}(S)$ è un rivestimento di $S \subseteq X$? (risposta: sì). Quando $p^{-1}(S)$ è connesso? (assumendo tutto quello che è ragionevole assumere? Risposta: $i_*$ suriettiva, dove $i$ è la mappa di inclusione).
+- [ ] $\mathbb{R}^3$ meno due rette. Nei tre casi in cui sono incidenti, parallele o sghembe, chi è il $\pi_1$?
+- [ ] Il toro si retrae al toro senza un dischetto?
+- [ ] Proiettivo complesso è semplicemente connesso, e mappe dalla sfera complessa al proiettivo. Sono rivestimenti?
+
+## Complessa
+
+- [ ] Zeri di funzioni olomorfe
+- [ ] Teorema di Rouché.
+- [ ] Parlare delle singolaritá, weierstrass-casorati, teorema di Brouwer, se levo il bordo a $D^2$ è ancora vero il teorema?
+- [ ] Olomorfa $\implies$analitica
+- [ ] Definizione funzione olomorfa.
+- [ ] Se abbiamo una funzione olomorfa su un disco aperto senza il centro, quando si può estendere nel punto?
+- [ ] Forme chiuse e esatte, relazioni tra le due
+- [ ] Zeri di una funzione analitica, perché sono un insieme discreto. Come contarli con molteciplità?
+- [ ] Invertibiltà locale di olomorfe dove la derivata è non nulla.
+- [ ] definizioni funzioni meromorfe, poli di funzioni olomorfe.
+- [ ] Dimostrazione teorema di Weiestrass
+- [ ] Liouville
+- [ ] Definizione indice di avvolgimento.
+- [ ] Definizione funzione olomorfa/analitica e relazione tra le due
+- [ ] Olomorfa $\implies$ Analitica
+- [ ] Principio del massimo modulo
+- [ ] Caratterizzazione degli zeri delle funzioni olomorfe e come contarli con molteplicità
+- [ ] Enunciato e dimostrazione del teorema di Liouville.
+- [ ] Olomorfa sse analitica
+- [ ] $f(z)dz$ chiusa $\iff$ $f$ olomorfa
+- [ ] Per quali $a$ complessi esiste $f:\mathbb{C}^*\to\mathbb{C}$ olomorfa non identicamente nulla con $f'(z) = a\cdot f(z)/z$?
+- [ ] $f$ olomorfa in $U\setminus z$ e limitata in un intorno di $z$, cosa possiamo dire?
+- [ ] Derivata logaritmica
+- [ ] Definire l'integrale di forme chiuse su curve continue
+- [ ] accenni di dimostrazione di "integrale su forme chiuse non cambia per curve omotope", un esercizio in cui di fatto serviva la definizione di indice di avvolgimento
+- [ ] Una funzione olomorfa si può scrivere come serie di potenze
+- [ ] Un punto è singolare se e solo se il gradiente si annulla.
+- [ ] Equazione di Cauchy-Riemann.
+- [ ] Esempio di funzione continua differenziabile non olomorfa ( $f(z) = \bar{z}$ )
+- [ ] Data $f : U \setminus{z_0} \to C$, punti di singolarità? A riguardo, cosa succede a $\lim_{z\to z_0}{|f(z)|}$?
+- [ ] Esempio di funzione con una singolarità essenziale? ($f(z) = e^{1/z}$)
+- [ ] Dimostrazione del secondo enunciato di Riemann-Weierstrass
+- [ ] Come calcolare Zeri e Poli di una funzione, eventualmente con molteplicità? Togliendo il segmento $[0, 1]$, il quoziente è connesso per archi? Qual è il suo gruppo fondamentale? (Calcolarlo).
+- [ ] Definizione di funzione analitica e criteri per stabilire se è identicamente nulla su un aperto connesso. Derivate nulle in un punto $\implies$ identicamente nulla nell'aperto connesso.
+- [ ] Teorema di Riemann-Weierstrass.
+- [ ] Quali sono le funzioni analitiche che sono in ogni punto è in modulo $\leq k\cdot z^d$ con $d$ fissato? (risposta $a\cdot x^d$ con $|a|\leq |k|$).

geoemtria-2/algebrica.md

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-# La categoria hTop
-
-* [ ] [definizione] Omotopia
-* [ ] [**proposizione**] Omotopia è relazione di equivalenza
-* [ ] [**proposizione**] Composizione passa alla relazione di omotopia
-* [ ] [definizione] Inversa omotopica e Equivalenza omotopica
-* [ ] [**proposizione**] Equivalenza omotopica è una equivalenza
-## Funtore delle componenti connesse per archi
-
-* [ ] [**teorema**] Mappe omotope inducono la stessa mappa nei $\pi_0$
-# Gruppo fondamentale
-
-## Omotopia di cammini
-
-* [ ] [definizione] Omotopia di cammini
-## Gruppo Fondamentale
-
-* [ ] [definizione] Gruppo Fondamentale
-* [ ] [**teorema**] Il gruppo fondamentale è un gruppo
-* [ ] [definizione] Semplicemente connesso
-## Cammini chiusi come applicazioni dal cerchio
-
-* [ ] [**proposizione**] Continua su bordo si estende se e solo se classe di omotopia banale
-* [ ] [**teorema**] Propriet\`a della corrispondenza tra $\pi_1(X)$ e $\spa{S^1,X}$
-* [ ] [**proposizione**] Corrispondenza tra omotopie di cammini in $\Omega(X,x_0)$ e omotopie libere in ${[S^1,X]}$
-## Funtorialità del gruppo fondamentale
-
-* [ ] [definizione] Categoria degli spazi topologici puntati
-* [ ] [**proposizione**] Funtore da $Top_\ast$ a $Grp$
-* [ ] [definizione] Omotopia puntata
-* [ ] [**proposizione**] Mappe omotope puntate inducono la stessa mappa sui gruppi fondamentali
-## Dipendenze del gruppo fondamentale
-
-* [ ] [**teorema**] Il punto base determina $\pi_1(X)$ a meno di isomorfismo
-* [ ] [**proposizione**] Mappa omotopa all'identità induce isomorfismo
-# Spazi contraibili e retratti
-
-## Spazi contraibili
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-* [ ] [definizione] Spazio contraibile
-* [ ] [definizione] Insieme stellato
-* [ ] [definizione] Insieme Convesso
-* [ ] [**proposizione**] Mappe a immagine in stellato
-## Retratti di Deformazione
-
-* [ ] [definizione] Retratto
-* [ ] [**proposizione**] Proprietà dei retratti
-* [ ] [definizione] Retratto di deformazione
-# Rivestimenti
-
-## Omeomorfismi locali
-
-* [ ] [definizione] Omeomorfismo Locale
-* [ ] [**proposizione**] Omeomorfismo locale implica aperta
-## Rivestimenti
-
-* [ ] [definizione] Rivestimento
-* [ ] [**proposizione**] Rivestimento implica Omeomorfismo locale
-* [ ] [definizione] Fibra
-* [ ] [**teorema**] Teorema delle Fibre
-* [ ] [definizione] Grado di un rivestimento
-* [ ] [definizione] Rivestimento banale
-* [ ] [**teorema**] Rivestimento da azione propriamente discontinua
-## Sollevamenti
-
-* [ ] [definizione] Sollevamento
-* [ ] [**teorema**] Unicità del sollevamento
-* [ ] [**teorema**] Esistenza e unicità del sollevamento dei cammini
-* [ ] [**teorema**] Sollevamento dell'omotopia
-* [ ] [**teorema**] Sollevamento delle omotopie di cammini
-# Azione di Monodromia
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-* [ ] [definizione] Azione di monodromia
-* [ ] [**teorema**] Proprietà dell'azione di monodromia
-### Sollevamento di mappe qualsiasi
-
-* [ ] [**teorema**] Sollevamento di mappe qualsiasi
-## Applicazioni dell'azione di Monodromia
-
-* [ ] [**teorema**] Gruppo fondamentale del cerchio
-* [ ] [**teorema**] Teorema di Brower
-# Teorema di Seifert-Van Kampen
-
-* [ ] [**teorema**] Seifert-Van Kampen
-# Calcolo del Gruppo fondamentale
-
-## Gruppo fondamentale del prodotto
-
-* [ ] [**teorema**] Gruppo fondamentale del prodotto
-## Prodotto libero e gruppi liberi
-
-* [ ] [definizione] Prodotto libero
-* [ ] [**teorema**] Esistenza del prodotto libero
-* [ ] [definizione] Gruppo libero
-* [ ] [**teorema**] Propriet\`a universale del gruppo libero
-## Van Kampen per intersezioni semplicemente connesse
-
-* [ ] [**teorema**] Gruppo fondamentale del Bouquet di $n$ circonferenze
-## Prodotto amalgamato
-
-* [ ] [definizione] Prodotto amalgamato
-* [ ] [**teorema**] Esistenza e unicit\`a del prodotto amalgamato
-## Presentazioni di gruppi
-
-* [ ] [definizione] Presentazione
-* [ ] [**proposizione**] Propriet\`a universale delle presentazioni
-* [ ] [**proposizione**] Presentazione del prodotto amalgamato
-## Rango
-
-* [ ] [definizione] Rango
-## Gruppi fondamentali di proiettivi
-
-* [ ] [**teorema**] I proiettivi complessi sono semplicemente connessi
-* [ ] [**teorema**] Gruppi fondamentali dei proiettivi reali
-## Gruppi fondamentali di superfici
-
-### Toro
-
-* [ ] [**teorema**] Gruppo fondamentale del toro
-### Superfici con dato genere
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-* [ ] [**teorema**] Gruppo fondamentale delle superfici di genere $g$
-* [ ] [**proposizione**] Genere determina univocamente il $\pi_1$
-* [ ] [**teorema**] Genere, classe di Omotopia e $\pi_1$ sono invarianti completi
-# Rivestimento Universale
-
-* [ ] [definizione] Rivestimento universale
-* [ ] [**teorema**] Gruppo fondamentale e fibra nel punto sono in bigezione
-* [ ] [definizione] Semilocalmente semplicemente connesso
-* [ ] [**teorema**] Esistenza dei rivestimenti universali
-## Propriet\`a categoriche dei rivestimenti
-
-* [ ] [**proposizione**] Propriet\`a universale del rivestimento universale
-* [ ] [definizione] Morfismo di rivestimenti
-* [ ] [definizione] Automorfismi di rivestimenti
-* [ ] [**proposizione**] Azione di $\Aut(p)$ e di monodromia commutano
-### Isomorfismi di rivestimenti
-
-* [ ] [**teorema**] Caratterizzazione di rivestimenti isomorfi fissato un punto
-* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione di rivestimenti isomorfi
-## Rivestimenti regolari e corrispondenza di Galois
-
-* [ ] [**proposizione**] Azione di $\Aut(p)$ \`e propriamente discontinua
-* [ ] [**teorema**] Per rivestimento da azione propriamente discontinua gli automorfismi sono il gruppo
-* [ ] [definizione] Rivestimento regolare
-* [ ] [**proposizione**] I rivestimenti universali sono regolari
-* [ ] [**teorema**] Caratterizzazioni dei rivestimenti regolari
-* [ ] [**teorema**] $\Aut(p)$ in termini del gruppo fondamentale
-* [ ] [**proposizione**] Automorfismi di rivestimenti regolari
-## Applicazioni della teoria dei rivestimenti
-
-* [ ] [**teorema**] Borsuk-Ulam

geoemtria-2/complessa.md

@@ -1,117 +0,0 @@
-# Richiami di calcolo in pi\`u variabili
-
-* [ ] [definizione] Differenziabilit\`a e differenziale
-* [ ] [definizione] Derivate parziali
-* [ ] [definizione] Coniugio
-* [ ] [**proposizione**] Il differenziale \`e $\C$-lineare
-* [ ] [**proposizione**] Propriet\`a del differenziale
-* [ ] [**proposizione**] Le $\R$ lineari sono la somma diretta delle $\C$ lineari e $\C$ antilineari
-# Funzioni olomorfe
-
-* [ ] [definizione] Funzione olomorfa
-* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazioni delle funzioni olomorfe
-* [ ] [**teorema**] Propriet\`a aritmetiche delle olomorfe
-# Analitiche
-
-## Serie di potenze
-
-* [ ] [definizione] Serie di potenze
-* [ ] [definizione] Funzione analitica
-* [ ] [**proposizione**] Le analitiche sono continue
-* [ ] [**teorema**] Serie di potenze sono analitiche
-* [ ] [**teorema**] Serie derivata
-## Ordine di annullamento
-
-* [ ] [definizione] Ordine di annullamento
-* [ ] [**teorema**] Zeri di analitica sono isolati o coprono la comp. connessa
-# Esponenziale e logaritmo complessi
-
-## Esponenziale complesso
-
-* [ ] [definizione] Esponenziale complesso
-* [ ] [**proposizione**] Propriet\`a dell'esponenziale complesso
-## Logaritmo complesso
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-* [ ] [**proposizione**] L'esponenziale complesso \`e un rivestimento
-* [ ] [**teorema**] Branche del logaritmo
-* [ ] [definizione] Branca principale del logaritmo complesso
-* [ ] [**proposizione**] Formula esplicita per la branca principale del logaritmo
-* [ ] [**proposizione**] Le branche del logaritmo sono olomorfe
-* [ ] [**teorema**] Espansione in serie del logaritmo
-# 1-Forme complesse
-
-* [ ] [definizione] 1-forma continua
-* [ ] [definizione] Forme esatte e chiuse
-## Integrazione di 1-forme
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-* [ ] [definizione] Integrale di funzione da intervallo reale a $\C$
-* [ ] [definizione] Integrale lungo una curva $C^1$
-* [ ] [definizione] Curva $C^1$ a tratti
-* [ ] [**proposizione**] Invarianza dell'integrale per riparametrizzazione
-* [ ] [**proposizione**] Integrazione di 1-forme esatte
-* [ ] [definizione] Dominio
-* [ ] [**proposizione**] Caratterizzazione esattezza con integrali su lacci
-## Primitive lungo curve e lungo omotopie
-
-* [ ] [definizione] Primitiva lungo una curva
-* [ ] [**teorema**] Esistenza e quasi unicit\`a delle primitive lungo curve
-* [ ] [definizione] Primitiva lungo una omotopia
-* [ ] [**teorema**] Esistenza e quasi unicit\`a delle primitive lungo omotopie
-* [ ] [definizione] Integrale di 1-forme chiuse su cammini continui
-* [ ] [**teorema**] Invarianza dell'integrale per cammini omotopi
-## Forme chiuse da funzioni olomorfe
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-* [ ] [**teorema**] Gauss-Green
-* [ ] [**teorema**] Caratterizzazione delle forme chiuse $C^1$ con derivate parziali
-* [ ] [**teorema**] Cauchy
-* [ ] [**teorema**] Continua olomorfa fuori un segmento d\`a forma chiusa
-# Indice di avvolgimento e Formula di Cauchy
-
-* [ ] [definizione] Indice di avvolgimento
-* [ ] [**proposizione**] Indice di avvolgimento \`e intero
-* [ ] [**teorema**] Formula integrale di Cauchy
-## Olomorfa implica analitica
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-* [ ] [**teorema**] Continue sul bordo di un disco definiscono olomorfa nel disco
-### Propriet\`a delle olomorfe ereditate delle analitiche
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-* [ ] [**proposizione**] Principio di identit\`a
-# Applicazioni
-
-## Disuguaglianze di Cauchy e Teorema di Liouville
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-* [ ] [**proposizione**] Disuguaglianze di Cauchy
-## Principio della media
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-* [ ] [definizione] Propriet\`a della media
-* [ ] [**proposizione**] Propriet\`a della media implica continua
-* [ ] [**teorema**] Principio della media
-## Principio del massimo
-
-* [ ] [**teorema**] Principio del massimo 1
-* [ ] [**teorema**] Teorema dell'applicazione aperta
-# Singolarit\`a
-
-* [ ] [definizione] Singolarit\`a
-* [ ] [definizione] Corona
-## Serie di Laurent
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-* [ ] [definizione] Serie di Laurent
-* [ ] [**proposizione**] propriet\`a delle serie di Laurent
-* [ ] [**teorema**] Olomorfa su Anello \`e serie di Laurent
-## Tipi di singolarit\`a
-
-* [ ] [definizione] Tipi di singolarit\`a
-* [ ] [**teorema**] Estensione di Riemann
-* [ ] [**teorema**] Casorati-Weierstass
-# Funzioni meromorfe e Residui
-
-* [ ] [definizione] Funzione meromorfa
-* [ ] [definizione] Residuo
-* [ ] [**proposizione**] Formula del residuo per rapporto di olomorfe
-* [ ] [**teorema**] Teorema dei Residui
-## Derivata Logaritmica
-
-* [ ] [definizione] Derivata logaritmica
-* [ ] [**proposizione**] Residuo in polo della derivata logaritmica \`e l'ordine del polo/zero
-* [ ] [**teorema**] Teorema di Derivata logaritmica

orali-g2.md

@@ -1,194 +0,0 @@
-- $\mathbb{R}³$ meno due rette. Nei tre casi in cui sono incidenti, parallele o sghembe, chi è il $\pi_1$?
-- Chi sono i biolomorfismi da $\mathbb{C}$ in $\mathbb{C}$?
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-- Zeri di funzioni olomorfe e Teorema di Rouché.
-- Il gruppo $G$ delle rotazioni generato da quella di angolo $2\pi/7$ che agisce su $\mathbb{R}^2$. Calcolare il gruppo fondamentale di $\mathbb{R}^2/G$ e studiare il rivestimento dato dalla proiezione al quoziente di $\mathbb{R}^2\setminus\\{0\\}$ su $(\mathbb{R}_2\setminus\\{0\\})/G$.
-- Prodotto numerabile di metrizzabili é metrizzabile e controesempio quando il prodotto é più che numerabile
----
-- Forme chiuse e esatte, relazioni tra le due
-- Esempio di funzione armonica che non sia la parte reale di una funzione olomorfa
-- Riferimenti proiettivi e teorema fondamentale delle trasformazioni proiettive
-- Retratti, in generale sono chiusi/aperti/nessuno dei due?
----
-- Parlare delle singolaritá, weierstrass-casorati, teorema di Brouwer, se levo il bordo a $D^2$ è ancora vero il teorema?
-- spazi separabili che implicazioni sai dirmi e dimostrazione
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-- Teorema di Liouville
-- In quale altro risultato che abbiamo visto si usano le stime di Cauchy sui coefficienti? (Voleva la caratterizzazione delle singolarità essenziali, io gli ho nominato il lemma di Schwarz e mi ha fatto fare la dimostrazione anche di quello)
-- Differenzia (nel senso di dimostra che uno dei due non implica l'altro) due assiomi di separazione a scelta
-- Cosa sai dire delle proprietà di separazione della topologia di Zariski?
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-- Un esempio di spazio T2 con un quoziente non T2 e un esempio in cui il quoziente è ottenuto per azioni di gruppo.
-- Funzioni armoniche e parti reali di funzioni olomorfe.
-- Proiettivo complesso è semplicemente connesso, e mappe dalla sfera complessa al proiettivo. Sono rivestimenti?
----
-- Connesso non connesso per archi
-- CPA $\implies$ connesso
-- $[0,1]$ connesso
-- Olomorfa $\implies$analitica
-- Per quali $d$ interi esiste un rivestimento connesso della superficie di seconda specie di grado $d$
----
-- Sottospazio compatto $\implies$ chiuso. Quando e perché. Controesempio se $X$ non è T2.
-- Metrico compatto  $\implies$  limitato. Controesempio a metrico completo limitato  $\implies$  compatto
-- Definizione funzione olomorfa. Se abbiamo una funzione olomorfa su un disco aperto senza il centro, quando si può estendere nel punto?
-- Il toro si retrae al toro senza un dischetto?
----
-- Compattezza in spazi metrici. Compatto per successioni $\implies$ completo e totalmente limitato (Implicazione a scelta).
-- Ultima domanda dell'esame precedente: Il toro si retrae al toro senza un dischetto?
-- Definizione di funzione analitica e criteri per stabilire se è identicamente nulla su un aperto connesso. Derivate nulle in un punto  $\implies$  identicamente nulla nell'aperto connesso.
----
-- Zeri di una funzione analitica, perché sono un insieme discreto. Come contarli con molteciplità?
-- Definizione di semilocalmente semplicemente connesso + esempio di spazio senza tale proprietà
----
-- Invertibiltà locale di olomorfe dove la derivata è non nulla.
-- Dove posso definire una funzione radice quadrata olomorfa?
-- Gruppo fondamentale degli spazi proiettivi su $\mathbb{R}$ e su $\mathbb{C}$
----
-- Punti in posizione generale, trasformazioni proiettive, scelta del punto unità - definizioni
-- Teorema fondamentale trasformazioni proiettive
-- O-O è omotopicamente equivalente a OO ma non un suo retratto per deformazione + il loro $\pi_1$
-- Definizione funzione armonica + ogni armonica è parte reale di una funzione olomorfa su di un semplicemente connesso.
----
-- Connessione, connessione per archi e relazione tra le due.
-- $[0,1]$ è connesso
-- funzioni meromorfe, poli di funzioni olomorfe. Dimostrazione teorema di Weiestrass
----
-- Esempio di un connesso non connesso per archi
-- $Y$ connesso. $Y ⊆ Z ⊆ \overline{Y} \implies Z$ connesso
-- Determinare chiusura dell'insieme $\\{0\\} \times ([0,1] \cap \mathbb{Q})$ in $\mathbb{R}^2$, e di $\\{0\\} \times (]0,1[  \cap \mathbb{Q})$ in $\mathbb{R}^2$, chi sono i bordi in $\mathbb{R}^2$ di questi insiemi?
-- Liouville
----
-- Birapporto: definizione, cosa succede se scambio P1 e P2, comportamento con trasf. proiettive
-- Spazi contraibili: definizione, se $x_0 \in X$ contraibile allora $x_0$ ne è retratto per deformazione?
-- Contraibile $\implies$ semplicemente connesso
-- Definizione indice di avvolgimento.
----
-- Rivestimento di grado due del wedge di due cerchi e sottogruppo associato nel $\pi_1$
-- Relazione tra sottogruppi del $\pi_1$, rivestimenti e rivestimento universale.
-- Quando ho un automorfismo di rivestimento che manda un punto di una fibra in un altro?
-- Dimostrazione preferita del Teorema Fondamentale dell'Algebra
----
-- Definizione funzione olomorfa/analitica e relazione tra le due
-- Olomorfa $\implies$ Analitica
-- Definizione di rivestimento regolare, esibire un rivestimento non regolare.
-- Un biolomorfismo dal disco unitario in sè con $f(0) = 0$
----
-- Definizione di rivestimento regolare, esibire un rivestimento non regolare.
-- Principio del massimo modulo
----
-- Caratterizzazione degli zeri delle funzioni olomorfe e come contarli con molteplicità
-- $\pi_1 : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ è aperta/chiusa/propria?
----
-- Caratterizzare le funzioni intere e bigettive
-- In $\mathbb{R}^n$ connesso sse connesso per archi
----
-- Trovare uno spazio connesso ma non connesso per archi.
-- Dimostrare che la chiusura di un connesso è connessa.
-- Definizione di parte interna, chiusura e bordo di un insieme. Queste definizioni dipendono dallo spazio ambiente?
-- Calcolare la chiusura di $(0,1)$ e dei razionali in $[0,1]$ immersi in $\mathbb{R}$ e $\mathbb{R}^2$.
-- Enunciato e dimostrazione del teorema di Liouville.
----
-- Calcolare n-proiettivo reale
-- Olomorfa sse analitica
-- Esercizio sul proiettivo del compito di luglio mi sembra
----
-31/05/21
-Palmieri:
-- Spazio delle matrici $nxn$ reali quozientate per azione di coniugio di $\text{GL}_n(\mathbb{R})$. Lo spazio ottenuto è T1, T2?
-- Curva affine in $\mathbb{C}^2$: $y^2=x^3-x$. Qual è la sua chiusura proiettiva? Il supporto affine è denso nel supporto proiettivo? def. di asintoto, calcolo degli asintoti e punti singolari di questa curva. Stima brutale del numero di asintoti di una curva di grado d.
----
-Pitrone:
-- $f(z)dz$ chiusa $\iff$ $f$ olomorfa
-- Per quali $a$ complessi esiste $f:\mathbb{C}^*\to\mathbb{C}$ olomorfa non identicamente nulla con $f'(z) = a\cdot f(z)/z$?
-- $\mathbb{R}^3$ meno due rette. Nei tre casi in cui sono incidenti, parallele o sghembe, chi è il $\pi_1$?
----
-Boscardin:
-- Esempio di rivestimento non regolare
-- Per un rivestimento dallo spazio $E$ connesso e localmente connesso per archi: gruppo degli automorfismi transitivo su una fibra $\iff$ l'immersione del $\pi_1(E)$ è normale
-- Trovare tutte le funzioni olomorfe su $\mathbb{C}$ per cui esistono $k$ e $d$ tali che $|f(z)|\leq k\cdot|z|^d$
----
-Tarini:
-- Gruppo fondamentale di $\mathbb{P}_n(\mathbb{C})$
-- biolomorfismi di $\mathbb{C}$ e del disco aperto
----
-- Parlare di retrazione e retrazione per deformazione, con le conseguenze sui gruppi fondamentali
-- Teorema di Bezout
-- Data $F$ irriducibile di grado $d$, quanti punti singolari può avere al massimo $F$? (una stima)
----
-- Spazi metrici e caratterizzazione dei compatti per spazi metrici
-- Formula di Cauchy
-- $f$ olomorfa in $U\setminus z$ e limitata in un intorno di $z$, cosa possiamo dire?
----
-- Definizione di gruppo fondamentale e perché è un gruppo
-- Formula di Cauchy
----
-- Derivata logaritmica
-- Prodotto di due spazi compatti è compatto
-- Se il prodotto di due spazi è compatto, è sempre vero che i due spazi sono compatti? (Sì, posso vederli entrambi come immagine continua tramite le proiezioni di $X \times Y$)
----
-- Definire l'integrale di forme chiuse su curve continue, accenni di dimostrazione di "integrale su forme chiuse non cambia per curve omotope", un esercizio in cui di fatto serviva la definizione di indice di avvolgimento
-- Un aperto di $\mathbb{R}^n$ connesso è connesso per archi, connesso+localmente connesso per archi implica connesso per archi, la connessione per archi è relazione di equivalenza
-- Quanti asintoti può avere al massimo una curva di $\mathbb{P}^2(\mathbb{C})$?
----
-- Automorfismi del disco
-- Dato $S^1 \vee S^1$ ed il suo $\pi_1$ generato da $a,b$, trova il rivestimento associato ai sottogruppi $\langle a \rangle$ ed $N(\langle a \rangle)$ (con quest'ultimo si intende il sottogruppo normale generato da $a$)
----
-- Quand’è che una funzione propria è chiusa e dimostrazione (più come esercizio che come teoria)
-- Gruppo fondamentale del toro
-- Una funzione olomorfa si può scrivere come serie di potenze
----
-- Elencare gli assiomi di separazione, dimostrare le varie implicazioni. Dare un controesempio a scelta delle implicazioni metrizzabile $\iff$ normale $\iff$ regolare $\iff$ T2
-- Studiare $f$ olomorfa tale che $|f(z)|\leq k*|z|^d$
-- Teorema di Liouville (con dimostrazione)
----
-- Un punto è singolare se e solo se il gradiente si annulla.
-- Formula di Cauchy per funzioni olomorfe.
-- Trova un rivestimento di grado 3 del bouquet di due circonferenze
----
-- Gruppo fondamentale dei proiettivi reali o complessi.
-- Compattezza in spazi metrici.
-- “Esercizio”: caratterizzare le funzioni intere olomorfe iniettive.
----
-Domande 20/6/2022
-Primo enunciato di Riemann-Weierstrass
-- Calcolare il $\pi_1(S_1)$. ($\cong\mathbb{Z}$)
-- Formula di Cauchy per funzioni olomorfe.
-- $\pi_1(\mathbb{P}^n(\mathbb{R}))$ (discorso generale).
-- Come ottenere $\mathbb{P}^n(\mathbb{R})$ da $D_n$ (dettagliata).
-- Equazione di Cauchy-Riemann.
-- Esempio di funzione continua differenziabile non olomorfa ( $f(z) = \bar{z}$ )
-- Cos’è un punto singolare di una curva proiettiva.
-- Conica singolare $\implies$ degenere con $\mathbb{K} = \mathbb{C}$.
-- Il toro è omeomorfo al toro meno un punto?
-- Chi è il rivestimento universale del toro?
----
-Marzenta Giovanni:
-- Caratterizzazione dei rivestimenti regolari tramite il 1; un esempio di rivestimento regolare e uno di un rivestimento non regolare per il bouquet di due circonferenze.
-- Caratterizzare le funzioni olomorfe intere (da $\mathbb{C}$ in $\mathbb{C}$) tali che $|f(z)|\leq k\cdot |z|^d$.
----
-- $X = [0, 1)$, topologia di base: $(a, b)$, con $a > 0$, e $[0, a)\cup(b, 1)$, con $0 < a < b < 1$.
-  È più o meno fine della topologia Euclidea? Assiomi di topologia? Connesso? È compatto? Conosci un compatto famoso che ne è omeomorfo? ($S_1$) Un esempio di tale omeomorfismo? ($t \mapsto e^{2πit}$).
-- Gruppo fondamentale degli spazi proiettivi complessi
----
-21/6/2022
-- Che relazione c'è tra connessione e connessione per archi? Connesso per archi $\implies$ Connesso (dimostrazione) e Connesso non implica Connesso per archi (dimostrazione).
-- Data $f : U \setminus{z_0} \to C$, punti di singolarità? A riguardo, cosa succede a $\lim_{z\to z_0}{|f(z)|}$?
-- Esempio di funzione con una singolarità essenziale? ($f(z) = e^{1/z}$)
-- Dimostrazione del secondo enunciato di Riemann-Weierstrass
-- X topologico e Y sottoinsieme, se Y e compatto e chiuso, che relazioni ci sono tra compattezza e chiusura?
-- Come calcolare Zeri e Poli di una funzione, eventualmente con molteplicità?
-- Consideriamo la striscia in $\mathbb{R}_2$ tra le rette $x = 0$ e $x = 1$ comprese e quozientiamolo con la relazione $(0, y) \sim (1, -y)$. Come ti immagini questo quoziente? E una varietà topologica?
-  Togliendo il segmento $[0, 1]$, il quoziente è connesso per archi? Qual è il suo gruppo fondamentale? (Calcolarlo).
-- Si può retrarre il nastro di Mobius sul suo bordo?
-- Quanti punti di intersezione può avere al massimo una curva $C = [F]$ in $\mathbb{C}$ con una retta?
-- Come costruiresti uno spazio topologico con gruppo fondamentale $\frac{\mathbb{Z}}{3\mathbb{Z}}$?
-- Prendiamo due triple di rette in $\mathbb{P}^2(\mathbb{C})$, quando è possibile mandare le prime tre nelle seconde tre?
-- Definizione di Topologia Quoziente. Caratterizzazione degli aperti. Prendiamo $X = \mathbb{R}$, $x \sim y$ sse $(x-y) \in \mathbb{Q}$: la topologia quoziente si può descrivere facilmente...
-  Chi sono gli aperti di questa topologia quoziente? (Topologia indiscreta).
-- Definizione di Rivestimento; Condizione su $E$ affinché qualunque rivestimento sia di grado finito.
-- Teorema fondamentale dell’Algebra.
-- Una cubica $C = [p]$, può avere una retta tangente in due punti (no)? Se invece ha grado 4?
-- Teorema di Riemann-Weierstrass.
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-- Quali sono le funzioni analitiche che sono in ogni punto è in modulo $\leq k\cdot z^d$ con $d$ fissato? (risposta $a\cdot x^d$ con $|a|\leq |k|$).
-- Se $p: E\to X$ rivestimento universale, è vero che $p^{-1}(S)$ è un rivestimento di $S \subseteq X$? (risposta: sì). Quando $p^{-1}(S)$ è connesso? (assumendo tutto quello che è ragionevole assumere? Risposta: $i_*$ suriettiva, dove $i$ è la mappa di inclusione).